Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

Г Л А В A 6

СПУТНИКОВЫЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ

ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

§ 1. Динамические характеристики

гравитационного поля Земли. Связь их

с параметрами формулы нормальной силы тяжести

Ранее было показано, что потенциал притяжения Зем

ли может быть представлен в виде разложения по сфериче

ским функциям. В этом случае он имеет вид

V-^U + t ( ^ ) “ £<C„cosmX +

\ п=2 m=О

+ Sum sin ml) Pnm (cos 0)} . (6.1)

)

Здесь ae — экваториальный радиус Земли, Cnm, Snm —

коэффициенты, характеризующие динамические свойства

Земли.

Если разложение произвести по полиномам Лежандра, то

потенциал не будет зависеть от долготы, и мы получим

формулу

у = -т1 (1 - £ (т-)" (c o s 0)1 • М

V п = 2 )

Коэффициент / 20 характеризует сжатие Земли, / 80 — пер

вую зональную асимметрию и т. д.

Поскольку нормальное гравитационное поле Земли

принято представлять полем фигуры вращения, рассмот

рим более подробно первые коэффициенты потенциала силы

тяжести. Сопоставляя (6.2) с (5.48) и (5.50), видим, что

Потенциал силы тяжести запишем в виде

п~ 2

U 7 = - ^ ( l _ £ ( ^ ) Ч Л ( cos0)

, l i i

Т- 9 з

1 ae

P20 (cos 0)

так как потенциал центробежной силы равен

GMq г2 „ 2 2/ 1 п ч .„ 1 . 2 D

—y 2- - r cos29 , a cos2cp = -3 (1 — Р20), sin2cp = -g + -jP 2a,

то сила тяжести

1 + 3 -/> „ ) +

+ 4 (•у-) * Л Л . + 5 ( ± ) Ч „ Р „ + • • • } • (6.3)

Напишем (6.3) в виде

ё ~ ^00 + ^20^20 + Л30Р30 + Ai0P40 + • • •.

(6.4)

где

^00 :

Аап

, 2 г2 '

\ - - - q

3 nl

GM / ар \ 2

3 /,

У?

Алп =

- GM / ае \ i ,

0 Л2 \ г ) 40’

(6.5)

Коэффициенты ЛАо разложения (6.4) можно выразить

через динамические параметры и коэффициенты нормаль

ной формулы силы тяжести (2.23), (2.24). Тогда получим

1 О"

^.0 = тЛтР—Й-Р--тР']-

л 32 о t

Л4о = Уе"з5 Р »

(6 6)

и для обратного перехода:

А 1 А

Помня, что Р = у q — а, и разрешая (6,6) или (6.7) относи

тельно а и Ye с учетом (6.5), можно получить соотношения,

связывающие сжатие Земли а и экваториальную постоян

ную уе с динамическим коэффициентом У20:

3,.1 .Э ,2 6 , 'l

а — 2 20 ^” 2 ^ 8 го 2 8 50 Ц I I

_ GM ( \ 1 3 т , 27 га , 9 г 9 f ^6'8^

Те — ^ + у ^ 2 0 — <Н g- -^20 + ^4 Jaoq— Tjg 9 J ■ I

Пользуясь приведенными соотношениями, легко выра

зить формулы нормальной силы тяжести в виде разло

жения по сферическим функциям. Так, например, Между

народная формула 1930 г. Кассиниса принимает в этом

случае вид

Т = 979 770,04 + 3446,01Р20 + 5,26Ри , (6.9)

где

^20=4 ( ^ ф — 4) -

-^40 = 4 (l — Ю sin 29 + -^ -sin 4 .

Так же могут быть преобразованы и остальные формулы

нормальной силы тяжести, однако мы этого делать не бу

дем, поскольку в современной практике гравиметрических

работ применяются непосредственно динамические коэф

фициенты или формулы в прежнем написании.

§ 2. Влияние гравитационного поля на движение

искусственных спутников Земли (ИСЗ)

Запуск искусственных спутников Земли, а позже и

спутников других планет, расширил возможности изуче

ния гравитационного поля Земли и планет. В то же время

он предъявил новые требования к изучению этих полей.

