Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

угол Q

P, по которому вычисляется азимут Л

= 360°—Q

;

в обратной задаче известны стороны QiP, Q2P и разность дол

гот 1\ из решения треугольника определяются s, угол А\ и угол

Q1Q2P, по которому вычисляется Л2.

Однако ввиду значительности сторон треугольника Q

достигающих нескольких тысяч километров (например, при рас

положении стороны Q1Q2 на широте 50° стороны Q\P и Q2P

будут порядка 4000 км), прямые методы связаны с довольно

сложным решением сфероидических треугольников. Как из

вестно, для решения сфероидических треугольников нет конеч

ных замкнутых формул, так как их стороны, представляющие

дуги меридианов и параллелей или геодезические линии на по

верхности эллипсоида, выражаются эллиптическими интегра

лами, не определяющимися в элементарных функциях.

Поэтому при решении сфероидических треугольников их сна

чала проектируют на вспомогательную сферу, на которой про

водят решение, после чего совершают обратный переход на

эллипсоид. Установление строгих аналитических зависимостей

между элементами таких больших сфероидических и сфериче

ских треугольников и их точное решение требуют значительной

и кропотливой вычислительной работы с применением очень

сложных формул и десятизначных таблиц натуральных тригоно

метрических функций.

Поэтому на практике, особенно при вычислениях с неболь

шими длинами сторон (например, в триангуляции), предпочи

тают применять более простые косвенные методы решения глав

ной геодезической задачи, которые с достаточной точностью

обеспечиваются применением семи- или восьмизначных таблиц

натуральных тригонометрических функций или удержанием 7—

десятичных знаков

Косвенные методы решения главной геодезической задачи

заключаются в определении приращений (разностей) широт,

долгот и азимутов в функции заданных величин, после чего по

найденным разностям определяются искомые элементы.

Так, например, при решении прямой задачи предварительно

определяются разности

B1 = dB — fi(B1, Lx, Aly s);

— = dL ==

(Въ Ьъ Alf s); (5.22)

— A\ dz 180° = dA = f3 (S i, Zvj, Ax, s),

после чего находятся

= Bi -f* dB;

!*==£! + dl; (5.23)

— Л

i 180°+ d4.

Если заданы координаты исходной точки Si, Lx и азимут

направления Л

, то при длине дуги s, малой по сравнению с ра

диусом Земли, координаты второй точки будут функциями длины

, и разности (5.22) можно представить в виде сходящихся сте

пенных рядов, зависящих только от расстояния s, т. е.

где частные производные вычисляются по заданным (первона

чальным) значениям Вь Li, А\. Количество членов разложения

удерживается в зависимости от длины s, чем больше расстоя

ние, тем больше членов при одной и той же точности вычисле

ний надо удерживать. При расстоянии между определяемыми

пунктами в 600—800 км приходится удерживать пять членов

ряда, в то время как при 30—40 км достаточно ограничиваться

двумя членами, при этом сами выражения частных производных

получаются проще. При больших расстояниях сходимость рядов

ухудшается и разложение в ряды по степеням s становится не

выгодным (если s> R y то ряды расходятся).

Поэтому косвенные методы удобно использовать при относи

тельно небольших расстояниях между пунктами. При больших

расстояниях используют разложение в ряд по возрастающим

степеням е2.

Значение первых производных в формулах (5.24), используе

мых затем для получения вторых, третьих и т. д. производных

можно получить, если рассматривать элементарный полярный

треугольник Q1Q2P (рис. 24), в котором сторона ds во много раз

меньше сторон Q\P и Q

-P

, a t = dA. Проведя из Q

параллель

Q2C до пересечения с меридианом QiP, из треугольника Q

имеем

Q±C = MdB = dsco$A, (5.25)

q2C = rdL = N cos BdL = ds sin A. (5.26)

Из прямоугольного сферического треуголь

ника CQ2P получим

cos (90° — dA) — sin dL sin [90° — (90°—В—dB)] =

= sindL sin(B-f-dB).

