Горский Н.М. Практикум по математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

Эта статистика имеет распределение Стьюдента с n−1 сте-

пенью свободы.

Этап 5. В зависимости от проверяемой гипотезы и альтер-

нати

Т — вблизи нуля. При больших положительных зна-

чени

: µ

3, поэтому критическая область

разм «хвосте» и определяется

нера

терия Т будет

вных гипотез выбрать область принятия гипотезы и крити-

ческую область. Определить критические точки.

В результате случайного разброса наблюдаемых данных

значения группируются около центра распределения, а значения

статистики

ях статистики критерия Т предпочтительнее становится

альтернативная гипотеза Н

ещена на правом распределения

венством

кр

Tt>

Критическим значением статистики кри

(

)

(

)

кр 1 α 0,99

1492,40.ttn t

−

=−= =

Область принятия гипотезы будет определяться неравенст-

вом

Этап 6. Сформулировать правила проверки гипотезы.

а) Гипотеза Н

должна быть отвергнута на уровне значимо-

сти

, если вычисленное значение t

попадет в критическую об-

ласт

кр

Tt≤

ь, т. е.

2,40 .t

б) Гипотеза Н

не отвергается (принимается) или ее приня-

тие откладывается, если вычисленное значение t

принадлежит

области принятия гипотезы, т. е.

2,40.t

≤

Этап 7. Выполнение эксперимента и проверка гипотезы.

и к

Вычислим выборочное значение t

статистик ритерия T

3,07 3,00

49 0,499.

0,982

−

== ≈

Вычисленное значение t

принадлежит области принятия

гипотезы: 0,499 2,40.

Статистическое решение: Данные, наблюдаемые в вы-

борке 2, не т нулевой гипотезе Н

на уровне зна-

чим

противореча

тиче-ости α = 0,01. Нулевая гипотеза о равенстве матема

111

ског

тез с использованием крите-

− α.

При

одн л,

терию — двусторонний доверительный интервал.

отвергается (принимается), если начение θ

на-

кры

еду признак имеет нормаль-

ное

Этап 1. Сформулировать проверяемую нулевую Н

и аль-

тернативную Н

гипотезы.

Нулевая гипотеза

о ожидания µ значению 3 на уровне значимости α = 0,01

не отклоняется (принимается).

Проверка статистических гипо

риев значимости может быть проведена на основе доверитель-

ных интервалов. Область принятия гипотезы Н

: θ = θ

на уров-

не значимости α совпадает с доверительным интервалом для

пара θметра при доверительной вероятности (надежности) 1

этом одностороннему критерию значимости соответствует

осторонний доверительный интерва а двустороннему кри-

значимости

ипотеза Н

не з

вается соответствующим доверительным интервалом; в про-

тивном случае гипотеза Н

от лоняется.

9. Предположив, емыйчто иссл

распределение, проверим гипотезу о равенстве дисперсии

значению 1 на уровне значимости α против альтернативной

гипотезы о том, что дисперсия σ

исследуемого признака мень-

ше, чем 1.

:σ 1;H

:σ 1.H

альтернативная гипотеза

Этап 2. Уровень значимости α = 0,05.

Этап 3. Объем выборки n = 50.

Этап 4. Выбрать статистику Ψ критерия и определить рас-

пределение статистики Ψ при условии, что верна гипотеза Н

В качестве статистики критерия Ψ выбираем статистику

(

)

−

Эта статистика имеет распределение

(хи-квадрат) с n − 1

степенью свободы.

Этап 5. В зависимости от проверяемой гипотезы и ее аль-

тернатив выбрать область принятия гипотезы и критическую

область. Определить критические точки.

112

(

Чем меньше значения статистики критерия

хи-квадрат),

поэтому критическая ь размещена на левом

«хвосте» распределения и неравенством

ем предпочтительнее становится альтернативная гипотеза

:σ 1H <

, област

определяется

кр

Критическим на н и и ри з че ием ат тст ис ик кр те я

(хи-квад-

рат) будет

(

)

(

)

2 2

кр 0,

49 9n

χχ χ

= =

Область прин и во гипотезы де определяться не-

равенством

α 05

1− 33, 3.

ят я нуле й бу т

кр

Этап 6. Сформулировать проверки гипотезы.

Гипотеза

б у уровне

е ы значени

≥

правила

ыть отвер

а)

ти

должна

числе

нное

гн

та на значимо-

сли в

(хи-ква п

к ес б , с

Гипотеза

и я

т ла ч

драт) опадет в

ритич кую о ласть т. е. е ли

33,9< .

б) Н

не отвергается (прин маетс ) или ее приня-

ие отк дывается, если вы исленное значение

(хи р

п ле б т , с

гипотезу.