Искусственный спутник, впрочем, так же, как и естест

венный, двигаясь в силовом поле планеты по законам все

мирного тяготения, описывает вокруг планеты траекто

рию, определяемую характером силового поля. Если поле

центральное и однородное — такое поле развивает мате

риальная точка и однородная (или концентрически одно

родная) сфера,— спутник, который обычно можно рас

сматривать как материальную точку, будет двигаться по

эллиптической или круговой орбите, сохраняя постоян-

пыми все элементы орбиты. Шесть элементов определяют

однозначно положение и характер движения спутника. Эти

элементы следующие (рис. 37): а — большая полуось ор

биты, е — эксцентриситет орбиты, i — наклонение ор

биты спутника к плоскости эква

тора, Q — долгота восходящего

узла, я — долгота перицентра,

ix=Q+<o, Т — время прохожде

ния спутника через перицентр или

v — истинная аномалия — угол

между большой полуосью и ра-

диусом-вектором.

За основную отсчетную плос

кость при определении элементов ор

биты спутников принимается плос

кость экватора. Основной отсчетной

точкой служит точка весеннего рав

ноденствия Т, в которой эклиптика пересекается с эквато

ром, переходя из южного полушария небесной сферы в се

верное. От нее ведется счет долгот. Угол между направлением

на точку весеннего равноденствия Т и на восходящий узел

£1 орбиты спутника называется долготой восходящего

узла Q. Долготой перицентра я называется угол между

направлением на точку весеннего равноденствия и на пери

центр Р (п — УР). Этот элемент часто заменяют расстоянием

от узла Д Р = (о — аргументом перицентра. Из рисунка

видно, что

я —Q+a).

Элементы Q и i определяют положение плоскости орбиты

спутника в пространстве, я или со — ориентировку орбиты

в этой плоскости, ей а — форму и размер орбиты и, нако

нец, Т или v — положение спутника S на орбите.

При нарушении однородности гравитационного поля,

которое может быть вызвано притяжением третьего тела

или неправильностью формы и распределения масс притя

гивающего тела, элементы орбиты спутника перестают быть

постоянными, они начинают изменяться. Говорят, что

происходит «возмущение» орбиты под действием «возму

щающей силы», развиваемой третьим телом или массами,

отклоняющимися от однородного распределения. В этом

случае для каждого момента времени существует система

элементов, характеризующая орбиту именно на этот мо

мент. Эта система элементов определяет движение спут

ника на последующее время, если с данного момента пре

кратила свое действие возмущающая сила. Таким образом

можно получить ряд таких систем элементов, которые

точно соответствуют действительному положению спут

ника и его движению относительно центрального тела

именно в данный момент. Такая система называется систе

мой оскулирующих элементов.

Если возмущения, как это имеет место для планет Сол

нечной системы и для большинства спутников, остаются

все время малыми, то система оскулирующих элементов

будет медленно изменяться. Эти изменения называются

возмущениями элементов орбиты.

В небесной механике выводятся уравнения, связываю

щие скорости изменения элементов орбиты с самими эле

ментами. Такие уравнения носят название уравнений Ла

гранжа. Они имеют следующий вид:

2 а2

Ytm{

eS sinu + — T

■ «*

+ P

cosy-

ВТ /jp

r = T V~ ш «7co s(®+^).

£_ a

dt ~ b V ~GM

dco

~df

Y-m

sin (w + u)

sin i

--------COS V -

r + p

T siny-

— W sin (со + v) ctg i

(6. 10)

где a — большая, b — малая полуоси орбиты и р — — =

=а (1 — е2) — фокальный параметр орбиты, г —•1_ р

------

— 1-я полярная координата — радиус-вектор спутника,

v — вторая полярная координата — истинная аномалия,

S, Т, W — проекции возмущающей силы на орты криволи

нейных координат. Потенциал Земли можно представить

в виде потенциала правильного шара с добавлением возму

щающей части:

1/ = — + /? .

