Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

жаются со скоростью 2—5 см в год. Плиты могут надвигаться

одна на другую *, как, например, Индоавстралийская на Евро

азиатскую, или погружаться, как Тихоокеанская под Южно

американскую.

Существует, однако, и много противников этой гипотезы. Не

которые ученые считают, что ни материки, ни океаны не изме

нили своего положения со времени возникновения и сущест

вуют только их вертикальные движения. Сторонников этой ги

потезы называют «фиксистами». Есть и другие гипотезы о про

исхождении и движении земной коры.

Горизонтальные движения поверхности Земли происходят и

и результате землетрясений. При этом смещения могут носить

как постоянный, так и временный характер. Было также заме

чено, что движения земной коры происходят не только в мо

мент землетрясения, но до и после него.

Ряд ученых считают, что источником движения земной коры,

ее разрывов, землетрясений, вулканических извержений и дру

гих геологических процессов служат фазовые превращения ве

ществ в верхней мантии Земли, т. е. переход из одного состоя

ния в другое с изменением объема. Источником энергии таких

фазовых переходов служит внутреннее тепло Земли, переходя

щее в механическую работу движущихся частей мантии.

Вертикальные движения земной коры. Современные верти

кальные движения земной коры могут быть выявлены более

уверенно, чем горизонтальные, при помощи высокоточного ни

велирования, позволяющего определять взаимное положение

точек по высоте с ошибками, не превышающими 1 мм на 1 км

хода. К настоящему времени накопилось достаточное количе

ство данных повторного нивелирования, которое позволило соз

дать карты современных движений земной коры на значитель

ные участки суши.

Отдельные блоки земной коры имеют скорость поднятия

25—30 мм в год. В горных районах она может быть и больше.

11о самая высокая скорость вековых поднятий отмечена на

Аляске, где она достигает 40 мм в год.

Особенностью вековых вертикальных движений является их

колебательный характер. Отмечены колебания с периодом

в 600—700 лет, а местами в 1000—2000 лет и больше. На эти

вековые колебания накладываются еще короткопериодические

колебания с периодом в 20—30 лет.

К вертикальным движениям приводит и изостатическая ком

пенсация, наблюдающаяся в земной коре, согласно которой

перемещения отдельных частей земной коры обусловлены изме

нением их веса в результате разрушения гор, накопления осад

ков в прогибах, оледенения или таяния ледников. Так, напри

мер, сводовое поднятие Скандинавии и Канадского щита, проис

ходящее со средней скоростью 10—20 мм в год, связывают

* Полагают, что скорость надвига составляет 2—3 см в год.

с разгрузкой их от оледенения и подтекания вещества верхней

мантии.

К значительным и быстрым вертикальным перемещениям

приводят землетрясения, например, в Японии при землетрясе

нии в 1923 г. в Кванте сдвиги по высоте составили от +1,71

до +3,47 м, в Индии в 1934 г. возникли перемещения порядка

1,4 м.

Помимо геодезического метода изучение вертикальных дви

жений земной коры осуществляется также океанографическим

методом, состоящим в определении изменения среднего уровня

моря по наблюдениям на уровнемерных станциях, а также гео-

лого-геоморфологическим, наклономерным (изучение измене

ния наклонов поверхности) и гравиметрическим методами.

В последние годы были выявлены довольно интенсивные

вертикальные движения отдельных частей земной коры, проис

ходящие в результате действия техногенных факторов (произ

водственной деятельности людей), называемые антропогенной

тектоникой. Вследствие откачки нефти, газа, грунтовых вод,

разработки полезных ископаемых и создания искусственных

водохранилищ происходит прогибание и оседание частей по

верхности Земли. Например, в районе газового месторождения

Газли оседание земной поверхности за 3,5 года разработки со

ставило 4—6 см и происходит со скоростью 17 мм в год, на тер

ритории Ставропольского газового месторождения средняя ско

рость осадки составила 21 мм в год, а на отдельных участ

ках— 37 мм в год. За 20 лет эксплуатации газового месторож

дения в Дельта-Зареа (США) осадка его территории составила

60 см и происходила со скоростью 30 мм в год, а откачка грун

товых вод за этот же период привела к осадке земной поверх

ности до 4 м.

