Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

Итак, введение редукции в свободном воздухе позволяет

привести наблюденное значение силы тяжести к уровню

моря, не изменяя при этом общей массы Земли и вызывая

весьма незначительное искажение уровенной поверхности.

Условия теоремы Стокса в этом случае нарушаются очень

мало. В силу этого редукция силы тяжести в свободном

воздухе пригодна для регуляризации Земли при решении

задач геодезической гравиметрии.

Поправка Буге за влияние промежуточного слоя соот

ветствует снятию слоя толщиной Я, потенциал которого

определяется формулой (4.36). При снятии слоя потенциал

в точке А изменится на величину, равную потенциалу

этого слоя, т. е. на величину

dv = 2яСстЯа ^ 1 — —

Отсюда перемещение уровенной поверхности будет

j dv 2л Go На ,. .

as = —=

------------

. (4.40)

у у 4 '

При редуцировании за влияние острова, имеющего высоту

Я =1 км, радиус а=100 км и плотность а=2,5 г/см3, по

лучим

. 2-3,14.6,67-10-8.2,5-105.Ю7

------------------

980------------------= 10м -

Таким будет искажение геоида в случае регуляризации

методом введения поправки Буге. ^

Г Л А В A 5

ДЕТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ФИГУРЫ ЗЕМЛИ

ГРАВИМЕТРИЧЕСКИМ СПОСОБОМ. ГЕОИД

§ 1. Определение высот геоида. Формула Стокса

Как уже упоминалось, обратная задача в проблеме

Стокса (глава 2, § 5) состоит в построении уровенной по

верхности по известному потенциалу. В частном стоксовом

решении она сводится к построению геоида по аномальному

гравитационному полю.

Пусть значение силы тяжести на геоиде go, нормальное

значение силы тяжести на нормальном эллипсоиде отно

симости Yo- Тогда аномалия силы тяжести Ag=g0—То об

разуется из величин, отнесенных к различным поверхно

стям. Такие аномалии, как мы уже говорили в гл. 4, на

зываются смешанными. Величины смешанных аномалий

зависят не только от степени аномальности поля в данной

области, но и от расхождения поверхностей нормального

эллипсоида и геоида. Иными словами, такие аномалии

несут информацию о расстоянии геоида от известного нор

мального эллипсоида.

Значение потенциала силы тяжести на поверхности

геоида W=C. Получим нормальный эллипсоид из усло

вия, что на его поверхности нормальный потенциал U

принимает такое же значение, что и истинный потенциал

на геоиде, т. е. U=C. При выборе эллипсоида относимости

предполагается, что геоид и эллипсоид охватывают одина

ковые массы, имеют одну и ту же скорость вращения и

совпадающие оси вращения. Кроме того, у них совпадают

центры масс и поверхности охватывают равновеликие

объемы. Изменение потенциала при таких условиях может

вызываться, согласно теореме Стокса, только деформацией

поверхности.

Пусть при переходе от геоида к нормальному эллип

соиду, отстоящему от геоида на расстояние £, потенциал

изменится на величину Т:

W— U=T.

Это так называемый возмущающий потенциал.

При переходе с геоида на эллипсоид единичная масса

совершит работу т. е. изменение потенциала будет

W— U=T=y£,,

Мы получили уравнение Брунса, связывающее высоты

геоида с возмущающим потенциалом:

? = (5.1)

Изменение силы тяжести при переходе от нормального

эллипсоида к геоиду вызвано возмущающим потенциалом Т

и определяется его производной по нормали к эллипсоиду

. Сила тяжести на геоиде равна g0, нормальное значе

ние силы тяжести на геоиде равно

^>+[йг£-

Тогда

- ^ = £ о- ( ^ + £ 5 ) = а£ - £ |г -

Знак минус возникает, поскольку направление нормали к

эллипсоиду обратно направлению дифференцирования.

