Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

Для эллипсоида Красовского (а=1 : 298,3)

(5 —U )"=346,3143 sin 25—0,2907 sin 45 + 0,0003 sin

Максимальное значение В—U будет на широте 45°:

(B-t/)max = 5'46,314".

Связь геоцентрической широты с приведенной и геодезиче

ской широтами, установим, пользуясь рис. 17 и формулами

(4.15) — (4.17). В действительности

tgФ =z/r=b sin U J{acos U).

Следовательно,

tg<D = (&/a)tgt/, (4.23)

tg<2> = (

/a2) tgfi. (4.24)

По аналогии с формулами (4.17) — (4.22) запишем следующие

соотношения:

tg<S = V T = ? tg U, (4.25)

tgU = V l + e'

-tgO, (4.26)

tg<D = ( l- a )tg U, (4.27)

U—® = nsin2t/— (n

/2)sin4t/ + (n

/3)sin6t/— . . .,

U— Ф = n sin 2Ф + (п212) sin 4Ф + (n

/3) sin

Ф -f ....

Максимальное значение разности U—Ф на широте U = 45°:

(U-ф ) шах = 5'46,314"

Для разности геодезической и геоцентрической широт по ана

логии с формулами (4.28) запишем формулы

В— Ф = т з т 2 5 — (m2/2) sin 45 + (m

/3) sin 6 5— . . .,(4.29)

В— Ф = т sin 2Ф + (т а/2) sin 4Ф-f (m3/3)sin60+ • • •,

т = е

—е2).

Для эллипсоида Красовского

(В— Ф )"= 692,6287 sin 25—1,1629 sin 45+0,0026 sin 65.

Максимальная разность между геодезической и геоцентри

ческой широтами на широте 45° равна 11'32,6", т. е. в два раза

больше, чем разность между геодезической и приведенной ши

ротами.

§ 16 ОСНОВНЫЕ СФЕРОИДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ДУГ МЕРИДИАНОВ

И ПАРАЛЛЕЛЕЙ

Функции

W = v

— e2sin2 В,

V = д/1 + е'2 cos

В,

зависящие от эксцентриситета эллипсоида и широты, называ

ются основными сфероидическими функциями.

Между ними имеется следующая связь:

Если учесть формулы (4.9), (4.10), (4.30) и (4.31), то

имеем следующее:

W* = 1— е

sin

В = (1 — е

+ е

cos

В) = (1 — е2) У2,

+ е

cos

В =

+ е'2— е

sin

В) = (l + е'2) W2.

Уравнение поверхности эллипсоида запишем в векторной

форме

или, с учетом формул (4.15),

s = (a cos U cos L) i + (a cos U sin L) j + {b sin U) k. (4.33)

Введем обозначения: dX, dY — дифференциалы дуг мери

диана и параллели; t\ (t2) — единичный вектор, касательный

к меридиану (параллели).

Полный дифференциал вектора $

Найдем частные производные вектора s (4.33):

= (—a sin U cos L) i + (—a sin U sin L)j-\-{b cos U) k, (4.34)

Г = ]Л — e?V = (b/a)V,

V = V l + e

W — {alb) W.

(4.32)

s==xi + yj + zk,

— = (—a cos U sin L) i + (a cos U cos L) j.

(4.35)

Для меридиана (L=const, dL — 0) имеем

С учетом частных производных (4.34)

= (a

sin

U -\-b

cos

U) dU2.

(4.36)

Для параллели (t/=const, dU—0) имеем

dYtz= — dL, dY2 —

/—

dLV-

2 dL \ dL )

С учетом частных производных (4.35)

dY2 = a

cos

UdL2. (4.37)

Пользуясь ранее полученными формулами, от приведенной

широты перейдем к геодезической. Из формулы (4.18) полу

чаем

1 + tg 2и— 1 + tg

B—e

откуда

1/cos 2U = l/cos

B—e

sin

B/cos2B

или

cos B/cos U —W. (4.38)

Аналогично

sin B/sin U = V. (4.39)