Полагая по малости dA^sindA, sin dL

dL; dB = 0, sin (B + dB) = sin В, получим

t = dA = dL sin В = ^ssin A sin В =

N cos В

Рис. 24 Элемен

тарный полярный

треугольник

ds sin A tg В.

(5.27)

Из (5.25) — (5.27) получим исходные дифференциальные

уравнения, служащие для решения многих задач сфероидической

геодезии:

dB cos A V s ,

-----

---------

------

cos Л;

ds М с

Ак- — _!1еА secB = — sec В sin Л; (5.28)

ds N с

dA sinA tgB = -^tgBsinA.

ds N с

Первые два уравнения (5.28) относятся к элементам любой

кривой на поверхности эллипсоида, третье — только к геодези

ческой линии. Проинтегрировав по s равенства (5.28), получим

значения разностей координат в общем виде, а затем и решение

прямой задачи по (5.23):

В2— ^1==5 ^ ~ cos^ s>

L2— Lx— ^ — secBsfr^ds; (5.29)

± 180°= [ — tg В s\n Ads.

Однако полученные интегралы эллиптические и в элемен

тарных функциях не берутся. Поэтому используют различные

приемы для их определения, в частности указанное выше раз

ложение в ряды, проектирование на сферу или численные ме

тоды.

Формулы для решения обратной задачи косвенными мето

дами получаются обращением формул, применяемых для пря

мой задачи.

Наиболее широко распространены следующие три косвенных

метода:

) вспомогательной точки;

) разложения разностей

координат и азимутов в ряды по средним аргументам; 3) исполь

зование вспомогательной сферы.

Последний метод отличается от прямого тем, что перено

сятся на сферу и со сферы на эллипсоид не сами элементы, а их

разности. Решение треугольников на сфере также осущест

вляется по особым формулам, позволяющим находить сразу

разности элементов этого треугольника.

Решение главных геодезических задач может осуществляться

также путем предварительного проектирования на плоскость

исходных величин (например, в проекции Гаусса—Крюгера),

вычисления определяемых элементов на плоскости и обратного

проектирования полученных результатов на эллипсоид. Этот

путь целесообразен при небольших длинах сторон (до 300 км),

когда поправки при редуцировании s и А невелики и вычисля

ются довольно просто.

Другим методом решения главной геодезической задачи яв

ляется метод хорд М. С. Молоденского, в котором вместо геоде

зических линий используются хорды эллипсоида, образующие

плоские треугольники. Решение проводится в системе простран

ственных координат по замкнутым формулам на любые расстоя

ния и с любой точностью. Метод довольно трудоемкий, требую

щий нескольких приближений Он используется в специальных

задачах.

В последнее время в связи с внедрением ЭВМ большое рас

пространение получили численные методы решения главных гео

дезических задач. Удобные алгоритмы их решения приведены

в [15].

Рассмотрим вопрос о необходимой точности вычислений и

количестве знаков, удерживаемых при решении прямой и обрат

ной задач. При этом исходят из того, что погрешности вычисле

ний никогда не должны увеличивать погрешности полевых из

мерений. Все вычисления обычно выполняют с точностью, в 10 раз

превышающей точность измерений (на один значащий знак

больше).

Поэтому, учитывая, что направления в триангуляции стар

ших классов получаются из полевых измерений с точностью до

0,01", все вычисления азимутов проводят до 0,001". Учитывая же,

что ошибка во взаимном положении пунктов в современной

триангуляции ти составляет

—7 см, а ее проекции на оси ко-

ординат тх ^ ту = ти!\/Г2 « 5 см, ошибки вычисления геодези

ческих координат (в угле) должны быть порядка

т в = *£ -р = р « 0,0015;

в м v м v

т — — Ш— р = — — р « 0,0015 sec В.

L N cos В N cos В

Чтобы не допускать накопления ошибок вычислений при по

следовательном решении прямой задачи для ряда пунктов, вы

числения широт и долгот производят с точностью до

0 0 0 1

используя восьмизначные таблицы тригонометрических функций.

При длинах сторон, меньших 30 км, с указанной точностью вы

числения могут выполняться при помощи семизначных таблиц.

