Ханнанов Н.К., Ханнанова Т.А., Ханнанов М.Н. ЕГЭ по математике, 2007 год
Подождите немного. Документ загружается.
Найдите наименьшее целое значение функции у
=
х - х
•
\х -
8|
на
отрезке [0; 10].
При решении задачи В6 надо проявить умение находить
наибольшее и наименьшее значения функции
Как всегда, наметим план решения этой задачи. Теоретическая
основа задачи заключается в том, что рассматриваемая функция
непрерывна на отрезке и, следовательно, достигает на этом отрезке
своего наибольшего и своего наименьшего значений. Наибольшее
и наименьшее значения функции в этом случае достигаются либо
на границе отрезка, либо в точке экстремума. В точке экстремума
производная функции или не существует или равна 0.
Итак, для решения задачи надо найти точки, среди которых
обязательно есть все точки экстремума. Затем мы вычисляем
значения заданной функции в этих и в граничных точках. После
чего выбираем наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке из вычисленных значений.
Функция у
=
х - х
-
\х -
8|
не имеет производную при х
=
8 , а
на интервалах (0; 8) и (8; 10) имеет соответственно вид
у
х
=
х +х - $х и у2 - х -х
+
8х . Вычислим их производные
у\
=
Ъх +
2х -
8
и у
2
= Зх - 2х
+
8
.
Заметим, что у[ = 0 при х = -
2
4 - 4
и х
= —
и на интервале (0; 10) находится лишь точка х
= — .
Кроме
того,
квадратный трехчлен Зх
2
- 2х +
8
имеет отрицательный
дискриминант и у
2
>
0 на интервале (8; 10).
Итак, нам нужно вычислить следующие значения функции:
у(0)
=
0 , у(10)
=
980 , Х8) = 512 и у(-)
=
-6— . Наименьшее
значение функции у
=
х
3
- х
•
|х -
8|
на отрезке [0; 10] равно -6—,
а наименьшее целое значение равно - 6. Заметим, что мы могли бы
более детально исследовать производную на разных участках и
установить, что заданная функция убывает на промежутке
"4
*!
возрастает на промежутке
з'
10
Отсюда следует, что
4
наименьшее значение функции достигается в точке —. Ответ. - 6.
89
Найдите корень (или сумму корней,.если их несколько) уравнения
Юх-129
=
1
62 log
4
х
В задании В7 надо проявить умение решать комбинированные
уравнения. Как правило, это означает, что задачу невозможно
решить путем прямого преобразования и необходимо осмыслить
ситуацию в целом.
Впрочем, мы стремимся с Вами так поступать при решении
каждой задачи.
Логическая комбинация, которая приводит к выполнению
задания В7, из года в год меняется. Были уравнения, когда в левой
и правой частях уравнения одна функция возрастает, а другая
убывает и при этом обе функции непрерывны. В этом случае
уравнение имеет не более одного решения и, если мы это решение
сможем «угадать», то задача будет решена.
Бывали случаи, когда одна из частей уравнения больше или
равна некоторого числа А, а другая - меньше или равна этого
числа. В этом случае необходимо приравнять к А левую и правую
части уравнения, решить из уравнений, которое проще, а второе
уравнение проверить для найденных значений аргумента.
Поэтому мы должны быть готовы к любой неожиданности и к
самостоятельному принятию решения.
10*-129 1
При решении заданного уравнения = заметим,
62 log
4
х
что правая часть не существует при аргументе х
= 1
. Отсюда
область определения распадается на две части (0; 1) и
(1;
+
°о).
В
каждой из этих частей левая часть уравнения является функцией
возрастающей, а правая часть - убывающей. Следовательно, корень
уравнения может быть на каждой из этих частей. Несложно
проверить, что искомыми корнями являются числа 0,5 и 16. Их
сумму мы и вычисляем для получения ответа. Ответ. 16,5
90
Найдите значение функции /(22) , если известно, что функция
у
=
/(х) - нечетная, имеет период 12 и на отрезке [0; 6] функция
имеет вид у = 36х
4
- х
2
.
Знание свойств периодичной, четной и нечетной функции
потребуется при решении задачи В8.
Наименьшее число Т
>
0 (если такое существует) называется
основным периодом функции f(x) , если во всей области
определения f(x) выполнено условие f(x
+
T)
=
f(x).