Используя соотношения (4.36) — (4.39), получим искомые

дифференциалы, выраженные через геодезические широту и

долготу:

dX = -fl(

~ g3. dB, (4.40)

d Y = — cos BdL. (4.41)

§ 17 ГЛАВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА

ВРАЩЕНИЯ И ИХ РАДИУСЫ КРИВИЗНЫ

Плоскости, проходящие через нормаль к поверхности в разных

направлениях, называются нормальными. Каждая нор

мальная плоскость пересекает поверхность по плоской кривой

линии, называемой нормальным сечением и имеющей

свою кривизну. Среди всего семейства нормальных сечений су

ществуют два, одно из которых имеет наибольшую кривизну,

а другое — наименьшую. Эти два сечения называются глав

ными нормальными сечениями, а их радиусы кри

визны— главными радиусами кривизны. Главные

нормальные сечения лежат на взаимно ортогональных плос

костях.

Установить положение главных нормальных сечений эллип

соида вращения можно следующим образом. Известно, что

плоскость меридиана делит поверхность эллипсоида вращения

на две симметричные половины. Следовательно, в исследуемой

точке на поверхности эллипсоида вращения любые два нор

мальных сечения, симметрично расположенные относительно

меридиана, имеют одну и ту же кривизну и поэтому такие се

чения не могут быть главными. Ясно, что меридиан будет од

ним из двух главных нормальных сечений. Радиус его кри

визны, обозначаемый через

М, является главным радиусом

кривизны эллипсоида вращения.

Вторым главным нормальным сечением будет сечение, пер

пендикулярное к меридиану и называемое сечением пер

вого вертикала. Радиус его кривизны, обозначаемый че

рез N, называется радиусом кривизны первого вер

тикала.

Главные радиусы кривизны М и N играют большую роль

в решении задач, связанных с эллипсоидом вращения, поэтому

рассмотрим формулы их вычисления.

Для любой кривой дифференциал ее дуги равен радиусу

кривизны, помноженному на дифференциал угла между каса

тельными к кривой в конечных точках этой элементарной дуги.

Следовательно, радиус кривизны меридиана можно найти

по формуле

М = -^ ~ , (4.42)

а радиус кривизны параллели — по формуле

(4-43)

Плоскость параллели составляет с плоскостью первого вер

тикала угол, равный геодезической широте В. Поэтому по тео

реме Менье можем написать

r = NcosB. (4.44)

Отсюда радиус кривизны первого вертикала

N = — . (4.45)

cos BdL

Используя ранее полученные значения дифференциалов дуг

меридианов и параллелей (4.40) и (4.41), а также дифферен

циальные соотношения (4.42) и (4.45), получим искомые фор

мулы для вычисления главных радиусов кривизны эллипсоида

вращения

М = - а (1~ е2) ■ =

------

0 (1

~ е2)

------

, (4.46)

(1 —e2sina В)3/2

N = 2

-----------

, (4.47)

_ e

2 sin2

)

1/2

как функций от параметров эллипсоида вращения а, е

и гео

дезической широты В.

Учитывая, что W~V\/~ 1 — в2, для главных радиусов кри

визны имеем еще такие формулы:

м =

а / л / 1 ~ е2

-----

1-~ е2

-----------

, (4.48)

___

(1 + е'2 cos2 В)3/2 *

м — а/

~ е2

= а/ V

~ е2

. /-4

)

У (1 + е'2 cos *в)1/2 ( ‘

Для ответа на вопрос, какой из двух радиусов больше дру

гого, достаточно определить их отношение

J L = V2= l+ e'\o& *B.

Очевидно, что N>M во всех точках поверхности эллипсоида

вращения, кроме его полюсов.

На полюсе (В = 90°)

M = N = a/V 1— е2.

Полюса — это особые точки, где все меридианы являются

главными нормальными сечениями. Главный радиус кривизны

эллипсоида у полюсов, называемый полярным радиусом кри

визны, обозначим буквой с, при этом

с = а! V I —е2. (4.50)

Главные радиусы кривизны возрастают от экватора к по

люсу и достигают на нем максимального значения. На эква

торе (В = 0°) получим М = а(

—в2), N = a. Таким образом, из

всего семейства параллелей экватор является единственным

главным нормальным сечением.

