Горский Н.М. Практикум по математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

года. Какими данными нужно обладать, чтобы оценить средний

возраст всех глав семейств?

Задача 31.

Для случайной выборки, включающей 525 студентов муж-

ского пола, средний рост 181 см, а стандартное отклонение —

3,50 см. Каков 95%-ный доверительный интервал для среднего

роста всех студентов?

Задача 32.

После изменения состава кормов из 500 поросят была взята

выборка, включающая 60 поросят. Их массы оказались следую-

щими:

Масса, фунт Число, шт.

[60; 65) 3

[65; 70) 40

[70; 75) 14

[75; 80] 3

а) Дайте оценку (с уровнем значимости α = 0,05) средней

массы всех поросят.

б) Предположим, что фермер хочет продать всех 500 по-

росят. Чему равна их общая масса?

Задача 33.

Случайная выборка включает 24 семьи с 5 и более детьми,

матери которых работают. Эти семьи имеют средний ежене-

дельный доход 40,10 фунта стерлингов, а стандартное отклоне-

ние — 13,40 фунта стерлингов. Оцените средний еженедельный

доход всех семей с работающими замужними женщинами,

имеющими 5 и более детей.

Задача 34.

Средний еженедельный заработок в случайной выборке,

включающей 26 полностью занятых женщин Восточной Анг-

лии, равен 13,10 фунта стерлингов, а стандартное отклонение —

2,80 фунта стерлингов. Постройте 95%-ный доверительный ин-

тервал для среднего еженедельного заработка всех полностью

занятых женщин Восточной Англии.

Задача 35.

При анкетном опросе ста студентов одного университета 88 из

них вернули заполненные анкеты в течение недели со дня их полу-

чения. Считая, что эти студенты составляют случайную выборку,

найдите 95%-ные и 99%-ные доверительные границы для доли всех

студентов университета, вернувших заполненные анкеты вовремя.

Задача 36.

В случайной выборке, включающей 260 студентов, 221 че-

ловек сдали экзамен с первой попытки. Постройте 95%-ный до-

верительный интервал для доли всех студентов, сдавших экза-

мен с первой попытки.

Задача 37.

В случайной выборке из 457 работников ручного труда

мужского пола, занятых на транспорте, 25% зарабатывали в не-

делю 18 фунтов стерлингов и меньше. Что можно сказать отно-

сительно доли всех таких рабочих, занятых на транспорте, зара-

батывающих указанные суммы?

Задача 38.

4709 семей в случайной выборке, включающей 7184 семьи,

зарегистрировали расходы на алкогольные напитки. Каковы

99,9%-ные доверительные границы для доли всех семей, имев-

ших расходы на алкогольные напитки в период опроса?

Задача 39.

В некотором банке число срочных вкладов равно 20000.

Дирекция банка хочет предоставить вкладчикам, имеющим бо-

лее 1000 долл., специальные льготы. Для этого ей необходимо

знать как число таких счетов, так и общий объем сбережений.

а) Как вы определите объем выборки для получения общего

объема сбережений? Не будет ли такая выборка слишком малой?

б) Сколько выборок придется отобрать (одну или две), что-

бы получить обе оценки?

в) Была отобрана предварительная выборка объемом п = 50,

она дала значение стандартного отклонения s = 1200 долл. Ка-

кую выборку следует отобрать, чтобы получить доверительный

интервал для µ шириной 200 долл.? Возьмите α = 0,05.

Задача 40.

Некоторая организация хочет ежемесячно устанавливать

цену на мясо разных сортов, продаваемое в 512 магазинах горо-

да. Она не может узнать цены по телефону и должна поэтому

воспользоваться услугами своих агентов. Чтобы уменьшить

расходы (агентам приходится много платить), организация ре-

шает проводить выборочные исследования.

Один из агентов посетил 20 магазинов, случайно выбран-

ных из

общего списка. Он получил следующий перечень цен

в долларах: 1,95; 2,00; 1,70; 1,65; 2,00; 1,30; 2,05; 1,55; 2,30; 1,60;

1,50; 1,55; 1,30; 1,50; 2,45; 1,90; 2,25; 1,45; 2,05; 1,75.

а) Вычислите доверительный интервал, соответствующий

уровню значимости

= 0,05.