Функция называется четной, если ее область определения
симметрична относительно начала координат и для всех значений
аргумента из области определения выполнено соотношение
Функция называется нечетной, если ее область определения
симметрична относительно начала координат и для всех значений
аргумента из области определения выполнено соотношение
•Заметим, что в силу периодичности и нечетности
/(22) = /(10) = /(-2) =
-/(2).
Так как в точке 2 функция задана и
/(2) = 36-16-4 = 572, то /(22) = -/(2) = -572. Ответ: -572.
На баржу было погружено 1215 тонн песка, влажность которого
составляла 15%. Во время перевозки из пункта А в пункт В
влажность песка повысилась на 4%. Найдите массу груза в тоннах,
доставленного в пункт В.
В задании В9 надо проявить умение решать текстовую задачу,
составляя математическую модель предложенной в ней ситуации.
При создании математической модели необходимо текст,
описывающий изучаемую ситуацию, перевести в переменные,
формулы, уравнения и неравенства.
В данном случае неизменной при перевозке груза является
сухая часть от перевозимого песка, которая составляет 85% от 1215
~ 1215-85
тонн. Эта величина равна тоннам. Так как после
100
перевозки груза влажность стала составлять 19%, то та же самая
сухая часть груза стала составлять 81% от всей массы влажного
1215-85 81
песка. Тем самым новая масса груза равна : , что
100 100
составляет 1275 тонн. Ответ. 1275.
91
v
В101 Ш
а
Р
?
поверхность которого равна 18, вписан в усеченный конус-
Ч Угол образующей конуса с большим основанием равен 45°.
Найдите площадь боковой поверхности этого конуса.
В задании В10 Вам потребуется проявить умение решать
стереометрические задачи. Безусловно, здесь возможен большой
спектр различных задач, что отражено и в данной книге.
При решении задачи мы должны извлечь всю необходимую
информацию из каждого факта, приведенного в условии задачи. В
данном случае обратим внимание, во-первых, на тот факт, что в
усеченный конус можно вписать шар радиуса R . При этом
4я^
2
=18.
Отсюда следует, что в осевое сечение конуса можно
вписать окружность того же радиуса. А в четырехугольник можно
вписать окружность, если в нем суммы длин противоположных
сторон одинаковы. Осевое сечение конуса является равнобедренной
трапецией, основания которой равны удвоенным радиусам
оснований усеченного конуса 2R
{
и 2R
2
, а боковая сторона -
образующей конуса. Следовательно, сумма радиусов его оснований
равна образующей конуса, т.е. Ri + R
2
= L.
Во-вторых, боковая сторона осевого сечения и одновременно
образующая конуса (угол образующей конуса с большим
основанием равен 45°) равны 2iw2 .
Итак, искомая площадь равна
K(R
1
+R
2
)L
=
KL
2
=SnR
2
=2-^nR
2
)
=
2ЛЪ
=
36.
Ответ:
36.
|*ВП I Даны точки А(2; 1), В(4; 5) и С(9; 5). Точка D выбрана таким
I I образом, что ABCD - равнобедренная трапеция. Найдите
наименьшее из возможных значений суммы координат точки D.
Умение решать планиметрические задачи потребуется при
решении задачи В11.
Трапецией называется четырехугольник, у которого две
стороны параллельны, а две другие - не параллельны.
Изобразим точки А, В, С на плоскости. Точка D может быть
выбрана таким образом, что AD параллельна ВС, а АВ ~ CD. В
этом случае, очевидно, точка D имеет координаты D(l
1;
1) и сумма
координат равна 12.
92
Искомым окажется выбор точки D таким образом, что CD
параллельна АВ, а ВС = AD. В этом случае D имеет координаты
D(x;y) и для нахождения х, у мы приходим к системе уравнений
[(*-2)
2
+ 0.-1)
2
= 5
2
,
\ х-9 v-5 Решением этой системы являются две точки
12~~~
4
(х;у).
Для первой точки D(7; 1) четырехугольник ABCD"является
параллелограммом и не удовлетворяет условию задачи. Для второй
точки D(5; - 3) четырехугольник ABCD является равнобедренной
трапецией. Сумма координат этой точки равна 2. Ответ: 2.
Для
записи ответов
на
ответов № 2. Запишите
затем решение.
задания
С1 и
С2 используйте бланк
сначала номер выполняемого задания, а
Найдите корень (или произведение корней, если их несколько)
уравнения х(х
+
2)(х - 2)(х - 4) = -7
В задании С1 надо проявить умение использовать несколько
приемов при решении уравнений.