Столица Мексики — город Мехико — с 1880 по 1956 г. опу

стилась в среднем на 5,6 м, при этом скорость осадки все время

увеличивается: в прошлом веке она составляла 2 см в год,

а теперь — 24 см в год. Только в нашем столетии земная по

верхность Токио опустилась на 3,5 м, при этом скорость оседа

ния в отдельные периоды достигала 12 см в год. Десятая часть

города уже оказалась в Тихом океане. Такая же участь угро

жает красивейшему из прибрежных городов мира — Венеции,

ступеньки домов которой уже затоплены водой. Оседание

почвы в городах происходит и от вибрации тысяч станков, дви

жения городского транспорта и технических взрывов. Установ

лено, что в Москве на магистральных улицах дома оседают

в землю в два-три раза быстрее, чем в переулках (эти осадки

пока еще измеряются миллиметрами за несколько десятилетий,

но и их надо предусматривать). В Голландии же в некоторых

городах здания, примыкающие к автострадам, наклонены в сто

рону шоссе. Площадь оседания Большого Лондона составляет

2000 км2, а величина его оседания за последние 160 лет дости

гает 2 м.

Создание крупных водохранилищ приводит не только к про

гибанию их дна, достигающему нескольких десятков сантимет

ров, но и к возбуждению сейсмической активности. Во многих

странах Европы, Азии и Америки после заполнения водохрани

лищ происходили землетрясения значительной силы. Возбужде

ние сейсмической активности отмечается особенно после под

земных атомных взрывов, а также других технических взры

вов.

В результате действия техногенных факторов происходит не

только оседание отдельных частей земной поверхности, но и их

поднятие, а также горизонтальные смещения.

К периодическим вертикальным колебаниям приводят и при

ливообразующие силы Луны и Солнца.

Ряд исследователей полагают, что к небольшим периодиче

ским движениям земной поверхности приводят гидротермиче

ские влияния на верхний почвенный покров. Полный цикл их

происходит за год: в весенне-летний период вследствие нагре

вания и усыхания происходит опускание земной поверхности,

а в осенне-зимний — пропитка почвы влагой, ее разбухание и

поднятие, что должно учитываться при нивелировании.

С целью детального изучения и получения количественных

характеристик вертикальных и горизонтальных смещений зем

ной коры у нас в стране в сейсмически активных районах соз

даны геодинамические полигоны, на которых периодически вы

полняются точнейшие геодезические измерения. Обработка и

анализ последних позволят тщательно изучить характер движе

ния отдельных частей суши в указанных районах, поможет вы

явить характерные признаки предвестников землетрясений и

в будущем прогнозировать их.

Раздел первый

ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ

Глава 1

ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

И ПОВЕРХНОСТИ ОТНОСИМОСТИ.

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

§ 3 ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ, ИЗУЧАЕМЫЕ

В РАЗДЕЛЕ КУРСА

«ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ»

В этом разделе курса рассматриваются вопросы, связанные

с изучением фигуры и внешнего гравитационного поля Земли

и систем геодезических координат, распространяемых на всю

поверхность Земли.

Современная постановка задачи по определению фигуры

Земли заключается в установлении параметров земного эллип

соида с малым полярным сжатием, наилучшим образом пред

ставляющего Землю в планетарном масштабе, и в определении

физической поверхности Земли относительно поверхности этого

эллипсоида в единой системе координат. За физическую по

верхность Земли принимают поверхности суши и невозмущен

ных вод морей и Мирового океана. В ближайшие годы геоде

зия приступит к систематическому изучению поверхности дна

морей и Мирового океана. В связи с этим физическая фи

гура Земли будет ограничена поверхностью ее твердой обо

лочки.