Вводя значение £ через возмущающий потенциал Т,

имеем

dT т dy . /е

- л г + Т ^ = А ^- (5>2)

Выражение (5.2) есть граничное условие для Т, заданное

на поверхности геоида.

С точностью до малых порядка квадрата высот геоида

дифференцирование по нормали может быть заменено диф

ференцированием по радиусу-вектору, и условие (5.2)

принимает тогда вид

dT , Т dv .

~dF + Y d F :=Ag’

или, поскольку

___

2у

dr~ Т ’

получим

dT I 2Г /с

ЗГ+ Т <5'3>

Можно считать, что это уравнение отнесено к сфериче

ской Земле со средним радиусом R. Выражение (5.3) есть

граничное условие смешанного типа для потенциала Т.

Если найти теперь решение уравнения Лапласа, непрерыв

ное с его первыми производными, регулярное на бесконеч

ности и удовлетворяющее на сфере радиуса R условию

(5.3), то в силу теоремы единственности оно и будет ис

комым возмущающим потенциалом Т.

Далее, пользуясь теоремой Брунса (5.1), легко находим

величины £. Поверхность, отстоящая от нормального эл

липсоида всюду на расстояния £, и будет искомой уровенной

поверхностью, соответствующей потенциалу силы тяжести

W. Для нахождения возмущающего потенциала воспользу

емся интегралом Пуассона, который позволяет найти зна

чение гармонической функции Е во внешнем пространстве

по ее значениям Еа, заданным на поверхности а сферы

радиуса R:

Выберем функцию Е как rAg. Так как возмущающий

потенциал Т есть функция гармоническая, то и E=rAg,

определяемая равенством (5.3), также функция гармониче

ская, и к ней приложим интеграл Пуассона (5.4). Итак,

на г dr и интегрируя в пределах от r^ R до с», получим

(5.4)

где

р2 = R2 га — 2 Rr cos \|з. (5.5)

г дг = 2Г==_ 2 7 ’- г ^ = - 1 £ ( г > 7 ’). (5 6)

Умножая левую и правую части уравнения

со

г о

(5.7)

Заметим, что производная от функции — по г:

(5.8)

Найдем из (5.5)

г—R cos г|)

дг р

д f 1 \

г— R cos г|)

д г \ 7 ) р3 '

Умножая левую и правую части равенства (5.8) на —2г2

и вычитая получим для подынтегрального выражения

левой части (5.7) с учетом (5.5):

~ 2r* i ( j ) ~ 7 ==^ ^ 2 (r — R cos x|>)-/p2] =

Отсюда следует, что

I dr= - 2 J г2 ш ( |) dr ~ f j dr• (5-9>

Интегрируя по частям, находим

fr2* ( ± W = l l _ 2 fl-d r

J дг \ р J р J р

и, внося в (5.9), получаем

j £ b £ ! * = - 2 - l + 3t$£dr. (5.10)

Последний интеграл есть табличный интеграл вида

Г х dx

J У ах2 + Ьх + с

В сферических координатах

J dr = р + R cos т|э In (г + р — R cos ф),

поэтому

Р гЗ

D2«- *-2

-----

j— dr = —2

-----

\- Зр + 3R cos \|) In (г -j- р — R cos 1)5).

J Р Р

Вводя это выражение в (5.7), получим

[г2Т]? = — j Еа da 2 — + Зр +

+ 37?cos\|)ln (г-bp — 7?cos\Jj)J . (5.11) ^

В левой части lim г2Т = 0, поскольку возмущающий по-

99- с. г -> 00

тенциал Т есть потенциал, возникший в результате пере

распределения масс. В этом случае, если Т разложить

104

в ряд, первый член разложения, представляющий потен

циал возмущающей массы, оказывается равным нулю.

Второй член разложения обращается в нуль выбором

начала координат в центре масс. Значит, разложение Т

в ряд начинается с третьего члена вида

[г2Т]Г = — гаГ.

поэтому

(5.12)

Подстановку в правой части равенства (5.11) разделим

на г8 и обозначим через S (г, яр), тогда

' 4kR

J EaS {г, т|з) do.