При решении практических задач геодезии, топографии и

картографии, а также в инженерных задачах используют сред

ний радиус кривизны R, равный среднему геометрическому из

главных радиусов кривизны в данной точке,

R = yM N = (a/V2(l— e2) = (a y r ^ ) / lF 2. (4.51)

При решении различного рода задач часто вычисляют зна

чения главных радиусов кривизны. Вычисления их на ЭВМ,

имеющих стандартные программы возведения числа в любую

степень, не вызывают затруднения. Однако в ряде случаев вы

числительной практики необходимо иметь формулы различной

точности.

Поскольку земной эллипсоид имеет малое полярное сжа

тие, разложим в ряд функции М (4.48) и N (4.49) относительно

малого параметра ri

= e/

cos2B по формуле

( l+

r = l + m,‘ + - l ^ V + ^ J ^ a - < +

п (п — 1) (я — 2) (п — 3) 8

+ ij Ч + ■ ■ ••

Тогда с учетом формул (4.48) — (4.50) получим быстросхо'

дящиеся знакопеременные ряды:

М = с ( 1— — / co s2B + — / co s4B —

\ 2 8

35 ,в в г, , 315 ,8 .г , \

—

-----

е cos6ВЧ

---------

г cos

В — . . . ),

16 128 /

(4.52)

N = t ( l

-----

—е' cos2В + — е' cos

В —

\ 2 8

_ _ 5 _ / co s eB + — / cos

B — . . . V

16 128 /

точность которых можно оценить по величине первого отбро

шенного числа.

Для эллипсоида Красовского

с =

399 698,902 м; е

' 2

= 0,006 738 5254; е

= 0,000 045 4077;

е/в = 0,000 000 3060; е'9 = 0,000 000 0021;

М =

399 698,902 — 64 686,800 cos

В + 544,867 cos

В —

— 4,284 cos

В + 0,033 cos

В — . . .; (4.53)

N =

399 698,902 — 21 562,267 cos

В + 108,973 cos

В —

—0,612cos6В + 0,004cos8В — . . .. (4.54)

В формулах (4.53) и (4.54) коэффициенты выражены

в метрах.

Первый отброшенный член в ряду (4.53) | ДМ | <0,0003 м,

а в ряду (4.54) — |AAf) <0,00003 м. Следовательно, радиусы

кривизны по формулам (4.53) и (4.54) вычисляются с ошиб

кой, не большей отброшенных членов.

Если в этих рядах отбросить последние члены, то ошибки

вычисления М и N соответственно будут не хуже 0,033 м и

0,004 м.

§ 18 ДЛИНЫ ДУГ МЕРИДИАНОВ И ПАРАЛЛЕЛЕЙ

ЭЛЛИПСОИДА ВРАЩЕНИЯ

Длина дуги меридиана

Меридиан представляет собой полуэллипс, концы которого сов

падают с полюсами эллипсоида. Он симметричен относительно

экватора, и поэтому нам достаточно получить формулу для

вычисления длины дуги меридиана от экватора до заданной

широты.

Для вычисления длины дуги меридиана от экватора (В = 0°)

до какой-либо параллели необходимо вычислить определенный

интеграл выражения (4 40). С учетом формул (4.40), (4.31),

(1 32) и (4.50) имеем

dX = с | (1 + е

' 2

cos

В)~

3,2

dB. (4.55)

Разложим подынтегральную функцию в ряд с учетом е'ъ и

проинтегрируем, используя известную формулу

[ cosnBdB = sin В со&п~1в + h z L [ c os n-*BdB. (4.56)

J It n J

С учетом пределов интегрирования получим быстросходя-

щийся знакопеременный ряд

Х = с [P0S + (р

cosB + |3

cos3B + р

cos

В + |J

cos

В) sin В],

_ _

е,а+ J L / _ JZ L / + 11025

Г 4 64 256 16 384

= Ро---

р. = / + J £ L / , (4.57)

32 384 л 8192 v

= _ J ^ / + ^ L / ,

96 ^ 2048

1024

Приведем формулу с коэффициентами для эллипсоида Кра

совского

X = с0В + (с

cos В + с

cos

В + ce cos

В -|- с

cos

В) sin В,

= IV = 5 367 558,4969 м,

= р

с = — 32 140,4049 м, (4.58)

= IV = 135,3303 м,

Ce = IV = — 0,7092 м,

с8 — р8с = 0,0042 м.

