Ипатов В.П. Широкополосные сигналы

Подождите немного. Документ загружается.

ботки широкополосных РЛС были предприняты в Германии, США, Великобритании и

СССР. Параллельно с технологическими и техническими успехами были осуществлены

многочисленные и основательные теоретические исследования, касающиеся точности ра-

диолокационных измерений и разрешения сигналов. Наиболее важные и глубокие резуль-

таты в этом направлении были опубликованы в книге P.M. Woodward в 1953 г. Следует

заметить, что многие из упомянутых результатов объяснимо базируются на фундамен-

тальных работах C. Shannon и В.А. Котельникова за 1946–48 гг, роль которых сказывается

значительно шире, чем только в их «чисто» коммуникационном приложении.

Конечно, в течение длительного времени значительная доля информации о новых

практических разработках в области широкополосной радиолокации и навигации была

трудно доступна, поскольку большинство этих проектов курировались военными и разве-

дывательными органами. Тем не менее, многие идеи, как только они материализовались в

общедоступных системах, стали широко известны. Ярким примером подобного рода мо-

жет служить всемирно известная радионавигационная система «Лоран–С», введенная в

эксплуатацию в начале 60-х годов. В данной системе наземные длинноволновые радио-

маяки излучают истинно широкополосные (фазоманипулированные) сигналы с частотно–

временным произведением

16WT

. Свидетельством жизнеспособности этой системы

служит тот факт, что с учетом постоянной модернизации и многочисленных улучшений

ей удалось продлить свое функционирование до третьего тысячелетия.

Другой значительный шаг в практическом внедрении широкополосной концепции

в области разработки дальномерно–временных измерительных систем был сделан в конце

80-х – начале 90-х годов в результате создания спутниковых радионавигационных систем

второго поколения типа GPS NAVSTAR (США) и ГЛОНАСС (СССР/Россия). Сигналы с

очень большим значением частотно–временного произведения, измеряемого в тысячах,

являются сердцевиной упомянутых систем, которые в настоящее время превратились в

составную часть человеческой цивилизации наряду со спутниковым телевидением и мо-

бильной связью.

Ранние работы по использованию широкополосной идеологии в области передачи

информации были первоначально стимулированы задачами маскирования речевых дан-

ных и защиты передаваемой информации. Начало им было положено в Германии перед

Второй Мировой войной и вскоре было подхвачено США, СССР и другими заинтересо-

ванными странами. Одно из интригующих действий романа А. Солженицына «В круге

первом» происходит в специальной советской тюрьме, где были собраны осужденные

студенты и инженеры для разработки советской скрытной шумоподобной системы пере-

дачи речевой информации.

Среди поворотных моментов в развитии широкополосной связи следует отметить

Rake–алгоритм, предложенный R. Price и P. Green (1957), который положил началу на-

правлению, названному позднее многолучевым разнесением. Работы 60-х годов S.

Golomb, N. Zierler, R. Gold, T. Kasami и других в области синтеза дискретных последова-

тельностей со специальными корреляционными свойствами сыграли ключевую роль в

формировании широкополосной технологии и многочисленных практических достиже-

ний.

Коммерческая эра широкополосной идеологии стартовала в конце 70–х годов, ко-

гда мобильная телефонная связь начала свое триумфальное завоевание всего мира. Пер-

вые предложения по сотовым сетям с CDMA в США и Европе (1978-1980) породили аль-

тернативные проекты, которые эволюционировали позднее в стандарты GSM и DAMPS.

Однако в середине 90–х годов стандарт второго поколения IS–95 полностью освоил SS–

CDMA платформу. С космической скоростью сети этого стандарта (позднее названного

cdmaOne) завоевали широкое признание в Америке, Азии и бывшем Советском Союзе.

Огромный успех стандарта IS–95, а также тщательный анализ и дальнейшие эксперимен-

ты привели к признанию SS-CDMA философии в качестве основы для большинства про-

ектов мобильной радиосвязи 3-го поколения: UMTS и cdma2000. В настоящее время оба

эти проекта находятся на предэксплуатационном этапе и, несомненно, станут основным

инструментом мобильной связи на ближайшие десятилетия.

