Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

ным на костылях правой линии нивелирования, а по другой

паре станций — левой. От станции к станции меняют располо

жение ножек штатива по отношению к направлению нивелир

ного хода. Прямой и обратный ходы проводят в разное время

суток. При обратном ходе рейки меняют местами, меняют

также порядок наблюдения реек на нечетных и четных стан

циях. Через каждые две станции термометром—пращом изме

ряют температуру воздуха на высоте прибора.

Нивелирование II класса ведется в таком же порядке, но

только ограничивается одним ходом.

Для проведения высокоточного и точного нивелирования

создаются специальные нивелирные бригады в составе: наблю

дателя (старшего инженера в I и инженера — во II классе), по

мощника наблюдателя (техника) и определенного числа рабо

чих. Им придаются необходимые транспортные средства и ком

плект лагерного оборудования.

Государственную нивелирную сеть уравнивают отдельно по

классам. При этом нивелирная сеть I и II классов уравнива

ется совместно как свободная сеть с одним исходным пунк

том — нулем Кронштадтского футштока коррелатным способом,

Остальные сети уравнивают как несвободные, опирающиеся на

пункты старших классов в пределах соответствующего ниве

лирного полигона. Их методы описаны в [7].

Оценка точности результатов высокоточного нивелирования относится

к одной из сложных и до конца еще не решенных проблем высшей геодезии.

Объясняется это тем, что результаты нивелирования отягощены как случай

ными г|, так и систематическими а ошибками. Последние, имея незначитель

ную величину на каждой станции, в длинных ходах накапливаются до столь

больших размеров, что полностью определяют точность всего нивелирования.

В таких условиях метод наименьших квадратов не может отразить действи

тельного распределения ошибок превышений нивелирных ходов и сетей и их

точность.

Оценка точности результатов нивелирования может быть произведена

либо по разности превышений, полученных из прямого и обратного ходов,

либо по невязкам полигонов. В первом случае обычно исходят из того, что

систематическая ошибка действует однообразно и пропорционально длине

хода L. Тогда суммарная средняя квадратическая ошибка превышения ниве

лирного хода будет

В действительности однообразное действие систематические ошибки

оказывают только на отдельных участках хода, которые возможно устано

вить лишь приближенно. Существует много формул для оценки точности

результатов нивелирования, но все они в большей или меньшей мере при

ближенны. В СССР с 50-х годов для оценки точности среднего превышения,

полученного из прямого и обратного ходов, применяли формулы В. И. Зво-

нова, которые для километровой случайной и систематической ошибок

будут:

m* = (r|Vi f + ( o L ) K

(12.8)

4 (n — N)

(12.9)

(12. 10)

где d — разность превышений из прямого и обратного нивелирования секции

длиною г; s — разность между суммами превышений по секциям в ходе дли

ной L (км); п — число секций; N — число ходов, в которых накопление си

стематических ошибок носит однообразный характер.

В Инструкции [7] приведены формулы, учитывающие только первые

члены выражений (12.9) и (12.10), без N.

Более объективную оценку точности дают формулы, основанные на не

вязках полигонов W:

где т — средняя квадратическая ошибка нивелирования на 1 км хода, N —

число замкнутых и разомкнутых полигонов периметром в Ркм каждый.

Однако нивелирование высокоточных полигонов обычно производят по

частям и в течение продолжительного времени, иногда в несколько лет. По

этому невязки отражают не только накопление ошибок, но и различные ус

ловия и методы проведения работ, а также сдвиги по высоте исходных и

узловых реперов под влиянием современных вертикальных движений земной

коры и других причин. Все это надо иметь в виду при оценке точности ни

велирования.

§ 61. НАЗНАЧЕНИЕ И ФОРМУЛЫ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ

Тригонометрическим нивелированием называют метод опреде

ления разности высот точек местности наклонным визирным

лучом, для чего с одной точки на другую измеряют углы на

клона или зенитные расстояния и дальности (последние могут

быть получены из вычислений).

