Горский Н.М. Практикум по математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

Вычисляем выборочное значение статистики

(хи-квадрат):

()()()()()

22222

6 7 18 14 11 14 7 9 8 7

7141497

116 9 41

−− −−−

=+ + ++=

=+ + +

2,52.+≈

7141497

Параметр λ задавался, а не вычислялся по выборке, данные

были сгруппированы в пять групп, поэтому число степеней сво-

боды равно ν = 5−1 = 4. По таблице квантилей распределения

(хи-квадрат) находим критическую точку

(

)

(

)

22 2

кр 10,95

4 9,49.

χχνχ

−

===

Поскольку 2,52 < 9,49, то выполняется неравенство

вкр

< т. е. значение статистики критерия, вычисленное по

выб

полняются только для непрерывного признака.

Исследуем выборку 2.

тип исследуемого признака.

значения являются вещественными числами,

принадлежащими некоторому интервалу. Они образуют ка-

кой- сел (арифметической прогрессии). С боль-

шой нности можно предположить, что при уве-

личении объема выборки

эти числа будут все более плотно за-

полнять некоторый промежуток.

ся резу

орочным данным, меньше критического значения. Следова-

тельно, мы считаем, что наблюдаемые значения не противоречат

гипотезе о том, что исследуемый признак

Х имеет распределе-

ние Пуассона с параметром λ = 2.

6—9. Вы

1. Определить

Наблюдаемые

не

либо решетки чи

степенью увере

Вывод: Экспериментальная выборка 2 являет льтатом

наблюдений над

непрерывной случайной величиной Х. Объем

выборки

п = 50.

2. Непрерывный признак задается функцией плотности ве-

роятности. Статистическим аналогом неизвестной функции

плотности вероятности является

гистограмма относительных

частот.

101

Для построения гистограммы относительных часто выбороч-

ные данные разбиваем на

k = [log

n] + 1 = [log

50] + 1 = 5 + 1 = 6

интервалов одинаковой длины

max min

−

Просматривая выборочные значения, находим, что наи-

большим значением случайной величины

является 5,19, а

меньшим 1,11. Для определения длины частичного интерва-

ла находим

max min

5,19 1,11иxx

наи

и размах выборки

max min

5,19 1,11 4,08.wx x

−= −=

Следовательно,

max min

5,19 1,11

0,68.

−

≈ ==

)

−

⎡

⎣

Вычисляем границы частичных интервалов

. За на-

чало первого интервала

возьмем наименьшее значени

дуемого признака нтервалов получают, прибав-

л ыдущего интервала ичн е ва-

ла

h = 0,68: a

= 1,11; a

= 1,11+0,68 = 1,79; a

= 1,79+0,68 = 2,47;

= 2,47+0,68 = 3,15; a

= 3,15+0,68 = 3,8 a

= 3,83+0,68 = 4,51;

= 4,51+0,68 = 5,19.

Просматривая рез блюдений, находим

коли-

чество выборочных да авших в заданный интер л. При

этом в тервал вкл ачения исследуемого п изнака,

больши ли равные н нице и ме е верхней ницы.

Подсчет частот для каждого интервала удобно проводить

методом конвертико

Границы полученной последовательности частичных интер-

валов з сывают в затем, просматривая данные в

том порядке,

в котором они были получены, проставляют справа

от интервала точки и Первые четыре попадания выбо-

рочного значения в тот или иной интервал отмечаются точками

е иссле-

1,11. Границы и

яя к концу пред длину част ого инт р

ультаты на

n —

нных, поп

ючаем зн

ва

рин

е и ижней гра ньш гра

« в».

апи столбец, а

черточки.

102

в соответствующих углах а, а последующие — рточ-

кам соединяющими эти точки. В результате каждому полному

деся

квадрат че

и,

тку будет соответствовать фигура, похожая на конверт:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

В результате обработки выборки получаем табл. 3

Таблица 3

Номер интервала i

Границы интервала

)

−

⎡

⎣

Рабочее поле

Частота

1 2 3 4

1 [1,11; 1,79)

2 [1,79; 2,47) 9

3 [2,47; 3,15) 11

4 [3,15; 3,83) 14

5 [3,83; 4,51) 7

6 [4,51; 5,19] 4

Результаты руппировки табл. 4. Интерв

риационный ряд можно заменить группированным. В этом случае

ин валы меняю их и ми. Для числения орди-

на ере в нуж вз олусум грани

г сведем в альный ва-

тер за тся серед на вы ко

т с дин интер алов но ять п му их ц:

−

103

Для вычисления отно ель от столбец таб-

лиц 4) нужно частоты (четвертый столбец таблицы 4) разде-

лить

сит ных част (пятый

на объем выборки

п = 50

При вычислении относительных частот округление резуль-

татов должно быть проведено так, чтобы их сумма была равна 1.