-квад ат)

ринад жит о ласти приня ия гипотезы т. е. е ли

33,9≥ .

Этап 7. Выполнить эксперимент и проверить

Вычислим выборочное значение

статистики критерия

(хи-квадрат)

(

)

49 0,964

−

⋅

47,24.

σ 1, 00

== ≈

Вычисленное значение

(хи-квадрат) принадлежит об-

ласти принятия гипотезы: 33,93 47,24.

Статистическое решение: Данные, наблюдаемые в выборке 2,

не п Н

на уровн

ротиворечат нулевой гипотезе

е значимости

= 0,05.

Нул дисперсии

значению 1 на уровне

знач

евая гипотеза о равенстве

имости α = 0,05 не отклоняется (принимается).

113

2.3. Варианты заданий по математической статистике

Вариант № 1

Выборка 1

0 3 1 0 0 0 0 0 0 1

3 0 3 0 0 0 1 1 0 0

3 0 1 2 2 1 1 5 1 0

2 1 0 0 2 0 1 0 4 1

Выборка 2

3,409 1,713 2,104 1,974 2,266 1,806 1,303 2,238 2,806 1,873

2,385 2,531 2,855 2,565 2,058 2,812 2,295 0,976 1,390 1,549

2,618 2,004 1,904 2,627 2,167 1,695 2,077 1,919 1,757 1,613

2,347 2,506 3,410 1,783 1,930 1,947 2,225 2,596 1,874 2,152

1,583 2,367 1,343 2,274 2,841 1,613 1,415 2,612 1,743 1,786

1,430 3,244 2,980 2,221 2,487 2,090 2,638 1,072 1,914 2,201

Для выполнения задания необходимо:

1. Определить тип ис изнака (дискретный или

непрерывный).

2. м от -

сительных о я у и для

непре л .

3 и ц д и унк-

цию ы н х

4 ы

а е ;

б) исправленную выборочну дисперсию;

в) среднеквадратическо тное) отклонение.

5. Для дискретного признака гипотезу о соответ-

ствии выборочных н и ассона с пара-

метром λ = 1 с щ

следуемого пр

В зависи

част

ости

т дл

типа

диск

признака

ретно

построить

чая

полигон

стогр

отно

аммуго сл ли ги

рывного с учая

. Построить эмп рическую функ ию распре елен я (ф

накопленн х от осительны частот).

. Для выборки в числить:

) выборочное ср днее

е (стандар

проверить

да ных распределен ю Пу

помо ью критерия

(х квадрат) на уровне

значимости α = 0 1

и-

,0 .

114

6. На основе анализа гистограммы и эмпирической функции

расп

я: нормальный или равномерный.

льные интервалы, соответствующие на-

деж

ерывно распределен-

ный аспределение, проверить гипоте-

зу о редней (математического ожидания)

непр µ = 2 на уровне

знач что ге-

генеральной дисперсии непрерывно рас-

пред

ределения непрерывного признака выбрать гипотезу о зако-

не распределени

7. Для генеральной средней (математического ожидания)

и дисперсии непрерывно распределенного признака построить

двусторонние доверите

ности (доверительной вероятности) γ

0,95.

8. Предположив, что исследуемый непр

признак имеет нормальное р

равенстве генеральной с

ерывно распределенного признака значению

имости α = 0,01 при альтернативной гипотезе о том,

неральная средняя µ > 2.

9. Предположив, что исследуемый непрерывно распреде-

ленный признак имеет нормально распределение

, проверить

гипотезу о равенстве

еленного признака значению σ

= 0,5 на уровне значимо-

сти α = 0,05 при альтернативной гипотезе о том, что генераль-

ная дисперсия σ

< 0,5.

Вариант № 2

Выборка 1

1,83 1,83 1,27 1,89 1,12 1,78 1,75 1,76 1,31 1,34

1,98 1,09 1,58 1,30 1,91 1,39 1,37 1,35 1,05 1,6

1,27 1,09 1,48 1,40 1,12 1,29 1,75 1,14 1,07 1,93

1,68 1,72 1,55 1,68 1,84 1,38 1,25 1,46 1,20 1,97

1,57 1,48 1,36 1,52 1,22 1,84 1,31 1,98 1,87 1,50

1,58 1,39 1,06 1,41 1,29 1,00 1,68 1,85 1,40 1,09

Выборка 2

0 1 4 1 5 2 7 5 3 3

3 1 3 1 4 0 3 4 4 1

1 1 2 4 3 1 6 4 2 3

2 2 3 3 1 1 3 3 2 3

115

Для выполнения задан о:

1. Определить тип иссл признака (дискретный или

рывн

В завис ости типа строить полигон

ных т с ого ая с мм

ывн уч

. Построить э ч ф д ( -

4. Для выборки вычислить:

а) выборочное среднее;

б) исправлен ю чную

в) среднеква а а н ) нение.

