Ханнанов Н.К., Ханнанова Т.А., Ханнанов М.Н. ЕГЭ по математике, 2007 год
Подождите немного. Документ загружается.
ЧАСТЬ 1
При выполнении заданий А1 - Л10 в бланке ответов № 1 под
номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке,
номер которой соответствует номеру выбранного вами
ответа.
а
2
-9 а +
2у/3а~
+ 3
Найдите значение выражения т= : при а
—
28.
а-2у/3а+3 10
1) 12,4 2) 12,5 3) 12,8 4) 14
При решении задачи А1 необходимо проявить умение
выполнять тождественные преобразования иррациональных
выражений. Упрощая выражение, следует вначале обратить
внимание на возможные простые операции типа вынесения общего
множителя и применения формул сокращенного умножения, а
затем уже при необходимости применять и более сложные
тактические идеи.
В данном случае вряд ли следует сразу подставлять
значение а . Попытаемся упростить само заданное выражение.
Заметим, что результат деления дробей можно представить в виде
10-(я
2
-9)
-. 1—\/ г=т- Разность квадратов в знаменателе
((a + 3)-2V3a)((a + 3) + 2V3aj
(а
+
3)
2
-12а приводится к виду (а-3) и тогда все выражение
10-(я
+
3)
можно записать как -, которое при а = 28 равно 12,4. Это
а-3
позволяет установить правильный ответ № 1.
79
Вычислите
1)5
2) 5,5 3) 6
4) 8
При решении задачи А2 необходимо проводить операции с
выражениями, содержащими степени с рациональными
показателями. Надо уметь выполнять тождественные
преобразования и находить значение степеней.
Решая любую, даже самую простую задачу, будьте
внимательны. Не путайте порядок действий. В данном случае
операцию вычитание надо выполнить только после аккуратного
3
возведения в степень — каждого слагаемого.
2
Итак,
+
3
j) -а
правильным является
ответ
№
2.
Ф4т?-№*>-
=
5,5 . В итоге,
+ 3=,
Вычислите log
4
0,08 + 0,51og
2
200.
1) 1 2) 2 3) 3
4) 21og
2
5
Умение выполнять тождественные преобразования
логарифмических выражений проверяется при решении задачи A3.
Упрощая логарифмические выражения, мы должны, прежде
всего, знать определение логарифма и эквивалентное ему основное
логарифмическое тождество а
°
8а
х
= х . Выполняя тождественные
преобразования, в данном случае вспомним формулы:
—log
fl
x = log*x и \og
a
x
+
\og
a
y = log
a
(xy) . Кстати, если Вы
к
а
подобные преобразования выполняете при решении уравнений и
неравенств, то не забывайте об области определения логарифма, т.е.
об условиях: а>0, аФ\, х > 0, у>0.
Следовательно, log
4
0,08 + 0,5 log
2
200 = log
4
0,08 + log
4
200 =
= log
4
16 = 2 и правильным является ответ № 2.
80
Укажите график функции, изображен-
ной на рисунке.
1) у
=
\2х-\\
2
) Н*И
3) ^ = 2|х|-1 4) у
=
-2х
u-.-i—V-*
—
Ваше умение читать свойства функции по графику и
распознавать графики элементарных функций и свойства функций
проверяется при решении задачи А4.
Заметим, что построенный или исследуемый график функции
должен отражать характер поведение функции и показывать все ее
характерные точки.
В данном случае мы видим, что показанный нам график
функции, получен из известного графика функции У~\
х
\
растяжением в 2 раза вдоль оси ординат и сдвигом вниз одну
единицу. Это график № 3.
Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения
(
1 Л
функции у = lg -
х
г
-
3
.
функции y = lg ——
1)3 2)4
3)5
4) 6
Задача А5 связана с нахождением области определения
сложной функции. При этом Вам могут встретиться
тригонометрическая, показательная, логарифмическая функция и
корень четной степени.
Как найти область определения произвольной функции?
Можно поступить следующим образом. Представьте себе, что Вам
задам аргумент х и надо вычислить соответствующее значение
функции. Если написать условие выполнимости каждой операции
при вычислении функции, то мы и получим систему для
определения области определения.
Кроме того, в формировании сложной функции
последовательно участвуют несколько функций. В этой ситуации
мы,
прежде всего, смотрим на последнюю применяемую функцию.
81
Итак, в данном случае аргумент внешней логарифмической
функции должен быть положителен, и мы приходим к неравенству
7 7
г-Ъ>0 или 0<|x-l|<— , решением которого является
\х-Ц ' ' 3
множество —; 1 U 1; — , содержащее целые числа: - 1, 0, 2, 3.
Их сумма равна 4. Это ответ № 2.
Найдите множество значений функции у
=
log
3
(х
2
- 6х
+
361.
1)[3;
+ оо) 2) [2; +со)
3
)(-«>; + оо) 4)[0; + оо)
При решении задачи А6 Вам потребуются находить
множество значений функций. При этом могут потребоваться
знания областей определения тригонометрической,
логарифмической, показательной функций и умение сопоставлять
им соответствующие множества значений.