Вспомнив, что Ea=rAgn T=t,y, получим интегральную

формулу Стокса для высот геоида:

(5.13)

Функцию S (г, яр) легко получить, если в подынтеграль

ной скобке выражения (5.11) осуществить подстановку

пределов, имея в виду, что при достаточно большом г

1 , 1 { R2 0 R ,

! + - 2 (— — 2 - c o s яр

Тогда

S(r, ^) = 4 - 3 J

о R I

-2 ■— cos яр

г т

1 с R

-------

5- 5- cos яр-

т ri т

r — R cos г|з,

1 I д

= - + - 2-C0S^-

.3 *. cos яр In

)

(5.14)

(5.15)

Сводя задачу к сферическому случаю, имеем для по

верхности сферы о

г = R и р = 2 R sin.

Тогда

S(r, 1|з)==

cosec ^ — 6 sin-^-f 1 — 5 cos яр -

—3 cos ip In ( sin -$■ + sin2 -y

= ^5(яр). (5.16)

Для поверхности сферы (r=R) формула высот геоида при

нимает окончательный вид:

£ = 4± z $ A g S W d a . (5.17)

Эта формула позволяет вычислить превышения геоида

в любой точке для сколь угодно густой сети этих точек.

Однако в этом случае необходимо знать аномалии силы

тяжести на всей поверхности Земли, так как интегриро

вание ведется по всей Земле. Обычно интеграл в формуле

(5.17) заменяют суммой и получают

<5Л8>

где Agt — средние значения аномалии по площадкам Ast

или значения в отдельных точках, a S (ф,-) — значения

функции Стокса в соответствующих точках.

Кроме того, интеграл по сфере заменяется двойным

интегралом по полярному расстоянию i|> и азимуту А. Имея

в виду, что элемент поверхности сферы

da = R3 sin ip dip dA,

получим

' я 2 л

S = AgS СФ) sin tydtydA,

(J и

или

я 2я

С = A g F ^ d ^ d A . (5.19)

о о

В отличие от функции S(ip), обращающейся в бесконеч

ность при о|з, кратном |я|, F (ф )=5 (ip)sin я|з— функция

непрерывная и всюду ограниченная, однако не монотонная.

Формула (5.19), позволяющая определить превышение

геоида над эллипсоидом по известным значениям аномалии

силы тяжести, носит название формулы Стокса. Имя Стокса

носит также функция S(r, op).

Для практического вычисления высот геоида всю по

верхность Земли разбивают на трапеции, в каждой из

которых образуют среднее значение Ag и значения F для

г и г|э средних. Суммируя по всей Земле произведения AgF (ф),

Рис. 26. Характер изменения

функций Стокса F (ф) и S (г|>).

находят £. Здесь существенно, чтобы Ag были известны

именно для всех трапеций. Отсутствие каких-либо тра

пеций в вычислении соответствует случаю равенства нулю

аномалий в них. К сожалению, функция F (Ф), входящая

в формулу Стокса, не убывает с возрастанием гр, а имеет

сложный вид, показанный на графике (рис. 26). Поэтому

при вычислении высот геоида

нельзя ограничиться знанием

аномалий в ближайшей к иссле

дуемой точке области. Анома

лии, расположенные на 90° и

даже на 150— 160° от исследуе

мой точки, весьма заметно вли

яют на величину

Поэтому сейчас, когда Зем

ля еще далеко не полностью -г

изучена в гравиметрическом

отношении, при построении

геоида весьма важно выбрать

оптимальным образом величи

ну трапеций, для которых ведется построение Ag, причем

так, чтобы при этом покрытие Земли трапециями с извест

ным значением аномалий было оптимальным и размеры их

были не слишком велики. Для трапеций, где аномалии

неизвестны, обычно делается некоторое допущение: или

аномалия полагается равной нулю, или осуществляется

интерполяция между соседними трапециями, или, наконец,

используется разложение аномалий по спутниковым дан

ным и найденные осредненные значения вводятся под

интеграл.

