Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

Поэтому система эллипсоидальных геодезических координат

применяется только при мелкомасштабном картографировании.

При крупномасштабном картографировании и в повседневной

геодезической практике удобнее применять систему геодезиче

ских плоских прямоугольных координат, так как она позволяет

проводить все вычисления по наиболее простым формулам гео

метрии и тригонометрии. Однако для этого необходимо изобра

зить поверхность эллипсоида на плоскости. Такое отображение

его поверхности, выполняемое по тому или иному математиче

скому закону, называется картографической проек

цией или просто проекцией. Детально различные способы про

ектирования поверхности эллипсоида на плоскость рассматри

ваются в математической картографии.

Сложность проектирования поверхности Земли на плоскость

заключается в том, что ни вся поверхность земного эллипсоида,

ни ее часть не могут быть развернуты на плоскость без иска

жений. Эти искажения учитываются введением соответствую

щих поправок в измеренные величины. Они тем значительнее

и сложнее учитываемы, чем больше изображаемая территория.

Поэтому на практике в геодезии стараются изображать на плос

кости сравнительно небольшие участки земной поверхности, на

которой искажения находятся в допустимых, легко вычисляе

мых и устанавливаемых заранее пределах. В этом заключается

особенность геодезического использования картографических

проекций и отличие от использования их в математической кар

тографии, в которой изучают способы изображения всей поверх

ности земного эллипсоида или же больших ее частей. Другим

отличием геодезических проекций является то, что они опреде

ляют условия точного переноса на плоскость отдельных элемен

тов поверхности эллипсоида (точек, углов и линий), а не их со

вокупности в виде всей поверхности, как в картографии.

Математически закон отображения поверхности земного эл

липсоида на плоскости в общем виде может быть выражен сле

дующими двумя уравнениями:

* = м в , L)\ L), (

)

где х, у — плоские координаты изображаемой точки; В, L — ее

геодезические координаты. Формулы (6.1) означают, что каж

дой точке поверхности эллипсоида соответствует вполне опреде

ленная точка на плоскости. При этом закон отображения опре

деляется видом функций f

и f2. Этими же функциями опреде

ляется и характер искажений геометрических фигур в тех или

иных проекциях. Есть проекции, в которых сохраняется равен

ство углов, но искажаются длины линий и площади, это так

называемые равноугольные проекции; есть проекции, в которых

сохраняется пропорциональность площадей изображаемых фи

гур, но искажаются длины линий и углы, это так называемые

равновеликие проекции; есть проекции, в которых искажаются

и площади, и углы, и линии, к ним относятся так называемые

произвольные проекции. Каждый вид проекции имеет свои до

стоинства и недостатки, определяющие те конкретные условия,

в которых выгодно их применять.

При выборе проекции стараются обеспечить единой систе

мой координат максимальную площадь государства при мини

мальных искажениях длин линий и углов. Но особенно важным

фактором, определяющим достоинство проекций, является воз

можность учета этих искажений простыми формулами.

В геодезической практике оказалось удобнее всего использо

вать равноугольные проекции, так как в них сохраняется ра

венство углов, т. е. сохраняется форма и подобие изображае

мых фигур в их бесконечно малых частях.

Равенство углов требует определения только линейных иска

жений, что в целом упрощает учет искажений изображаемых

фигур. Кроме того, равенство углов приводит к тому, что линей

ные искажения в каждой данной точке одинаковы по всем на

правлениям, т. е. масштаб изображения не зависит от азимута

линии, а зависит только от координат данной точки.

За масштаб изображения в данной точке принимают предел

отношения бесконечно малых линейных элементов проекции и

отображаемой поверхности при стремлении длин этих отрезков

к нулю* Это значит, что если в данной точке ds и dD — беско

нечно малые отрезки на эллипсоиде и плоскости, то масштаб

изображения

m = dD/ds. (6.2)

Таким образом, если мы имеем на эллипсоиде бесконечно

малый многоугольник ABCD Е (рис. 28), а его изображением

на плоскости является бесконечно малый многоугольник

A'B'C'D'E', то в равноугольной проекции будем иметь: Z-Л =

= /_Л'; ZLB ^ jLB ’\ Z .C -Z .C '; Z.D -ZLD '; ^ E = Z^Ef

A'B'IAB = B'C/IBC=C'D'/CD=D'E'IDE = A'E'/AE = m.