В заключение вступительного раздела следует добавить несколько слов о развитии

широкополосной технологии в Советском Союзе, а позднее России. Обзоры, публикуемые

на Западе, обычно немного сообщают только об уровне советских достижений в данной

области. Это положение объясняется объективными причинами, обусловленными перио-

дом холодной войны: самоизоляция страны, строгие ограничения на контакты советских

специалистов со своим зарубежными коллегами и их публикациями, чрезмерная и часто

излишняя секретность и т.п. К числу серьезных препятствий следует отнести и языковой

барьер. Однако, на самом деле советские достижения в области широкополосности в 50–

90 гг. были своевременными и конкурентно способными в сравнении с аналогичными ре-

зультатами, достигнутыми в США и Европе. Работы Д.Е. Вакмана, Д.Д. Ширмана, М.Б.

Свердлика (в области синтеза широкополосных радиолокационных сигналов и их обра-

ботки), И.А. Амиантова, Л.Е. Варакина (в области широкополосной связи) были во мно-

гих отношениях пионерскими и рекрутировали в эту привлекательную и захватывающую

область исследований поколения молодых профессионалов.

2. Классические задачи приема и синтез сигналов.

Типичным для теории связи является подход, при котором анализ той или иной

системы начинается с приемной стороны. Цель подобной стратегии состоит в разработке

оптимального приемного устройства, которое с наилучшим качеством восстановит ин-

формацию, содержащуюся в наблюдаемом колебании. Определение оптимального алго-

ритма обработки, базирующегося на учете специфических свойств переданного сигнала,

позволяет в дальнейшем синтезировать оптимальным образом и сам переданный сигнал,

т.е. выбрать наилучшим образом методы его кодирования и модуляции. В данной главе

будут исследована связь между классическими задачами приема и концепцией распреде-

ленного спектра или, иными словами, какие из классических задач приема требуют при-

влечения сигналов с распределенным спектром. Под классическими задачами здесь пони-

маются такие, которые базируются на использовании традиционной модели гауссовского

канала.

2.1. Гауссовский канал, общая задача приема, оптимальные решающие

правила.

Любая информационная система, в которой данные передаются из одной точки

пространства в другую, может быть представлена следующей абстрактной моделью.

Пусть имеется некоторый источник сообщений, вырабатывающий в каждый конкретный

момент времени одно из

возможных сообщений. Данный источник может быть как

управляемым, или созданным человеком, так и иметь независимую от человеческой дея-

тельности природу. В любом случае каждое из

конкурирующих сообщений передается

посредством специфического сигнала, так что имеется множество

из

возможных

сигналов:

}...,,2,1:)({ MitsS



. На мощность множества

, т.е. число сигналов

, не

накладывается никаких ограничений и, если это необходимо, множество

может быть

бесконечным. Источник выбирает некоторый определенный сигнал

Sts

)(

и подает его

на вход канала (см. рис. 2.1). На приемной стороне (на выходе канала) наблюдается при-

нятое колебание

)(ty

, которое является не точной копией переданного сигнала

)(ts

, а ре-

зультатом трансформации

)(ts

, обусловленной искажающим воздействием шумов и по-

мех, присущих любому реальному каналу. Для приемной стороны имеется

конкури-

рующих гипотез

, состоящих в том, какой из

возможных сигналов был в действи-

тельности передан и трансформирован каналом в принятое наблюдение

)(ty

, и требуется

выбрать только одну из них как истинную. Обозначим результат этого выбора, т.е. реше-

ние, через

, означающее, что «решение принято в пользу сигнала с индексом

». Из

данной классической задачи приема вытекает следующая: какова наилучшая стратегия

принятия решения о возможном переданном сообщении (или сигнале), основанная лишь на

наблюдении

)(ty

Для ответа на поставленный вопрос необходимо знать модель канала. Математиче-

ское описание модели канала осуществляется с помощью переходных вероятностей (tran-

Канал

(t)

y(t)

Рис. 2.1. Обобщенная модель системы.

sition probability)

)]()([ tstyp

, которые задают вероятность трансформации каналом задан-

ного входного сигнала в то или иное выходное наблюдение

)(ty

. Полное задание канала

предполагает знание переходных вероятностей

)]()([ tstyp

для всех возможных пар

)(ts

)(ty

В случае равной вероятности всех сообщений источника (что всегда достигается

при правильном проектировании системы) оптимальной стратегией наблюдателя, обеспе-

чивающей минимальную ошибку перепутывания действительно переданного с некоторым

другим сигналом, является правило максимального правдоподобия (maximum likelihood)

(МП). Согласно данному алгоритму после того, как колебание

)(ty

стало достижимым,

решение принимается в пользу того сигнала, для которого вероятность трансформации его

каналом в принятое наблюдение

)(ty

является наибольшим (по сравнению с вероятностя-

ми для других сигналов).

