Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

точки, в которой определяется уклонение отвесной, «тшнии.

Из формулы (5.22) получим составляющие уклонения от

весной линии в меридиане и первом вертикале:

g = _ * | L > т] = — р S . (5.23)

R Зф0 1 /? cos ф0 <5Ао

Знак минус здесь взяли условно, считая, что положитель

ные уклонения отвеса увеличивают координаты. Поэтому

поправки должны быть отрицательными. Вводя в (5.23)

значение £, выраженное формулой Стокса (5.19), получим

так называемые формулы Венинг-Мейнеса для уклонений

отвесных линий:

я 2Я

& = - 4 ^ И b g ^ s in l p d y d A , (5.24)

О о

я 2я

= $ A g ^ s W d V d A . (5.25)

о о

Дифференцирование по ср0 и А0 легко выполнить, если вос

пользоваться формулами сферической тригонометрии, ко-

Рис. 29. Полярный сфе

рический треугольник.

торые мы напишем для полярного треугольника PNM

(рис. 29):

sin if sin Л = cos q> sin (А, — А0),

sin if cos A = sin cp cos ф0 — cos ф sin ф0 cos (A — A0), J. (5.26)

cos \f = sin ф sin ф0 -f cos ф cos ф0 cos (A — A0).

Заметим, что

dS (г|))

dS (г|)) chf> |

<3ф0 di|) dy0 ’ I

dS (г|з)

dS (i|>) rf-ф J

д\0 dX0 ' J

Производную получим дифференцированием функции S,

которая называется функцией Стокса, а производные ^

и ^ найдем из формул (5.26). Дифференцируя последнюю

из них по ф0 при ф=сопз1 , находим

— sin г|) = [sin ф cos ф0 — cos ф sin ф0 cos (К — ^0)] е!ф0.

Заметим, что выражение в скобке при скр0 в правой части

полученного равенства совпадает с правой частью второй

формулы (5.26); делая соответствующую замену, получим

—sin -ф <ii|)=sm г|з cos А йц>0,

откуда

-^ = — cos А.

dq>0

(5.28)

Аналогично, дифференцируя последнее уравнение (5.26)

по Х0, имеем

— sini|)ch|) = « ^ « ^ 0sin (к — X0)dX0.

Здесь множитель в правой части при cos ф0 с1Х0 совпадает

с правой частью первой формулы (5.26), так что

откуда

— sin г|) dy = cos ф0 sin г)з sin A dX0,

— —■ cos ф0 sin А.

(5.29)

Теперь, вводя производные, определенные формулами (5.28)

и (5.29), в выражения для уклонения отвесной линии (5.24)

и (5.25), получим

£ = +

■п= +

4я-у

Я 2Я

И **

О о

Я 2 я

о о

dS (ф)

дф

dS (ф)

Эф

sin гр cos AdydA,

sin sin A dtydA,

(5.30)

или, обозначив

Q (tJj) = ■

206265" dS

2y dip

sin г|),

находим формулы Венинг-Мейнеса для уклоне#^ отвес

ных линий в секундах дуги:

Л 2Я

I" = — 2^- j j Ag Q cos Л d\|з dA,

0 0

Я 2 n

ri" = — Л J Ag Q sin Л dtydA. |

(5.31)

oo J

Таким образом, теория Стокса позволяет построить

наилучший нормальный эллипсоид, не задавая законы

распределения масс, найти основные параметры формулы

нормального гравитационного поля Земли ge, |3, р' и да

лее получить по аномалиям силы тяжести совокупность

высот геоида над этим нормальным эллипсоидом и сово

купность уклонений отвесных линий в произвольных

точках поверхности геоида. Единственным ограничением

при этом является сохранность общей массы и отсутствие

выступающих за геоид масс. Это последнее условие на

кладывает жесткие требования на выбор редукций силы

тяжести при приведении аномалий к единой поверхности.

Редукция должна быть такой, чтобы не нарушалось общее

количество массы Земли и чтобы массы не находились вне

геоида.

§ 3. Краевая задача и решение Молоденского

В 1945 г. М. С. Молоденский опубликовал свою работу

«Внешнее гравитационное поле и фигура Земли», в кото

рой сформулировал и решил проблему определения фигуры

Земли в самом общем виде. Он дал общее решение, из ко

торого решение Стокса получается как первое приближе

ние. Молоденский показал теоретически, что уровенная

поверхность геоида, проходящая внутри масс, неопреде

лима, и решил задачу для физической поверхности Земли,

на которой фактически производятся все гравиметрические

и геодезические измерения и для которой определяются

аномалии силы тяжести Ag.

Краевое условие Молоденского имеет такой же вид,

как и в задаче Стокса:

<5-32)

однако с тем отличием, что и возмущающий потенциал Т,

и нормаль v, и аномалии силы тяжести Ag отнесены не к

геоиду, а к некоторой кусочно-непрерывной поверхности s,

названной Молоденским Землей первого приближения.

