Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

20

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Из анализа результатов расчетов следует:

Таблица �.1

Характе-

ристики

СМО

1 2 3 4 5

1/ λ

4 мин 4 мин 4 мин 4 мин 4 мин

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

1/ µ

5 мин 3,5 мин 2 мин 1 мин 0,5 мин

0,2 0,286 0,5 1 2

1,25 0,875 0,5 0,25 0,125

– 0,25 0,125 0,5 0,75 0,875

– 5 7 1 0,333 0,143

– 6,25 6,125 0,5 0,083 0,018

– 20 27,477 4 1,333 0,571

– 25 24,305 2 0,333 0,071

Первый вариант строительства АЗС не годен из-за

того, что очередь в этом случае будет расти до беско-

нечности.

Второй вариант хорош по показателю загружен-

ности оборудования ρ = 0,875 и, следовательно, малой

средней доли простоя оборудования Е

= 0,125, но при

этом варианте возникают большие очереди и, следо-

вательно, большие средние времена простоя автомо-

билей Е

= 27,48 мин.

Третий вариант приводит к тому, что оборудование

в среднем половину времени простаивает, но среднее

число автомобилей в системе равно только 1, а сред-

ние потери времени равны 4 мин при среднем времени

обслуживания 2 мин.

В остальных вариантах очереди практически нет,

но большую часть времени оборудование простаивает,

поэтому эти варианты целесообразно отбросить как

неэффективные.

21

Математические методы и модели в экономике

Окончательный выбор варианта проекта АЗС, оче-

видно, принадлежит лицу, принимающему решение

(ЛПР), но предварительная рекомендация по резуль-

татам анализа может состоять в предложении третье-

го варианта, если исходить из того, что наблюдается

постоянная тенденция роста автомобильного парка в

стране.

7.3. Методы теории игр

Как уже говорилось выше, во многих ситуациях

принятие хозяйственных решений приходится осу-

ществлять в условиях неопределенности второго по-

рядка. Подобные ситуации называют игровыми. Их

суть состоит в том, что принятие решения приходит-

ся осуществлять в условиях, когда в этом процессе

принимает участие несколько сторон, причем часто

с противоположными интересами, например, как в

классической ситуации взаимодействия продавца и

покупателя. Иными словами, это ситуации, в которых

возникает конфликт интересов. Эти ситуации называ-

ют игровыми, а участников — игроками. Если интере-

сы игроков строго антагонистичны, то игры называют

антагонистическими, если в процессе игры участ-

ники могут каким-либо образом объединяться, что су-

лит им более высокие выигрыши, то игры называют-

ся кооперативными. Конфликт может возникать не

только в результате сознательных действий различ-

ных участников, но и в результате действия тех или

иных «стихийных сил». В последнем случае говорят

об «играх с природой». Для характеристики игровой

ситуации используются следующие понятия: «игро-

ки» — множество заинтересованных сторон, которых

также называют участниками, сторонами, лицами;

«стратегии» — возможные действия каждой из сто-

рон; «функции выигрыша» или «платежи» — число-

вые характеристики, выражающие интересы игроков.

22

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Стратегии бывают «чистыми» и «смешанными». Чис-

тая стратегия — это стратегия, ориентированная

на определенное поведение игрока-противника. Сме-

шанная стратегия — это стратегия, ориентирован-

ная на несколько возможных стратегий поведения иг-

рока-противника.

Классифицируют игры по разным признакам: по

числу игроков, по числу стратегий, по свойствам

функции выигрыша, по возможности предваритель-

ных переговоров и взаимодействия между игроками

в ходе игры.

По числу игроков различают игры с двумя, тремя

и большим количеством игроков.

По количеству стратегий различают конечные

и бесконечные игры. В конечных играх игроки рас-

полагают конечным числом стратегий, в бесконеч-

ных — бесконечным.