б) Поскольку средние цены на мясо будут публиковаться

в форме индексных показателей, они должны быть представле-

ны точечными оценками. Кроме того они должны отражать да-

же небольшие месячные колебания. Следовательно, довери-

тельный интервал должен быть как можно короче. Определите

объем выборки, необходимый для получения доверительного

интервала с границами:

±0,04.

Задача 41.

На некотором предприятии работают 2000 человек. Дирек-

ция хочет оценить долю рабочих, которые в понедельник опо-

здали на работу более чем на 5 мин. Положим α = 0,05.

а) Выборку какого объема следует взять, чтобы доверитель-

ный интервал имел ширину не более 4%? (Дирекции известно,

что количество опоздавших не больше 30%).

б) Была взята выборка объема, найденного в а), и было ус-

тановлено, что π

= 18%. Каково общее число рабочих, опо-

здавших на работу в понедельник?

Задача 42.

Некоторая компания приобретает ящики с деталями. Диаметр

детали должен быть равен µ

= 2500. Из прошлого опыта известно,

что вариация диаметров приемлема и является постоянной. Однако

поставщику не всегда можно было доверять в том, что касалось

величины µ. Несмотря на это, цена детали была настолько низкой,

что компания решила закупить некоторое количество деталей

и проверить их, прежде чем искать нового поставщика. Это реше-

ние

было принято в связи с тем, что издержки выборочного обсле-

дования были значительно меньше, чем разница в ценах.

Работники ОТК разработали следующий план выборочного

анализа. Среднее квадратичное отклонение диаметров σ = 15.

В каждом ящике находится 100 деталей. Всю проверку было

решено провести в два этапа. На первом отбирают небольшую

выборку из каждого ящика

(N = 100). Если она дает отрицатель-

ные результаты, то проверяют все содержимое ящика. В про-

тивном случае выборочное исследование продолжают до тех

пор, пока объем выборки не достигает п

, после чего принимают

окончательное решение о том, годится ли этот ящик.

а) При α = 0,005 и β = 0,005 относительно µ

= 2502 (или µ

2498) найдите объем выборки и вычислите критические точки.

б) При α = 0,005 найдите объем выборки для получения до-

верительного интервала, который после округления даст µ

2500. Для выборки этого объема найдите ошибку β = 0,005 от-

носительно µ

= 2501.

Задача 43.

Автомобилестроительная компания покупает у двух стале-

литейных компаний заготовки обойм для шарикоподшипников.

Пользуясь приведенными ниже данными, проверьте при уровне

значимости α = 0,05, имеется ли существенная разница в массе

(в граммах) между µ

1 и

. Считайте, что σ

= σ

Сталелитейная компания А: 41,6; 41,7; 41,8; 42,2; 41,2; 40,9;

41,3; 41,5; 41,7; 41,8.

Сталелитейная компания В: 40,5; 41,1; 40,9; 41,4; 41,7; 41,8;

41,1; 41,2; 40,7; 41,4.

а) Предположим, что автомобилестроительная компания

предпочитает более тяжелые заготовки. При прочих равных ус-

ловиях (например, при равных ценах) чьи заготовки она приоб-

ретет? Обоснуйте ваше решение результатами проверки.

б) Найдите объем выборки п

= п

, для которого с вероятно-

стью α = 0,05 будет обнаружена разница по крайней мере в 2 г.

Задача 44.

В прошлом году среди студентов университета одного шта-

та 15% происходили не из этого штата. Законодательное собра-

ние штата решило, что штату не следует субсидировать эту ка-

тегорию студентов, и значительно увеличило плату за обучение.

Чтобы оценить влияние этой меры на состав будущего контин-

гента студентов, университет решил проанализировать выборку

из адресов

лиц, уже подавших заявление о приеме, и проверить,

будет ли число студентов, проживающих вне штата, составлять

существенно меньше 15%.

а) Каков должен быть размер выборки при α = 0,05 для

β = 0,05 относительно π

= 13%, если общее число заявлений

равно 10000?

б) Один из сотрудников университета решил независимо

проверить ту же самую информацию. Он взял п = 200, выбрал

200 адресов наугад и насчитал среди них 24 человека, прожи-

вающих вне штата.

Проверьте при α = 0,025, будет ли для всех желающих по-

ступить в университет доля проживающих вне данного штата

существенно

меньше 15%; найдите ошибку второго рода β от-

носительно π

= 13%; вычислите для найденного π

доверитель-

ный интервал.

