Ильичев В.Г. Устойчивость, адаптация и управление в экологических системах
Подождите немного. Документ загружается.
208
анализе оптимизационной задачи (2.2) возможны три варианта:
1) при устанавливаем
()
1' >xB
(
)
0'
<
Φ
u , то есть
Φ
строго убывает. Значит,
максимум в (2.2) достигается при
0
=
u . Иными словами, при
N
x
< получаем
;
()
0=xu
2) при
(
)
1' =xB (т.е.
N
x
=
) получаем
(
)
00'
=
Φ
и . Аналогично
предыдущему случаю устанавливаем, что максимум в (2.2) достигается при
()
0' <Φ u
0
=
u .
Значит, и при
N
x
=
получаем
(
)
0
=
xu ;
3) при
(
)
1' <xB находим
(
)
00' >
Φ
и
(
)
(
)(
xBxpx '''
)
−
=
Φ
. В силу свойства
П.1, . Поэтому максимум в (2.2) достигается внутри , и, значит,
выполняется соотношение оптимальности (2.1).
()
0' <Φ x
[
x,0
]
В целом получаем: локальное управление в (2.2) совпадает с глобальным
оптимальным управлением в (1.1)+(1.3).
Идея доказательства утверждения 2.6. Напомним обозначение -
“выпрямление” . Поскольку точка
G
F
*
x
b
≤
, то
(
)
(
)
bGbF
=
и
()
β
/1' =bG
. В силу
предложения 1.1 достаточно установить:
(
)
bG - глобально устойчивое равновесие
модели (1.4) в .
+
R
Согласно утверждению 2. 3 функция
(
)
[
]
xux
−
возрастает, поэтому и
функция
() ()
[
]
xuxGx −=
γ
возрастает. Кроме того,
(
)
(
)
000 =
=
F
γ
и
()
(
)
10'0' >
=
F
γ
;
при всех
x
функция
()
x
γ
ограничена сверху константой
(
)
*
xF . Следовательно,
график
γ
пересекает биссектрису в одной или нескольких положительных точках
(набор равновесий). Геометрически очевидно: если равновесие единственно, то оно
будет глобально устойчивым в (см. рис. 7. 4).
+
R
209
Рис. 7. 4. К доказательству утверждения 2.6 Пояснения в тексте.
Поскольку равновесие существует, то осталось показать только его
единственность. В каждой такой равновесной точке ( ) выполняется равенство
0
x
(
)
000
uxGx
−
=
,
где . Это означает: - стационарная последовательность управлений
(т.е. для всех
(
00
xuu =
)
0
u
0
uu
t
=
t
) допустима и является оптимальной для точки .
0
x
В этой связи, обсудим общие свойства допустимых стационарных
управлений. Пусть , тогда в точке определена стационарная
последовательность управлений
yyG >)( )( yG
yyGy
−
=
Δ
)()(
. При этом точка под
действием управления и оператора воспроизводства переходит в себя. Выведем
необходимые условия оптимальности такого управления. Для этого сравним две
стратегии управления с началом в точке .
)(yG
)(yG
В первой - используем стационарную последовательность , и тогда
согласно (1.3) доход равен
)( yΔ=Δ
)1/()(
β
−
Δ
p
. (П. 15)
Во второй стратегии изменим первое управление на
}{
t
v
ε
, т. е.
ε
+
Δ
=
0
v .
Тогда (после вылова и воспроизводства) численность популяции станет равной
)(
ε
−yG
. Последующие управления возьмем стационарными для данной точки, т.е.
210
для всех положим
1≥t
)()()(
ε
ε
ε
ε
oKyyGv
t
+
−
Δ
=
−
−
−
= , где . В этом
случае доход равен
1)(
/
−= yGK
)()1/()()(
ε
β
ε
β
ε
oKpp
+
−
−
Δ
+
+
Δ
. (П.16)
Теперь если первая стратегия оптимальна, то при любом знаке
ε
величина
(П.15) больше или равна (П.16). Формально, имеем (с точностью до
)(
ε
o
)
)1/()(
β
−
Δ
p
-
0)1/()()( ≥−
−
Δ
−
+
Δ
β
ε
β
ε
Kpp
.
Отсюда стандартным образом получаем
β
β
/)1(
−
=
K
или . Последнее
уравнение имеет единственное решение, значит однозначно определяется и
обсуждаемое равновесие.