Тригонометрическое нивелирование производят с целью

определения высот пунктов государственной сети в труднодо

ступных (горных, заболоченных, таежных и др.) районах, где

применение геометрического нивелирования сильно осложнено

или невозможно, а также для создания высотной основы топо

графических съемок различных инженерных сооружений. Оно

необходимо при развитии сетей пространственной триангуля

ции, позволяющей получать три координаты каждого пункта.

Только применение тригонометрического нивелирования

позволило определить высоты недоступных горных вершин.

Так, в свое время были получены отметки вершин Кавказских

гор и Тянь-Шаня.

Тригонометрическое нивелирование позволяет определять

с одной постановки прибора превышение между точками, рас

положенными на большом, исчисляемом километрами и десят

ками километров расстоянии друг от друга. Оно намного про

изводительнее и экономичнее геометрического.

Однако на результаты тригонометрического нивелирования

большое влияние оказывает вертикальная рефракция. Как от

мечалось ранее, величина ее такова, что в результаты измере

ний вертикальных углов и зенитных расстояний необходимо

вводить соответствующие поправки. Вследствие сложности

учета постоянно изменяющихся метеорологических факторов,

(12. 11)

определяющих величину рефракции,

эти поправки могут лишь прибли

женно характеризовать ее действие.

Поэтому ошибки определения превы

шений из тригонометрического ниве

лирования, особенно при больших

расстояниях, довольно значительны и

во много раз больше ошибок геомет

рического нивелирования. Надле

жаще продуманная методика и схема

построения сети позволяют прибли

зить точность результатов тригоно

метрического нивелирования к точ

ности геометрического нивелирования

IV класса.

При работе высокоточными теодо

литами измеряют зенитные расстоя

ния, а малоточными — углы наклона.

В зависимости от измеряемых элемен

тов тригонометрическое нивелирова

ние делится на одностороннее— О]

в случае измерения зенитных рассто

яний на одном конце нивелируемой Рис. 106. Схема тригоно-

линии и двустороннее — когда метрического нивелирова-

J г ния

зенитные расстояния определяются

на обоих конечных пунктах.

Пусть Л и В (рис. 106)— центры геодезических пунктов,

расположенных на высоте НА и Нв над поверхностью геоида,

а и b — проекции центров Л и В на эту поверхность, s — рас

стояние между точками а и Ь, О — центр Земли; у — централь

ный угол, образуемый отвесными линиями в точках А и В.

Расстояние между Л и Б, обычно не превышающее 20—30 км,

незначительно по сравнению с радиусом Земли R, поэтому для

упрощения принимаем последнюю за шар, а линию ab за дугу

окружности. Вследствие влияния вертикальной рефракции луч

света от точки А до точки В пройдет не по хорде АВ, а по све

товой или рефракционной кривой АМВ радиуса Ri с центром

в точке 0

Измеренное зенитное расстояние z' определяется углом

между отвесной линией и касательной Ad к последнему эле

менту световой кривой. Оно отличается от истинного зенитного

расстояния г на величину угла г — частного угла земного пре

ломления или угла рефракции:

r= z—z'=yi/2 = sl(2Ri),

как угла между касательной и хордой. Здесь длина рефрак

ционной кривой приравнена к длине дуги s, что практически

вполне приемлемо.

Ho s = Ry, поэтому

r = -l— * - = k ± = k

2 Ri 2 2R

где k=R/Ri — коэффициент рефракции. Из последней формулы

следует

k = г" = (г—z')".

sp" sp"

Теоретическое значение z может быть получено, если из

вестно превышение между двумя точками h. Тогда

z = avcig(h/s).