Мы с Вами помним, что решением уравнения является
вещественное число, которое при подстановке обращает уравнение
в верное равенство. Заметим, что заранее мы не знаем, сколько
вещественных, различных корней имеет данное уравнение.
В школе мы научились решать уравнения линейные,
квадратные и сводящиеся к ним.
Для сведения данного уравнения к квадратному уравнению
сделаем симметричными его корни Для этого воспользуемся
заменой х -1 = / , после чего наше уравнение запишется в виде
(/ + 1)(/ + 3)(/-1)(/-3) = -7 или (/
2
-1)(/
2
-9) = -7 . Полученное
биквадратное уравнение
/
4
-10/
2
+ 16 = 0 имеет относительно 7
2
корни 2 и 8. В итоге мы находим /
12
=±v2. и t
34
=±4$ •
Возвращаясь к старой переменной, вычисляем нужные нам корни
Их произведение равно 7. Ответ. 7
93
Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их
несколько) неравенства
3-yl(x-4)
2
+,J0,25-\oglx
2
-2-\og^x
+
3<\2-3x.
В задании С2 будет проверено Ваше умение решать
неравенства с одной переменной.
Быстрее всего ситуация сложится таким образом, что главным
для Вас будет понять, в чем смысл этого неравенства, как,
логически верно рассуждая, упростить ситуацию.
В данном случае ключом к решению задачи является связь
между первым слагаемым в левой части и правой частью
неравенства. Заметим, 3-у(х-4)
2
=3-|JC-4|, и эта величина либо
равна правой части неравенства либо противоположна ей по знаку.
В первом случае неравенство приводится в виду
J0,25-log2*
2
-2-log/rx
+ 3
<0 , что возможно только в том
случае, когда подкоренное выражение равно 0. Тем самым мы
приходим к уравнению log
2
x-41og
2
Jc
+ 3
= 0 . Его корни 2 и 8,
причем нужному условию
3•
у](х-
4)
2
= 12-Зх удовлетворяет
лишь х
=
2.
Легко проверить, что во втором случае правая часть заданного
неравенства отрицательна, и неравенство решений не имеет.
Ответ. 2
94
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк
ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а
затем обоснованное решение.
В прямом круговом конусе сумма площади основания и осевого
сечения равна Ъл. Найдите сумму всех целых значений, которые
может принимать объем этого конуса.
В задании СЗ будет предложено решить текстовую задачу на
нахождение наибольшего (наименьшего) значения величины с
помощью производной.
Общая идея решения подобных задач следующая. Необходимо
найти наибольшее, наименьшее или множество значений некоторой
величины. Изучаемая величина зависит от некоторых других
величин, которые определенным образом связаны между собой.
В итоге мы получаем зависимость исследуемой величины от
одной переменной, меняющейся в определенных пределах.
Исследуя эту функцию с помощью производной, мы получаем
нужный ответ.
В данном случае объем конуса, значения которого надо найти,
1
2
находится по известной формуле У
= —
-лг h , где г - радиус
основания конуса, h - его высота. Как мы видим, искомая функция
V зависит от двух величин: г и h, зависимость между которыми
•
мы найдем, используя тот факт, что сумма площади основания и
осевого сечения равна Ъл . Итак, лг
1
+
гк
=
3л , и из этого
соотношения удобнее исключить h с помощью формулы
h = Подставляя это соотношение в формулу для объема,
г
_. 1 2 Ъп-пг ' л I з\
имеем к =
—
-лг или V [Ъг-г .
3 г 3^1
Итак, мы получили формулу, которая выражает искомую
величину V через переменную величину г . Небольшое
исследование показывает, какие значения может принимать эта
2
переменная. Собственно, и из требования V- \br-r )>0
следует, что
95
В итоге задача полностью конкретизировалась. Надо найти
2
сумму целых значений, которые принимает величина (3r-r
3
J
при 0<г< >/з .Заметим, что при г = 0 и при исследуемая
величина равна 0.
dV
Рассмотрим производную = я"
2
-(1-г
2
) ,
которая
положительна при 0 < г
< 1
и отрицательна при
1
< г
<
v3 .
Следовательно, значения объема возрастают на промежутке (0; 1] и
убывают на промежутке 1; V3) . При г =
1
объем принимает
наибольшее значение и равен . В целом значения объема
заполняют промежуток
\±
Для получения окончательного ответа нам надо выяснить,
между какими целыми числами лежит число . Для его оценки
заметим, что 3,1</г<3,2 или 3,1
2
= 9,61 <тг
2
<3,2
2
=10,24. В итоге
,
И1
2-9,61-
2яг
2
2-10,24
6,41 < < <
<6,83,
т.е. объем принимает целые
значения: 1, 2, 3,4, 5, 6. Их сумма равна
21.