β
/1)(
/
=yG
Идея доказательства утверждения 3.3. Пусть и - суммы из
(1.2), являющиеся функциями Беллмана при сборе урожая на участке для
функций полезности
)(xA
T
)(xB
T
].0[ T
p
и , соответственно. Используя предыдущие схемы
рассуждений, устанавливаем: и - непрерывно дифференцируемые
функции для всех
T и ; они возрастают и вогнуты; и ;
q
)(xA
T
)(xB
T
0>x
1)0(
/
>
T
A 1)0(
/
>
T
B
и (П. 17)
)()(
//
upxA
T
= )()(
//
wqxB
T
=
для положительных оптимальных выловов в точке
x
, соответсвенно.
Свойство П. 2. для всех и всех
T . )()(
//
xBxA
TT
<
0>x
Обоснование свойства П. 2. Применим индукцию по . Так , при T
0
=
T
имеем и . В силу допущения о функциях полезности, сразу
получаем для всех .
)()(
0
xpxA = )()(
0
xqxB =
)()(
/
0
/
0
xBxA <
0>x
Предположим, что для всех . Рассмотрим случай
)()(
//
xBxA
TT
<
0>x
1
+
T .
Найдем условия достижения максимума, например, выражения
)]([)()( vFAvxpvH
T
β
+
−
=
при
xv
≤
≤
0
.
Здесь для удобства выбрали переменную
u
x
v
−
=
. Очевидно, для оптимального
левое соотношение (П.17) переписывается в форме
xv <
*
)()(
*//
vxpxA
T
−= .
Функция - строго вогнутая и дифференцируемая. Поэтому при каждом
фиксированном производная
)(vH
0>x
. (П. 18)
)]([)()()(
////
vFAvFvxpvH
T
β
+−−=
211
убывает. На концах допустимого промежутка
],0[ xI
=
имеем
0]0[)0()()0(
////
>+−=
T
AFxpH
β
и . )]([)(1)(
///
xFAxFxH
T
β
+−=
Если , то исходная функция
0)(
/
≥xH
H
возрастает на
I
всюду. Значит,
максимум данной функции достигается при
x
v
=
.
А когда , тогда максимум
0)(
/
<xH
H
реализуется во внутренней точке
I
.
Полезна следующая геометрическая интерпретация исследования
максимума
H
. Рассмотрим по отдельности две функции (см. рис. 7.5)
и . (П.19)
)(
/
vxp − )]([)(
//
vFAvF
T
β
При изменении от до
v 0
x
левая функция возрастает от до . Точка
, принадлежащая графику левой функции, является универсальной,
поскольку не зависит от вида функции полезности. А правая функция убывает от
до . Аналогично, универсальная точка
принадлежит графикам всех правых функций.
)(
/
xp 1)0(
/
=p
>< 1,x
1)0(
/
>F
β
)]([)(
///
xFAxF
T
β
>< )0(,0
/
F
β
Рис. 7.5. Взаимное расположение графиков функций:
(П.19) – сплошная линяя и (П. 20) – пунктир.
Очевидно, график правой функции всегда лежит выше или пересекается с
графиком левой функции внутри
I
. В первом случае (=при малых
x
) оптимальное
равно
*
v
x
и . Во втором – оптимальное является абсциссой точки 1)(
/
1
≥
+
xA
T
*
v
212
пересечения графиков данных функций, а ордината пересечения равна .
Здесь имеет место .
)(
/
1
xA
T +
1)()(
*//
1
<−=
+
vxpxA
T
Теперь рассмотрим графики двух функций
и . (П. 20)
)(
/
vxq − )]([)(
//
vFBvF
T
β
В силу условия и допущения , графики функций (П. 20)
располагаются (см. рис. 7. 5) выше соответствующих графиков функций (П. 19).
//
pq >
//
TT
AB >
Обсудим все варианты взаимного расположения этих кривых.
1. Пусть графики (П. 19) пересекаются в точке
A
A , а графики (П. 20)
пересекаются -
B
B
. Так как точка
B
B
расположена выше
A
A
, то . )()(
/
1
/
1
xBxA
TT ++
<
2. Пусть графики (П. 19) пересекаются, а графики (П. 20) не пересекаются.
Тогда имеет место .