Следовательно, при отображении на плоскости небольших

участков поверхности эллипсоида в равноугольной проекции

масштаб изображения можно считать постоянным на всем уча

стке, а само изображение последнего — подобным его натураль

ной величине.

Существует много равноугольных проекций, но ни одна из

них не позволяет отобразить всю поверхность эллипсоида систе

мой координат с единым началом, так как искажения стано

вятся очень большими и трудно учитываемыми. Поэтому по

верхность земного эллипсоида при изображении его на плоско

сти делят на части или зоны, каждая из которых имеет свое

* Это так называемый частный масштаб длин В отличие от него

существует главный масштаб длин, показывающий, во сколько раз

уменьшены линейные размеры эллипсоида или шара при их изображении

на карте

Рис. 28 Равноугольная проекция

многоугольника

Рис 29. Деление земного шара на

зоны в проекции Гаусса—Крюгера

Ст

собственное начало и свою систему координат. Достоинство лю

бой проекции определяется как числом зон, на которые необхо

димо делить всю поверхность эллипсоида, так и удобством пе

ревычисления координат из зоны в зону, а также однотипностью

построения зон и вычислений в них.

Всем этим условиям удовлетворяет равноугольная проекция

Гаусса — Крюгера. В ней земной эллипсоид делится на зоны

меридианами, т. е. каждая зона охватывает значительную тер

риторию от северного до южного полюса Земли. Изображения

каждой зоны на плоскости совершенно одинаковы, что опреде

ляет однообразие плоских координат в них и применение одних

и тех же формул и таблиц при вычислениях в разных зонах.

Переход из зоны в зону также осуществляется по одним и тем

же таблицам и формулам Эти преимущества проекции Га

усса— Крюгера обусловили ее широкое распространение и меж

дународное признание

Она была разработана Гауссом в 1825— 1830 гг., но практи

ческое распространение получила после вывода Крюгером

в 1912 г. рабочих формул, удобных для вычислений в этой про

екции. Поэтому ее называют проекцией Гаусса — Крюгера, но

часто просто проекцией Гаусса

На рис 29 показано деление земного эллипсоида на коорди

натные зоны меридианами с постоянной разностью долгот Сред

ний меридиан каждой зоны называется осевым, а ограничи

вающие зону меридианы — граничными.

В СССР ширина зон по долготе установлена в

и 3°, при

чем последние применяются в районах крупномасштабных

съемок и строительства инженерных сооружений.

Крайним западным меридианом первой зоны является грин

вичский меридиан. Счет зон ведется от Гринвича на восток от

до 60.

Территория СССР расположена в 29

-градусных зонах

(с 4-й по 32-ю). Осевые меридианы 3-градусных зон располо

жены через 3° по долготе и поочередно совпадают с граничными

и средними меридианами

-градусных зон.

Каждая зона представляет собой сфероидический двууголь

ник с самостоятельной системой координат. Осями ее являются

осевой меридиан и экватор. Положение точки Q на эллипсоиде

в каждой зоне определяется широтой В, отсчитываемой от эк

ватора к северу и югу, и долготой I, отсчитываемой от осевого

меридиана к западу и востоку. Проектируется каждая зона на

плоскость независимо от остальных, образуя свою собственную

систему прямоугольных координат, причем за ось абсцисс при

нимается изображение осевого меридиана зоны, а за ось орди

нат — изображение экватора. Началом координат служит точка

пересечения осевого меридиана с экватором. Изображение точки

Q' эллипсоида на плоскости определяется прямоугольными ко

ординатами х и у, причем абсциссы отсчитываются к северу

и югу от экватора, а ординаты — от осевого меридиана со зна

ком плюс к востоку и со знаком минус — к западу от него. Для

территории СССР все абсциссы имеют только положительное

значение. Чтобы избежать отрицательных значений ординат, ус

ловились прибавлять к ординатам 500 000 м и перед ними ука

зывать номер зоны.

Особенности проекции Гаусса — Крюгера следующие: а) осе

вой меридиан и экватор изображаются на плоскости прямыми

линиями; б) масштаб изображения вдоль осевого меридиана

равен единице, т. е. отрезки осевого меридиана изображаются

без искажений.