Ответ. 21
В кубе ABCDAiBiCiDi площадь круга, описанного вокруг каждой
грани, равна 288. На ребрах АВ, AD, СС\ заданы соответственно
точки М, N, L, причем AM : MB = 1 : 3, AN : ND =
1
: 3,
CL : LCj = 7: 9. В куб вписан шар. Определите площадь круга -
сечение шара плоскостью, проходящей через точки М, N, L.
В задании С4 проверяется умение решать стереометрическую
задачу на комбинацию геометрических тел.
Пусть сторона куба равна а, тогда радиус шара, вписанного в
куб,
равен г
х
=
—.
Площадь круга, описанного вокруг каждой грани,
я<*
2
>>о<?
а
равна = 288, т.к. радиус этого круга равен
—?=.
2 V2
96
Если р - расстояние от центра куба О до секущей плоскости,
то радиус круга - сечение шара плоскостью г
2
определяется по
теореме Пифагора формулой r
2
=
yjrf - р
2
. Ответом будет
величина лг
2
и, следовательно, для решения задачи нам
необходимо вычислить величину р.
Главные события развернутся в прямоугольнике АА^С .
А,
а4г c
Y
a4l P
Пусть точка Р - середина отрезка MN, тогда Р - точка на АС и
АР
=
Величина р равна длине перпендикуляра, опущенного
о
из центра прямоугольника и куба О на отрезок PL.
Отметим основные этапы дальнейшего решения задачи.
Тангенс угла ОРС равен
>
тангенс угла LPC равен
3 ' -"--'" 2S'
следовательно, тангенс разности этих углов, тангенс угла LPO
5 5
равен
8>/2'
соответственно его синус равен
Зл/П
Длина отрезка
»ГЛ
а
^
5а
РО равна ^ , отсюда р =
32 12л/2
Далее, г
2
=
94a
z
576
и искомая
площадь
7гг
2
ла
1
2 288
•94 = 94. Ответ. 94.
97
Пусть х
{
и х
2
- действительные, различные корни уравнения
х -(2а-4)х + 2 - я =
О
. Рассмотрим множество А тех значений
параметра а, для которых выполнено условие: х\
+
х\<2. Найдите
число целых значений, которые при этих условиях (т.е. при
значениях параметра ае А) принимает величина х
{
+
х
2
.
Умение решать задачи с параметром проверяется в задаче С5.
План решения задачи будет таким. Вначале мы найдем те
значения параметра а , для которых выполнены условие
х
2
+ х\
<
2 . А затем найдем значения величины х
х
+
х
2
при этих
значениях параметра а.
В силу условий задачи дискриминант квадратного трехчлена
положителен. Соответствующее неравенство приводится к виду
а - Зя + 2 > 0 и дает первое условие того что ае А.
\_а>2
Заметим, что теперь можно применить теорему Виета и,
следовательно, х
1
+ х
2
=
2а - 4, х
х
•
х
2
=
2 - а.
Отсюда х
х
+ х
2
= (Xj + х
2
) - 2х
х
х
2
=4а -\4а
+
\2 и условие
X!
+
х
2
<2 приводит ко второму условию
1
< а
<
2,5 . Итак,
множество А составляет промежуток (2; 2,5].
Так как х
{
4
+ х
2
= (х
х
+
х\
V
- 2x^X2 , то нам необходимо найти
значения величины х
х
+ х
2
= \4а
2
-\4а +12) -2(а-2)
2
= f(a) при
2<а<2,5.
Заметим, что f(a)
=
4(a-2) (2а - З)
2
- 2(а - 2)
2
, причем
/(2) = 0и/(2,5) = 3,5;
Исследуем поведение функции f(a) при 2 < а
<
2,5. Для этого
вычислим ее производную f(d)
=
И(я- 2) (2я-3)
2
-2(а-2)
2
I
=
=
S(a-2)(2a-3)
2
+\6(a-2)
2
(2a-3)-4(a-2)
=
=
4(а-2)(2(2а-3)
2
-\)
+
\6(a-2)
2
(2a-3).
Заметим, что
f'(a)>0
при 2<я<2,5 , т.к. в последнем
выражении для производной каждое слагаемое на этом промежутке
положительно.
98