Эту поверхность образует система нормальных высот h,

отложенных от нормального эллипсоида. Аномалия g—у —

смешанная аномалия, в которой g отнесено к физической

поверхности Земли, а у — к точкам поверхности Земли

первого приближения.

Решение краевой задачи М. С. Молоденский находит,

представляя возмущающий потенциал Т через потенциал

простого слоя плотности а:

T = ^ ± d s . (5.33)

Находя производную от Т по направлению координатной

линии

£ = £ 1 1 !-* ' <5-34>

и учитывая разрыв производной простого слоя при пере

ходе через поверхность s, Молоденский получает интег

ральное уравнение для сферической отсчетной поверх

ности вида

2K acosa = Ag + ^ y | d S + J J ^ = ^ d S, (5.35)

S S

где а — угол между направлением координатной линии v

и нормалью к поверхности s.

Решение этого уравнения представляется рядом

t = (5.36)

' п= О

где

Г ° (Ф) — 1 ]Ж»,

СО

со

r , = A j o a[S ( ф ) - 1] Ж о - ^ < " = р £ ХоЖо.

со со

da — элемент телесного угла поверхности s. Gx, G2, . . . суть

непрерывные функции высоты точки и преобразованной к

сфере поверхностной плотности %. Нулевое приближение

решения Молоденского есть решение Стокса.

§ 4. Представление аномалий силы тяжести

и высот геоида в виде разложения /

по сферическим функциям

Интегральная формула Стокса позволяет определить

высоту геоида в любой точке земной поверхности, если

известны аномалии силы тяжести на всей Земле. Пользуясь

этим методом, можно изучать форму геоида сколь угодно

детально. Однако точность таких вычислений зависит от

степени изученности гравитационного поля в целом. Ис

следуя детально ход геоида в небольших областях, задачу

можно упростить, если выделить ближние зоны, влияние

которых надо вычислять для каждой точки, и дальние

зоны, влияние которых можно линейно интерполировать.

Тогда только аномалии ближних зон надо знать доста

точно подробно. Недостаточное знание аномалий далеких

областей внесет постоянную ошибку во все точки геоида.

Однако при изучении аномалий силы тяжести и высот

геоида для всего земного шара указанный метод стано

вится очень трудоемким, даже при использовании ЭВМ,

поскольку для каждой точки А (рис. 30) приходится за

ново вычислять интеграл (5.19).

Во многих задачах, особенно геодезического характера,

нет надобности рассматривать аномальное гравитационное

поле очень детально. Поэтому вполне достаточно пользо

ваться сравнительно редкой сетью точек с осредненным

значением аномалий. Для такого случая удобной формой

представления материала является разложение аномалий

и высот геоида по сферическим функциям.

Всякий однородный многочлен п-й степени, представ

ленный в сферических координатах г, 0 , X, может быть

выражен как произведение двух функций, одна из кото

рых зависит только от г, а другая — только от сфериче

ских координат:

А(Г-РЛ)

Рис. 30. К разложению

потенциала по полиномам

Лежандра.

Un = r"Yn(Q,K).

(5.37)

Если рассматриваемый многочлен гармонический, т. е.

непрерывный, имеет непрерывные производные и удов

летворяет уравнению Лапласа

то он называется объемной сферической функцией. Много

член Yn (0, X) — поверхностная сферическая функция.

Она всегда может быть представлена как произведение

функции, зависящей только от 0 , на функцию, зависящую

только от X:

У п (0. Ц = 2 Р п т (cos 0) (Спт cos т к + Snm sin ml), (5.38)

где Спт и Snm — некоторые коэффициенты. При /л=0

получим ряд функций, зависящих только от 0 :

это так называемые полиномы Лежандра.

Функция Рпт (cos 0) называется сферической функцией

степени п и порядка т.

В теории сферических функций доказывается, что

функции Рпт (cos 0) являются решением уравнения Лап

ласа и определяются формулами

Формула (5.39), называемая формулой Родрига, дает мно

жество так называемых полиномов Лежандра. Формула

(5.40) дает множество присоединенных полиномов Ле

жандра.

Полиномы Лежандра и присоединенные полиномы пер

вых степеней имеют следующий вид:

полиномы Лежандра

(5.39)

(5.40)

/>„(*) = 1 ,

Рг (х) = х — cos 0,

^ (* ) = 4 * 2~ T = T cosS0 ~ T >

( * ) = 4 * 3 ~ т * = т c o s 3 0 — 4 c o s e ;

Рп = (1 -х Т ’, )

Р21=3х( 1 - х 2)Ч

Р22 = 3 (1 —х2),

Р31 = ~ ( 1 ~ х ^ (5x^-1), S

Р32 = 15(1— х2)х,

Р33= 15 (1 -Х 2)3/*.

(5.42)

Сферические функции обладают рядом интересных

свойств, которые подробно рассматриваются в соответст

вующих курсах. Отметим здесь только, что эти функции

ортогональны на отрезке [— 1 + 1 ], т. е.