В этой задаче может быть и очень простая ситуация. Быть
может, Вам достаточно будет знать, что значения синуса и
косинуса находятся на промежутке [- 1; 1], их квадраты
принимают значения на промежутке [0; 1]. Не забывайте, что
показательная функция принимает лишь положительные значения,
а логарифмическая может принимать любые значения.
В данном случае множество значений внутренней функции
у = х
2
- 6х + 36 является областью определения внешней функции
у
=
log
3
х . Но функция х
2
- 6х
+
36 после выделения полного
квадрата приводится к виду (х-3) +27 , и ее значения
составляют множество [27; + °о). При этих значениях аргумента
внешняя функция log
3
x принимает значения от 3 включительно
до плюс бесконечности. Правильный ответ № 1.
82
Функция у = f{x) задана
графически на промежутке [- 7; 4].
Укажите те значения аргумента,
при которых выполнено
неравенство f(x)
>
1.
1) (- 7; 0) и (0; 4)
2)[-7;-4)u(3;4]
3)[-7;-3)u(3;4]
4) (-7; 4)
Использование графиков в решении неравенств - так
обозначена тема задачи А7 в тематике задач Единого экзамена по
математике.
Следовательно, не исключено, что Вам необходимо будет
построить график некоторой функции для решения заданного
неравенства.
В данном случае непосредственно видно, что требуемое
условие
f{x)>\
выполнено, если х<-4 или х>3 . С учетом
области определения функции приходим к ответу № 2.
Найдите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения
|JC
+ 5| = 2|JC-1|.
1) -
1
2) 1 3) 6 4) 7
В задании А8 проверяется умение решать простейшие
уравнения. Здесь Вы можете также встретить иррациональное,
тригонометрическое, показательное или логарифмическое
уравнение.
Данное уравнение может быть решено различными способами.
Знать каждый из этих способов полезно для решения различных
задач.
Во-первых, можно применить основной способ решения задач
«с модулем». Числовая ось разбивается на части, в каждой из
которых все абсолютные величины, входящие в условие задачи,
раскрываются с определенными знаками. Тем самым на каждом из
рассматриваемых промежутков мы приходим к задаче «без
модуля». Решая эти задачи, мы берем ту часть решения, которая
лежит на рассматриваемом промежутке. Объединяя вместе
полученные части решения, мы приходим к ответу.
83
фактом, что |а| =
Щ <=>
В конкретных ситуациях логика решения задачи может
упрощаться. Например, в данном случае воспользуемся тем
То есть модули чисел равны тогда и
а = -Ь.
только тогда, когда либо эти числа равны, либо они отличаются
знаком.
Следовательно, равенство |х +
5|
= 2|х
-1|
выполнено лишь при
условии, что х + 5 = 2х - 2 или х
+
5 = 2 - 2х . Соответственно,
JCJ
= 7 и х
2
= -1 .В итоге мы приходим к правильному ответу № 3.
Найдите число целых решений неравенства (9-х
2
Wx + 7 >0 ,
лежащих на отрезке [- 9; 6].
1) 5 2) 7 3) 8 4) 9
Умение решать неравенства с одной переменной проверяется
при решении задачи А9.
В задании А9 могут встретиться рациональные,
показательные, логарифмические, неравенства, содержащие
переменную под знаком модуля, неравенства с параметром и
комбинированные неравенства.
Любое неравенство может быть решено методом интервалов.
В методе интервалов на числовой оси необходимо отметить точки,
при которых неравенство переходит в равенство и точки,
являющиеся границей области определения входящих в
неравенство функций. После этого на числовой оси образуются
интервалы, каждый из которых либо целиком является решением
данного неравенство, либо целиком не является этим решением. В
ответ отбираются те интервалы и те отмеченные точки, которые
являются решением неравенства. Метод интервалов является
универсальным Он применим для решения неравенств любого
вида.
В данном случае, применяя метод интервалов, мы отмечаем на
числовой оси точки - 7 и ±3. Легко проверить, что все отмеченные
точки и интервал (- 3; 3) - решения неравенства. В итоге
множество
{-7}и(-3;3)
является решением заданного
неравенства.
При этом целыми решениями являются числа: - 7, - 3, - 2, - 1,
О, 1, 2, 3. Их число равно 8. Это ответ № 3.
84
Тело движется прямолинейно таким образом, что пройденное
расстояние равно S(t)
=
3t
+1
. Найдите расстояние, которое
пройдет тело до того момента, когда его скорость станет равной 11.
1) 10 2) 18 3) 28 4) 37
Владение геометрическим или физическим смыслом
производной проверяется при решении задачи А10.
В данном случае задан пройденный путь как функция времени
при движении тела по прямой. Физический смысл производной
заключается в том, что в такой ситуации производная от
пройденного пути по времени равна мгновенной скорости тела.
Следовательно, для нахождения скорости в момент времени t
мы находим производную S'(t)
= 3 +
2t . Далее необходимо
выяснить, при каком значении t выполнено условие
3
+ 2/ =
11
.
Отсюда t - 4 и за это время тело пройдет путь S(4)
=
28 .
Правильным является ответ №3.
Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое
число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число
надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера
выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую
цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи
десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в
соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы
измерений писать не нужно.
Найдите значение а, при котором равенство
я(Зх-8)-Зх-6 х-12
= верно для всех значении х.
а +
3
3
В задании В1 необходимо продемонстрировать умение
выполнять тождественные преобразования выражений. Бывает
ситуация, когда нам сразу понятно, какого рода преобразование
надо сделать. В данном случаемы мы имеем дело с уравнением
вида ах-Ъ , которое обращается в верное равенство для всех х
только в том случае, когда а
= Ъ
- 0. Все это равносильно тому, что
в написанном равенстве коэффициент при переменной х в левой
части должен равняться коэффициенту при х в правой и,
соответственно, равны свободные члены.
.. За-3 1 -8*-6 -12
Итак, =
—
и = , откуда а = 1,5. Ответ. 1,5.
а+3 3 а+3 3
85
Найдите сумму всех переменных, являющимися решениями
(бх-5у-39
=
J4y
2
-\2ху
+
9х
2
,
системы
<
J v J
[4х
+
у
=
5.
Умение применять стандартные методы для решения
уравнений потребуются Вам при решении задачи В2. При этом
могут встретиться иррациональные, показательные,
логарифмические или тригонометрические уравнения.
Ключ к решению заданной системы заключается в том факте,
что в правой части первого уравнения подкоренное выражение
является полным квадратом и, следовательно, эта правая часть
равна модулю линейной комбинации переменных |2у-3х| .
Раскрывая модуль с плюсом и с минусом, мы каждый раз получаем
систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. При этом
надо учесть, что решения полученных систем нуждаются в
дополнительной проверке, т.к. могут и не являться решением
первоначальной системы.
Отметим основные этапы этого решения. Заданная системы
{бх-5у-39
=
\2у-3х\,
преобразуется к виду < ' ' При 2у - Зх
>
0 мы
[4х
+
у
=
5.
\9х-7у
=
39,
приходим к виду
•<
с решением х
=
2, у
=
-3, которое
[4х
+
у
= 5
не удовлетворяет условию 2у - Зх
>
0 .
ГЗд:-3^
= 39,
При 2у-3х<0 система запишется в виде < с
F У
[4х
+
у
= 5
решением х = 3,6 , у = -9,4 , которое удовлетворяет условию
2у - Зх
<
0 . Вычислив .сумму найденных переменных, приходим к
ответу. Ответ. - 5,8.
Уравнение (а-\)х
2
+х + 5 = 0 имеет единственное решение.
Найдите значение а (или сумму таких значений, если их несколько).
В задании ВЗ необходимо использовать свойства функций при
решении уравнений.
86
В данном случае обратим внимание на тот факт, что заданное
уравнение имеет единственное решение при двух обстоятельствах.
Во-первых, при а =
1
оно является линейным уравнением и
имеет единственное решение.
Во-вторых, при а
Ф 1
заданное уравнение является квадратным.
Следовательно, оно имеет единственное решение при
дискриминанте D =
1
- 20(<я -1), равном 0. Проверьте, что это будет
при а = 1,05. Ответ. 2,05
Часть 2
Вычислите 37
•
log
7
243
•
log
3
49
-1,25
lg9
•
8
lg9
.
Значение иррационального, степенного, тригонометрического
или логарифмического выражения необходимо найти в задании В4.
В данном случае проверяется умение выполнять более
сложные, чем в A3, тождественные преобразования
логарифмических выражений.
Выполняя тождественные преобразования, мы используем,
помимо основного логарифмического тождества, формулы:
log
a
x
k
=k\og
a
х и log
a
Ъ•
logj,а
= 1.
Итак, 37
•
log
7
243
•
log
3
49 - l,25
lg9
•
8
lg9
= 37
•
log
7
3
5
•
log
3
7
2
-
-(1,25-8)
lg9
=370-9 =
361.
Ответ. 361
87
На рисунке изображен
график
функции
производной
заданной на интервале
(-6; 5).
функцию
укажите
максимума
функции.
Исследуйте
у = f(x) и
число точек
этой
-
1
f
VL/
i
1
-
" j*..:
— -/7
]f\ °
i \
l i
i
1
Л \ , :
У
1
=/'<*)-
i
L
i
!
I
j_
_
* !
j
1
j
•
1
!
Умение исследовать функцию с помощью производной по
графику производной проверяется в задании В5.
Прежде всего, необходимо быть внимательным и обратить
внимание на то, что задан график не функции, а ее производной.
Существование производной гарантирует непрерывность функции.
Известно, что если производная положительна, то функция
возрастает, а, если производная отрицательна, то функция убывает.
При этом ответ на вопрос о промежутке возрастания функции
является более тонким. Ведь заранее ничего нельзя сказать о тех
точках, где производная равна 0 или не существует.
Что касается вопроса о точках максимума, то это те точки
непрерывной функции, в которых возрастание функции меняется на
убывание. Если при этом функция имеет производную, то при
переходе через эту точку положительный знак производной
меняется на отрицательный. Из рисунка видно, что такая точка
только одна х
=
1. Ответ. 1.