)(1)(
/
1
/
1
xBxA
TT ++
≤<
3. Пусть графики (П. 19) не пересекаются, а графики (П. 20) пересекаются.
Такой случай, легко видеть, невозможен.
4. Пусть графики (П. 19) не пересекаются, и графики (П. 20) не
пересекаются. В этом случае
x
- мало и оптимальный вылов равен нулю. Поэтому
используя переходные соотношения и ,
получаем равенства:
)]([)(
1
xFAxA
TT
=
+
)]([)(
1
xFBxB
TT
=
+
)]([)()(
'//
1
xFAxFxA
TT
β
=
+
и . )]([)()(
'//
1
xFBxFxB
TT
β
=
+
Если теперь графики функций (П. 20) с аргументом пересекаются, то
обязательно реализуется вариант 1 или 2, и тогда .
)(xF
)()(
/
1
/
1
xBxA
TT ++
<
А если они не пересекаются, то применим предыдущий прием – переход к
аргументу и т.д.. Свойство П.2. доказано.
))(( xFF
Согласно доказательству утверждению 1.1, последовательность непрерывно
дифференцируемых функций сходится равномерно к некоторой непрерывно
дифференцируемой функции
}{
T
A
A
. Из вогнутости
A
и всех следует важное
T
A
Свойство П.3. при
)()(
//
xAxA
T
→
∞
→T
для всякой точки .
0>x
Идея обоснования свойства П.3. Возьмем произвольную точку . Пусть
сначала для всех . Предположим противное: в точке нет
требуемой сходимости производных. Тогда найдется “плохая” последовательность
0
0
>x
)()(
00
xAxA
T
= T
0
x
213
номеров , что сходится к некоторому числу . Здесь
возможны следующие варианты:
}{T )}({
0
/
xA
T
)(
0
/
xA≠
α
1. . Значит (см. рис. 7.6a), существует малый “правый”
промежуток
)(
0
/
xA<
α
],[
00
ε
+= xxI , на котором предельная кривая заключена между
собственной касательной и лучом :
)(xA
)(K )(L
))(()(
00
xxxA
−
++
δ
α
, где малое
0>
δ
и .
)(
0
/
xA<+
δα
Рис. 7. 6. К доказательству свойства П.3. Пояснения в тексте.
С другой стороны, для достаточно больших “плохих” номеров в
промежутке
T
I
все вогнутые кривые лежат под своей касательной и, тем
более, под лучом
)(xA
T
L
. Этот луч разделяет и семейство , но тогда не
будет сходимости этих функций, например, в точке
)(xA
)}({ xA
T
ε
+
0
x . Противоречие.
2. . Построим луч на рис. 7.6b:
)(
0
/
xA>
α
)(L
)(
~
)(
00
xxxA
−
+
α
при специальном выборе
α
~
.
Так, при конечном
α
положим
δ
α
α
−
=
~
при малом
0>
δ
, а для
∞=
α
положим
. Очевидно, .
)(2
~
0
/
xA=
α
)(
~
0
/
xA>
α
Аналогично, найдется малый “левый” промежуток
],[
00
xxI
ε
−
=
, на котором
вогнутые кривые при всех больших “плохих”
T лежат под данным лучом
)(xA
T
L
. Этот луч разделяет и семейство , но тогда нет сходимости этих
функций в точке
)(xA
)}({ xA
T
ε
−
0
x . Противоречие.
214
Последнее. Для исходных функций допущение при всех не
ограничивает общности рассуждения. Действительно, в противном случаем
рассмотрим вспомогательную последовательность непрерывно –
дифференцируемых функций
)()(
00
xAxA
T
= T
)()()()(
00
xAxAxAxH
TTT
+
−
=
,
а также положим . Для новых функций выполняются “хорошие”
свойства. Так, для всех
)()( xAxH =
)()(
00
xHxH
T
=
T
, и семейство равномерно
сходится к . Значит, сходится к . Отсюда получаем требуемую
сходимость производных исходных функций. Свойство П. 3. доказано.
)}({ xH
T
)(xH
)}({
/
xH
T
)(
/
xH
Аналогично, заключаем для всех .
)()(
//
xBxB
T
→
0>x
В силу свойства П.2, имеет место для всех . С учетом
свойства П. 3 получаем . Осталось ”дожать” это нестрогое
неравенство до строго. Опять-таки, рассмотрим две пары графиков
)()(
//
xBxA
TT
< T
)()(
//
xBxA ≤
)(
/
vxp − и - первая пара, )]([)(
//
vFAvF
β
и - вторая пара.
