Ильичев В.Г. Устойчивость, адаптация и управление в экологических системах
Подождите немного. Документ загружается.
108
Утверждение 4. При условии запаса для
2>n
изоклина
1
J
лежит выше
всех остальных изоклин.
8.
вии лежит
ных. В таком случае первая популяция вытесняет остальных.
З то
1
E
Значит, и в исходной системе (4.1) при усло запаса изоклина
выше осталь
амечательно, ч константа запаса
(
)
Texp
является иверсальной, посколь у
годится дл любого
n
. Данный результат инициирован утверждени
теории D - систем.
Обсуждение.
ун к
я ем 3.4 из
1. Одним из популярных способ в построения мультипликативной о
полугруппы
nn ×
матриц является следущий. Пусть
W
- непустая область внутри
n
R
. Тогда семейство матриц, преобразующих
W
в себя, является полугруппой. Про
такие полугруппы будем говорить, что они допускают геометрическое
предст тв
для семейства марковских
матри (Беллман, 1 ется сякая ли
допускает геометрическое представление? Нет, полугруппа
вырожденных
матриц скает представлени ).
наследования
нулям азу ясно, ч
+
являются насле
типл ивную полугруппу матриц вида Y
(см. ниже) которая уже наследует
⎜
⎜
+
+−=
00
N
+00
возрастают и вогнуты, то и
обладает
4. широком помогает
авление. Так, семейс о матриц одной и той же знак-инвариантной
структуры оставляют на месте некоторый ортант. А
ц 976) инвариантным оказыва тетраэдр. В
полугруппа
не допу геометрического я (Ильичев, 2002в
2. Естественное развитие принципа связано с его возможными
обобщениями. Например, когда некоторые элементы матрицы
DL
являются
и. Ср то некоторые полугрупповые структуры вида
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
0
или
⎟
⎟
⎠
⎞
+
⎜
⎜
⎝
⎛
0
дуемыми. А структура
DL типа N (см. ниже) напрямую не
наследуется, но она порождает муль
+
++ −
икат
ся
DP
.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−+ 0
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
−−+
=Y
⎟
⎠
⎞
3. Другое направление – это наследование вторых (частных) производных.
Так, в одномерном случае, если все
DL
- монотонно
DP этими свойствами.
Биологическая идея наследуемости (в смысле) решать
109
разнообразные математические проблемы. Так, одной из нау популяв чно- рной книг
по тео и
в
им
Решение
отличаться от реальных). Как обычно, считаем, что дети наследуют фамилию отца.
человечества новые фамилии не появляются, а некоторые
исчезают
, например, фамилия МММ. Тогда у ныне живущего
мужчины всех один мальчик
4.2. Для упрощен о
рии множеств В. Серпинского сформул рована
Задача. Предположим, что человечество будет существо ать вечно.
Тогда в настоящее время существует мужчина, у которого в каждом поколении
еется мальчик (сын, внук и т.д.).
. Присвоим (сегодня) все людям разные фамилии (они могут
В процессе развития
. Если популяция людей не вымирает, то и некоторый набор фамилий
будет существовать вечно
МММ во поколениях будет хотя бы .
4.5. Приложение. Обоснование основных результатов
2
Доказательство леммы ия выклад к положим
=
n
в главе 2 будем называть функцию
. Как и
)(t
i
α
в выражении )}(),...,(max{)(
1
ttt
m
α
α
β
=
ключевым аргументом в момент
t
, если )()( tt
i
α
β
=
. Разумеется, в момент
t
может быть сра сколько лючевых аргументов
окажем, что при
0>
зу не к .
П
L
каждый ключевой аргумент L строго убывает на
траекториях (1. ующие
x
1). Рассмотрим след варианты:
1)
1
rL
(
)
2
*
111
xkSrxr −≥−
следует
(
)
2
*
1
xkSx ≤
. Из . Поэтому точка
X
−
=
1
, а значит, лежит ниже изоклины . Следовательно,
1
E
находится под (или на)
I
имеет место 0
1
>dtdx . Отсюда п лучаем неравенство о 0
1
−= dtdxdtdL ;
2)
11
rx − . Значит
11
rx > , и поэтому точка
<
=L
X
леж изоклины
. C получаем
ит выше
ледовательно,
1
E 0
1
<
=
dtdxdtdL ;
3)
(
)
(
)
(
)
2
*
1
xkSrL −=
. Из
1121
*
xrxkSr −≥−
следует
21
*
xkSx ≥
. Поэтому
точка лежит выше , и ,значит, выше изоклины . Поэтому
X
1 2
E E
0
<
/
2
dtdx .