На основе всех этих данных, как вы ответите на вопрос кор-

респондента студенческой газеты о том, верно ли, что число

студентов из других штатов по сравнению с общим числом сту-

дентов существенно понизилось.

Задача 45.

Предприятие должно закупить большую партию стальных

листов, и необходимо принять решение о том, продукции какой

сталелитейной компании отдать предпочтение. Покупателя осо-

бенно интересует предел прочности при растяжении, поскольку

эта характеристика часто не согласуется с техническими усло-

виями. Были проведены испытания, которые дали следующие

результаты (в килограммах на квадратный сантиметр).

Сталелитейная компания

А: 83542; 85459; 83378; 82575;

84271; 82285; 83742; 81238; 83112; 82208.

Сталелитейная компания В: 85483; 96396; 84852; 83965;

85297; 84492; 85930; 88829; 85482; 82908.

У какой сталелитейной компании следует закупать сталь-

ные листы?

Задача 46.

Издатель газеты хочет провести опрос общественного мне-

ния в некотором регионе, чтобы определить отношение его жи-

телей к обсуждаемому законопроекту об абортах. При этом он

хочет не только определить число жителей (в процентах), под-

держивающих законопроект, но и понять, есть ли какая-нибудь

разница в отношении к нему мужчин и

женщин. Возникают две

статистические задачи. Первая заключается в построении дове-

рительных интервалов, а вторая — в проверке того, насколько

существенно π

отличается от π

Читатели газеты будут считать разницу в подходе к этой

проблеме между мужчинами и женщинами интересной лишь

в том случае, если она будет составлять не менее 5%. Задайте

уровень значимости, найдите объем выборки и оцените точность.

Задача 47.

Расчеты для всех учащихся начальных школ в 1963 г. пока-

зывают, что в этом году 65% всех учеников учились в классах с

31 учеником или более. В 1968 г. в случайной выборке из 480

учеников 67% обучались в классах с 31 учеником или более.

Свидетельствует ли это о каком-либо изменении в доле уче-

ников в классах,

насчитывающих более 31 человека?

Задача 48.

В случайной выборке из 100 детей, родившихся в 1960 г.

и живущих в одной местности, средний рост ребенка равен 122 см,

стандартное отклонение равно 2,4 см. Могут ли эти дети принадле-

жать совокупности всех детей, родившихся в 1960 г., средний рост

которых равен 120 см? Уровень значимости возьмите равным 0,01.

Задача 49.

В случайной выборке из 26 полностью занятых служащих

мужчин в Восточной Англии средний еженедельный заработок

23,40 фунта стерлингов, стандартное отклонение 3,80 фунта

стерлингов. Средний еженедельный заработок всех полностью

занятых служащих мужчин Великобритании равен 26 фунтам

стерлингов. Могут ли служащие мужчины Восточной Англии

рассматриваться как случайная выборка из всех полностью за-

нятых служащих мужчин Великобритании?

Задача 50.

Средняя еженедельная заработная плата в случайной выборке,

включающей 225 полностью занятых женщин — конторских слу-

жащих, равна 12,7 фунта стерлингов, а стандартное отклонение —

1,9 фунта стерлингов. Во второй выборке, включающей 441 полно-

стью занятую женщину, служащую в промышленном производстве,

средний еженедельный заработок — 12,15 фунта стерлингов, а стан-

дартное отклонение 1,2 фунта стерлингов. Свидетельствуют ли эти

выборки о

различии в оплате двух категорий женщин-служащих?

Задача 51.

Вычислите средний возраст и стандартное отклонение рас-

пределения из 1731 практикующего врача женского пола.

Возрастные группы Число врачей

До 35 207

35—39 356

40—44 304

45—49 223

50—54 177

55—59 163

60—64 189

65—69 84

70 и старше 28

Если средний возраст всех практикующих врачей (мужчин

и женщин) равен 48 годам, то можно ли считать средний возраст

женщин-врачей значимо отличающимся от возраста всех врачей?

Задача 52.

В случайной выборке, состоящей из 239 женщин, полно-

стью занятых в сфере услуг, средний еженедельный доход равен

11,32 фунта стерлингов, а стандартное отклонение равно 2,11

фунта стерлингов. Средний еженедельный доход всех полно-

стью занятых женщин составляет 12,20 фунта стерлингов. По-

лучают ли женщины, занятые в сфере услуг, в среднем меньше,

чем все полностью занятые

женщины?