+ i

Свойство (5.44) используется для нормирования сфе

рических функций, которое осуществляется для того, чтобы

сферические функции различных порядков были близки

по величине. Это свойство важно при выполнении вычис

лений. Нормирование состоит в том, что подбирается не

который множитель, закономерно изменяющийся с изме

нением порядка функции так, чтобы произведения послед

ней на него были величинами одного порядка.

Нормировочные коэффициенты Nnm определяются из

условия

j cos<pdq><a=l, (5.45)

О л.

Pkm(x)Pnrn(x) = 0, к ф п . (5.43)

- 1

Для них имеет место равенство

+ i

и так как

^ cos2 rnkd,X = 2n

при т — О,

2л 2я

J cos2m kdk= ^ sin*mXdh = n при m = l, 2 , 3 ,

(^ ’Е Н Щ [ ЕЕаг. <5-4б>

причем

[ 0 при т ф О,

1 при т — 0 .

Нормированные коэффициенты Спт, Snm связаны с

ненормированными соотношениями

Cnm= ci ^ \ s nm= § r - <5-47>

14 пт 1У пт

Потенциал силы тяжести и аномалии силы тяжести

могут быть представлены в виде разложения по сфериче

ским функциям.

Всякая гармоническая функция f может быть разло

жена в ряд по сферическим многочленам:

f( 9 Д )= -2

п= О

CooPoo(cOS 0) +

I- S (с пш cos тХ + Snm sin тХ) Рпт (cos 0)1 . (5.48)

т= 1 J

Потенциал притяжения имеет вид

V(x,y,z) = G ^ f f i . (5.49)

Он может быть разложен в ряд по сферическим функциям:

y = 6 A f[l_ £ ^ " / BOPBO(COS0) +

L п = 2 V Г '

CD П

+ H S . ( ^ Y (Cnm cos mX + Snm sin mX) Pnm (cos d)

tl = 2 m=l 4 '

(5.50)

Здесь первый член соответствует потенциалу сферической

Земли. Сравнивая (5.50) и (5.48), видим, что

Соо = —у—> так как Р„0= 1 . (5.51)

Потенциал силы тяжести W можно получить, добавляя

член, возникающий в результате вращения Земли:

cos ф = fl — Р?0 (sin ф)], (5.52)

f,\2r2

+ Snm sin mX) Pnm (sin ф) H— g— [ 1 — (sin ф)]. (5.53)

Аномалии силы тяжести могут быть представлены

также через сферические функции. Для этого выразим

через сферические функции возмущающий потенциал

Здесь V0 — потенциал притяжения нормальной Земли.

Нормальная Земля выбиралась так, чтобы все гармониче

ские коэффициенты для V0, кроме четных зональных С®

и С"о, равнялись нулю. Возмущающий потенциал запи

шем в развернутом виде:

где АСпт и Snm суть гармонические коэффициенты возму

щающего потенциала

Возмущающий потенциал можно представить в виде

есть п-я гармоника в разложении потенциала Т на поверх

ности сферы радиуса ае по сферическим функциям.

Вводя (5.55) в выражение для смешанной аномалии,

получим

T = V - V 0.

т X (ACnncosmX + SnmsmrnX)Pnn(sm(f>),

/1=2 m= О

(5.54)

(5.55)

где

Тп = "1Г Ё (ACnm cos тК + Snm sin ml) Рпт sin (ф)

& т — Л

где

Аёп = 2 . (<*«» cos тк + Ьпт sin тк) Рпт (sin ф).

Коэффициенты апт и Ь,

очевидно, имеют вид

KJiVl / 1\

= — (я—1)

О-е

(п— 1)АСпт,

(5.57)

пт •

Высоты геоида получаются из (5.55) делением на нор

мальное значение ускорения силы тяжести у:

Именно этот метод применяется для построения ано

мального гравитационного поля по наблюдениям ИСЗ.

Гармонические ряды удобны для вычислений с помощью

ЭВМ, поскольку представляют хорошо разработанный ал

горитм, позволяющий легко получить высоты геоида для

всей Земли по любой равномерной сети точек. В зависи

мости от наличия данных метод позволяет представить

геоид более или менее детально, однако это детальность

обобщенной картины. Мелкие особенности не могут быть

выявлены этим методом, поскольку ряды сферических

функций сходятся очень медленно. Точность представле

ния высот геоида (или аномалий силы тяжести) зависит от

количества членов, т. е. от выбранных значений п и т.

Величины СптРпт (sin cp) cos тк и SnmPnm (sin ср) sin тк

суть гармоники, представляющие функцию в определен

ной области, Спт и Snm — амплитуды этих гармоник.

Крупные детали гравитационного поля или высот геоида

учитываются гармониками низких порядков. Чем выше

номер гармоники, тем более мелкую область она представ

ляет.

Гармоники, имеющие индекс т=О, описывают широт

ные изменения поля. Многочлены Рп0 обращаются в О

на п параллелях, делящих всю Землю на и+1 зон,* в ко

торых функция принимает попеременно положительные

или отрицательные значения. Это так называемые зональ

ные сферические функции, описывающие составляющие

(5.58)

или в развернутом виде

+ ^пт sin тк) Рпт (sin ф). (5.59)