Изучение внешнего гравитационного поля Земли также свя

зано с учением о земном эллипсоиде как о фигуре, представ

ляющей поверхность относимости, и с задачей о системах ко

ординат.

Имея в виду специфику курса, теорию о фигуре и внешнем

гравитационном поле Земли лучше начинать с изучения потен

циала и уровенных поверхностей, а затем логически перейти

к изучению систем геодезических координат.

Как самостоятельные вопросы рассматриваются теория вы

сот, способы определения уклонений отвесных линий и редук

ции геодезических измерений на поверхность земного эллипсо

ида как на поверхность относимости.

§ 4 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

Па материальную точку действуют сила притяжения Земли и

центробежная сила, возникающая вследствие суточного враще

ния Земли. Кроме того, материальную точку притягивают не

бесные тела (в основном — Луна и Солнце). При этом сила

притяжения Луны составляет 10-миллионную часть земного

притяжения, а притяжение Солнца — и того меньше. Поэтому

силу притяжения небесных тел учитывают в самых высокоточ

ных определениях.

Если обозначить через F силу земного притяжения и через

Р — центробежную силу, возникающую вследствие суточного

вращения материальной точки вокруг оси вращения Земли, то

равнодействующая этих двух сил g (рис. 1) составляет силу

тяжести Земли. Вектор силц тяжести g равен сумме векторов

силы притяжения F и центробежной силы Р ,

т.

е.

g = F + P . (1.1)

Сила притяжения F определяется распределением масс

и теле Земли и ее фигурой. Если в первом приближении при

мем Землю за шар, состоящий из концентрических слоев посто

янной плотности, то сила притяжения будет направлена

к центру Земли и согласно закону всемирного тяготения выра

зится формулой

F==/J 4m (U )

где М — масса Земли; т — масса материальной точки; f — по

стоянная всемирного тяготе

ния; г — расстояние от притя

гиваемой точки до центра

Земли.

Для реальной Земли сила

притяжения F отличается как

по величине от (1.2), так и по

направлению (см. рис. 1).

Центробежная сила Р на

правлена вдоль радиуса па

раллели и выражается фор

мулой

Р = /жо2р0, (1.3)

Рис. 1. Пространственные полярные

координаты и вектор силы тяжести

где со — угловая скорость вра

щения Земли; р0 — радиус па

раллели материальной точки.

Центробежная сила Р, достигающая максимального своего

значения на экваторе, составляет менее чем V

200

силы земного

притяжения. Поэтому сила тяжести в основном определяется

силой земного притяжения.

Земное притяжение легче будет изучать, если введем поня

тие потенциальной энергии. Согласно закону всемирного тяго

тения Ньютона, сила F взаимного притяжения точечных масс

М ит будет

F=fJ 7Г-* О-4)

Если расстояние г между двумя массами увеличено на бес

конечно малое

расстояние dr, то будет совершенна работа

d A ^ f-^ L d r .

г*

С другой стороны, эта работа связана с потерей потенциальной

энергии

—dV = f-MUL dr.

Г2

Отсюда потенциальная энергия

j Мт

Если для простоты массу т материальной точки примем за

единичную массу, то потенциальная энергия

V = f-!y . (1.5)

В такой трактовке в геодезии пользуются скалярной функ

цией V, называя ее гравитационным потенциалом массы М или

потенциальной функцией.

Согласно второму закону механики

F — та.

В нашем случае ускорение

о-в)*

Сравнивая это выражение с формулой (1.5), находим, что ус

корение

dV п 7Ч

а =

-------

— . (1.7)

Знак минус в формуле показывает, что вектор-ускорение

направлен по радиусу-вектору в противоположном направле

нии.

Формулы (1.4), (1.6) и (1.7) показывают, что сила притя

жения F массы М определяется ускорением а единичной массы,

в свою очередь ускорение единичной массы — гравитационным

потенциалом V массы М

Поскольку потенциал есть скалярная функция, то результи

рующий потенциал равен сумме элементарных потенциалов

dVi(i= 1, 2, ..., п), создаваемых каждой элементарной массой.