Вопрос выбора гипотетических значений аномалий в

областях, где нет гравиметрических наблюдений на бли

жайшее десятилетие, является весьма важным для изу

чения геоида, и ему уже посвящено большое количество

работ. Однако радикальным решением является гравимет

рическое изучение Земли, которое ведется сейчас быстро

нарастающими темпами.

В практике современных астрономо-геодезических ра

бот высоты геоида обычно получаются или в результате

разложения потенциала (полученного по спутниковым

или наземным гравиметрическим наблюдениям) в ряд по

сферическим функциям или, для локальных областей,

методом астрономо-гравиметрического нивелирования. Здесь

автор хотел показать принципиальную возможность полу

чения высот геоида по одним гравиметрическим данным.

§ 2. Уклонения отвесных линий. Формулы Венинг

Уровенная поверхность определяется тем условием, что

силовые линии всегда к ней перпендикулярны. Так как

геоид есть уровенная поверхность, то отвесные линии

всегда перпендикулярны геоиду. Нормальное гравитацион

ное поле соответствует эллипсоидальной «нормальной»

Земле. Размеры и положение этого земного эллипсоида

определяются из условия минимума суммы квадратов от

клонений от|уровенной поверхности, к которой отнесены

измеренные аномалии. Нормальный эллипсоид не сов

падает с геоидом и не подобен ему, но различие в наклонах

этих двух поверхностей незначительно. Угол \}абс между

нормалями к геоиду п и общему земному эллипсоиду N

называется абсолютным уклонением отвесной линии (рис.

27). Сказанное верно для поверхности океанов, достаточно

точно совпадающей с геоидом. На континентах уклонение

отвеса есть угол между направлением отвеса и силовой

линии нормального гравитационного поля в точках физи

ческой поверхности Земли. Угол (}отн между нормалями

к референц-эллипсоиду Nv и геоиду п будет относительным

уклонением отвесной линии.

Поскольку направление отвесных линий определяется'

силой тяжести, а уклонения от них —• аномалиями силы

тяжести, то, зная эти аномалии, можно найти и сами укло

нения. В самом деле: уклонение отвесной линии есть угол

Мейнеса

nN N?

Ойщий земной эллипсоид

Референц-эллИПСОЙД Рис. 27. Уклонение отвес-

Геоид (W-C)

ной линии.

Рис. 28. Уклонение от

весной линии, физичес

кий смысл.

между нормалями к уровненным поверхностям реального

и нормального гравитационного поля. Сила тяжести g

направлена по силовой линии в точке наблюдения. Раз

ложим ее на составляющую у, перпендикулярную к по-

тельную к эллипсоиду, равную градиенту в направлении s.

Отношение у определит уклонение отвесной линии (рис. 28):

tg& = f ; (5.20)

ft— полное уклонение отвесной линии, ft — всегда

малый угол. Поэтому, с точностью до квадрата малого

угла ft,

ft = ^ = l ^ . (5.21)

у у as v '

Потенциал силы тяжести можно рассматривать как сумму

нормального потенциала U и возмущающего Т:

W=U+T.

Имея это в виду, уклонение отвесной линии можно записать

следующим образом:

у ds ~ у \ d s ' ds

Однако производная нормального потенциала по направ-

fdU А\

лению касательной равна нулю = и

о 1 dT

но возмущающий потенциал T=yt, и, значит,

(5.22)

Уравнение (5.22) показывает, что уклонение отвесной

линии есть производная от высоты геоида над эллипсоидом

по направлению наибольшего изменения потенциала на

эллипсоиде или, что то же самое, наибольшего изменения

высот. Обычно уклонения отвесных линий раскладывают на

составляющие в плоскостях меридиана и первого верти

кала. Для первой из них элемент дуги будет ds=Rd<p0, для

второй — ds=R cos фо dX0, где cpQ, %<, — широта и долгота

109