Возмущающую функцию R часто зовут пертурбационной

функцией. Ее градиент — это та дополнительная сила или,

иными словами, то отклонение поля от центрального и

однородного, которое вызывает отклонения от регуляр-

пости в движении спутника. Уравнения (6.10 ) содержат

производные возмущающего потенциала R и могут быть

использованы как по прямому назначению — для нахож

дения изменения элементов орбиты при известной возму

щающей функции R, так и для решения обратной задачи —

нахождения возмущающей силы по известным элементам

и наблюдаемым возмущениям элементов, т. е. скоростям

их изменения. Рассмотрим, как эта задача решается. Если

воспользоваться разложением потенциала в ряд по поли

номам Лежандра (6 .2 ), которое можно записать в виде

( ^ ) П+1/ пОРпО(соз0), (6.11)

е п = 2

то, очевидно, что за возмущающую функцию следует при

нять ряд

Я = - ^ г Е ( - 7 L) n + I -/ » o ^ o (C O S 0 ). (6 .1 2 )

п= 2

Таким образом, возмущающая функция состоит из ряда

членов, являющихся зональными гармониками и содержа

щих зональные динамические параметры Jn0.

T fB общем случае, с учетом тессеральных гармоник, по

тенциал V представляется формулой (5.50). Тогда возму

щающая функция R будет иметь вид

Для решения задачи нахождения динамических харак

теристик Jnm существуют различные методы. Наметим

один из них. Производные возмущающего потенциала R

по направлениям ортов криволинейных координат, свя

занных с орбитой спутника, суть составляющие возмущаю

щей силы по этим направлениям, обозначенные ранее

S, Т, W. На рис. 38 видно, что первый орт совпадает с на

правлением внешней нормали к орбите, второй — с на

правлением касательной к ней, третий орт направлен по

нормали к плоскости орбиты. Чтобы определить эти со

ставляющие, найдем предварительно проекции возмущаю

щей силы на орты другой криволинейной системы коорди

нат, связанной с небесной сферой. Направления первых

ортов обеих систем совпадают, второй и третий орты по

следней системы направлены по касательным к небесному

меридиану и первому вертикалу. На рис. 38 проекции

возмущающей силы в этой системе обозначены S, М, N :

дг

г дд

N ■

г sin t

(6.13)

Переход к координатным осям Т, W, связанным с орби

той, осуществляется поворотом координатного трехгран-

Рис. 38. Проекции возму

щающей силы по коорди

натным осям, связанным

с орбитой спутника и не

бесной сферой.

ника на угол а вокруг нормали к касательной плоскости:

Г =

гд О

cosa

гдв

sin a-

r sin 0

r sin 0 dk

sina,

cos a.

Синус и косинус угла а можно выразить через элементы

орбиты по формулам сферической тригонометрии из тре

угольника ABC (рис. 38):

cos (со + к) . .

cosa =

-----

V-q—- sin г,

sin 6 ’

sin а-

cos i

sin 0

Тогда

о dR

. dR

rr cos(t» + co)

/ = --------v. ' -sin i

r sin 0 Э0

cos i dR

r sin 0 60

r sin2 0 dk

cos (co+u) sin i dR

r sin2 0 dk

(6.14)

(6.15)

Теперь, дифференцируя R по г, к и 0, можно найти яв

ные выражения для S, Т, W. Введя их в уравнения Лаг

ранжа (6.10), получим связь скоростей изменения элемен-

.. da de di dQ dn . ,

тов орбиты ■jfj-jf, -jf с динамическими коэффи

циентами Jnm. Скорости изменения элементов определить

136

непосредственно не удается, поэтому обычно получают ве

личину изменения элементов в течение одного оборота г:

/0 + Т /„ + X 10 + т

Да = J *Ldt. Де = | *Ldt; Ai = j

/о *0 ^0

/о + t /о + Т

A Q = j ~ d t, An= j“ — ■dt. (6.16)

10 to

Вычисление этих величин за время полного оборота спут

ника удобно еще и тем, что при этом исключаются коротко

периодические члены с периодом и т. д., та

кие, как cos v, cos 2v, . . ., поскольку обращаются в нуль

соответствующие интегралы. Таким образом, происходит

фильтрация короткопериодических возмущений. После ин

тегрирования остаются члены вековые, возрастающие мед

ленно и правильно по мере накопления оборотов, и долго

периодические, которые изменяются хотя и периодически,

по очень медленно.

Выполнение всех необходимых операций приводит к

формулам, связывающим величины изменения элементов

за один оборот с динамическими параметрами J 20, Jза,

У.1(), . . . Эти формулы имеют вид

Аа = 0,

Уравнения (6.17) написаны с сохранением малых величин

порядка е2/ 30, еЧы и т. д. Эти уравнения позволяют найти

динамические характеристики гравитационного поля Зем

ли J2о, Jзо, Лю при известных элементах орбиты и наблю

денных изменениях элементов за один оборот спутника

А а, Ае, Ai, AQ, Аи.