Отсюда с учетом строго убывания получаем
S
0
<
dtdL
.
Последнее. Поскольку все ключевые аргументы строго убывают, то строго
и нкция
убывает сама фу
L .
Доказательство леммы 4.3. Пусть сначала
2
=
n
. Зафиксируем и
рассмотрим одноместную вспомогательную функцию
21
, xx
110
(
)
),(
1
yxyxfyH
i
−
2
+
=
.
Указанная функция определена для всех y из отрезка
[
]
21
, xx
−
. Самое главное, из
свойства (1.3) вытекает
(
)
0
=
dyydH . Поэтому
H
– констан частности,
( )
2
xH= . Следова
та, и, в
0H тельно, имеет место
()
(
)
)0,(,
2121 ii
xxfxxf
=
+
.
Значит
()
(
)
0,zfzg
ii
= – требуемая функци
я произво утверждение устанавливается индукцией по –
ичес в в ф
азательство утве м сущес е и
единственность равновесия. Положим
я.
Дл льного данное
n
n
кол тву аргументо ункции
i
f .
Док рждения 4.2. Сначала покаже твовани
xxS
+
+
=
...
n1
должны выполняться соотношения )(/ Sgx
iii
, тогда в равновесной точке
μ
−
=
для всех
i
. Условие
положительности компонент равновесия может реализоваться ли при
1
cS >
.
Поэтому необходимое требование для существования равно сия - это
разрешимость уравнения
ш
ве
1
ь
)(/...)(
1
SgSgS
nn
/
μ
μ
−
−
−
=
при
1
cS >
. Очевидно, данное условие является и достаточным. В данном
урав
я к бесконечности при Поэтому
графи в
нении слева стоит монотонно возрастающая функция
S
. А справа - монотонно
убывающая функция
S
, которая стремитс
1
cS →
.
ки этих непрерывных функций пересекаются единственной точке.
.
Докажем глобальную устойчивость. Условие
0>
i
x
&
эквивалентно
неравенству
. Для каждого определим новую нкцию , где
к
0>z
фу
)()(
1
zfzh
ii
−=
−
iii
xSg /)(
μ
−>
1−
i
f
является обратной
i
f . Очевидно,
i
h - монотонно возрастающая
дифференцируемая функция, а неравенство
0>
i
x
&
равносильно соотношению
)/(
iii
xhS
μ
< . Далее, зададим следующую кусочно-дифференцируемую функцию
n
x )}./(),...,/,...max{
1111 nnn
hxhxxL (
μ
μ
+
+
=
Отметим, что в равновесной точке и только в ней все перечисленные в операции
у
траект
max функции равны между собой. Самое главное, установим, что L бывает на
ориях (1.6), выходящих не из равновесной точки.
111
Сначала ассмотрим точки фазового пространства, в которых L
дифференцируема. Здесь возможны то
р
лько два случая:
1)
n
xxL ++= ...
1
. Тогда имеет место )/(
iii
xhS
μ
> и, значит, для всех i.
Поэтому ;
0<
i
x
&
0<L
&
2)
)/(
iii
xhL
μ
= для некоторого i. Из )/(
iii
xhS
μ
<
находим 0>
i
x
&
и
0<L
&
.
Теперь рассмотрим точки фазового пространства, в которых L
недифференцируема. Здесь происходит совпадение некоторых (но не всех)
функц дваий, встречающихся в операции max. Возможны следующие варианта:
3)
)/(
iii
xhL
μ
= для некоторых индексов из набора I. Тогда 0>
i
x
&
и, значит,
0/)]/([ <dtxhd
iii
μ
для для всех i из I. Поэтому
L
как верхняя огибающая строго
убыва жеющих функций, то убывает;
4)
)/(...
1 iiin
xhxxL
μ
=++= для некоторых индексов из н ора Поэтому
имеем
0=
i
x
&
для
i
из
аб I.