Существуют и другие методы определения коэффициента

рефракции [21]. Так же, как и угол рефракции, коэффициент

рефракции периодически изменяется в течение суток, достигая

минимума обычно в полдень, когда он несколько часов прак

тически сохраняет неизменной свою величину, и максимума —

в полночь, когда искажение зенитных расстояний бывает наи

большим. Максимальную скорость изменения угол и коэффи

циент рефракции имеют в течение нескольких часов вблизи за

хода и восхода Солнца. Она может достигать 40—60" в 1 ч для

г и 0,20—0,30 в 1 ч для k. В близполуденное время часовое

изменение их соответственно составляет 1—3" и 0,01—0,02.

Поэтому выгоднейшим временем для измерения зенитных рас

стояний являются близполуденные часы, практически с 10 до

16 ч. В пасмурные дни этот период расширяется. Чем выше

визирный луч поднят над землей, тем меньше влияние на его

траекторию оказывает рефракция.

Для средних широт при высоте визирного луча не менее

5—6 м, в близполуденное время летом среднее значение коэф

фициента k составляет 0,14—0,16. Так как k = R/Ri~ (0,14) г»>/7,

то это означает, что радиус рефракционной кривой в среднем

в 7 раз больше радиуса Земли. На самом деле это отношение

сильно колеблется, а коэффициент рефракции может прини

мать значения от нескольких сотых до нескольких десятых.

Наблюдаются случаи появления отрицательных коэффициен

тов рефракции, что соответствует изменению формы рефракци

онной кривой (выпуклость направлена в сторону земли).

Обычно поправку за вертикальную рефракцию вводят не

в измеренные зенитные расстояния, а сразу в искомые превы

шения.

Общая формула тригонометрического нивелирования

Из треугольника АОВ (см. рис. 106) по теореме синусов

можно написать:

{R + HB)/(R + НА) = sin Л/sin В,

откуда производная пропорция будет:

Нв — Нд _ sin Л — sin В _ ^ А — В ^ А + В

2R-\-(Hb + HX) sin A -f sin В

Но

ctg Л — ctg 180 ~ Y - — ctg /90° — —] = tg — « — .

2 2 6\ 2 / 2 2tf

Поэтому превышение

откуда

h ^ ( - Af L -) 0 + HB2RlA ) • (12-12)

При Ят = (Яв + Яд)/2<1000 м и разности высот точек Яв—

—Яа< 100 м второй член в скобках не превысит 2 см. Поэтому

его учитывают только в горной местности. Для равнинных и

всхолмленных районов общая формула тригонометрического

нивелирования имеет вид:

h = stg[(A — B)/2]. (12.13)

Из общей формулы (12.13) легко получаются формулы для

одностороннего и двустороннего тригонометрического нивели

рования.

Формула одностороннего тригонометрического нивелирова

ния. В этом случае зенитное расстояние измеряют на одном из

пунктов, например пункте А. Тогда ^Л = 180°—г ' — г и ZB =

= 180°—А—y = z' + r—у, откуда, подставляя в (12.13), будем

иметь

h = stg(m ° - z' - r)- {z' + r- Т>- = stg 180° ~ * - - = * ± 3 - или

& 2 2

/г — stg(90°—г ' —rH-y/2) = stg {90° — [г'—(у/2—л)]} =

= sctg[z'— (?/2—г)].

Вследствие малости члена в круглых скобках разложим

котангенс в ряд Тейлора и ограничимся первыми двумя чле

нами разложения. Тогда получим

Но

h = sctgz' -\

------

— ( —-----г)

Sin2

' V 2 /

V S i s 1 — k

----

-------------

-k

-----

= s-

---------

2 2 R 2 R 2 R

Кроме того, при наблюдении в равнинной местности 2'~90° и,

следовательно, sinz'^1, поэтому

/t = sctgz'+ l ~ k s2, (12.14)

где второй член является поправкой за кривизну Земли и ре

фракцию.