5. Для дискретного р н а р е т гипотезу о соответ-

ствии выборочных н и ассона с пара-

метром λ = 3 с м щ р е

ия необходим

едуемого

непре ый).

м2.

ситель

часто

от

для ди

признака

кретн

случ

по отно-

у для или ги тогра

непрер ого сл ая.

3 мпири ескую ункцию распре еления функ

цию накопленных относи ельных частот).

ну выборо дисперсию;

дратическое (ст нд рт ое откло

п из ак п ов ри ь

да ных распределен

ю Пу

по о ью к ит рия

(х квадрат) на уровне

значимости α = 0 1

. На основе анализа гистограммы и эмпирической функции

расп рать гипотезу о зако-

не р

ематического ожида-

ния о признака значению µ = 1,5 на

уров й гипотезе о том,

что

0,1 имос

и-

,0 .

ределения непрерывного признака выб

аспределения: нормальный или равномерный.

7. Для генеральной средней (математического ожидания)

и дисперсии непрерывно распределенного признака построить

двусторонние доверительные интервалы, соответствующие на-

дежности (доверительной вероятности) γ = 0,95.

8. Предположив, что

исследуемый непрерывно распределен-

ный признак имеет нормальное распределение, проверить гипоте-

зу о едней (мат равенстве генеральной ср

нног) непрерывно распределе

не значимости α = 0,05 при альтернативно

генеральная средняя µ < 1,5.

9. Предположив, что исследуемый непрерывно распреде-

ленный признак имеет нормальное распределение, проверить

гипотезу

о равенстве генеральной дисперсии непрерывно рас-

пределенного признака значению σ

= на уровне знач ти

α = 0,01 при альтернативной гипотезе о том, что генеральная

дисперсия σ

> 0,1.

116

Вариант № 3

Выборка 1

1,152 –0,559 –1,346 0,184 –1,062 –0,152 –1,134 –0,216

–1,307 1,076 –0,466 1,089 0,173 –0,119 0,015 –0,178

–0,725 0,228 0,187 0,774 1,187 –0,779 0,103 1,256

2,572 –0,572 –2,433 0,311 –0,239 –1,958 –0,349 1,054

0,542 0,465 –0,375 –0,851 –0,444 –0,184 0,421 –0,391

Выборка 2

1 4 3 3 1 0 0 3 0 4

4 4 4 4 5 2 3 1 1 5

2 3 3 2 0 5 3 2 3 3

2 1 3 1 2 5 0 0 4 1

1 3 1 1 1 1 3 1 1 3

5 1 2 2 2 4 5 3 2 3

Для выполнения задан о:

1. Определить тип иссл признака (дискретный или

неп вны

зави ост тип изн остроить полигон

сительных д ск го ая и ист мм

не вно уча

остр эм че фу еде я (

ию относительных частот).

4. Для выборки вычислит

а) выборочное среднее;

б) исправлен дисперсию

в) среднеква а ч к а т онение.

5. Для дискретного р н р гипотезу о соответ-

ствии выборочных а ы с е л уассона с пара-

метром λ = 2 с м р е я

ия необходим

едуемого

реры й).

2. В сим и от а пр ака п отно-

частот ля ди ретно случ ли г огра у для

преры го сл я.

3. П

накопленных

оить пири скую нкцию распр лени функ-

ь:

ную выборочную ;

др ти ес ое (ст ндартное) о кл

п из ака п оверить

д нн х ра пр де ению П

по ощью к ит ри

( - драт) на уровне

знач мости α = 0,05.

расп

я: нормальный или равномерный.

хи ква

6. На основе анализа гистограммы и эмпирической функции

ределения непрерывного признака выбрать гипотезу о зако-

не распределени

117

7. Для генеральной средней (математического ожидания)

и дисперсии непрерывно распределенного признака построить

двусторонние доверительные интервалы, соответствующие на-

деж

ерывно распределен-

ный аспределение, проверить гипоте-

зу о редней (математического ожидания)

непр µ = 0 на уровне

знач что ге-

е генеральной дисперсии непрерывно рас-

пред

ности (доверительной вероятности)

= 0,99.

8. Предположив, что исследуемый непр

признак имеет нормальное р

равенстве генеральной с

ерывно распределенного признака значению

имости α = 0,05 при альтернативной гипотезе о том,

неральная средняя µ < 0.

9. Предположив, что исследуемый непрерывно распреде-

ленный признак имеет нормальное

распределение, проверить

гипотезу о равенств

еленного признака значению σ

= 1 на уровне значимости

α = 0,01 при альтернативной гипотезе о том, что генеральная

дисперсия σ

< 1.