Рассмотрим уравнения (6.17). Первое из них показы

вает, что большая полуось не изменяется под действием

неоднородностей гравитационного поля.

^ {, Второе уравнение (6.17) указывает на пропорциональ

ную зависимость возмущений эксцентриситета и наклоне

ния. При отличных от нуля значениях i возмущения на

клонения и эксцентриситета одинаково связаны с динами

ческими параметрами /, и определения той-и другой вели

чины должны привести к одинаковым результатам.

(Члены уравнений (6.17), зависящие от аргумента пери

центра м, являются долгопериодическими. Аргумент пери

центра возрастает медленно, но постоянно, вследствие чего

перицентр спутника перемещается вокруг Земли, однако

значительно медленнее, чем сам спутник. Типичный пе

риод со-— 2 месяца. В уравнениях (6.17) долгопериодиче

скими являются члены, содержащие cos ю, sin со, sin 2со

и т. д.

Третье уравнение, для Ai содержит только долгоперио

дические члены, включающие cos со и sin 2со. В этом урав

нении второй член на порядок меньше первого, так как

содержит множителем е2. Поэтому именно первый член

играет основную роль при определении динамических

характеристик, а поскольку он содержит нечетную гар

монику Jзо, то именно она и определяется из наблюдений

изменения наклонения At наиболее уверенно.

Уравнение четвертое для регрессии узла AQ и пятое

для вращения перигея Асо наиболее удобны для определе

ния четных гармоник / 20, J 40, Л о и т. д. Во-первых, члены,

содержащие четные гармоники,— вековые, и, во-вторых,

они на порядок больше члена с Jso, который имеет множи

телем малую величину е. Поэтому влияние нечетных гар

моник здесь значительно слабее.

Из уравнений (6.17) видно, что коэффициенты при Jn0

зависят от наклонения i, так что для наиболее надежного

решения следует использовать несколько спутников с раз

личными наклонениями. В этом случае мы получим урав

нения с наименьшей взаимной зависимостью.

При отыскании гармоник Jn0 целесообразно составлять

ряд уравнений по наблюдениям нескольких спутников

с различным наклонением i и решать их по способу на

именьших квадратов. Поскольку таких уравнений огра

ниченное число, то и число членов в них, а значит, и число

определяемых гармоник / п0 должно быть ограничено.

Оно должнот быть меньше числа уравнений. Для более

точного определения коэффициентов / п0 используется боль

шое число наблюдений различных спутников.

Формулы (6.17) составлены для нахождения зональных

гармоник гравитационного поля. В небесной механике вы

водятся и более общие формулы, в которых скорость изме

нения элементов орбит спутников выражается через эле

менты орбиты, средний радиус и гармонические коэффи

циенты. Так, для долготы восходящего узла, углового

расстояния перицентра, наклонения и эксцентриситета

орбиты можно написать в общем виде уравнения:

Щ = р г (Спт’ Sn,„> элементы орбиты),

^ = F2 (Cnrn, Snm, R, элементы орбиты),

щ = рs(Cnm, Snm> R, элементы орбиты),

-M=F4 (C„m, Snm, R, элементы орбиты),

Поэтому, зная изменения элементов, можно решить обрат

ную задачу — найти коэффициенты Спт и Snm. С помощью

этих же коэффициентов, как мы уже видели, представляется

и гравитационное поле планеты. Коль скоро эти коэффи

циенты известны, можно построить модель гравитацион

ного поля, вычислить по ней коэффициенты с пт и Snm и,

сравнив их с коэффициентами, полученными по наблюде

ниям спутников, убедиться, насколько модель соответствует

действительности. Последовательно улучшая модель, доби

ваются совпадения значений коэффициентов, полученных

по модели и по наблюдениям ИСЗ.

§ 3. Определение фундаментальной гравитационной

константы

Использование ИСЗ и других космических аппаратов

позволило с высокой степенью точности определить фун

даментальную постоянную GM. Имея в виду важность

этой константы во многих вопросах физики, остановимся