В теории связи наиболее распространенной моделью служит канал с аддитивным

белым гауссовским шумом (АБГШ–канал), или просто гауссовский канал, в котором пе-

реходная вероятность экспоненциально уменьшается с ростом квадрата Евклидова рас-

стояния (Euclidean distance) между переданным сигналом и выходным наблюдением:

)),(

exp()]()([

ysd

ktstyp 

, (2.1)

где

– константа, не зависящая от

)(ts

)(ty

;

– спектральная плотность мощности

одностороннего белого шума; а Евклидово расстояние между

)(ts

)(ty

определяется как





dttstyd

)]()([),( ys

. (2.2)

Объяснение чрезвычайной важности гауссовской модели лежит в физической при-

роде многих реальных шумов. Согласно центральной предельной теореме теории вероят-

ности вероятностное распределение суммы большого числа случайных элементарных

компонентов, между которыми нет сильной зависимости, и ни один из них не преобладает

над другими, аппроксимируется гауссовским законом, особенно при бесконечном числе

слагаемых. Но и тепловой шум, и многие другие, типичные для реальных каналов связи,

представляют собой результат суммирования значительного числа элементарных токов

или напряжений, обусловленных хаотическим движением заряженных частиц (электро-

нов, ионов и т.п.).

Что же касается расстояния между сигналами или колебаниями, то они интерпре-

тируются как вектора, что общепринято во всех информационных и родственных дисцип-

линах. В случае затруднения понимания связи между сигналами и векторами помощь мо-

жет оказать следующее простейшее объяснение. Осуществим дискретизацию во времени

непрерывного сигнала, т.е. представим сигнал

)(ts

его отсчетами

,,1,0),(  iiTss

взятыми через постоянный интервал

. Если вся энергия сигнала сосредоточена в преде-

лах полосы

, а

2/1

, то отсчеты

полностью определяют исходный непрерыв-

ный во времени сигнал

)(ts

. При длительности сигнала

всего имеется

TTn /

подоб-

ных отсчетов и, значит,

–мерный вектор

110

,,,(





sss s

) полностью описывает сиг-

нал. Проделав подобную же операцию с наблюдением

)(ty

, приходим к его

–мерному

векторному эквиваленту

),,,(

110 



yyy y

, что позволяет найти Евклидово расстояние

между векторами

согласно теореме Пифагора для

–мерного векторного простран-

ства:









][),(

syd ys

Если устремить

к нулю, то вектора

, являвшиеся дискретными эквивалентами

сигнала и наблюдения, становятся бесконечной размерности, а значит, восстанавливают

)(),( tyts

, поскольку фактически отсутствует дискретизация во времени. Одновременно

вышеприведенная сумма в правой части равенства (2.2) заменяется (без учета множителя)

интегралом, и мы приходим к определению Евклидова расстояния для непрерывных во

времени колебаний.

Возвратимся вновь к правилу МП для гауссовского канала. Согласно соотношени-

ям (2.1)–(2.2), похожесть сигнала (вероятность того, что он преобразован каналом в на-

блюдение

)(ty

) уменьшается с увеличением Евклидова расстояния между

)(),( tyts

. Сле-

довательно, МП решение для гауссовского канала может быть преобразовано в правило

минимума расстояния (minimum distance):

Hdd

),(min),(  ysys

, (2.3)

т.е. решение принимается в пользу сигнала

)(ts

, поскольку он наиболее близок (в смыс-

ле Евклидова расстояния) к наблюдению

)(ty

среди всех

конкурирующих сигналов

(см. рис.2.2). Другим, более наглядным представлением (2.3), является следующее

),(minarg

yss

S



где

– оценка принятого сигнала (т.е. сигнал, который считается принятым).