Для вы

столбец та

числения плотности относительных частот (шестой

блицы 4) нужно относительные частоты (пятый стол-

бец таблицы 4) разделить на длину частичного интервала

h = 0,68.

Накопленные относительные частоты (седьмой столбец таблицы

4) вычисляются как суммы соответствующих относительных час-

тот (шестой столбец таблицы 4). В верхней строке седьмого

столбца — 0,10; во второй — 0,10 + 0,18 = 0,28; в третьей —

0,28 + 0,22 = 0,50 и т. д.

Таблица 4

Номер

интер-

вала i

Границы

интервала

Середина

интервала

)

−

⎡

⎣

Час-

тота

Относи-

тельная

частота

Плотность

относитель-

ной частоты

Накопленная

относитель-

ная частота

1 2 3 4 5 6 7

1 [1,11;1,79) 1,45 5 0,10 0,147 0,10

2 [1,79;2,47) 2,13 9 0,18 0,265 0,28

3 [2,47;3,15) 2,81 11 0,22 0,324 0,50

4 [3,15;3,83) 3,49 14 0,412 0,78 0,28

5 [3,83;4,51) 4,17 7 0,206 0,92 0,14

6 [4,51;5,19] 4,85 4 0,08 0,118 1,00

50 1,00

Гистограмма — это ступенчатая фигура, состоящая из пря-

моугольников. Для построения гистограммы на оси абсцисс от-

кладываем отрезки, изображающие частичные интервалы (вто-

рой столбец таблицы 4), и на этих отрезках, как на основаниях,

строим прямоугольники с высотами, равными соответствующим

плотностям относительных частот (шестой столбец таблицы 4),

см. рис. 3.

104

⋅

Рис. 3

3. Для построения эмпирической функции распределения не-

прерывно распределенного признака используем интервальный

вариационный ряд. Наименьшее значение исследуемой случай-

ной величины

Х равно 1,11. Значит, p

= 0 при х ≤ 1,11. Следо

0,1

0,2

0,3

0,4

0,50

ва-

тельн

(x)

равны

эмпири-

ческо

уемой

случа

вестно,

для

Х вы-

полн

час-

тота, вели-

чины

известна

и равна

огично,

убеждаемся, что точками, в которых следует определить значения

функции

(x), являются правые концы соответствующих частич-

ных интервалов. Имеем

(2,47) = 0,10 + 0,18 = 0,28 и т. д. Значе-

ния функции

(x) приведены в седьмом столбце таблицы. В ре-

зуль те получаем, что эмпирическая функция распределения

о, значения эмпирической функции распределения

0 при всех

х ≤ 1,11. Здесь x — значение аргумента

й функции распределения

(x), а не значение исслед

йной величины

Х. Если 1,11 < х <1,79, то точно неиз

скольких выборочных значений случайной величины

яется неравенство

Х < x. Если х = 1,79, то относительная

с которой в выборке встречаются значения случайной

Х, для которых выполняется неравенство Х < x,

= 0,10, т. е. F

(1,79) = 0,10. Рассуждая анал

та

1,11 1,79 2,47 3,15 3,83 4,51 5,19

105

(функция накопленных относ ых частот) для непрерывной

случ

⎪

<≤

⎪

<≤

⎪

⎩

Построим график эмпирической функции распределения. На

оси абсцисс отмечаем границы частичных ин рвалов (второй

столбец таблицы), для правых границ по оси ординат отмечаем

точки, соответствующие накопленным относительным частотам

(седьмой столбец таблицы). Табличные значения не полностью

определяют эмпирическую функцию распределения исследуемо-

го непрерывно распределенного признака, поэтому при графиче-

ском

Рис. 4

ительн

айной величины имеет вид

0; 1,11;

0,10; 1,11 1,79;

≤

⎧

⎪

<≤

⎪

()

0,28; 1,79 2,47;

0,50; 2,47 3,15;

Fx x

<≤

⎪

=<≤

⎨

⎪

0,78; 3,15 3,83;

0,92; 3,83 4,51;

1; 4, 51 .

те

изображении ее доопределяют, соединяя точки графика, со-

ответствующие концам интервала, отрезками прямых (рис. 4).

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,11 1,79 2,47 3,15 3,83 4,51 5,19

*(x)

106

Эмпирическую функцию еделения непрерывно рас-

пред снове группиро-

ванн атистического) ряда. В этом случае

интервалы заменяются на координаты их середин (третий стол-

бец таблицы).

