Горский Н.М. Практикум по математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

Среднеквадратичным (стандартным) отклонением называ-

ется корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии:

.SS=

Стандартной ошибкой средней называется стандартное от-

клонение выборочной средней

Значения этой статистики иногда используются в отечест-

венной и очень час то в зарубежной литературе по математиче-

ской и при

и по

нормальн

иями

кладной статистике.

При обработке статистической информации широко исполь-

зуют распределение статистик, выч сляемых выборке из

о распределенной генеральной совокупности. Эти рас-

пределения связаны с распределен

, Стьюдента и Фи-

шера. Для них мы будем использовать следующие обозначения:

Z — случайная величина, имеющая стандартное нормальное

распределение

(

)

0, 1N

()

— случайная величина, имеющая распределение

с k степенями свободы,

(

)

— случайная величина, имеющая распределение

Стьюдента с k степенями свободы,

()

— случайная величина, имеющая распределение

Фишера с k

и k

степенями свободы.

Квантилью порядка р распределения случайной величины Х на-

зывается действительное число

, удовлетворяющее уравнению

(

)

PX x p

Квантили порядка р основных распределений обозначаются

соответственно

(

)

.,,ztfkk

pppp

При выборках небольшого объема т оценки могут

цениваемых параметров, поэтому

очечные

существенно отличаться от о

их х

ра

я параметра

θ называется

инт

обычно дополняют интервальными оценками, которые а-

ктеризуют точность.

Доверительным интервалом дл

ервал

(

)

θ ,θ

со случайными границами

θ и

θ , который с

заданной доверительной вероятностью

(надежностью) γ = 1−α

накрывает неизвестное и значение етра

: стинное парам

(

)

θ <θ < θ =1 - α,P

где

α — уровень значимости.

Нижняя и верхняя границы доверительного интервала

определяются по результатам аблюдений и, следовательно,

явля

θ н

ются случайными величинами.

Часто применяются односторонние доверительные интерва-

лы, границы которых определяются из условий

(

)

(

)

θP

< θ =1 α

−

θ <θ =1 α.P

−

интервалами.

лее

Эти интервалы называются, соответственно, левосторонни-

ми и правосторонними доверительными

Симметричный доверительный интервал определяется бо-

простым соотношением

(

)

(

)

** *

θεθ < θε θθ ε1 α.PP

−

<+=−<=−

Величина

называется точностью. Точность

— это поло-

вин

центах.

ти

ному доверительному интервалу (точности ε) и объему выборки п;

а длины доверительного интервала.

Уровень значимости α и надежность γ = 1 − α иногда зада-

ются в про

Выбор доверительной вероятности определяется конкрет-

ными условиями. Обычно используемые значения γ = 1 − α рав-

ны 0,90; 0,95; 0,99 или 90%; 95%; 99%.

С интервальной оценкой связано решение трех пов задач:

определение доверительного интервала (точности ε) по за-

данной доверительной вероятности γ = 1 − α и объему выборки п;

определение доверительной вероятности

= 1 −

по задан

опреде ому довери-

тельном тности

γ = 1 −

Распреде = 20,

можно полагать

оцен

будет при-

ближенным и существенно зависящим от объема выборки n.

1.2.1. Двусторонний доверительный интервал для оценки

параметра µ (генеральной средней) нормально распределенной

генеральной совокупности при известной дисперсии

ление объема выборки п по заданн

у интервалу (точности ε) и доверительной вероя

α.

ление выборочной средней, уже начиная с n

практически нормальным. Это позволяет при

ке генеральной средней использовать те же самые довери-

тельные интервалы, что и для параметров µ и

σ нормально

распределенного признака. Однако в этом случае он

1.2. Доверительные интервалы

для оценки параметров µ и σ

нормально

распределенной генеральной совокупност

αα

σσ

µ.

−−

⋅

−<<+

1.2.2. Двусторонний доверительный интервал для оценки

параметра µ (генеральной средней) нормально распределенной

генеральной совокупности при неизвестной дисперсии

µX

−

(1) (1)

tn S tn S

−

⋅−⋅

я оценки

параметра µ (генеральной средней) нормально распределенной

−<

1.2.3. Двусторонний доверительный интервал дл

генеральной конечной совокупности объема N по безвозвратной

выборке объема п при неизвестной дисперсии

αα

(1) (1)tn S tn S

1µ 1.

−−

−⋅

−⋅−<<+⋅−

−⋅

Если объем безвозвратной выборки п много меньше, чем

объем генеральной совокупности N (n < 0,05N), то множитель

−

можно не использовать.