В частном случае гравитационный потенциал Земли можно

представить суммой потенциалов элементарных масс dm,, в об

щей совокупности образующих массу М Земли, т. е.

-f\ (1.8)

J Р

где р — расстояние от элементарной массы dm до точки, для

которой вычисляется потенциал V.

Гравитационный потенциал V задает поле гравитационных

ускорений таким образом, что в ортогональной системе состав

ляющие вектора-ускорения будут

dV dV dV

ау=

-------

:— ; az= —

дх 7 * ду дг

модуль вектора ускорения

ау Jr Яг»

Составляющие ускорения по осям координат можно найти,

умножив модуль вектора ускорения на направляющие коси

нусы:

ах — а cos (а, х); ay = acos(a, Waz = a cos (а, г). (1.9)

Теперь введем понятие потенциала центробежной силы. Ко

ординаты материальной точки (см. рис. 1) представим через

геоцентрический радиус г, широту Ф и долготу Я материальной

точки, т. е.

х = г cos Ф cos Я; y=r cos Ф sin A.; z = r sin Ф. (1.10)

Приняв во внимание, что в результате суточного вращения

Земли во времени изменяется только долгота, а ее производная

равна угловой скорости ю вращения Земли, находим

х = —гсозФзтД-со; у = г соэФсовЯм;

= 0. (1.11)

После повторного дифференцирования с учетом формул (1.10)

и (1.11) получим выражения

х = —(лН\ , — *z'—0. (1.12)

Вторые производные координат по времени (1.12), есть слага

ющие ускорения, в данном случае — ускорери^ центробежной

силы единичной массы. Они по аналогий тйгападмиими уско

рения

силы притяжения могут быть представлены частными

производными потенциала центробежной силы.

В действительности, если потенциал центробежной силы

t/ = -j-P S , (1.13)

Р о = У

*2+#2

COS Ф,

то его частные производные по осям координат

ay _ „ еи

= со2х;

-------

= со2 г/; -------- = О,

дх ду дг

взятые с обратным знаком, точно совпадают с составляющими

ускорения центробежной силы (1.12).

Потенциал силы тяжести Земли W равен сумме потенциалов

притяжения и центробежной силы, т. е.

W = V + U (1.14)

или с учетом формул (1.8) и (1.13)

dm , 1

= / J ~ ~ ~ + 0)2/‘2cos2Ф» (1.15)

Потенциал притяжения можно разложить в ряд по сфери

ческим гармоникам в виде [13, 14]

v = M

оо п

(Jnm COS rnk + Кпт sin/TzA.) Рпт (sin Ф)

п=2 т—О

(1.16)

где fM — геоцентрическая гравитационная постоянная; г, Ф,

к — геоцентрические координаты материальной точки; ае — эк

ваториальный радиус Земли; J nm, Кпт— гармонические коэф

фициенты разложения потенциала притяжения в ряд по сфери

ческим гармоникам; Р Пт (sin Ф) — сферические функции Ле

жандра п-й степени т-то порядка.

Гармонические коэффициенты Jnm, К п т относятся к постоян

ным параметрам, определяющим гравитационное поле притя

жения Земли. Гармоники потенциала, содержащие сферические

функции нулевого порядка (т = 0), называются зональными

гармониками.

Гармонические коэффициенты Jn0 (Кпо=0) называют з о 

нальными гармоническими коэффициентами.