До недавнего времени главная геодезическая задача в ос

новном применялась в триангуляции

класса, однако в связи

с развитием ракетной техники и специальных работ в морской

и воздушной навигации ее значение сильно возросло, и она на

ходит широкое применение при решении задач на самые различ

ные расстояния вплоть до нескольких десятков тысяч километ

ров при самых различных требованиях к точности вычислений*

§ 24 УПРОЩЕННЫЕ ФОРМУЛЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ

ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ПО МЕТОДУ

ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ТОЧКИ (ФОРМУЛЫ ШРЕЙБЕРА)

Общий ход решения задачи

Данный метод применялся при решении задач в триангуляции

класса, длины сторон которой в подавляющем большинстве

случаев колеблются от

до 60 км. Поэтому приводимые ниже

формулы выводятся под условием, что длина геодезической ли

нии s находится в указанных пределах и точность вычислений

координат должна быть равной

0 0 0 1

Пусть на эллипсоиде (рис. 25) даны координаты точки Qi

(Вj, Li), длина геодезической линии Q1Q2

— 5

и ее азимут Ль

Требуется определить координаты точки (?

(В2, Ь2) и обратный

азимут Л2.

Для решения задачи проведем через Qi и Q2 меридианы QiP

и Q

P, затем из точки Q2 проведем геодезическую линию пер

пендикулярно к меридиану Q\P до пересечения с ним в точке С,

называемой вспомогательной. Широту вспомогательной точки

обозначим В о, а разность широт между ней и заданной — b о =

= В

—В\\ азимут линии CQ2 равен 90°. После этого через точку

С проведем параллель до пересечения с меридианом Q2P в точке

Z), широта которой также будет

равна В0. Обозначим разность

широт точки D и точки Q

через

d = B0—В2. Проведем через точку

Q2 геодезическую параллель

к меридиану QXP (линию, парал

лельную меридиану Q\P). Обоз

начим угол между меридианом

точки Q2 и геодезической парал

лелью через /. Он характеризует

непараллельность меридианов,

проходящих через разные точки,

и называется геодезичес

ким сближением мериди

анов. Учитывая, что разность

долгот меридианов QiP и Q2P

равна /, общий ход решения

прямой задачи можно предста

вить в следующем виде

— В^ -f- bo—d — В о—d = Bj -j- by

где b = b0—d; (5.30)

Рис. 25. Решение прямой геодези-

= 360° — Z. CQ2P — Z_CQ

Qi* ческой задачи по методу вспомо

гательной точки (метод Шрей-

(5.31) бера)

Ho ZCQ2P = 90°—t, a ZCQ2 Q1 из сфероидического треугольг'!

ника Q1CQ2 , который по малости сторон (они не превышают

60 км) может приниматься за сферический, определяется из ра

венства

Qa + 90°-fi41= 180°-fe, откуда Q a=180°-fe—90° — Лх =

= 90°+

— Ль

где

— сферический избыток треугольника Q1CQ2.

Следовательно,

= 360° — (90°— 0 — (90° +

—Лх) = Лх + 180° + t—е. (5.32)

Таким образом, решение задачи сводится к отысканию ве

личин bo, I, d, t и е. При этом величины d и е являются вели

чинами второго порядка малости по сравнению с b0, I и t,

а вследствие того, что азимуты геодезических линий QiC =

° и

= 90°, некоторые члены в рядах (5.24) становятся равными

нулю и задача по отысканию разностей координат значительно

упрощается. Ниже приводится геометрический метод вывода

формул, предложенный Ф. Н. Красовским.

1. Решение сферического треугольника QiCQ2

по теореме Лежандра

По малости треугольника Q1CQ2 рассматриваем его как сфери

ческий, т. е. расположенный на сфере радиуса Ri. Соответст

вующие плоские приведенные углы треугольника будут:

С' = 90'— Q; = 90 ‘ - Л ^ в — 1- =

= 9 0 ° - ( л 1- ^ - е). (5.33)

По теореме синусов имеем

QXCI sin Q2 = sf sin C\ CQJ sin Qi = si sin С ,

откуда, подставив значения углов из (5.33) после разложения

синусов и косинусов в ряд Тейлора, ограничившись двумя чле

нами разложения, с учетом малости

, получим

2 8

QjC = scos Ах Н------

ssir^ x; CQ

= s sin Лх

--------

всоэЛх, (5.34)