Продолжая оставаться в рамках геометрической интерпретации сигналов, можно

ввести длину сигнала

как его расстояние относительно начала координат. Тогда из

(2.2) следует, что

Ed  ),( 0ss

, где





dttsE

)(

(2.4)

энергия сигнала. Другой важной геометрической характеристикой является скалярное

произведение

),( vu

двух сигналов

)(),( tvtu





dttvtu

)()(),( vu

, (2.5)

которое снова может трактоваться как предельная форма скалярного произведения двух

–мерных векторов. Эта же характеристика может быть вычислена с помощью длины

d(s

,y)=min d(s

,y)

Рис. 2.2. Правило минимума расстояния.

векторов и косинуса угла



между ними:

 cos),( vuvu

, и, таким образом, скалярное

произведение свидетельствует о близости, или похожести (resemblance) сигналов, по-

скольку, чем ближе сигналы одинаковой длины (энергии) друг к другу, тем меньше

cos

отличается от единицы, и тем больше скалярное произведение. На основании этого ска-

лярное произведение называют также корреляцией (correlation) сигналов.

Рассмотрим несколько иную версию правила минимального расстояния для того,

чтобы подчеркнуть особую роль данной характеристики. Раскрыв скобки в (2.2), прихо-

дим к соотношению

2)()()(2)(),(

zdttsdttstydttyd syys 



, (2.6)

где

соответствует корреляции между наблюдением

)(ty

–м сигналом

)(ts





iii

dttstyz

)()(),( sy

. (2.7)

Первое слагаемое в правой части соотношения (2.6) фиксировано для данного наблюдения

и поэтому не влияет на анализируемые расстояния и решение, какой из сигналов был при-

нят. Последний член суммы есть ничто иное, как энергия

–го сигнала

. Учитывая это,

правило минимума расстояния (2.3) может быть сформулировано как следующее правило

максимума корреляции:

)

(max



, (2.8)

означающее, в частности, что из

возможных сигналов с одинаковой энергией фактиче-

ски принятым считается тот, который имеет максимум корреляции с наблюдением

)(ty

Последнее поддается ясной физической трактовке. Предпочтение отдается тому из сигна-

лов, который наиболее подобен наблюдению

)(ty

в сравнении с остальными при условии,

что в качестве критерия похожести принята величина корреляции (скалярное произведе-

ние).

Интересно отметить, что даже эти предварительные рассуждения указывают уже

более чем явный способ конструирования множества сигналов. Обратимся к рис.2.3, на

котором изображены сигнальные вектора. Предположим, что передавался сигнал

, и что

он подвергся искажению в АБГШ канале, следствием чего служит добавление к

векто-

ра шума

. Гауссовский вектор

характеризуется симметричным (сферическим) вероят-

Рис. 2.3. Размытое наблюдение и задача выбора сигналов.

ностным распределением, экспоненциально спадающим с увеличением длины вектора

что очевидным образом следует из (2.1) после удаления из него сигнала (т.е. при подста-

новки

0)( ts

). Следовательно, вектор наблюдения

nsy 

будет случайным образом

перемещаться вокруг

, как это показано на рисунке, и тогда, согласно правилу миниму-

ма расстояния (2.3), как только

окажется ближе к некоторому другому, чем

, сигналу,

то будет принято ошибочное решение. Для минимизации возникновения ошибки подоб-

ного рода следует располагать другие сигналы на максимально большом расстоянии от

Поскольку любой из

сигналов может передаваться равновероятно, т.е. занимать место

, то, очевидно, что все расстояния

Mjid

1),,( ss

, следует делать максимально

большим. В случае достаточно большого значения

задача одновременной максимиза-

ции всех расстояний не представляется простой, поскольку они могут конфликтовать друг

с другом: отодвигая некоторый вектор от другого, возможно приближение первого к не-

которому третьему. Учитывая последнее, задача построения множества максимально уда-

ленных друг от друга сигналов (входящая в обширный класс т.н. задач упаковки – packing)

во многих случаях оказывается достаточно сложной, и пока что не имеет общего решения.