)(
/
vxq − )]([)(
//
vFBvF
β
Поскольку и , то точка пересечения кривых первой пары
располагается строго выше точки пересечения кривых второй пары. Поэтому
имеет место .
//
qp < )()(
//
xBxA ≤
)()(
//
xBxA <
215
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Устойчивые сообщества возникают, когда непосредственное
взаимодействие популяций (=прямые связи) согласовано с процессами деструкции
органических веществ (= обратные связи). Заманчиво предположить, что ускорение
круговорота веществ способствует стабилизации биоценозов. Во многом это верно
для одноконтурных систем (=систем с одной обратной связью). А для
стабилизации многоконтурных систем (= систем со множеством обратных связей)
решающее значение имеет разнообразие потоков веществ.
2. Другим механизмом стабилизации является переход биологических
особей в пассивное состояние при наступлении неблагоприятных условий среды.
Отметим, что в экономических системах взаимодействие ”пассивное состояние –
активное состояние” равносильно складированию определенной части
производимого товара с последующим включением его в оборот. Такая схема
обмена может действовать постоянно (т. е. независимо от условий среды).
Оказалось, что колебательная динамика взаимодействующих объектов
(биологических или экономических) в постоянной среде может быть
стабилизирована с помощью данного процесса. В переменной среде
деформируется характер микроэволюционных явлений, и поэтому здесь может
возникать циклический процесс “погони - убегания” в пространстве параметров
системы ”хищник - жертва”.
3. Для установления принципиальной возможности реализации тех или иных
явлений в динамике популяций в переменной среде предложены специальные
модели (D – системы), в которых в качестве скоростей роста популяций
использованы периодические дельта - функции. На примере модельной схемы
Контуа было построено соответствующее отображение Пуанкаре, с помощью
которого был обнаружен ряд “парадоксальных” явлений в динамике конкурентов.
На основе теории D-систем показано, что среде множество эволюционно-
устойчивых параметров в периодической среде является массивным (=может
включать в себя целые области).
216
Найденные здесь формулировки критериев отбора оказались справедливы и
для широкого класса моделей конкуренции с гладкими скоростями роста.
4. Для анализа произвольных неавтономных моделей разработан общий
принцип наследования глобальным сдвиг - отображением Пуанкаре ряда
локальных свойств. А именно, если некоторое локальное свойство является
грубым, универсальным и полугрупповым, то этим свойством обладает и
глобальное сдвиг-отображение. В частности, для неавтономных моделей
конкуренции определены ключевые наследуемые свойства. Здесь получены
признаки конкурентного отбора, основанные на концепции универсальной
константы запаса.
Установлена и обоснована взаимосвязь между критическими значениями
температурной кривой водоема и эволюционно-устойчивыми параметрами -
благоприятными температурами развития водорослей.
5. На основе полученных критериев отбора построены биологически
корректные механизмы адаптации параметров популяций, которые по сравнению с
традиционными эколого – эволюционными моделями содержат небольшое число
переменных, и поэтому обладают высоким быстродействием.
Описаны модели нижних трофических уровней Азовского моря и
Цимлянского водохранилища, в которые включены механизмы адаптации
водорослей к содержанию азота и фосфора в среде. С помощью компьютерных
экспериментов построены асимптотики состояния Азовского моря при деформации
объема и химического состава речного стока. Обнаружено, что сокращение объема
речного стока автоматически вызывает повышение азота и уменьшение фосфора в
Азовских водах. Предложено обоснование этого явления как результата
определенного взаимодействия гидрологических и биологических процессов.
На основе модели Цимлянского водохранилища, проведено исследование
действия возможного изменения климата с учетом микроэволюции водорослей к
температуре и содержанию биогенных веществ в среде. Установлено, что в ряде
допустимых сценариев потепления климата в результате процессов
микроэволюции холодолюбивых водорослей может произойти ограничение роста
теплолюбивых водорослей.
217
6. Предложен эффективный способ назначения цен на природные ресурсы.
При таком подходе проблема многолетней оптимизации сводится к задаче
однолетней оптимизации. А если имеется несколько природопользователей, то
соответствующая цена заставляет их придерживаться общей кооперативной
стратегии.