Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

щую остальную часть земной поверхности. Поскольку сила при

тяжения уменьшается пропорционально квадрату расстояния,

влияние аномальных масс на величину уклонения отвесных ли

ний по мере удаления от исследуемой точки Q будет умень

шаться и приобретать плавный характер. Отсюда видно, что об

ласть 2 может иметь ограниченный радиус и на ней достаточно

иметь более редкую сеть гравиметрических пунктов, чем ближ

няя область а.

Для точек области а, включая астрономо-геодезические пун

кты, вычисляют гравиметрические уклонения отвеса Фа и со

ответственно как влияния аномалий областей

а и 2. Затем,

сравнивая астрономо-геодезические и гравиметрические уклоне

ния отвесных линий на астрономо-геодезических пунктах, полу

чают исходный материал для интерполяции уклонений отвесных

линий для точек области а.

М. С. Молоденский показал, что достаточно учесть влияние

области 2 радиусом р2 в 3—4 раза большим, чем радиус ра об

ласти сг, чтобы применить линейную интерполяцию. Для рас

стояния между астрономо-геодезическими пунктами 200 км ока

залось достаточным иметь радиус р2 = 305 км. Исследования,

выполненные в ЦНИИГАиК, показали, что на территории

СССР, покрытой астрономо-геодезической сетью и гравиметри

ческой съемкой, уклонения отвесных линий можно выводить

с точностью 0,3". На окраинных районах страны, где область 2

имеет слабое гравиметрическое обеспечение, и на аномальных

горных массивах точность вывода уклонений отвесных линий

может быть несколько ниже, чем 0,5".

2. Понятие о способах определения высот геоида (квазигеоида)

Для вывода высот геоида (квазигеоида) используют дифферен

циальную формулу связи высот геоида £ и уклонений отвесных

линий вывод которой потребовал бы более подробного изло

жения теории потенциала, чем это нами сделано в гл. 1. По

этому приведем ее без вывода:

—dZ = dH, (2.2)

Ут Ут

где dH, — разности геодезических высот и высот геоида

между двумя точками; ds — элементарное расстояние. Строгий

вывод формулы (2.2) читатель может найти в монографии [14].

Проинтегрировав это выражение по ходовой линии между точ

ками Q

и Q

земной поверхности, получим превышение геоида

(квазигеоида) между этими точками

q2 q2

Cl—

£2

= [ — ®ds + [ - £ = ! . dH. (2.3)

J Ут J Ут

Qi Qi

В этой формуле первый интеграл является главным членом,

а второй — малой поправкой за относительный избыток силы

тяжести. Если принять |g— yU p = 0,05 см/с2 и \Н2— # i | = 2 км,

то второй интеграл будет порядка 0,1 м.

Если уклонения отвеса # определены астрономо-геодезиче-

ским способом, то нивелирование высот геоида (квазигеоида)

принято называть астрономическим нивелированием. Как

это было ранее сказано, для применения астрономо-геодезиче-

ского способа требуется плотная сеть астрономо-геодезических

пунктов. Для обширной территории нашей страны построение

плотной сети астрономо-геодезических пунктов потребовало бы

больших затрат, и поэтому астрономическое нивелирование по

лучило применение лишь в научных целях при исследовании от

дельных районов.

В Западной Европе и США астрономическое нивелирование'

нашло широкое применение. В СССР практическое применение

нашло астрономо-гравиметрическое нивелирование,

основанное на выводе уклонений отвесных линий О астрономо

гравиметрическим способом. Определение высот квазигеоида на

территории СССР, выполненное астрономо-гравиметрическим

нивелированием, широко используется в научных и практиче

ских целях.

Астрономо-геодезическое и астрономо-гравиметрическое ни

велирование связано с национальными системами геодезических

координат и различными референц-эллипсоидами. Поэтому за

дача определения высот геоида решается не в полной мере

и в первом приближении.

Новые возможности в изучении геоида появились с внедре

нием спутниковых методов определения геогравитационного

поля. Быстро прогрессируют средства измерения высот ИСЗ над

океаном и морями. По измеренным высотам при известной ор

бите ИСЗ можно определить профили геоида вдоль трассы по

лета ИСЗ.

Спутниковые данные приобретают все больший вес в изу

чении фигуры Земли. Близкие к Земле спутники из-за нецен

тральное™ притяжения Земли имеют большие возмущения, чем

Луна. Так, например, ИСЗ на высоте 1000 км имеет возмуще

ние орбиты, вызванное полярным сжатием в 1 млн. раз больше,

чем Луна. Этим объясняется факт, что из наблюдений ИСЗ в на

стоящее время полярное сжатие определено весьма надежно.