Отметим, что в ранее рассмотренном материале все

сигналов считались полно-

стью детерминированными (deterministic), т.е. полагалось, что на приемной стороне а

приори известны все параметры сигналов, единственное, что наблюдателю неизвестно,

так это какой из конкурирующих

сигналов был принят. Подобная модель в значитель-

ной степени адекватна приему сигналов на видеочастоте или когерентному приему на вы-

сокой частоте. Однако с некоторыми дополнениями основная идея сохраняет свою значи-

мость и в более сложных ситуациях, таких как некогерентный прием, что найдет свое от-

ражение в 2.5.

Освежив эти основные идеи оптимального приема, теперь можно перейти к рас-

смотрению специфических задач, уделяя основное внимание аспектам конструирования

сигналов и анализируя перспективность использования распределенного спектра в раз-

личных классических задачах приема сигналов или ее отсутствие.

2.2. Передача двоичных данных (детерминированные сигналы).

Строгая зависимость качества приема от расстояния между сигналами наиболее на-

глядно проявляется в простейшей, но и очень типичной связной задаче передачи двоичной

информации (binary data transmission), когда по каналу пересылается только одно из

2M

возможных сообщений. Фактически данная ситуация отвечает передаче либо одно-

го бита данных в системе, где отсутствует канальное кодирование, либо одного символа

двоичного кода в системе с помехоустойчивым кодированием и жестким решением на

приеме и т.п. Обозначая сообщения через нуль и единицу и полагая, что для их передачи

используются сигналы

)(

(снова детерминированные), правило решения (2.3)

по минимуму расстояния может быть представлено в виде

),(

ysys d





, (2.9)

где расположение решения о символе прямо указывает, когда принимается то или иное

решение. Аналогичным образом может быть переписано и решающее правило (2.8), бази-

рующееся на учете корреляции

zzz









, (2.10)

где корреляция

1,0, iz

каждого из сигналов и наблюдения

)(ty

определяется соотно-

шением (2.7), а энергия сигнала

1,0,

 iE

устанавливается (2.4). Оптимальные

правила различения (2.9)–(2.10) двух сигналов могут быть наглядно объяснены с помо-

щью их геометрической интерпретации. Два сигнальных вектора

всегда лежат в

сигнальной плоскости SP. Вектор наблюдения

необязательно попадет на эту плоскость,

но близость его к одному или другому сигналу определяется близостью к ним проекции



вектора

на SP (см. рис. 2.4, а). Следовательно, плоскость SP может быть поделена на

две полуплоскости прямолинейной границей, проходящей через начало координат и пер-

пендикулярной к прямой линии, соединяющей сигнальные вектора. Тогда решения

фактически определяются как попадание проекции



на соответствующую полу-

плоскость (см. рис. 2.4, b). Из рис. 2.4, b также следует, что вероятность перепутывания

сигналов (вероятность ошибки) зависит от расстояния между векторами

в сравне-

нии с диапазоном случайных флуктуаций



, обусловленных канальным шумом. Соглас-

но (2.10), фактически принятый сигнал

)(

будет ошибочно засчитан за

)(

, если и

только если разность корреляций будет меньше порога

2/)(

EE 

. Следовательно, веро-

ятность

подобной ошибки может быть найдена как













))(())(

(

dztszWts

zPp

, (2.11)

где

)( BAP

– условная вероятность события

при условии, что событие

произошло, а

))((

tszW

– условная плотность вероятности разности корреляций

из (2.10) при усло-

вии, что сигнал

)(

действительно был принят. Одним из замечательных свойств гаус-

совского процесс является то, что любое его линейное преобразование вновь дает гауссов-

ский процесс. Таким образом, поскольку

, согласно (2.7), (2.10), получено как линейное

преобразование гауссовского наблюдения

)(ty

, то

также подчиняется гауссовскому

распределению

y΄

Рис. 2.4. Сигнальная плоскость и полуплоскости решения.

y΄





















)(

exp

))((

tszW

интегрирование которого, согласно (2.11), приводит к выражению



















EEz

, (2.12)

где























exp

)(

– дополнительная функция ошибок (complementary error function).