Если в формуле (4.58) отбросить последний член, то ошибка

вычисления длины дуги меридиана не превысит 0,004 м.

Длина дуги меридианного сечения эллипсоида вращения

Х = 2пс0. Для эллипсоида Красовского Х== 40 008 549,995 м.

Для вычисления длины дуги меридиана между заданными

широтами В

и В

следует по формуле (4.56) найти длину Х\

по аргументу В\ и длину Х2 по аргументу В2, а затем образо

вать разность АХ=Х2—Хи которая и будет искомой дугой ме

ридиана.

Внедрение ЭВМ в вычислительную технику привело к ши

рокому использованию численных методов интегрирования.

В частности, для определения длины дуги меридиана между

широтами В\ и В2 используется формула Симпсона, в соответ

ствии с которой имеем:

АХ = f M dB = — (M1 + 4Mm + M2), (4.59)

в 1 6р

где ДВ = (В 2—Вi), Мь М2, Мт — радиусы кривизны меридиан

ной кривой в точках с широтами В и В2) Вт= {В\ + 5

)/2;

р)

= 8

080 228-

(Н 3.

Эта формула позволяет вычислять дуги меридианов длиной

до 500 км с точностью 1—2 см. При длине дуги менее 45 км

с ошибкой менее

мм она подсчитывается как дуга на сфере

по формуле

А Х = Мт (В2—Si) /р.

Длина дуги параллели

Параллель представляет собой окружность радиуса r = NcosB.

Поэтому длину дуги параллели на широте В между меридиа

нами Li = const и L

= const найдем по формуле

Y = Ncos В {и — Ьг). (4.60)

Ясно, что при одной и той же разности долгот AL = L2—L\

дуга параллели на разных широтах будет иметь разную длину,

так как радиус параллели r = N cos В зависит от широты.

Из формулы (4.60) следует, что приращение дуги парал

лели при переходе от одной параллели к другой равно

AY^ — A В = — М sin В (L

— I*) А В.

дВ \ i \>

Так как МАВ = АХ, то

A Y = — (L

— Lx) sin Вт АХ, (4.61)

где Вт= (В2 + В0/2.

Для примера вычислим разность дуг параллелей на широ

тах Z?i = 29°30' и В

= 30°30' для разности долгот (L

—Li) =

= 5,72958°.

Подставим в формулу (4.61) заданные величины, имея

в виду, что длина дуги меридиана АВ=1° Х=111210 м. Тогда

искомая разность

AY = — 5:.7295-8°. sin 30° • 111 210 = — 5 556,5 м.

57,2958°

§ 19 ВЗАИМНО-ОБРАТНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ

Нормаль к эллипсоиду в точке с широтой В пересекает его

ось на расстоянии On = e2N sin В от центра эллипсоида. Нор

мали точек, лежащих на одной параллели (В — const), пересе

кают ось вращения эллипсоида в одной и той же точке. Оче

видно, что через нормали двух

точек, лежащих на одной па

раллели, можно провести пло

скость.

Нормали точек, расположен

ных на одном меридиане, пере

секают ось вращения Земли в

разных точках и все они лежат

в плоскости меридиана.

Нормали двух точек Qi и Q2,

лежащих на различных паралле

лях и меридианах, являются

пространственно скрещивающи

мися прямыми и не лежат на од

ной плоскости. Следовательно,

нормальные плоскости Q\miQ

и Q

m2Qi (рис. 19), первая из

которых содержит нормаль точки Qi и точку Q2, а вторая —

нормаль точки Q

и точку Qi, между собой не совпадают. Следы

их пересечения с эллипсоидом тоже не совпадут. При этом

кривая QimiQ2, исходящая из точки Qb будет прямым нор

мальным сечением для точки Qb а для точки Q

— обратным

нормальным сечением, и наоборот, кривая Q

w2Qi будет пря

мым сечением для точки Q

и обратным для точки Qь

Нормальные сечения QimiQ

и Q

m2Qi назовем взаимно-об

ратными нормальными сечениями.