Второй зональный коэффициент /2=0,001082627 является

главным, ибо он по величине существенно превышает осталь

ные коэффициенты разложения. Кроме того, через этот коэф

фициент можно представить полярное сжатие Земли [13, 14]

З г . 1 , 9 г 2 И 2 ^ т / 11

— А + — <7 + — Л - — ? Л?, (1.17)

3 2

q= — е“_ =0,0034614= 1/288. (1.18)

Потенциал силы тяжести W (1.15) с учетом разложения (1.16)

и параметра (1.18) запишем в виде

оо п

1— ^ ^ птС0ЪТп^ + KnmsmmX) х

п—2 т— 0

X P„msin®) + - j- q ^ - p j3c o s ^ j • (1.19)

Если известен потенциал силы тяжести W материальной

точки, можно вычислить составляющие силы тяжести Земли g,

представляющие собой частные производные потенциала W по

осям координат, т. е.

dW dW dW п om

g y =

------

T— ; g z =

-------

— • О-20)

dx ду 9 dz

Имея составляющие gx, gy, gZ) легко вычислить модуль вектора

силы тяжести и его направление по формулам

g = л /gl-\- gy-\- gZi (1-21)

cos(g, x )= g x/g; cos(gj y) = gylg\ cos (g, z)= g z/g.

Линия, по которой направлен вектор силы тяжести, назы

вается отвесной линией в данной точке.

Составляющие по любому направлению 5 легко получить

через полное значение силы тяжести

gs = g cos (g, s).

За единицу силы тяжести в системе СИ принят ньютон,

равный силе, сообщающей массе 1 кг ускорение 1 м/с2. (В си

стеме СГС за единицу меры ускорения силы тяжести принят

гал *, равный ускорению 1 см/с2).

Изложенные выше соображения позволяют сделать важный

вывод, что сила тяжести на земной поверхности — ее величина

и направление — зависит от геоцентрического расстояния и ра

диуса параллели материальной точки, а также от распределе

ния масс в теле Земли.

В честь И Ньютона и Галилея, открывших основные законы механики.

Отсюда следует и другой важный вывод, что, измерив силу

тяжести по всей земной поверхности, видимо, можно изучить

фигуру Земли и закономерности распределения масс в ее теле.

Вследствие полярного сжатия и суточного вращения Земли

сила тяжести увеличивается от экватора к полюсам Земли.

Если сила тяжести на экваторе составляет ge= 9,78 м/с2, то на

полюсе — gp=9,83 м/с2.

§ б, УРОВЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ГЕОИД И КВАЗИГЕОИД.

ЗЕМНОЙ ЭЛЛИПСОИД

Поскольку скалярные функции W и V зависят только от коор

динат точки пространства (земной поверхности или околозем

ного пространства), то можно задать такую поверхность, для

точек которой потенциал будет постоянным. Такую поверхность

называют эквипотен-ци ал ьно й или уровенной по

верхностью. Ясно, что масса М создает вокруг себя бес

счетное множество уровенных поверхностей. При этом следует

заметить, что сила тяжести как производная от потенциала на

уровенной поверхности, в общем случае остается переменной

по величине и направлению.

Уровенные поверхности Земли имеют сложную форму, ибо

Земля обладает сложной фигурой, а распределение масс, осо

бенно в ее наружных слоях, неравномерно. Поэтому уровенные

поверхности Земли изучают последовательными приближе

ниями, разделяя их на классы по степени точности.

Уровенные поверхности не могут пересекаться или касаться

друг друга, так как потенциал однозначно определяется коор

динатами.

Каждой уровенной поверхности соответствует единственное

значение потенциала W ^ C ^ on st и работа при перемещении

единичной массы по этой поверхности равна нулю, т. е. dW=

—gBds = 0.

Отсюда gs—g cos (g, s) =0, только из-за того, что cos (g,

s)= 0. Следовательно, на всех точках уровенной поверхности

сила тяжести направлена по нормали к уровенной поверхности.

Таким образом, уровенной поверхностью называется поверх

ность, во всех точках ортогональная к отвесным линиям.

Для определения силы тяжести достаточно взять производ

ную потенциала по внешней нормали к уровенной поверхности

* = - О -22)

Отрезок внешней нормали dh между двумя бесконечно близ

кими уровенными поверхностями

dh= — - ^ — . (1.23)