Наблюдения только второго советского спутника в 1957 г. поз

волили определить полярное сжатие Земли с точностью, кото

рая была достигнута после обработки астрономо-геодезических

данных, полученных классическими методами, более чем за

100 лет. В настоящее время из наблюдений ИСЗ полярное сжа

тие Земли определено с ошибкой, соответствующей ошибке раз

ности большой и малой полуосей земного эллипсоида, порядка

0,3 м. Из обработки наблюдений ИСЗ за продолжительный пе

риод обнаружена годичная вариация второго гармонического

рэффициента геогравитационного

отсициала.

Радиовысотомер, установленный

Mil борту ИСЗ, измеряет разность

■ысот двух поверхностей: средней

уровенной поверхности морей и

(Океанов и уровенной поверхности

ИСЗ. Радиовысотомер с помощью

йираболической антенны передает

Цертикально вниз высокочастотные

Импульсы электромагнитных волн

Сантиметрового диапазона, продол

жительностью 100 не. Сферический

фронт волны, распространяемой от

радиовысотомера, достигает поверх

ности океана по кратчайшему рас- рис. 8. Геометрия спутнико-

ПОЯНИЮ, И в течение ПОЧТИ 100 НС вого нивелирования

подспутниковая точка поверхности

океана покрывается освещенной площадкой. Отраженный сиг

нал в идеальных условиях прохождения тем же кратчайшим

путем вернется в приемник радиовысотомера. Специальное уст

ройство детектирует и осредняет большое число сигналов. Пик

сигнала нормируется до постоянного значения, и за момент

приема отраженного сигнала принимается момент, когда его

мощность впервые оказывается больше нормированного ее зна

чения. Решающая цепь выводит время прямого и обратного

прохождения сигналов по кратчайшему расстоянию.

Геометрию спутникового нивелирования поясним с помощью

рис. 8, в котором приняты следующие обозначения: г, ф — гео

центрические радиус и широта спутникового радиовысотомера

Q; Ль фо — геоцентрические радиус и широта подспутниковой

точки Qо на геоиде; В — геодезическая широта спутникового ра

диовысотомера; g — составляющая уклонения отвеса; отрезок

QoQ = h — высота спутникового радиовысотомера над геоидом;

отрезок QeQo = t>— высота геоида над отсчетным эллипсоидом.

Сумма углов v и vo для фиксированной высоты равна разности

геодезической В и геоцентрической <р широты точки Q. На ши

роте В = 45° при h= 1000(1500) км эти малые углы имеют сле

дующие значения: v= 10,02'(9,34х) ; v0= 1,52'(2,20'). Пользуясь

рис. 8, запишем векторное уравнение спутникового нивелиро

вания

г = г0+/г. (2.4)

Из этого векторного уравнения следует: если известен геоцен

трический радиус-вектор г спутникового радиовысотомера и из

мерен вектор hy то определяется геоцентрический радиус-вектор

го геоида; если задан геоид и измерен вектор Л, то определяется

геоцентрическии радиус-вектор г спутникового радиовысото*

мера.

Особый практический интерес представляет вариант, когда

известны геоцентрические радиус-векторы геоида

и радиовы

сотомера г. В этом частном случае можно будет предвычислить

вектор h и сравнить с измеренным его значением И'. Имея ста

тистику генеральной совокупности разностей вычисленных и из

меренных значений высот радиовысотомера над океаном, можно

решать разнообразные геодезические и геофизические задачи:

эталонирование радиовысотомера, исследование метеоусловий

над океаном, определение амплитуды волн океана, оценку точ

ности прогноза орбиты ИСЗ и другие задачи.

В спутниковом нивелировании измеряется высота ИСЗ над

геоидом — вектор h. Главными источниками ошибок измерения

h являются: радиовысотомер, прохождение импульсов и геомет

рия океана.

Систематические приборные поправки радиовысотомера

могут быть определены метрологически на эталонных полиго

нах океана. Случайная часть приборной ошибки высотомера

может быть снижена до 0,05 м.

Ошибки определения прохождения импульса из-за неучета

тропосферной рефракции фронта радиоволны могут достигать

5 м. Большую часть этих ошибок можно исключить путем опре

деления температуры, давления и влажности над океаном

вблизи района нивелирования. При тщательно отработанной ме

тодике учета метеофакторов ошибку определения прохождения

импульсов можно снизить до 0,08 м.