В особых случаях, если точки Qi и Q2 лежат на одной па

раллели или на одном меридиане, взаимно-обратные нормаль

ные сечения совпадают.

Двойственность взаимно-обратных нормальных сечений соз

дает помехи при практическом их использовании. Так, например,

если измеренные углы плоского треугольника будем проектиро

вать на поверхность эллипсоида нормальными плоскостями, то

контур треугольника из-за двойственности взаимно-обратных

нормальных сечений окажется незамкнутым

Для устранения этой неопределенности точки Qi и Q2 на по

верхности эллипсоида соединяют особыми кривыми, называе

мыми геодезическими линиями.

Из множества кривых на эллипсоиде, которыми можно сое

динить две точки Qi и Q

, геодезическая линия соединяет их по

кратчайшему расстоянию. Заметим, что на сфере аналогом гео

дезической линии является дуга большого круга, а на плос

кости— прямая линия.

Треугольник на поверхности эллипсоида, образованный гео

дезическими линиями, называется сфероидическим треу

гольником (по аналогии: сферический треугольник — на

сфере, плоский треугольник — на плоскости).

В строгом понимании геодезической линией называется такая

линия на поверхности, в каждой точке которой главная нор

маль совпадает с нормалью к поверхности.

Рис. 19. Прямые и обратные нор

мальные сечения

В любой точке геодезической линия на поверхности фигуры

вращения произведение радиуса параллели и синуса азимута

геодезической линии сохраняет постоянную величину, т. е.

г sin А = const. (4.62jj

(

Выражение (4.62) называется уравнением Клеро. Из Herd

следует, что каждая геодезическая линия имеет свою постоян^

ную величину С. Однако уравнение Клеро представляет необхо*!

димый признак геодезической линии, но не достаточный. Так*

например, для параллели также соблюдается условие (4.62),

хотя она не является геодезической линией, так как ее главная

нормаль не совпадает с нормалью к поверхности фигуры враще*

ния. Из всех параллелей только экватор является геодезической

линией.

Каждая геодезическая линия на эллипсоиде вращения

в своем продолжении много раз пересечет экватор. На экваторе

радиус параллели имеет наибольшее значение, равное большой

полуоси эллипсоида, тогда sin А0 будет иметь наименьшее зна

чение. Из (4.62) следует г sin A = asin Л

= const. Так как г=

= a cos U, то sin A cos U= sin А

= const.

Разность дуг нормального сечения sn и геодезической линии

sg можно вычислить с помощью формулы Бесселя

sn—Sg = - ^ - ^ sgcos

sin2i41. (4.63)

Наибольшей величины эта разность достигает тогда, когда точка

Qi находится на экваторе и азимут Ai = 45°. В этом случае при

расстоянии Sg =

2 0 0 0

км разность sn—sg составляет всего

0,002

м.

Как правило, этой разностью на практике можно пренебречь.

Разность азимутов дуг нормального сечения Ап и геодезиче

ской линии Ag можно вычислить по формуле

Ап— — е2 —-— cos

sin

A1. (4.64)

Разность азимутов необходимо учитывать, ибо при расстоя

ниях 60, 600 и 6000 км она соответственно равна

0 1

" и

10 0

§ 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И РАМОК СЪЕМОЧНЫХ

ТРАПЕЦИЙ

Вычисление площадей

Съемочные трапеции являются частью поверхности земного эл

липсоида. Они ограничиваются линиями меридианов и паралле

лей. Вычисление их площадей сводится к вычислению площадей

сфероидических трапеций.

Площадь dP бесконечно малой трапеции ABCD (рис. 20) на

эллипсоиде, стороны которой являются элементами дуг мериди-