Задача 53.

Вычислите среднее число членов семейств и стандартное

отклонение для семейств в Северном и Восточном Мидленде

соответственно.

Число членов семей Северный Мидленд Восточный Мидленд

1 76 52

2 133 141

3 113 93

4 88 65

5 60 31

6 и более 30 18

Общее число семей 500 400

С учетом того, что данные извлечены из случайных выбо-

рок, будет ли статистически значимо различие среднего числа

членов семей в этих двух районах?

Задача 54.

В результате опросов во всех университетах Великобрита-

нии установили, что в конце первого курса отчисляют за неус-

певаемость 8,9% студентов. В последней выборке из 977 сту-

дентов отделения естественных наук в конце первого курса бы-

ло отчислено 109 человек. На сколько отличается доля отчис-

ленных студентов на отделении естественных наук от ранее

установленной доли

отчисляемых студентов во всех универси-

тетах? При уровне значимости, равном 0,05, оцените как мини-

мум, так и максимум.

Задача 55.

В случайной выборке, включающей 2315 избирателей одно-

го округа, было 1097 мужчин и 1218 женщин. 52% мужчин и

57% женщин заявили о своей поддержке консервативной пар-

тии. Имеется ли статистически значимое на уровне 0,05 разли-

чие между мужчинами и женщинами данного избирательного

округа в поддержке консервативной партии?

Задача 56.

Из статистического обследования, проведенного в городе А,

выяснилось, что доля семей, имеющих телевизоры, в выборке,

включающей 731 семью, равна 47%. В случайной выборке из

545 семей города В доля семей, имеющих телевизоры, равна

35%. Может ли разность между долями всех семей, имеющих

телевизоры в двух городах, достигать 5%?

Задача 57.

В случайной выборке, включающей 50 студентов, средний

рост равен 174,94 см и стандартное отклонение — 6,42 см. Вы-

борка из 100 студентов была сформирована в другом колледже.

Для нее средний рост 171,60 см, а стандартное отклонение равно

6,72 см. Можно ли рассматривать средние значения роста двух

совокупностей студентов как одинаковые?

Задача 58.

В случайной выборке из 316 семей Западного Мидленда

средний еженедельный доход равен 25,85 фунта стерлингов,

а стандартное отклонение составляет 12,73 фунта стерлингов.

В аналогичной выборке, включающей 351 семью из Йоркшира

и Хамберсайда, средний еженедельный доход составляет 23,14

фунта стерлингов, а стандартное отклонение равно 13,35 фунта

стерлингов. Проверьте гипотезу о том, что в Западном Мидлен-

де средний еженедельный

доход семьи выше, чем в Йоркшире

и Хамберсайде.

Задача 59.

Из 1450 студентов первого курса 570 учились на отделении

естественных наук и 880 — на отделении гуманитарных наук.

На отделении естественных наук насчитывается 447 юношей,

а на отделении гуманитарных наук — 543. При предположении,

что выборка случайная, оцените с вероятностью 0,975 величину

разности между долями юношей на двух отделениях.

Задача 60.

В некоторой местности в течение двух лет опрашивалась слу-

чайная выборка родителей с целью выяснить, какую из школ —

обычную или специализированную — они предпочитают для сво-

их детей. В первый год 236 родителей из 400 высказались в пользу

обычной школы. В последующем году 357 родителей из 500 сде-

лали тот же выбор. Свидетельствует ли это

о значимом увеличении

числа сторонников альтернативы для обычной школы за время

между двумя опросами?

Задача 61.

а) По результатам выборочных исследований определите,

имеется ли значимое различие между мнениями больных о ме-

дицинских сестрах в частных клиниках и других больницах сре-

ди тех, кто полностью удовлетворен их работой.

Мнения Частные клиники, % Другие больницы, %

Полностью удовлетворены

обслуживанием

66 54

Неясное мнение 23 25

Критические замечания 11 21

Всего: 100 100

Число больных 72 536

б) То же по отношению к больным, высказывающим неко-

торые критические замечания.

Задача 62.

По результатам выборочных исследований определите,

имеется ли статистически значимое изменение 1966 г. и 1968 г.