Для ослабления влияния топографии поверхности океана

используют статистику высот волн на различных акваториях

океана по временам года. Выявлено, что при эффективной вы

соте волн / = 12 м высота ИСЗ от среднего уровня океана умень

шается на 1,8 м. Статистика показывает, что эффективная вы

сота волн /=8 м зимой в северной Атлантике наблюдается один

раз в неделю, а /=16 м в течение 15 лет — всего 3—4 ч. Летом

волны высотой 1=2 м наблюдаются 40 % времени, а с высотой

/ = 6 м — 1 % времени. Таким образом, наиболее точные опреде

ления геоида могут быть выполнены по летним наблюдениям.

За сутки можно отнивелировать два профиля геоида, а за

год океан можно покрыть нивелировкой 20 раз. Поэтому плани

рование и выполнение глобального спутникового нивелирова

ния, периодическая калибровка спутниковых радиовысотомеров

относятся к классу крупных научно-технических и производ

ственных задач, решаемых в государственном масштабе.

В заключение отметим, что в зарубежной и отчасти в совет

ской литературе спутниковое нивелирование, которое представ

ляет идеальный способ прямого нивелирования высот геоида,

называют спутниковой альтиметрией.

Спутниковое нивелирование, позволяющее периодически изу

чать поверхность водной оболочки Земли (более 70 % всей зем-

Рис. 9. Карта-схема высот геоида над общим земным эллипсоидом

мой поверхности), становится самым мощным способом опреде

ления высот геоида. Однако это не снижает значения наземной

и морской гравиметрической съемок. Наиболее представитель

ные и точные определения высот планетарного геоида могут

быть выполнены из комбинации спутниковых и наземных астро-

ломо-геодезических и гравиметрических данных.

На рис. 9 представлена схема карты высот геоида над обще

земным эллипсоидом, составленная на основе использования

спутниковых и наземных данных. На рис. 10 приведены профиль

геоида вдоль экватора (а) и его сечения по экватору (б) и на

чальному меридиану 0— 180° (в). Сечения по другим паралле

лям и меридианам заметно отличаются друг от друга.

м . Африка Азия

Тихий океан

+ 77м

Южная Америка Африка

Эллипсоид

Г еоид

Кордильерыi

270г

Дения

\\ Шри-Ланка

Тихии

океан.

90°N

Тихий

океан

/ ) Новая

Гвинея

Франция

180°

Рис. 10. Сечения геоида

Гвинейский

^ ^ залив

P oc fP s W А шант м

Как видно из рис. 9 и 10, геоид характеризуется крупными

волнами широтного и долготного простирания, охватывающими

целые континенты и океанские просторы. Установлена асиммет

рия северного и южного полушарий, проявляющаяся в том, что

северный полюс примерно на 43 м больше удален от экватора,

чем южный полюс. Надежно определена эллиптичность эква

тора, при этом большая полуось эллипса имеет западную дол

готу 14,9°.

Замечено, что высоты геоида в планетарном масштабе не

коррелированы с рельефом, а отражают неоднородности масс

на больших глубинах земных недр. Большая часть Азии и Ан

тарктиды характеризуется отрицательными высотами, тогда как

Атлантический океан имеет положительные высоты.

§ 10. РЕДУКЦИОННАЯ ЗАДАЧА В ГЕОДЕЗИИ

В классической геодезии, как правило, эллипсоидальные кри

волинейные геодезические координаты (В, L) и геодезическая

высота (Я) определяются раздельно. При таком подходе воз

никает редукционная задача, сущность которой заключается

в переходе от непосредственно измеренных величин на земной

поверхности к их проекциям на поверхности относимости (ре-

ференц-эллипсоиде). Математическая обработка измерений,

связанная с определением геодезических координат, решается

на поверхности земного эллипсоида. При этом его поверхность

служит отсчетной для геодезических высот. Как правило, при

определении двумерных координат В, L от поверхности эллип

соида переходят на плоскость, что существенно облегчает в це

лом решение задачи.

Ф. Н. Красовский решил редукционную задачу как проек

тирование измеренных величин на поверхность эллипсоида по

нормалям. Предложенный Ф. Н. Красовским метод решения

редукционной задачи называется методом проектирова

ния.