Вариант № 4

Выборка 1

2,30 –0,88 0,06 0,92 2,07 1,61 2,77 1,26

0,42 2,43 0,45 2,89 1,24 2,60 1,24 0,47

2,06 –0,25 1,90 –0,22 2,33 2,05 1,32 0,46

–0,24 2,89 1,57 –0,35 1,04 –0,88 –0,66 –0,19

2,11 1,33 –0,79 2,72 2,06 –0,34 1,86 –0,16

Выборка 2

3 4 3 3 3 5 2 2 3 3

2 4 5 8 6 5 7 5 4 6

4 4 3 3 5 3 3 3 3 4

2 2 1 2 9 5 2 5 1 3

3 2 4 4 1 8 3 6 2 11

Для выполнения задания необходимо:

1. Определить тип исследуемого признака (дискретный или

непрерывный).

118

2. В зависимости от т построить полигон отно-

сительных частот для дискретного чая или гистограмму для

непрерывного случая.

3. Построить р е нкцию с еделения (функ-

цию накопленны а

4. Для выборки л

а) выборочно среднее

б) исправлен ю чную

в) среднеква а а н ) нение.

5. Для дискретного р н а р е т гипотезу о соответ-

ствии выборочных данных елению Пуассона с пара-

4 м ер

ипа признака

слу

эмпи ич скую фу ра пр

х относительных ч стот).

вычис ить:

е ;

ну выборо дисперсию;

дратическ

ое (

из

ст

ак

нд

рт

ов

ое

ри

от

кло

распред

метром λ = с по ощью крит ия

(хи-квадрат)

α ,0

н на гистограммы и ир ко нк

е и р но и выбрат от з

сп ле нормаль ил н ны

. ген сре

и ди признака построить

дву

раль

сследуемый непрерывно распреде-

ленн ение, проверить

гипо

но рас-

пред

на уровне

значимости = 0 1.

6. На ос ове а лиза эмп ичес й фу ции

распр делен я неп ерыв го пр знака ь гип езу о ако-

не ра реде

Для

ния:

еральной

ный

дней

и рав

(матем

омер

атического

й.

7 ожидания)

сперсии непрерывно распределенного

сторонние доверительные интервалы, соответствующие на-

дежности (доверительной вероятности) γ = 0,90.

8. Предположив, что

исследуемый непрерывно распределен-

ный признак имеет нормальное распределение, проверить гипоте-

зу о равенстве генеральной средней (математического ожидания)

непрерывно распределенного признака значению µ = 1 на уровне

значимости α = 0,1 при альтернативной гипотезе о том, что гене-

ная средняя µ > 1.

9. Предположив, что и

ый признак имеет нормальное распредел

тезу о

равенстве генеральной дисперсии непрерыв

еленного признака значению σ

= 1 на уровне значимости

α = 0,01 при альтернативной гипотезе о том, что генеральная

дисперсия σ

> 1.

119

Вариант № 5

Выборка 1

0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 1 3 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 0 2 0 0 0 0

0 1 0 1 0 2 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

Выборка 2

2,12 2,41 2,68 3,90 2,53 3,06 3,65 2,42 1,13 1,26

1,81 1,01 1,95 3,23 3,15 2,82 2,58 1,45 3,81 2,99

3,25 3,98 2,83 2,59 3,66 2,6 3,02 3,84 3,75 2,94

1,21 1,42 1,61 3,92 3,59 2,45 3,14 3,14 3,02 3,89

2,03 3,91 3,48 3,87 3,35 3,15 2,94 1,26 2,71 3,38

Для выполнения задан о:

1. Определить тип иссл признака (дискретный или

непрерывный).

2. В зависим и и а строить полигон отно-

сительных частот дискретного случ для

непрерывного сл а

3. Построить р е нкцию с еделения (функ-

цию накопленны а

4. Для выборки л

а) выборочно среднее

б) исправленную выборочную дисперсию;

в) среднеквадратическо тное) отклонение.

5. дискретного признака гипотезу

и ро х ых пр ен на ра

λ с щ

ия необходим

едуемого

ости от т па пр зн ка по

дл

уч

я.

ая или гистограмму

эмпи ич скую фу ра пр

х относительных ч стот).

вычис ить:

е ;

е (стандар

Для

выбо

данн

проверить

едел

о соответ

с па

мет-стви чны рас ию Пуассо

ром = 0,5 помо ью критерия

(хи др а не

6. сн н гистограммы и ир ко н

и выбрат о зако

не распределения: нормальный или равномерный.

-ква ат) н уров зна-

чимо ти α = 0,1.

На о

лен

ове а

я непрерывного

ализа эмп ичес

ь гипотезу

й фу

кции

-распреде признака

120