I
и
0
<
j
x
&
для остальных
j
. Значит, в "следующее
мгновение" величина
)...(
1 n
xx ++ уменьшается и становится меньше )/(h
iii
x
μ
для
всех i из I. Возникает ситация из предыдущего случая, следовательно, и здесь L
убывает.
Последнее. Используя процедуру ”проталкивания предельной точки”,
лобальную усто ч
льную т
устанавливаем г й ивость равновесия.
Доказательство предложения 4.1. Возьмем произво очку
0
X
и
пусть
N
– траектория "длины
T
", выходящая из данной точки. Из равномерной
локальной универсальности следует
(
)
(
)
0,, >
+
httXD
π
ρ
для всех h из
()
Δ
,0
и всех
()
tX , из
N
.
Выберем натуральное из условия
n
Δ
<
nT , и разобъе траекторию
N
м на
ени
n
равных временных участков. Как было сказано выше, на каждом
i
-м участке
соответствующее локальное отображ е
i
π
обладает свойством
ρ
. Поскольку
n
DDDP
π
π
××= K
1
и
ρ
– полугрупповое свойство, то и
DP
обладает свойством
ρ
на
N
. Последнее. Так как
0
X
произвольно, то
DP
обладает свойством
ρ
во
фазовом пространстве системы (2.1).
Доказательство утверждения 4.3. Обозначим через произвольный кусок
всем
N
траектории длины
T
.
112
1. Cначала покажем "равномерность" для
D
L
. Так из локальной
универсальности след ет, что у
(
)
0,, >
+
htxhba для всех
()
txh ,0 δ<< . В силу
грубости
ρ
, зде выполсь должен мере щих двух
вариан
няться, по крайней один, из следую
тов:
а)
0>a
. Обозначим через
(
)
[
]
htXbB ,,min
=
по ем
()
htX ,, из компакта
[]
1,0×N . Тогда при 0>h имеет место нерав нство
вс
е
(
)
hBahtXhba
+
≥
+
,, .
При , то положим
()
Ba−
=
Δ
,1min
0≥
B
. А если
0
<
B
положим 1=Δ . Ясно, что
при всех
h из
(
)
Δ,0 и при всех
NtX
∈
),(
правая часть данного неравенства
а. положительн
для всехб)
0=a
и
()
00,, >tXb
(
)
tX , из
N
. Воспользуемся Адамаровским
представлением
()
(
)
(
)
thctXbhtX ,0,,,, hXb ,
+
=
,
ункция. Пусть где – гладкая ф
()
htXc ,,
β
– минимальное значение функции
,,tXb
()
0 при
()
tX , из
N
. Тогда
0>
β
. Также положим
γ
– минимальное значение
()
htXc ,, по всем
()
tX , из
N
и 10
≤
≤
h . Для так неравенство их выполняется h
(
)
htXb ,,
γ
+
β
≥ h .
Очевидно, при
0≥γ
имеет место
(
)
, >htXb равномер о для сех 1 н в0,
≤
h . А при
0<γ
справедливо неравенство
(
)
0,, >htXb равномерно для всех
γ
β−≤h .
2. Теперь покажем "равномерность" для
π
D
. Считаем, что Δ – равномерная
оценка для
h
D
L . Построим "более спомогат ную функцию длинную" в ель
(представление Адамара до членов третьей степени
h )
()
(
)()
(
)
(
)
htXchthbahttX ,,0,,,,
2
++=+
π
.
Поско
XDh =
ρϕ
льку
πD
совпадает с
D
L c точностью до
2
h
, то в этом вле ии
a
и b
имеют прежний смысл, а новая функци
c
– гладкая по всем переменным.
Обозначим через
*
b
и
*
c
– минимальные значения функций
()
0,,tX и
предста н
я
b
(
)
htXc ,, ,
когда
()
tX , из компакта
N
и
Δ
≤
≤
h .
Рассмотрим возможные здесь варианты:
02/)( >> ah
0
а) . Тогда, очевидно, найдется число , при котором
0>a
Δ<
*
δ
ϕ
113
для всех
0 < h
и
*
δ<
всех
NtX
∈
),(
.
б)
0
и
()
00,, >tXb для всех
(
)
tX , из
N
. Разумеется, здесь
0
*
>b
. Значит
*
=a
(
)
0>ϕ cb
. Поэтому
*****
δ+δ=
()
0>h
найдется
>δ
, при котором
0
ϕ
равномерно
для всех
0
δ
<< h
и всех
NtX
*
∈
),(
.