При решении редукционной задачи возникают следующие

операции: 1) вычисление поправок за уклонения отвеса, т. е.

переход от отвесной линии, по которой ориентируется верти

кальная ось прибора, к нормали поверхности референц-эллип-

соида; 2) вычисление поправок за высоту над поверхностью

эллипсоида; 3) переход от редуцированных элементов на по

верхности эллипсоида к геодезическим линиям на поверхности

эллипсоида *; 4) отображение геодезических линий на поверх

ности эллипсоида на плоскость.

В прошлом, когда высоты геоида определялись неуверенно,

применялся упрощенный метод решения редукционной за

дачи— метод развертывания, по которому измеренные

углы проецировались на поверхность эллипсоида без учета по

правок за уклонения отвесных линий, а длины приводили

к уровню моря и без каких-либо изменений переносили на по

верхность эллипсоида. В методе развертывания как бы пред

полагается, что отступления геоида от эллипсоида настолько

малы, что можно ими пренебречь.

Теперь приведем формулы редукции угловых измерений на

поверхность земного эллипсоида за уклонения отвесной линии

vA' и геодезическую высоту Va наблюдаемого пункта А мето

дом проектирования. Поправки в азимут и зенитное расстоя

ние vz вычисляют по формулам:

vA = — (Я— L) sin ф + (т) cos A — gsin A)ctgz0, (2.5)

vA = 0,108 # км cos2 В sin2A, (2.6)

Vz = £ cos A -f г] sin A. (2.7)

Поскольку измеренное направление N не ориентировано в от

личие от азимута, то первый член в формуле (2.5) можно ис

ключить, следовательно, для измеренного направления редук

ционная поправка за уклонение отвесной линии

v'n = (л cos А — Е; sin A) ctgz0. (2.8)

Формула (2.6) учитывающая высоту Н и широту В наблю

даемого пункта, справедлива и для измеренного направления,

т. е.

v"N = 0,108 Нкм cos2 В sin 2А. (2.9)

Для пояснения формулы редукции линии на поверхности

эллипсоида обратимся к рис. 11, на котором D — измеренная

линия между точками Qi и Q2 земной поверхности, s — длина

дуги сферы между проекциями на сферу Qi° и Q2° указанных

точек. Известно, что дугу нормального сечения эллипсоида

длиной до 600 км с относительной ошибкой 1 *.2 500 000 можно

заменить дугой сферы, если ее радиус вычислить по формуле

R = N J{ 1 + е'2 cos2 Вт ах? А), (2.10)

где Nm. — радиус кривизны нормального се

чения земного эллипсоида для средней ши

роты Bm= y 2(Bi + B2), т. е.

Nm = a/(V 1 — еа sin2 Bm), (2.11)

е' — второй эксцентриситет земного эллип

соида (для референц-эллипсоида Красов-

ского е ' 2= 0,00673852, а квадрат первого

эксцентриситета е2 — 0,00669342). Решая

треугольник OQxQ2, находим, что

D^ = 4{R+H i) (R + H2)sin2(гр/2) + (Я2—Я ,)2.

Отсюда

i|i = 2 arcsin (kD/2R),

(2.12)

/Н^-Нгу

(2.13)

Искомая проекция линии на поверхности эллипсоида

Поправка за высоту пунктов Qi и Q

= D .

(2.14)

(2.15)

Затем остается перейти к геодезическим линиям на поверхно

сти эллипсоида и отобразить их на плоскости по законам той

или иной геодезической проекции. Эти вопросы будут рассмот

рены в следующем разделе нашего курса.

Глава 3

СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ФИГУРЫ ЗЕМЛИ. КРАТКИИ

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

§ И. О МЕТОДАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФИГУРЫ ЗЕМЛИ

Основные методы изучения фигуры Земли:

1. Астрономо-геодезический метод, основанный на исполь

зовании геодезических и астрономических измерений на по

верхности Земли.

2. Гравиметрический метод, базирующийся на измерении

ускорения силы тяжести в различных точках земной поверх

ности.

3. Методы космической геодезии, основанные на использо

вании наблюдений искусственных и естественного спутников

Земли, а также далеких космических объектов.

1. Астрономо-геодезический метод

Этот метод является наиболее старым, но не потерявшим своего

значения до настоящего времени методом изучения фигуры

Земли. Однако со временем менялось основное содержание за

дач, решаемых им.