3 3

где е = s

sin Qj sin Q

/(2/?2 sjn C ^ s

sin Л^обЛ^/?®). (5.35)

Обозначим через

и = scos Лх, u = ssu^ x, (5.36)

тогда е = uv!(2R'f). (5.37)

Подставив (5.36) и (5.37) в (5.35), окончательно получим

стороны

Q,C = м (1+ и

/3£2), CQ

= o(1— u

/6«2). (5.38)

2. Определение разности широт данной

и вспомогательной точек

Для определения разности широт bo = B0—Si воспользуемся тем,

что точки Qi и С лежат на одном меридиане и длина дуги его

между этими точками невелика — в среднем составляет 30 км.

Тогда с ошибкой порядка 0,001 м длина дуги меридиана QiC

будет

QlC = Mmb0/ р, (5.39)

откуда

b^Q.Cp/Mm, (5.40)

где Мт — средний радиус кривизны меридианной кривой, соот

ветствующий средней широте Вт = Вх + Ь0/2.

В формуле (5.40) Мт неизвестно, так как неизвестно В 0 и,

следовательно, Вт. Однако, учитывая, что величина b0 мала

(первого порядка малости), можно Мт выразить через М\ —

радиус кривизны в данной точке — следующим образом:

1 IMm = f (Вт) = f (Вг + Ь0/ 2). (5.41)

Разложим выражение (5.41) в ряд Тейлора, ограничившись дву

мя членами ряда, затем проведем соответствующее дифферен

цирование и, приняв в поправочных членах QiC—u и Мт^М i,

получим значение 1 /Мт в виде

—L. = JL_ (\

----

g2sin2Bl и) . (5.42)

мт Мг \ 4 l a( \-е*) ) V

Подставляя (5.42) в (5.40) и обозначая $-=-up''jMiy оконча

тельно получаем с учетом (5.38)

[l — А-Ц7 e2sin 2Bl- U + —L - V2]. (5.43)

0 KL 4 а(1-е2) ^ 3#? J v ’

При больших расстояниях надо удерживать члены пятого и

шестого порядка малости.

3. Определение разности долгот I

и геодезического сближения меридианов t

Проведем нормали к поверхности эллипсоида в точках С и Q

(см. рис. 25). Так как азимут линии CQ2 равен 90°, они пересе

кутся в одной точке пс. Центральный угол, стягивающий концы

дуги CQ2, обозначим через с. Длина геодезической линии CQ2

практически равна длине дуги нормального сечения, поэтому

CQ2 = N0c/p, откуда

с = C Q a p /A fo = v(l------6^ 2") ’ (5'44)

где y = pv/N0.

Для перехода от с к / и t опишем из точки пс сферу проиЗ'

вольным радиусом, на поверхности которой получим прямо

угольный сферический треугольник CQ'Pr (см. рис. 25), из ре

шения которого найдем

Разложим синусы и тангенсы малых величин t, I и с в ряд

Маклорена, ограничившись двумя членами разложения, и обо

значим

Затем, приняв в поправочных членах и будем иметь

4. Определение разности широт d между точками С и Q

Соединим точку D (см. рис. 25), имеющую ту же широту, что

и вспомогательная точка С, с пс и обозначим центральный угол

Q2ftcZ), стягивающий дугу Q2D, через т). Дугу Q2D можно рас

сматривать и как дугу меридиана, и как дугу нормального сече

ния. В первом случае

Для определения ц рассмотрим сферические треугольники

C'P'D' и C 'Q 'D Из их решения найдем sin rj^sin с sin J5oX

Разложим с и I в ряд Маклорена, ограничиваясь двумя чле

нами разложения, подставим вместо I его значение, равное / =

= А,(1—т2/3), и учтем, что c2 = V —т2 и r = XsinB0, а в попра

вочных членах Тогда

cos (90° —с) = ctg (90°— t) ctg [90° — (90° — В0)] = tg t ctg B0\

cos [90° — (90° — B0)] = cos B0 = ctg I ctg (90°—c) = ctg I tg с,

(5.45)

(5.46)

т = с tg B0; K = c sec B0.