Учитывая, что наблюдения ведутся не с центров знаков,

а со столика сигнала или штатива высотой i на верх визирной

цели высотой I, получим формулу одностороннего тригономет

рического нивелирования в виде

h — sctgz'+ l^ k ss + i — l. (12.15)

Формула двустороннего тригонометрического нивелирова

ния. В этом случае наблюдения проводят на обоих пунктах А

и В. Пусть соответственно получены zA и z'b■ Тогда ZЛ =

= 180°—гА—гД и Z .B = 180°—zB~ rB\ (A--B)/2 = ( z 'b — z 'a)/2 +

+ (Гв~ ГаУ2- Но

rA =kA— — kA-?— И rB = kB — = kB-^—,

2 2 R В 3 2 В 2 R

следовательно,

А — В __ гв~ ~ гА kB~~bA

2 ~ 2 + 4R

Подставляя это значение в (12.13), получим

-s.

= stg;[

ZB — гА , kB — kA

2 + 4 R

Разложим тангенс в ряд Тейлора и ограничимся двумя чле

нами разложения, получим

ZB — ZA . s kB — kA

h = s tg

cos2 Zb Za 4 R

Вследствие малости угла zB—Za полагаем

cos2 Z,,~ ZA 1,

тогда формула двустороннего тригонометрического нивелиро

вания будет:

h = stg-Za~ ZA -к кв~ кл s\ (12.16)

2 47? v '

По приведении измерений к центрам пунктов окончательно

получим:

h = s tg ZB ~ гл + кв ~ кл s2 + ‘А + 1л ■ — 1н 1в ■. (12.17)

2 4 R 2 2 v

Если положить kA~ k B, что может быть при одинаковой

местности вокруг пунктов А и В, одинаковых условиях и одно

временном измерении зенитных расстояний на них двумя на

блюдателями, то формула двустороннего нивелирования при

мет вид:

h — s tg — — —

(12.18)

Одновременного измерения зенитных расстояний на пунк

тах геодезической сети в производственных условиях достичь

н-евозможно. Но производя их примерно в одинаковое время

суток, можно добиться некоторой компенсации ошибок превы

шений, связанных с неточным знанием коэффициента рефрак

ции. В таких случаях, особенно в приближенных вычислениях,

применяют формулу (12.18).

Обычно же вычисления превышений в геодезической сети

производят по формуле одностороннего нивелирования, полу

чая для каждой стороны прямое и обратное превышения, из

которых затем выводится среднее значение. Такое решение

позволяет по разности прямых и обратных превышений произ

вести оценку точности измерений.

Уравнивание результатов тригонометрического нивелирова

ния производят такими же методами, что и геометрического [7].

В благоприятных условиях в заполняющих * сетях триангу

ляции двустороннее тригонометрическое нивелирование может

обеспечить получение высот пунктов с точностью, определяе

мой эмпирической формулой:

где тн — в метрах, as — в километрах.

Расхождения между превышениями, полученными из пря

мого и обратного нивелирования в современных сетях триангу

ляции 2 и 3 классов, могут доходить до 1 м.

Однако исследования последних лет показывают, что при

достаточном количестве исходных пунктов, за которые прини

маются пункты с отметками, полученными из геометрического

нивелирования старших классов (начиная с третьего) и пере

дачи высот на каждый пункт со всех окружающих, тригоно

метрическое нивелирование по точности может заменить гео

метрическое нивелирование IV класса. Существенное повыше

ние его точности может принести вычисление превышений не

со средним коэффициентом рефракции, а с действительньш

значением его, бывшим в момент наблюдений, для чего по

следний выводят из тех же измерений по методу наименьших

квадратов.

* Заполняющими называют сети 2— 4 классов, развиваемые внутри по

лигона 1 класса.

(12.19)

ВЫСОКОТОЧНЫЕ ЛИНЕИНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

§ 62. НОРМАЛЬНЫЕ МЕРЫ И БАЗИСНЫЕ ПРИБОРЫ

Нормальные меры

Высокоточные линейные измерения в государственных геодези

ческих сетях проводят либо в виде так называемых, базисных

измерений в триангуляции, либо в виде непосредственного из

мерения сторон полигонометрии или трилатерации высших

классов.