Последнее означает, что абсциссы точек осевого меридиана

на плоскости равны дугам меридиана эллипсоида. Все другие

линии эллипсоида изобразятся на плоскости кривыми линиями,

искажения длин которых увеличиваются по мере удаления от

осевого меридиана и достигают в средних широтах на краю зон

0,9 и

0,2

м в

-градусных и 3-градусных зонах соответственно.

При этом всегда линии на эллипсоиде (s) будут меньше линий

(D) между теми же точками на плоскости (кроме точек осевого

меридиана).

Для уменьшения искажений линий до пренебрегаемых раз

меров при создании геодезического обоснования городов или

специальных инженерных сооружений вводят условную систему

координат с частным началом таким образом, чтобы начало ко-

Рис 30 Изображение геодезической сети в проекции Гаусса—Крюгера

ординат и осевой меридиан располагались в центре объекта. Но

при этом для пунктов геодезического обоснования должны быть

определены также координаты в соответствующих

- или 3-гра-

дусных зонах.

Общий порядок перехода от эллипсоида на плоскость сле

дующий. Пусть имеется сеть триангуляции, редуцированная на

поверхность референц-эллипсоида, с исходным пунктом Q

(рис. 30, а), геодезические координаты которого равны В и I,

где l = L—L0; L и L

— долготы точки Q и осевого меридиана

зоны, в которой расположена сеть. Исходная сторона QK = s;

РЕ' — осевой меридиан, РЕ — меридиан точки Q, Е'Е — эква

тор, угол PQK=Aqk — геодезический азимут исходной стороны;

QC — геодезическая линия, перпендикулярная к осевому мери

диану в точке С, координатами которой являются широта Во

и долгота /==0°; Q F— параллель точки Q. Координаты точки F

равны В и 1 = 0, X — длина дуги меридиана от экватора до точки

с данной широтой В.

На плоскости в проекции Гаусса — Крюгера осевой мери

диан и экватор изобразятся в виде прямых линий Р\Е\ и E\Ei

(рис. 30, б), остальные меридианы и параллели, в том числе ме

ридиан и параллель точки Q — в виде кривых линий Q'F' и

Р Е'\. Точка Q отобразится точкой Q' с прямоугольными коор

динатами х, у. Сфероидические треугольники изобразятся в виде

криволинейных треугольников со сторонами D't> st, вогнутость

которых обращена в сторону оси абсцисс. Вследствие равно

угольное™ изображения азимут Aqk и углы сфероидических тре

угольников отобразятся на плоскости без искажения.

Однако решение криволинейных треугольников на плоскости

представляет большое неудобство. Поэтому их превращают

в прямолинейные, соединяя концы дуг хордами. Для этого

в каждое направление вводят поправки 8qkj называемые п о 

правками за кривизну изображения геодезиче

ской линии на плоскости или редукциями гори

зонтальных направлений.

Учет искажений линий осуществляется введением в длину

линии на эллипсоиде s специальной поправки A s— редукции

расстояний. При этом из-за малости расхождения длину

кривой D' не отличают от длины хорды D и полагают, что

длина линии на плоскости равна Z) = s + As.

Для вычисления координат пунктов сети на плоскости необ

ходимо получить плоские прямоугольные координаты исходного

пункта Q'. Их определяют по соответствующим геодезическим

координатам В и /. Затем по азимуту исходной стороны Aqh вы

числяют дирекционный угол хорды aqu. Для этого через точку

Qf проводят прямую, параллельную оси абсцисс (см. рис. 30, б),

и получают угол yq между изображением меридиана точки и

проведенной прямой. Этот угол называется гауссовым

сближением меридианов.

Из чертежа видно, что азимут изображения исходной линии

на плоскости равен

Agk=yq + agk + ^gk- (6.3)

В формуле (6.3) сложение осуществляется алгебраически

с учетом знаков у и ё. Положительные знаки они будут иметь

при определении соответствующих углов по ходу часовой

стрелки: y — от изображения меридиана до оси б — от изо

бражения линии до хорды. Отрицательные — при их определе

нии против хода часовой стрелки.

С учетом знаков дирекционный угол хорды будет

адк = А ф — T9 + 69ft. (6.4)

у и б вычисляют по приближенным плоским координатам точек,

но поскольку они не известны, решение осуществляют в два при

ближения. Тогда порядок обработки триангуляции в проекции

Гаусса — Крюгера будет следующим:

1) по геодезическим координатам В и I начального пункта

вычисляют плоские прямоугольные координаты его проекции

и сближение меридианов. Для контроля решают обратную за

дачу: по * и у определяют В и /;

) определяют приближенно дирекционный угол исходной

стороны

aqk = Aqk— у; (6.4')

) выполняют предварительное решение треугольников по

исходной стороне sqk и измеренным углам, а также вычисляют

приближенные координаты вершин треугольников или опреде

ляют их графически с точностью

0,1

км;

4) вычисляют приближенное значение поправок As в исход

ную сторону и бik— в каждое измеренное направление по фор

мулам

As = 0,123y2ms, б^ = 0,00253г/тДл:, D = s+A s,

где i/m = (уп+\ + Уп) 12] Ах=Хп+\—Хп; стороны и координаты выра

жают в км;

5) повторно вычисляют дирекционный угол по формуле

(6.4), решают треугольники и определяют координаты пунктов,

после чего окончательно вычисляют поправки в длину исходной

стороны и измеренные направления.

§ 30 ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

КООРДИНАТ ГАУССА—КРЮ ГЕРА ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ

И ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПО ПЛОСКИМ

Вывод формул определения прямоугольных координат некото

рой точки х, у по геодезическим — В и L проведем, исходя из

указанных двух условий проекции Гаусса — Крюгера: 1) осевой

меридиан изображается на плоскости в виде прямой линии

) искажения вдоль него отсутствуют.

Возьмем на эллипсоиде бесконечно малый отрезок QK=ds

(рис. 31) и проведем через К элемент параллели С К. На плос

кости он отобразится как отрезок Q'K/= dD, а элемент парал

лели как С'К'. На рис. 31 изображены также осевой мери

диан, экватор и меридиан точки Q и их проекция на плоскость.

При этом QC = MdB, CK — NzosBdl — как дуги меридиана и па

раллели; Q'C^dx, C'K^dy.

Из элементарных прямоугольных треугольников QCK и

Q'C'K' можно написать

ds2 = (MdBf + (N cos Bdl)\

dD2 = dx* + dy2. (6-5>

Тогда масштаб изображения будет

= J =

ds V (MdB)* + {N cos Bdl)*

= j --------------------** + & - ..................... (6 .6)

Обозначим

dq == MdBI(N cos B). (6.7)

f M dB

Тогда q= \

-----------

называ-

J N cos В

ется изометрической

широтой, так как зависит

только от широты. Поэтому dq

и dl могут рассматриваться

как дифференциалы независи

мых переменных.

Рис. 31. Изображение линий в про

екции Гаусса—Крюгера

Тогда

ma = [ll(N cos В)2] \(dx2 + dy2)l(dq* + dl2)] (

)

или, вводя комплексные числа, получим

ж 2

______

1 (dx + idy) (dx — idy)

(N cos Б )2 (dq + idl) (dq — idl)

(6.9)

или

m2 _ 1 d (x + tj/) d (* — iy) (6 10)

(N cosB)2 d (<7 + it) d (q — i/)

где / = |/ —

Так как формула (6.10) выражает масштаб изображения по

любому направлению, а в равноугольных проекциях он от по

следних не зависит, то не должен зависеть и от отношения диф

ференциалов dy/dx или dq/dl, которые определяют направление

отрезков на плоскости и эллипсоиде.

В теории функции комплексного переменного доказывается,

что для того, чтобы отношение вида ^ не зависело от— ,

diq + il) dl

т. е. чтобы масштаб изображения не зависел от направления

отрезка, необходимо, чтобы x±iy было некоторой аналитической

функцией от q ± il, т. е.

х i iy = f{q dz И)» (6.11)

Имея в виду, что I величина малая: /<3°, разложим (

1 1

)

в ряд Тейлора:

- Г У dq ^ 2! dq2 ^ 3! dq3 Т

(ИГ d*f(q) (</)» db (q) (it)* d*f(q) ,g J2)

_1“ 4! dq

5! dqb ^

! dq» + ^

или, учитывая i2= —

; j

= —t; i4= l и т. д., получим

1 2 dq2 24 dq* 720 dq6

+ (6.13)