(5.47)

Тогда

T = A,sin£0, c = XcosB0 и с

= A,2. (5.48)

t = T [ 1 — (?.2— x2)/6—x2/3] = T (1 — W 6— x2/6);

I = X [1 + (Я*—t2)/3—Ji2/3] = *.(1 —12/3).

(5.49)

Qa^ — 'Wо (B0— B%)/p — Mо • d/p,

(5.50)

а во втором

Q2D = jV0r|/p.

Приравнивая выражение (5.50) к (5.51), получим

d = r\No!M0.

(5.51)

(5.52)

Xtg(//

Выразив с, х и К в секундах дуги, получим

ст /, та Я

TJ = -

/ 1

------

(

5 3

)

\ 6р2 12р2 / v

Подставив (5.53) в (5.52), найдем

/ l _ _ * - _ .J L - V (5.54)

\ 6р2 12р2 /

Обозначим

N0 ст ( 1 т2 X2

М0 2р

, тогда

А^0 ст

М0 2р

т2

d = 6(1-

■). (5.55)

6р2 12р2

5. Определение обратного азимута А2

Для определения обратного азимута по формуле А2 = А\±

±180° + ^—8 осталось получить рабочую формулу для сфериче

ского избытка 8.

Получим ее из (5.37), выразив s в секундах,

s2 sin Ал cos Ал s2sini4ic0s;4i 1 scos/4i Л ssini4i Л

8 =

-----------

--------

L. р —

-----------

--------

— р =

------------------— р -------------- р.

2r \ г 2 M1N1 Г 2р Мг Nt

По малости 8 с достаточной точностью будем иметь

—— s cos At = В « 60; — s sin Ах = у « с.

Следовательно, е = (Ь0с)12р. (5.56)

Формулы (5.43), (5.49), (5.55), (5.56) полностью решают за

дачу. При использовании ЭВМ их несколько преобразуют

к удобному для программирования и счета виду [15].

§ 25. РЕШЕНИЕ ГЛАВНОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

ПО ФОРМУЛАМ СО СРЕДНИМИ АРГУМЕНТАМИ

(ПО ФОРМУЛАМ ГАУССА)

Применение формулы со средними аргументами позволяет

вдвое сократить число членов разложения функции / в степен

ной ряд по сравнению с разложением по начальному аргументу,

так как в нем исключаются члены с четными производными и

четными степенями аргументов, т. е. вместо ряда вида

f(a + h) = f (а) + hf' (а) + f" (fl) +1- Г (a)+^fw(a) +

+ («)+.., (5.57)

получаем разложение

/ (а + -j-) = f (а) + hf' ^ + I T f"' +

(5.58)

(5.59)

где

ат — ct-± -j- h!2.

Поэтому формулы (5.24) разложения в ряды разностей ши

рот, долгот и азимутов можно упростить, если производные вы

числять по средней точке, находящейся на расстоянии s/2 от

начальной. Тогда будем иметь

Но координаты средней точки нам неизвестны, поэтому це

лесообразно перейти от них к средним координатам и азиму

там:

Вт~ (В 1-\- В2)/2\ Lm = (Lx-j- L2)/2] Ат = (А1 + А2 =Ы80°)/2. (5.61)

Поскольку средняя точка геодезической линии Q

не сов

падает с точкой, имеющей среднюю широту Вт, и точкой, в ко

торой азимут линии равен Лш, в формулы (5.60) вводят по

правки [5J.

Для получения рабочих формул необходимо найти соответ

ствующие производные. Первые производные были получены

геометрически (5.25) — (5.28). Вторые, третьи и т. д. производ

ные получаются последовательным дифференцированием пер

вых.

Прямая геодезическая задача

Проведя соответствующие вычисления по указанным формулам

для расстояний порядка 30 км (длины сторон треугольников

триангуляции 1 класса), получим разности координат в оконча

тельном виде:

/2sin2 Вт