Доказательство
0
X
и пусть
N
леммы 4.4. Возьмем произвольную точку –
траектория "длины
T
", выходящая из данной точки. В силу условия и утверждения
4.3. каждое равномерно локально универсальным для
πD
. Пусть
i
ρ
является
i
δ
–
соответству ха ика . Положим
{
}
n
δ
δ
δ
ющая рактерист равномерности
i
ρ
,,min
1
K .
Такое
=
δ
обеспечивает у локальную у
{}
равномерн ю ниверсальность свойства
n
ρ
ρ
ρ
,,min K= для
πD
на
N
.
1
Далее, согласно условию
ρ
– полугрупповое свойство. Тогда с учетом
предложен данное свойство наследует и ия 4.1
D
P .
Последнее. Так как
0
X
про ольная точка, т изв о
DP
обладает свойством
ρ
во
всем ф темы (2.1).
Д
ием
A
т м ”диагональное представление”
азовом пространстве сис
Идея доказательства предложения 4.2.
ля обоснования достаточно
ограничиться возведен в квадрат специальных матриц. Обозначим
)
2
ij
bB ==
и рассмо ри
(
∑
=
=
n
aab
.
k
kk
1
1111
Всякое слагаемое можно трактовать как вес цикла . Поэтому
написанное выше равенство геометрически означает: вес равен сумме весов
таких циклов, проходящих через 1-вершину.
Для заданной знак -инвариантной структуры
11 kk
aa
11 →→ k
11
b
всех
выберем следующие
Σ
варианты матриц
A
.
1. Пусть элемент
11
a
велик, а ост элементы малы. Тогда
2
1111
ab ≈
.
Поэтому
0
11
>b
. Обобщая это рассуждение, получаем, что диагональ
альные
Σ
положительна.
2. Пусть
12
a
и
21
a
велики, а остальные элементы малы. Тогда
211211
aab
≈
.
у
Из
0
11
>b
след ет, что
12
a
и
21
a
имеют одинаковые знаки. После обобщения
114
получаем, знаковая структура
Σ
симметрична.
Рассмотрим теперь “ е пр ставление” не гонально еддиа
∑
=
=
n
k
ab
1
12 kk
a
21
.
вершины 1 и 2 дружат). Тогда (большие) и
имеют одинаковый знак. Иными словами, если вершины дружат, то у них
др
4. Если ве ), то (б и ) и имеют
против вершины – враги узей и
о , это п в д
Обозначим че ин, которые дружат с вершиной 1, а через
- н ить, что и о уют
двухпа
3. Предположим, что
0
12
>b
(
k
a
1
2k
a две
общие узья и общие враги.
ршины 1 и 2 - враги ольш е
0
12
<b
(
k
a
1
2k
a
оположные знаки. Поэтому имеют разных др
разных врагов. П сути о торение преды ущей закономерности.
рез
1
M
- набор верш
абор “врагов” вершины 1. Теперь легко провер браз
1
M
2
M
2
M
ртийную структуру.
Доказательство леммы 4.5. Произведем в (3.4) монотонную замену
(
)
ji
zy exp=
для всех
j
. Тогда получаем:
(
)
tzzfz
nii
−
−
= ),exp(,),
1
K , (П.
1)
где . Через обозначим сдвиг-отображение за период
exp(
&
ni ,,1 K=
()
n
RRR ,,
1
K=
T
,
цированное с диф
(
)
инду истемой (П. 1). Рассмотрим ференциал
ij
D =
локал
отображения данной системы. Его наковая структура состоит из одних плюсо
d
ьного
з в, а
льшие единицы. Данное свойство
()
ρ
на диагонали "сидят" элементы, бо выразимо
в форме
()
(
)
0,,1,,1min
1,1211
>,
−
−
=
−nnnn
ddddD KK
ρ
.
Каждый из аргументов операции
m
является м и локально универсальным
свойством. Далее, такие матрицы
in
грубы
(
)
D
о
ального отображения обладает тем же
свойст учае
бразуют полугруппу по умножению.
Согласно лемме 4.4. дифференциал глоб
R
вом. Следовательно, пол м
1>∂∂
ii
zR и
0>
∂
∂
ji
zR
ля всех д
j
и
i
2)
(П.