По свойствам функций выигрыша различают

игры с нулевой суммой (антагонистические), то есть

игры, в которых есть прямой конфликт и выигрыш

одного участника равен проигрышу второго, и игры

с постоянной разностью, то есть такие, в которых

игроки проигрывают и выигрывают одновременно.

В зависимости от возможности предварительных

переговоров между игроками различают коопера-

тивные и некооперативные игры.

Для формулировки задачи в игровой постановке

необходимо реализовать следующие этапы.

1-й этап. Определение участников игры (игроков).

На этом этапе анализируется условие задачи и дела-

ется попытка выделить участников игры, а также опреде-

лить суть конфликта, который возникает между ними.

2-й этап. Определение стратегий игроков.

Определение стратегий игроков — процесс во мно-

гом неформальный. Чтобы выделить стратегии, необхо-

димо сформулировать конечные цели игроков и найти

пути достижения этих целей. В матричных играх с ну-

левой суммой цели игроков прямо противоположны.

2

Математические методы и модели в экономике

3-й этап. Определение выигрышей игроков при

использовании каждой стратегии.

Выигрыши (платежи) обязательно должны иметь

количественное выражение. Выигрыши являются по-

казателями степени достижения целей соответствую-

щего игрока. Выигрыши определяются при сочетании

различных стратегий игроков.

4-й этап. Представление матрицы выигрышей

(платежей) в нормальной форме.

Представление осуществляется путем внесения най-

денных значений выигрышей (платежей) в матрицу.

Основным принципом решения матричных антаго-

нистических игр является предположение о том, что

каждый игрок стремится обеспечить себе максимально

возможный выигрыш при любых действиях партнера.

В этих условиях оптимальной стратегией игрока № 1

вне зависимости от стратегии противника будет стра-

тегия, максимизирующая минимальный выигрыш, то

есть максиминная стратегия, а для игрока № 2 тогда

оптимальной является минимаксная стратегия.

Фундаментальным результатом теории игр явля-

ется Теорема о минимаксе, которая утверждает, что

сформулированные задачи для игроков №№ 1 и 2

всегда имеют решение для любой матрицы выигры-

шей и решения совпадают.

Решение антагонистической игры в чистых

стратегиях

Обозначим через α

наименьший выигрыш игрока A

при выборе им стратегии A

, для любой стратегии иг-

рока B (наименьшее число в i-той строке матрицы A),

то есть

Число

называется нижней ценой игры, или максимин-

ным выигрышем (максимином).

(7.16)

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Это гарантированный выигрыш игрока А.

Стратегия, соответствующая максимину, называет-

ся максиминной.

Игрок B заинтересован в том, чтобы уменьшить

выигрыш игрока A, выбирая стратегию B

, он учиты-

вает максимально возможный при этом выигрыш для

A. Обозначим:

Число

называется верхней ценой игры, или минимакс-

ным выигрышем (минимаксом).

Это гарантированный проигрыш игрока B.

Если нижняя и верхняя цены совпадают, то общее

значение верхней и нижней цены игры (α = β = ν) на-

зывается чистой ценой, или ценой игры.

Стратегии, соответствующие цене игры, являются

оптимальными, а их совокупность — оптимальным

решением, или решением игры.

Пара чистых стратегий A

и B

дает оптимальное

решение игры тогда и только тогда, когда соответству-

ющий ей элемент a

является одновременно наиболь-

шим в своем столбце и наименьшим в своей строке.

Такая точка в матрице называется седловой точкой.

Пример

Определить нижнюю и верхнюю цену игры, задан-

ной платежной матрицей:

Найти чистые стратегии игроков, если есть седло-

вая точка.

(7.17)

2

Математические методы и модели в экономике

Решение

Все расчеты удобно проводить в таблице, в кото-

рой, кроме матрицы А, введены столбец α

и строка β

(табл.7.2).