До 60-х годов нашего столетия высокоточные линейные из

мерения применялись преимущественно для измерения базисов

в базисных сетях. Построение базисных сетей обусловлено

было тем, что существовавшие мерные приборы для измерения

линий в виде небольших жезлов, мерных цепей, лент и прово

лок не позволяли измерять отрезки большой протяженности,

например равные сторонам первоклассной триангуляции (не

скольким десяткам километров), с нужной для этого точ

ностью. Очень редко можно было найти большой и удобный

для проведения измерений участок местности. Чаще всего его

приходилось специально готовить: рубить просеки, гатить бо

лота, строить помосты и другие сооружения. Все это требо

вало больших затрат труда и средств. Поэтому проведение вы

сокоточных линейных измерений всегда составляло наиболее

сложную и довольно дорогую часть общего процесса построе

ния геодезической сети. При этом из-за ошибок угловых изме

рений вычисленные выходные стороны оказывались в 3—4 раза

грубее измеренных базисов.

Внедрение свето- и радиодальномеров значительно упро

стило проведение линейных измерений. Появилась возмож

ность непосредственного измерения сторон длиною в 20—30 км

с точностью 1:400 000—1:500 000. Отпала необходимость

в построении специальных базисных сетей. Вместо них сейчас

измеряется одна из сторон геодезической сети, называемая

базисной стороною.

Большое количество разнообразных линейных мер и средств

для измерений линий требовало установления для них единого

масштаба и приведения их к одной единице измерения. Для

этого необходимо было создать определенные эталоны длины и

путем сличения с ними относить все линейные меры к одному

масштабу и к принятой единице.

Такое сравнение предполагает физическую реализацию ука

занных единиц, называемых нормальными мерами. Нор

мальными мерами в разное время служили тоазы, сажени,

футы, метры и другие величины.

Нормальные меры очень тщательно изготавливаются и хра

нятся в особо благоприятных условиях — изолированных поме-

тениях и в специальной упаковке. Непосредственного участия

в измерениях они не принимают, а служат только для установ

ления истинных длин рабочих мер, используемых при из

мерениях.

Несмотря на появление новых эталонов (длины световых

волн), в настоящее время все еще большое значение имеют

нормальные меры, изготовленные в виде жезлов из металла

или плавленого кварца. По своему устройству они бывают кон

цевыми— их длина определяется расстоянием между конеч

ными точками и штриховыми, длина которых определяется

расстоянием между двумя специальными штрихами на жезле.

Основным требованием к нормальным мерам является со

хранение их длины в течение длительного времени, поэтому

они изготавливаются из специальных сплавов и материалов,

не поддающихся коррозии, имеющих очень малый температур

ный коэффициент расширения.

Потребность в нормальных мерах люди испытывали с древних времен,

с самого начала своей хозяйственной деятельности. При этом в качестве

нормальных мер использовались предметы и явления, наблюдавшиеся в при

роде. Так, например, у древних греков и египтян за единицу длины прини

мался стадий, у арабов — локоть, у англичан — фут — длина ступни одного

из английских королей, выбитая на ступенях дворца. Такой же единицей

служил дюйм, равный величине последней фаланги большого пальца муж

ской руки. Имелись и другие аналогичные единицы.

Первая искусственная нормальная мера изготовлена в Париже в 1735 г.

под названием «перуанский тоаз». Это концевая нормальная мера длиной

в 1,94903632 м при средней температуре в 13° R (16, 25° С) предназначалась

для сравнения жезлов, участвовавших в знаменитом градусном измерении

в Перу. С перуанского тоаза разными странами были сделаны копии (во

Франции механиком Борда, в России — Струве, в Германии — Бесселем).

Эти копии служили в качестве нормальных мер при производстве геодезиче

ских работ в Европе до второй половины XIX в.

В 1791 г. комиссией Парижской Академии наук (Лагранжем, Лапласом,

Монжем и др.) по поручению Национального собрания Франции была раз

работана метрическая система мер, в основе измерения расстояний которой

лежала единица длины — метр (от греческого metron— мера, равная 1/(40X

X 10е) длины Парижского меридиана.