Если прежде главной целью метода было определение боль

шой полуоси и сжатия эллипсоида, лучше всего подходившего

к фигуре геоида, то в последние годы, в связи с изменением

содержания задач современной геодезии [13, 14], основным на

значением его стало определение положения пунктов астроно-

Рис. 12. Определение радиуса Рис. 13. Определение параметров эл-

шара липсоида

мо-геодезической сети в единой системе координат, положение

осей которой задано относительно оси вращения и экватора

Земли и плоскости начального меридиана отсчета долгот. На

принятом референц-эллипсоиде выбирается исходный пункт,

для которого определяют исходные геодезические даты и отно

сительно которого путем вычисления приращения координат,

высот и азимутов определяется положение пунктов развивае

мой геодезической сети.

Если принять Землю за шар, как это считали в древности,

то для определения его размеров необходимо знать радиус.

Для этого достаточно измерить на поверхности шара длину

дуги 5 (рис. 12) и определить стягиваемый ею центральный

угол А В. Последний может быть получен по разности широт

точек Qi и Q2: АВ = В2—Вь где В{— широта точки Qu В2 —

широта точки Q2. Тогда радиус шара

Я = - ^ - р , (3.1)

Д В

где р — радиан.

Широты точек концов дуги определяются из астрономиче

ских наблюдений.

Однако если считать Землю эллипсоидом вращения с ма

лым сжатием, как это было признано после работ Ньютона, то

для определения ее формы и размеров измерений одной дуги

оказывается недостаточно. Для этого необходимо определить

два его элемента: либо обе полуоси а и b (рис. 13), либо одну

полуось а и сжатие а = (а—Ь)/а, либо полуось а и эксцентри

ситет е = ^/{а2—62)/а2. При этом сжатие и эксцентриситет опре

деляют сплюснутость эллипсоида, а полуоси — его размеры.

Длина дуги Si является функцией параметров эллипсоида

а и а и широт ее концов В\ и В2) т. е.

а, Въ В2). (3.2)

Если 5

будет измерена, а В\ и В2 получены из астрономи

ческих определений, то в уравнении (3.2) будут два неизвест

ных параметра а и а. Для их определения надо иметь минимум j

еще одно такое же уравнение, которое может быть составлено ;

в случае измерения второй дуги:

*^2

(^>

Bs,

В4), (3.3)

расположенной между широтами В3 и В4.

Решив совместно уравнения (3.2) и (3.3), можно опреде

лить параметры эллипсоида вращения а и а, а затем и другие

его элементы.

При наличии большего числа дуг искомые параметры опре

деляют по методу наименьших квадратов.

Если В2—В 1=1°, то S становится длиной дуги 1° меридиана

под средней широтой Вт .

Так проводились градусные измерения по определению раз

меров Земли с конца XVII в., когда впервые приступили к на

учному решению вопроса об эллипсоидальности Земли геодези

ческими методами.

Аналогичным методом выполняли градусные измерения по

параллелям, для чего необходимо было измерение минимум

двух дуг параллелей с различными широтами и разности дол

гот концов этих дуг I. Градусные измерения по параллелям

получили широкое развитие со второй половины XIX в. после

изобретения телеграфа, в связи с чем резко повысилась точ

ность определения долгот.

Во всех последующих выводах размеров земного эллип

соида градусные измерения по меридианам и параллелям ис

пользовали совместно.

Перечисленные методы градусных измерений носят назва

ние метода дуг. Эти методы применяли тогда, когда дуги

градусных измерений располагались разрозненно, на значи

тельных расстояниях друг от друга. В настоящее время геоде

зические сети покрывают сплошь целые государства и даже

континенты. Их совместная обработка позволяет вывести раз

меры земного эллипсоида под условием наилучшего приближе

ния поверхности определяемой фигуры к поверхности геоида.

Этот метод называется методом площадей. Послед

ние выводы размеров земного эллипсоида астрономо-геодезиче-

ским методом были основаны на использовании метода пло

щадей.

Известно, что астрономо-геодезический метод позволяет оп

ределять уклонения отвеса и аномалии высот. Кроме того, ис

пользуя измерения зенитных расстояний и данные геометриче

ского нивелирования, можно непосредственно определить и

геодезические высоты [17, 13, 14]. Тем самым этим методом бу

дут получены все необходимые редукционные элементы для

определения взаимного положения поверхности Земли и приня

того эллипсоида

Таким образом, оба этапа в изучении фигуры Земли* опре

деление поверхности относимости с ориентировкой ее в теле