Из правого неравенства (П. 2.) следует
j
i,
0>
∂
∂
ji
yQ
для всех .
Обоснование первого неравенства данной леммы проведем на примере
1
=
i
.
115
Отметим,
()
что
(
)
[
]
nn
yyRyyQ ln,,lnexp,,
1111
KK
=
, а на
1
J имеем
()
[]
111
ln,,lnexp yyR
n
=K . Поэт му с учетом евого неравенства (П.2) легко
устанавливаем
y о л
1
11
>∂∂ yQ
.
Идея доказательства утверждения 4.7.
Сначала покажем, что изоклины не
пересекаются. Предположим противное: и пересекаются. Тогда в
системе
1
E
2
E кривые
(
)
(
)()
txtx
21
, . (4.1) существует положительное
T
-периодическое решение
Пусть – максимальное
i
m и
i
минимальное и значения периодической функции
()
tx
i
. Из
ii
xx −≥
&
следует
M
(
)
TmM
i
i
exp
≤
.
Обозначим и
21
mmm +=
21
MMM
+
=
. Из предыдущего неравенства сразу
вытекает
()
TmM exp≤
.
алее, из
()
(
)
mVxxV ≥+
21
Д получаем
(
)
(
)
[
]
mVtxdtdx
iii
β
+
−
≤
1 .
После интегрирования этого неравенства в промежутке находим
[]
T,0
()
[]
mVTTxx
ii
T
i
λ+−≤ exp
0
. С учетом следует
T
ii
xx =
0
()
i
vm λ
≤
.
Аналогично, из неравенства
(
)
(
)
MVxxV
≤
+
21
следует . Поэтому
точки и одновременно принадлежит отрезку . Значит
()
i
vM λ≥
()
i
v λ
()
2
λv
[]
Mm,
()()
mMvv ≤λλ
21
. Отсюда следует
(
)
(
)
(
)
Tvv exp
21
≤
λ
λ
. Но это противоречит
условию запаса.
Теперь установим ”очевидное“, что лежит выше . Предположим
противное: лежит выше . Рассмотрим – параметрическое семейство
моделей (4.1) при , в которых первое уравнение неизменно, а второе –
модифицировано:
1
E
2
E
2
E
1
E k
2=n
(
)
(
)
[]
SVtxx
111
1
β
+
−=
&
,
(
)()
[
]
SVtkxx
222
1
β
+
−
=
&
,
где и . В силу монотонного роста при любом таком и
подавно реализуется условие запаса
21
xxS += 10 ≤≤ k
v
k
(
)
(
)
(
)
Tkvv exp
21
λ
>
λ
.
При фиксированном числе построим изоклины и
k
()
kxE ,
11
(
)
kxE ,
22
. В
силу условия запаса, они не пересекаются в . Согласно теореме о непрерывной
зависимости решений от параметра формально имеем
2
+
R
(
)
kxxPx
i
T
i
,,
0
2
0
1
=
, где –
гладкая функция трех переменных. Поэтому – непрерывная (и даже гладкая)
i
P
i
E
116
функция двух переменных
(
i
x и
)
k
. В частности, при любой вариации k семейство
()
kxE ,
11
представляет собой пучок кривых, проходящих через одну и ту же точку
0,
1
r
. Зато кривая
()
kxE ,
22
исчезает при
0
≈
k
.
Пусть
(
)
kz
i
– площадь криволинейного треугольника, ограниченного
изоклиной
),( kxE
ii
и осями координат. Проследим за непрерывной функцией
() () ()
kzkzkd
21
−= при уменьшении параметра k от 1 до 0:
а) согласно допущению при
1
=
k изоклине
2
E лежит выше
1
E . Значит,
имеем
() ()
11
21
zz < , поэтому
(
)
01
<
d
;
б) при
0=k
изоклина
2
E “исчезает”, а изоклина
1
E остается. Значит, здесь
получаем
0)0(
1
>z
и
0)0(
2
=z
, поэтому
(
)
00 >d
.
Следовательно, при некотором промежуточном
*
k
имеем
(
)
0
*
=kd
. Тогда
кривые
1
E и
2
E пересекаются
в
2
+
R
. Противоречие.
Идея доказательства утверждения 4.8.