Из (2.7), (2.10) могут быть найдены математическое ожидание

, обусловленное

принятым сигналом (черта вверху используется для обозначения усреднения), и диспер-

сия

}{

zD

. В случае, когда действительно был принят сигнал

)(

, т.е.

)()(

tsty 

математическое ожидание

будет

10010

)]()([)( EEEdttststyz





, (2.13)

где





dttsts

)()(

),(

(2.14)

– коэффициент корреляции (correlation coefficient) сигналов

)(ts

, а

EE ,

– энер-

гии сигналов. Из (2.14) следует, что в геометрической интерпретации



есть просто ко-

синус угла между сигналами

)(),(

tsts

(или сигнальными векторами

,ss

), и, значит,

характеризует близость, или подобие (похожесть – resemblance) сигналов.

При нахождении дисперсии



учтем тот факт, что на нее не оказывает влияние

детерминированный компонент наблюдения

)(ty

(в рассматриваемом случае сигнал

)(

), поскольку шум в канале аддитивен. Фактически, тогда можно удалить сигнал из

выражения для

)(ty

, полагая

)()( tnty 

, где

)(tn

– белый шум с двусторонней спектраль-

ной плотностью мощности

. После приведенных рассуждений нахождение диспер-

сии корреляции (2.7) наблюдения

)(ty

и произвольного сигнала

)(ts

сводится к вычисле-

нию

 



























TTT

tdtdtststntndttstnzD

)()()()()()(}{

где квадрат интеграла заменен двойным интегралом с раздельными переменными, изме-

нен порядок интегрирования и усреднения (математическое ожидание суммы равно сумме

математических ожиданий) и, окончательно, усреднение применено только к случайному

сомножителю под знаком интеграла.

Напомним теперь, что вследствие равномерности спектра белого шума во всем час-

тотном диапазоне его автокорреляционная функция – autocorrelation function (статистиче-

ское среднее произведения двух различных временных отсчетов) есть дельта–функция

Дирака:

)()2/()()(

ttNtntn







Другими словами, любые два отсчета белого шума, не совпадающие во времени, являются

некоррелированными. Используя последний результат в выражении для дисперсии, а так-

же фильтрующее (sifting) свойство дельта–функции















tstdttts

)()()(

приходим к выражению

)(

dtts





, (2.15)

где

– энергия сигнала

)(ts

Как следует из (2.10) и (2.7), в рассматриваемой ситуации в (2.15) следует подста-

вить

)()()(

tststs 

, т.е.

представляет собой энергию

разностного сигнала

)()(

tsts 

. Учет последнего дает

10011010

2),()]()([ EEEEddttstsE





. (2.16)

Принимая во внимание геометрическую интерпретацию коэффициента корреляции и

энергии, последнее соотношение представляет собой теорему косинусов из школьной ма-

тематики.

Окончательно, подстановка (2.13), (2.15) и (2.16) в (2.12) дает















),(

. (2.17)

Поскольку задача нахождения вероятности ошибочного приема симметрична, то

аналогичный результат будет получен и для вероятности перепутывания

)(

Учитывая последнее, полная (безусловная) вероятность ошибочного прием

не зависит

а приори от вероятности

поступления в канал сигнала

)(

и устанавливается соотно-

шением















1001

),(

)1(

QpwwpP

. (2.18)

Из (2.18) очевидным образом вытекает, что единственным путем достижения высо-

кой достоверности передачи данных является увеличение расстояния

),(

ssd

между

сигналами до максимально возможного значения. Ясно, что увеличение

),(

ssd

может

быть достигнуто за счет большей энергии сигналов, или длины соответствующих векто-

ров, как это демонстрирует соотношение (2.16). Однако какова будет оптимальная пара

сигналов, если ресурс прямого решения лимитирован, т.е. энергия сигналов ограничена

заранее? Рассмотрим первоначально типичный случай сигналов равных энергий

EEE 

, когда интенсивность сигналов не используется как индикатор передаваемого

сообщения. Тогда правило принятия решения (2.10) сводится к сравнению значений кор-

реляций

или, что эквивалентно, определению знака их разности

zzz







Очевидно, что для максимизации расстояния между двумя векторами фиксирован-

ной длины следует выбирать их противоположными (antipodal), как это показано на