Таблица �.2

4 2 –33 3 –33

–11 1 2 4 –11

4 5 2 5 2

4 5 2 5

α = β = 2

Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А),

заполняем столбец α

: α

= –3; α

= –1 α

= 2 — мини-

мальные числа в строках 1, 2, 3. Аналогично заполня-

ем строку β

: β

= 4, β

= 5, β

= 2, β

= 5 — максималь-

ные числа в столбцах 1, 2, 3, 4 соответственно.

Нижняя цена игры:

Верхняя цена игры

Эти значения равны, значит, чистая цена игры рав-

на: ν = α = β = 2. Следовательно, игра имеет седловую

точку (A

, B

Чистые стратегии игроков:

Решение антагонистической игры в смешанных

стратегиях

Если в матрице нет седловой точки, то решение

ищется в смешанных стратегиях:

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Это означает, что игрок A выбирает стратегии A

,..., A

с вероятностями p

, p

, ..., p

Аналогично и для B:

В матричной игре есть еще два важных понятия.

Строка платежной матрицы называется доминируе-

мой строкой, если все ее элементы не превосходят со-

ответствующих элементов какой-либо другой строки.

Столбец называется доминирующим, если все его

элементы не меньше соответствующих элементов ка-

кого-либо другого столбца.

Алгоритм решения игры

1. Проверить, имеет ли платежная матрица седло-

вую точку. Если да, то решение — в чистых отра-

жениях, если нет — продолжить анализ матрицы.

2. Удалить, если они есть, доминируемые строки и

доминирующие столбцы. На их месте в оптималь-

ных стратегиях игроков соответствующие компо-

ненты будут равны нулю.

3. Решить матричную игру одним из известных ме-

тодов.

4. При решении методами ЛП, если в платежной

матрице есть отрицательные числа, прибавляем

ко всем компонентам одно и то же положитель-

ное число, так чтобы все элементы новой матрицы

стали неотрицательными, а затем от найденной

цены игры отнимаем это же число.

Пример

Предприятие может выпускать четыре вида про-

дукции A

, A

, получая при этом прибыль,

зависящую от спроса, который может быть в одном

из четырех состояний B

, B

. Дана платежная

матрица

2

Математические методы и модели в экономике

где a

— прибыль от i-й продукции при j-м состо-

янии спроса.

Определить оптимальные пропорции, гарантирую-

щие среднюю величину прибыли при любом состоя-

нии спроса, считая его неопределенным.

Решение

1) Определим верхнюю и нижнюю цену игры:

3 3 6 8 3

9 100 4 2 2

7 7 5 4 4

7 7 4 1 1

9 10 6 8

Так как α ≠ β, то седловой точки нет, решение бу-

дем искать в смешанных стратегиях.

2) Упростим платежную матрицу. Для этого уда-

лим доминируемую строку и доминирующий столбец:

доминируемая

строка

доминирующий столбец

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Получилась новая матрица:

3) Составим задачу:

Если игрок A применяет смешанную стратегию

против любой чистой стратегии B

игрока B, то он по-

лучает средний выигрыш, или математическое ожида-

ние выигрыша (то есть

элементы j-го столбца платежной матрицы почленно

умножаются на соответствующие вероятности страте-

гий A

, A

,..., A

и результаты складываются.

Для оптимальной стратегии все средние выиг-

рыши не меньше цены игры ν, поэтому получаем сис-

тему неравенств:

Так как разделим все неравенства на ν и

введем новые переменные:

Получим:

Цель игрока A — максимизировать свой гаранти-

рованный выигрыш, то есть ν→max.

2

Математические методы и модели в экономике

Разделив на равенство p

+ p

= 1,

по-

лучим, что переменные x

, x

удовлетворяют усло-

вию

И если ν→max, то , то есть

Таким образом получаем задачу:

Так как цели игрока B противоположны, то его за-

дача — двойственная этой, то есть F = y

+ y

→max

при ограничениях:

Решим эту задачу симплексным методом. Имеем:

Заполним симплексную таблицу: