Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

поля, симметричные относительно оси вращения. Четные

значения п определяют зоны, симметричные относительно

экватора, гармоники с п нечетным характеризуют эква

ториальную асимметрию Земли. В случае п=т мы имеем

секториальные гармоники. Они обращаются в 0 на 2т

меридианах, изменяя знак функции Рпт при переходе.

п т

о.о

3.0 3.1 3.2 з.з

4.0 4.1 4.2 4.3 4.4

Рис. 31. Деление сферы на зоны и секторы, соответствующие выбранным

индексам гармоник; п— т-\-1 — число зон, 2т — число секторов.

Сферические функции, для которых пфт и п и т от

личны от нуля, называются тессеральными гармониками.

Они обращаются в нуль на п—т + 1 параллелях и 2т ме

ридианах и попеременно имеют положительный и отрица

тельный знак внутри сферических четырехугольников или—

в областях полюсов — треугольников, ограниченных вы

бранной системой параллелей и меридианов.

Деление сферы на зоны и секторы, соответствующие

выбранным индексам гармоник, показано на рис. 31.

Описанный метод сейчас широко применяется для пред

ставления аномального гравитационного поля Земли и

высот геоида. Низкие гармоники до 16-го, 18-го порядков

вполне уверенно вычисляются по наблюдениям ИСЗ, а это

20° 4 0 ° 60 ° 8 0° 1 00 °

120° 140° 160° 180° 200° 220° 240° 260° 280° 300° 320° 340° 360°

Д олгота

Рис. 32. Карта аномалий Ag GEM-IO.

Широта

0° 20° 40° 60° 8 0 °' 100° 120° 140° 160° 180° 200° 2Z0° 240 ° 260° 280° 300° 320° 340° 360°

0° 20° 40“ 60° 80° 100° 120° 140° 160° 180° 200° 220“ 240° 260° 280° 300° 320° 340° 360°

Д ол гота

Рис. 33. Карта высот геоида С GEM-10.

24“

122°

134°

146

12°

24“

36“

Рис. 34 а, б. Различные степени осреднения гравитационного поля на

примере Австралии: а) осреднение по трапециям 3°X3°, б) осреднение

по трапециям 5°Х5°.

122" . 134“ 146°

Рис. 34, s, г. Различные степени осреднения гравитационного поля на

примере Австралии: в) осреднение по трапециям 7°Х7°, г) осреднение по

трапециям 10°Х 10°.

соответствует осреднению аномалий в трапециях размером

10°Х 10°.

Для построения карт аномалий высот геоида по дан

ным наблюдений ИСЗ сейчас наиболее распространенным

является разложение до 36-го порядка, что соответствует

осреднению аномалий Ag и £ в трапециях размером 5°Х5°.

Рис. 34, д. Карта аномалий силы тяжести для Австралии, построен

ная по спутниковым данным.

На рис. 32 и 33 приведены карты аномалий и высот геоида,

построенные центром космических полетов им. Годдарда

(NASA, США) и представленные XVII Генеральной Ас

самблее Международного геодезического и геофизического

Союза в Австралии в 1979 г.

Более детальное изучение аномального поля и геоида

надежнее производить, используя данные наземной гра

виметрической съемки, которая при достаточной густоте

позволяет построить очень детальную картину геоида.

Для того чтобы показать, как теряется информатив

ность по мере увеличения области осреднения, на рис. 34

приводятся осредненные карты аномалий в свободном воз

духе для Австралии. На рис. 34, а приведена карта, пост

роенная по осредненным значениям в трапециях 3°х3°,

на карте рис. 34, б, в и г осреднение произведено по тра

122° 134° 146°

пециям 50х5°, 7°Х79 и 10°Х10° соответственно. Для срав

нения на рис. 34, д приводится карта, построенная по

данным ИСЗ. На этом примере наглядно видна близость

карты, построенной по данным ИСЗ, карте десятиградус

ного осреднения *).

§ 5. Представление аномального гравитационного поля

методом точечных масс

Как уже отмечалось, метод представления гравитаци

онного поля рядом по сферическим функциям дает надеж

ный результат лишь для низких гармоник. Он непригоден

для детальной аппроксимации еще и потому, что требует

большого количества равномерно распределенных наблю

дений, что ряды сферических функций очень медленно схо

дятся и что он в принципе глобален и для исследования

отдельных областей слишком громоздок.

В качестве более гибкого, но менее строгого способа был

предложен способ моделирования гравитационного поля

методом набора точечных масс, заложенных на различных

глубинах и подобранных так, чтобы создаваемое ими поле

наилучшим образом представляло истинное. Такой метод

может быть применен также для аппроксимации гравита

ционного поля Земли как в целом, так и для отдельных

регионов.

Построение такой модели осуществляется в следующем

порядке:

1. Выбирается количество и расположение точек, под

которыми следует заложить массы, имитирующие аномаль

ное гравитационное поле. Этот выбор, вообще говоря,

произволен, однако выгодно точки расположить в местах

экстремумов аномалий или их градиентов с тем, чтобы

наиболее неспокойные места поля аппроксимировались наи

более надежно.

2. Выполняется расчет глубин залегания этих масс с

учетом формы и размера аномалии, под которой заклады

вается точка.

3. Вычисляется масса выбранной точки при тех же пред

положениях.

*) Эти рисунки заимствованы из работы Dooley J. С. The gra

vity anomalies of central Australia and their significance for long-term

tectonic movements.— Proc. Simp. Earth's gravity Field and Secul.

Var. Posit.— Sidney, 1973—74.

4. Строится возмущающий потенциал и аномалии силы

тяжести, вызываемые совокупностью всех выбранных масс

цля всей рассматриваемой области.

В последующем возможно и, как правило, даже необ

ходимо второе приближение после сличения модели с из

вестными частями изучаемого поля.

бины залегания точечной мас

сы по ординате 1/2 максималь

ного значения аномалии.

■^^тах

А9 0

X L &

/ г

Расчет глубин избранных точечных масс можно легко

осуществить, если массы поместить под максимумами или

минимумами аномалий и использовать прием вычисления

глубины центра масс по абсциссам половины максималь

ной аномалии.

Притяжение единичной массы с координатой х, 0 точеч

ной массой М, расположенной на глубине h, будет

я GM

б£ = — .

(5.60)

а вертикальная составляющая этого притяжения (рис. 35),

т. е. аномалия в этой точке,—

A g = G M ^ .

(5.61)

Максимальное притяжение имеет место в точке О, распо

ложенной над притягивающей массой:

л _ GM

^smax *

(5.62)

В точке, где kg достигнет значения Agmax, абсцисса х./,

может быть найдена из соотношения

(*ф ) — ОМ

г3, 2

' 1/2

^ётах»

где

гц2 = у Гх1/г+,г* ;

(5.63)

поэтому

п \ л h GM

W/.-I-h T Z ~ 2h2

или

jt1/a = ftK2a/»_l =0,766/1. (5.64)

Разрешая это уравнение относительно Л, получаем

/i= 1,31jc1/s. (5.65)

Таким образом, определяя по графику аномалий абс

циссы, в которых значение Ag равно ~ А£тах, мы получим

по формуле (5.65) глубины залегания выбранных точечных

масс.

Следующим шагом должно быть определение самих

масс притягивающих точечных источников. Для этого

можно построить систему N уравнений для потенциала,

f , K).

Рис. 36. Аппроксимация

гравитационных аномалий

точечными массами.

содержащих N точечных масс. Возьмем N точек, в кото

рых известна аномалия силы тяжести, и построим для них

уравнения (5.3):

dT 2Т .

dR ^~ R

Потенциал в произвольной точке Q(r, ср, А) (рис. 36), раз

виваемый всей совокупностью масс /п(-, будет

т* = о м £ ш ; ’ <5-66)

>•=1

где Af — расстояние от каждой t-той точки, М — общая

масса Земли, причем

А ,= J/V2 + Pi — 2rp;cos\|)(-, (5.67)

где

cos i|)(- = sin фг- sin ф + cos ф(- cos ф cos (к — X{),

где координаты с индексом i принадлежат точечной массе

с соответствующим индексом, а координаты без индекса —

точке Q, для которой строится потенциал. Подставляя эти

величины в уравнение (5.3) и вводя обозначение ■^' = 6,-,

получим

AgQ = GM £ Л- ( r~ P ^ 0S . (5.68)

;=i 1 ‘

Теперь задача сводится к решению N уравнений (5.68),

записанных для выбранных нами N точек, в которых из

вестна аномалия Ag и вычислен потенциал, возбуждаемый

всеми точечными массами относительно ег и, в конечном

счете, относительно т,.

Выбрав таким образом точечные массы, имитирующие

гравитационное поле интересующей нас области, можно

рассчитать возбуждаемый ими потенциал или аномалию

силы тяжести. Сопоставив рассчитанное поле с наблюден

ным, можно улучшить модель, несколько изменив глубины

и массу в отдельных точках. Последовательными прибли

жениями можно построить модель, очень близкую к реаль

ному гравитационному полю.

Пользуясь этим методом, легко найти не только потен

циал и аномалии силы тяжести, но и горизонтальные гра

диенты. Для этого достаточно продифференцировать по

тенциал (5.66) по направлению координатных линий в сфе

рической системе координат. Соответствующие формулы

имеют вид

1 г)Т ^

7 -ЩГ = GM Ё ^ (C0S(p sin ф‘' “

i= 1 ^ 1

— sin ф cos ф,-cos (Л — к;)), (5.69)

— 5— дд.9 ■ = — GM V cos ф,- sin (к — к[). (5.70)

rcoscp д% д (? 1 ' ‘

Этот метод был предложен и опробован Ж- Бальмино, по

добравшим 126 точечных масс, возбуждающих аномальное

гравитационное поле, имеющее среднее остаточное укло

нение от реального аномального поля Земли, равное

6 мГал.