функция накоплен-

ных относительных частот) для группированного вариационно-

го ряда имеет вид

0,92; 17 4,85;

Fx x

≤

⎧

⎪

<≤

⎪

<≤

⎪

=<≤

⎨

<≤

⎪

распр

еленного признака можно строить и на о

ого вариационного (ст

Эмпирическая функция распределения (

()

0; 1,45;

0,10; 1,45 2,13;

0,28; 2,13 2,81;

0,50; 2,81 3,49;

0,78; 3,49 4,17;

⎪

<≤

⎪

1; 4,8 5 .

⎩

Построим график эмпирической функции распределения

так, как это сделано при исследовании дискретного признака

(рис. 5):

(x)

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Рис. 5

1,45 2,13 2,81 3,49 4,17 4,85

107

4. Вычислим выборочные характеристики:

а) выборочная средняя

50n

,51

3,07.

50 50

=== ≈

дисперсия

153

∑∑

б) исправленная выборочная

50 18,502

=−

∑

()

111

3,07 9,617 0,96.

49 50

xx x

nnn

−

==−⋅=

−−−

⋅≈ −≈

∑∑

в) выборо е тчно среднеквадратичное (стандар ное) отклонение

0,96 0,9ss== ≈8.

для дис

ог имее

женный максимум, расположенный вблизи среднего зна-

ения на левом и правом концах распре-

делен чительно реже. На основе анализа гисто-

граммы можно выдв ипотезу о том, что

исследуемый признак имеет нормальное распределение против

альтернативной гипотезы о равно ерном распределении призна-

ка. σ

5. Выполняется только кретного признака.

6. Гист рамма непрерывного признака т достаточно яр-

ко выра

чения. Выборочные знач

ия встречаются зна

инуть статистическую г

Оценками параметров нормального распределения µ и слу-

жат выборочное среднее

3,07x =

и выборочное среднеквадра-

тичное (стандартное) отклонение 0,98s

. Проверить гипотезу

о соответствии выборочных данны му распределению

с параметрами µ = 3,07 и σ = 0,98 ровне значимости

α можно с помощью критерия со Пирсона

х нормально

на заданном у

(

гласия

хи-квадрат)

так, как это было сделано для дискретного признака.

естны его математическое ожидание µ и дисперсия σ

7. Распределение исследуемого признака Х нам неизвестно, и

также неизв

108

Поскольку объем выборки достаточно велик и его гистограмма

очень похожа на функцию плотности вероятности нормального рас-

пределения, приближенно можно считать, что двусторонние дове-

рительные интервалы для оценки параметров µ и σ

, соответствую-

щие доверительной вероятности γ = 1 − α, имеют следующий вид:

для математического ожидания µ —

αα

(1) (1)

µ;

tns tns

−−

−<<+

для дисперсии σ

—

(

)

(

)

() ()

ns ns

−−

αα

11nn

χχ

−

−−

где

(

)

1tn

−

— квантиль порядка

1−

распределения Стью-

дента с

1n− степенью свободы;

()

−

(

)

−

— квантили порядка

−

рас-

еления

(хи-квадрат) с 1n

−

степенью свободы;

пред

Выборочная средняя

3,07x =

, исправленная выборочная

дисперсия

и стандартное отклонение

0,96s =

0,98s

были

найдены ранее.

Для γ = 0,95 найдем

−

γ = 1−0,95 = 0,05

αα

0,025; 1 0,975.

=−=

По таблицам квантилей распределения Стьюдента и

(хи-

квадрат) для 49 степеней свободы находим:

(

)

(

)

α 0,975

1492,01;tn t

−

−= ≈

109

(

)

(

)

α 0,025

14932,4;n

χχ

−= ≈

(

)

(

)

α 0,975

−

14971,4.n

χχ

−= ≈

Построим доверительный интервал для атематического

ожидания

2,01 0,98 2,01 0,98

3,07 µ 3,07 ,

⋅

49 49

−<<+

3,07 0,28 µ 3,07 0,28,

2,79 µ 3,35.

−<<+

Построим доверительный интервал для дисперсии

49 0,96 49 0,96

σ ,

71,4

⋅⋅

32,4

0,66 σ 1, 46.

8. Предположив, что исследуемый признак имеет нормаль-

ное распределение, проверим гипотезу о равенстве атематиче-

ского ожидания µ значению 3 на уровне значимости α = 0,01

про

сследуемого признака больше чем 3.

α = 0,01.

тив альтернативной гипотезы о том, что математическое

ожидание

Этап 1. Сформулировать проверяемую нулевую Н

аль-

тернативную Н

гипотезы.

Нулевая гипотеза Н

: µ = 3;

альтернативная гипотеза Н

: µ

Этап 2. Уровень значимости

Этап 3. Объем выборки n = 50.

Этап 4. Выбрать статистику Ψ критерия и определить рас-

пределение статистики Ψ при условии, что верна гипотеза Н

В качестве статистики критерия Ψ выбираем статистику

µµ

−−

110