В 1799 г. Национальное собрание Франции специальным декретом ут

вердило представленные Лапласом платиновые прототипы метра и кило

грамма.

Первый международный метрический эталон под названием «архивный

метр» представлял собою концевую меру, сделанную из чистой платины,

шириной около 25 мм и толщиной 4 мм (рис. 107), расстояние между кон

цами которой при температуре в 0 °С равнялось 1 м. Он хранится в Госу

дарственном архиве Франции.

По инициативе Петербургской Академии наук в 1872 г. была создана

Международная комиссия, которая решила отказаться от естественных эта

лонов ввиду невозможности повторного воспроизведения метра из градусных

измерений и принять за эталон «архивный метр», изготовив его копии.

В 1875 г. в Париже 17 государств Европы заключили Метрическую кон

венцию на изготовление новых нормальных мер, которое было поручено уч

режденному тогда Международному бюро мер и весов.

После долгих и специальных исследований в 1889 г. Международное

бюро мер и весов изготовило 31 копию «архивного метра» из иридиевой

платины (сплава из 90 % платины и 10 % иридия). Этот сплав обладает

большой молекулярной устойчивостью, твердостью и упругостью, он совер-

Рис. 108. Сечения метра-про

тотипа № 26

20мм

~Q£MM

1 ,0 2 м

шенно не подвергается коррозии и по сравнению с чистой платиной имеет

меньшую пористость. Новые штриховые нормальные меры были изготовлены

в виде жезлов х-образного сечения, вписанного в квадрат20X 20 мм (рис. 108),

длиной 1,02 м, на нейтральной поверхности АВ которых по концам нанесено

по три штриха. Масса жезла — 3,3 кг, удельный вес сплава 21,5. Расстояние

между двумя средними штрихами при 0 °С определяет длину метра.

Новые нормальные меры были названы метрами-прототипами.

Жезл № 6 почти в точности совпал с «архивным метром». Его выделили

особо и назвали Международным метром-прототипом, оставив на хранение

в Париже (Севре) в Международном бюро мер и весов. Таким образом,

метр стал абстрактной величиной и получил определение: метр — это рас

стояние между осями двух средних штрихов Международного метра-прото-

типа при 0 °С и нормальном атмосферном давлении.

Остальные метры-прототипы имели ошибки менее 2 мкм. По жребию

они распределены между странами-участниками Конвенции, причем в Между

народном бюро мер и весов оставлен также и жезл № 26, являющийся ра

бочим эталоном, с которым производится сравнение других нормальных мер.

России достались жезлы за № 11 и 28. Жезл № 11 хранится в АН СССР

в Москве, жезл № 28 — во Всесоюзном научно-исследовательском институте

метрологии (ВНИИМ) в Ленинграде.

Декретом Совета Народных Комиссаров от 14 сентября

1918 г. за подписью В. И. Ленина метр-прототип № 28 был при

знан государственным метром-эталоном СССР. Сам жезл №28

в сравнении рабочих мер не участвует. Для этого созданы сле

дующие по классу промежуточные нормальные меры— 1-мет

ровые и 3-метровые платинитовые и инварные жезлы. Из про

межуточных нормальных мер следует особо выделить платини-

товый (сплав платины, никеля и стали) 3-метровый жезл His,

хранящийся во ВНИИМ, через посредство которого осущест

вляется сравнение всех нормальных мер с жезлом № 28,

а также 3-метровые инварные жезлы: Gu, обслуживающий

24-метровый Ленинградский компаратор *, и № 541, обслужи

вающий 24-метровый компаратор МИИГАиК.

Благодаря малому коэффициенту расширения, равному

0,4 • 10~6, инварные жезлы (сплав из 36 % никеля, 64 % железа

* Компаратором называют комплект приборов, состоящий из эта

лона длины и вспомогательной аппаратуры, предназначенной для сравнения

мерных приборов с эталоном.