Tак как 0>
i
β
и
0>V
, то из (4. 3)
получаем
ii
yy ≤
&
для всех
i
. Для таких функций выполняется следующая
относительная оценка минимума
(
)
i
m и максимума
(
)
i
M на
[]
T,0 .`
Лемма П. 1. Если
T
ii
yy ≤
0
, то
(
)
TmM
ii
exp
≤
.
Обоснование леммы П. 1. Пусть значение
i
m достигается в точке
a
t
=
, a
значение
i
M – в точке bt = . Возможны два варианта расположения точек
a
и b на
отрезке
[]
T,0 :
1)
ba < . Поскольку
i
y растет не быстрее экспоненты, то
()
ii
Mabm ≥
−
exp .
Значит, и подавно
(
)
TmM
ii
exp≤ ;
2)
ab < . Аналогично, выполняются неравенства
()
ii
Mby ≥exp
0
и
()
T
ii
yaTm ≥−exp
. Значит,
(
)
(
)()
TabTyymM
T
iiii
expexp
0
≤−+≤
.
Лемма П. 1. доказана.
Теперь предположим противное: некоторые ("плохие") поверхности
i
J
пересекают или лежат выше
1
J в
n
R
+
. Определим в
n
R
+
область – "клин"
(
)
W
:
каждая точка
W
одновременно лежит выше всех
n
JJ ,,
2
K (рис. 4.4). Клин – всегда
непуст. При сделанном допущении клин пересекает (случай 1) или полностью
117
находится выше
1
J (случай 2) в
n
R
+
. Установим противоречивость каждого из этих
случаев.
1. Клин пересекает
1
J . Тогда в
n
R
+
существует
(
)
00
1
*
,,
n
yyY K=
– точка
пересечения
1
J с, например,
2
J , которая лежит выше всех остальных поверхностей
n
JJ ,,
3
K . Рассмотрим решение (4.5), выходящее из данной точки. Тогда имеем
TT
yyyy
1
0
21
0
1
, ==
и
T
ii
yy ≤
0
для всех
2>i
. Обозначим
n
mmm
+
+= K
1
и
n
MMM ++= K
1
. Из леммы П.1 сразу выводимо
()
TmM exp≤ . Сопоставим
следующие факты:
а) из
()()
mVyyV
n
≥+
+
...
1
получаем
(
)
(
)
[
]
mVtyy
iii
β
−
≥ 1
&
.
После интегрирования этого неравенства в промежутке
[]
T,0 находим
()
[]
mVTTyy
ii
T
i
λ
+−≥ exp
0
. С учетом
T
ii
yy =
0
следует
(
)
i
vm
λ
≤
для
2,1=i
.
Аналогично, из неравенства
(
)
(
)
MVyyV
n
≤
+
+
...
1
следует
(
)
i
vM
λ
≥ для
2,1=i
. Поэтому точки
()
i
v λ и
(
)
2
λ
v одновременно принадлежит отрезку
[
]
Mm, .
Значит,
()()
mMvv ≤=
21
λ
λ
ρ
. Отсюда следует
(
)
Texp
≤
ρ
;
б) из условия запаса данной теоремы получаем
(
)( ) ()
Tvv exp
21
>
=
λ
λ
ρ
.
Последние два неравенства для
ρ
противоречат друг другу.
2. Клин находится выше
1
J . К этом случаю также отнесем ситуации, когда
имеет место касание клина и
1
J
на границе
n
R
+
. Далее, рассмотрим k -
параметрическое семейство моделей
(
)
(
)
[
]
SVtydtdy
111
1
β
−
=
, (П. 3)
()
(
)
[]
() ( )
[
]
SVtkydtdySVtkydtdy
nnn
β−
=
β−= 1,...,1
222
,
где
n
yyS ++= K
1
и параметр k принадлежит
(
]
1,0 . Очевидно, при 1=k данная
система совпадает с (4.3). Так как
v
– монотонно возрастет, то при любом 1
<
k в
(П. 3) выполняется условие запаса
()
(
)
(
)
Tkvv
i
exp
1
λ
>λ для всех
1>i
.
Начнем последовательно уменьшать
k от 1 до
0
, тогда происходит непрерывная
деформация всех поверхностей
(
)
kJ
i
. Пусть
(
)
kW
– клин, построенный из
поверхностей
(
)()
kJkJ
n
,,
2
K . Разумеется, область
(
)
kW
меняется непрерывным