I 6 dqz П 120 dq* J V

Приравнивая порознь действительные и мнимые части выра

жения (6.13), а также учитывая, что масштаб вдоль меридиана

т=

и при / = 0, у — 0, a x= f(q)=X , получаем основные уравне

ния, определяющие закон изображения точек эллипсоида на

плоскости в проекции Гаусса — Крюгера:

v /2 d2X , /4 d*X 16 dQX

х = X -------------------4 -

-------

------

— —

-----------------

■,

2 dq2 24 Ж74 720 dq*

(6.14)

= ld X _ _ JL d3x

d^X

dq ~ 6 <fy3 120 ’

Теперь надо найти соответствующие производные и подста

вить их в (6.14). Учитывая, чтос= а!\г \—e2= a2/b; W=Vf/l—е2;

M = a (l—e2)/W3 = c/V3; N = alW = c/V; V = (l + e/

cos

B )l;2,

и обозначая tgB = t,rf = e' cos

В, l + r

= V2\dX = MdB = cdB/V3-,

л dB dB dB 170 r> dX

dq —

---------------

---

------------

, или

------= VzcosB, получим

------

—

N cos В V2 cos В dq dq

= iVcosB — — cos В = r. (6.15)

Дифференцируя (6.15) по В и учитывая, что V также явля

ется функцией В, находим вторые производные в выражении

(6.14)

d2X d2X dB d?X ,r2 D ,c 1CN

------

---

----------------

---

--------

K2cos B, (6.16)

dq2 dqdB dq dqdB 4 ’

d2 X с рч dV с • r\ * г* a fjk

--------= _

------

cos В

-----------

sin B, (6.17)

dqdB V2 dB V V '

-^-получим путем дифференцирования формулы V2=\ -j-e/S cos В:

2V dV =— 2ef\osBsm BdB или VdV = —e/2 cos

В tg BdB,

откуда

dV - ^ t. (6.18)

dB V

Подставив (6.18) в (6.17), окончательно получим

= —— r\2t cos В

-----

— sin В = — —— sin В (— rj

-j- V2) =

dqdB V3 У Vs

= — sinB. (6.19)

Учитывая формулы (6.15) и (6.19), получаем главные члены

в выражении (6.14):

х = X sin В cos В -f- . . .; (6.20)

у = — N cos В + . .

Для получения более точного значения плоских координат

последовательным дифференцированием выражения (6.16) по

q находим производные следующих порядков. При вычислениях

с точностью, требуемой в государственной геодезической сети,

необходимо производные в

14) вычислять до шестого по

рядка включительно. Их значения будут:

_jvcos

B (

+ ti

— t\

dqs

" = N sin В cos

В (5 — t

-f 9т

-f 4r]4)

и т. д. Подставив указанные производные в (6.14), оконча

тельно получим

х — Х + — - N sin В cos В (1 |- —--0?2- —- (5 — t2 f 9t

+ 4ti4) +

2р2 [ 12р2

+ ‘^ г ‘ (6 1_5®8+<4)} ’ (6-21)

y = -j-ttc o s B fl + - ^ g (

1 - ^ 2

+ ^2) +

р { бр2

+ (5 — 181* +1* + 14т)2 - 58if/2) j.

При вычислении на ЭВМ более удобными оказываются фор

мулы [15]:

х== 6367 558,4969— — {а0— [0,5 + (а

+ а6/2) /2] l2N} sin В cos В;

(6.22)

# =

+ (Яз + аъ12) I2] IN cos В,

где А/ вычисляют по формуле (4.54);

- 32 140,404— [135,3302— (0,7092— 0,0040 cos

В) cos

В] cos

В;

=*= (0,25 + 0,00252 cos

В) cos

В —0,04166;

а6 = (0,166 cos

В — 0,084) cos

В;

- (0,3333333 + 0,001123 cos

В) cos

В — 0,1666667;

аъ = 0,0083— [0,1667 — (0,1968 + 0,0040 cos

В) cos

В] cos

В;

/ = (L -L p ) ^

Существуют также таблицы

вычисления координат Га

усса — Крюгера

Вычисление геодезических координат по плоским Общий

путь решения заключается в следующем: по х вычисляют (или

выбирают из указанных таблиц) широту В0 — основания изо

бражения плоской ординаты на поверхности эллипсоида. Затем

по В о вычисляют разность (В0—В) и I, после чего получают

В — Bq— (Во—В) и L — Lo + l.

* Таблицы для вычисления плоских конформных координат Гаусса

в пределах от 30 до 80° М , Геодезиздат, 1958