1.2.4. Левосторонний дове

параме µ

рительный интервал для оценки

генерал

тра (генеральной средней) нормально распределенной

ьной совокупности при неизвестной дисперсии

1 α

(1)

µ.

tn S

−

⋅

1.2.5. Правосторонний доверительный интервал для оценки

параметра µ (генеральной средней) нормально распределенной

генеральной совокупности при неизвестной дисперсии

1 α

(1)

µ.

tn S

−

⋅

−

1.2.6. Двусторонний доверительный интервал для оценки

средних µ

−

µ двух нормально распределенных гене-

известных дисперсиях

разности

1 2

ральных совокупностей при

() ()

22 22

XX z−−

12 12

µµ ,XX z

σσ σσ

+<−<−+ +

рок;

α 12 α

12 12

nn nn

−−

где n , n — объемы выбо

— выборочные средние исследуемых генеральных со-

вокупностей;

— известные дисперсии генеральных совокупностей.

1.2.7. Двусторонний доверительный интервал для ценки

разности средних µ

−

двух нормально распределенных гене-

ральных совокупностей при равных, но неизвестных дисперсиях

()

(

)

()

12 12

α 12 12

α 12

2µµ

XX Stnn XX

St n n

−

− − +−<−< − +

+⋅ + −

(

)

(

)

112 2

;

где

nSnS

−+−

+−

, n

— объемы выборок;

— выборочные средние сследуемых генеральных со-

вокупностей;

,SS

й при неравных и неизвестных дисперсиях

— исправленные выборочные дисперсии исследуемых

генеральных совокупностей.

1.2.8. Двусторонний доверительный интервал для оценки

разности средних µ

– µ

двух нормально распределенных гене-

ральных совокупносте

()

12 12

α 12 α

µµ ν ,

−−

−− <−<−+XX St XX St

,=+S

;где

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜

⎟

⎝⎠⎝⎠

−−

n , n

1 2

— объемы выборок;

— выборочные средние исследуемых генеральных со-

вокупностей;

,SS — исправленные выборочные дисперсии исследуемых

генеральных совокупностей.

сии

нормально распределенной генеральной совокупности

при неизвестной средней

1.2.9. Двусторонний доверительный интервал для диспер-

(

)

()

(

)

()

αα

σ .

nS nS

χχ

−

−−

−

1.2.10. Доверительные интервалы для оценки параметра Р

(доли признака) биномиального распределения

Если п>50, а выборочное значение относительной частоты р

удовлетворяет условиям пр

> 5 и п(

−

) > 5, то двусторонний

доверительный интервал для параметра Р биномиального распре-

деления имеет вид

() ()

αα

*****

PPPPPP

−−

−−<<+−

Если n<50 или хотя бы одно из чисел пр

и п(1

−

) меньше

пяти, то для нахождения доверительных границ p

исполь-

зуют таблицы функции распределения для биномиального зако-

на: p

определяется как наибольшее значение Р, удовлетворяю-

щее неравенству

() ()

PX x Cp p

−

≥= − ≤

∑

а p

— как наименьшее значение Р, удовлетворяющее неравенству

() ()

PX x Cp p

−

≤

=−

∑

≤

Точные доверительные границы могут быть также опреде-

лены при помощи формул:

(

)

()

α 12

xf mm

nx xfmm

⋅

−++⋅

где

(

)

2, 2 1;mxm nx==−+

(

)

(

)

()()

α 12

xfkk

nx x f kk

−

−+ +

где

()

(

)

21, 2kxknx=+ =−

квантилями распределения Фишера

При вычислениях удобно использовать соотношение между

()

α 12

1 α 21

, .

fnn

−

1.3. Построение точечных и интервальных оценок

для модельных задач

1.3.1. ЗАДАЧА ОБ ОЦЕНКЕ МАССЫ ИНДЕЕК

Построение двустороннего доверительного интервала

при неизвестном стандартном отклдля среднего онении.

ния масс (в фунтах): 12; 7; 9; 5; 4; 8; 17; 2; 11; 14; 13; 9.

Определение объема выборки

Среди студентов, изучавших в некотором колледже курс ста-

тистики, был сын фермера. На занятиях преподаватели говорили

ему, что в задачах, связанных с промышленным производством,

различные оценки делаются на основании очень небольших вы-

борок. Он решил оценить общую массу 5000 индеек на ферме

своего отца с помощью небольшой случайной выборки. Взвесив

вошедших в

эту выборку индеек, он получил следующие значе-

После этого он воспользовался следующей формулой для

вычисления двустороннего доверительного интервала:

αα

µ.XX

(1) (1)tn S tn S

−−

−

⋅−⋅

е объема генеральной сово-

куп ,05N.

Действительно, n = 12 < 0,05·5000.

Приняв α = 0,05, он получил доверительны интервал

−<<+

Эту формулу он взял потому, что распределение индеек по

массе было близко, по его мнению, к нормальному распределе-

нию, величина стандартного отклонения

неизвестна, а объем

выборки n = 12 был много меньш

ности N = 5000, т. е. было выполнено условие n < 0

2,201 2,201

µ,

−<<+

( ) 2,201 1 11 γ 1 0,975.

где для иtk kn

−

==−==−=

Вычислив

и s

12 7 9 5 4 8 17 2 11 14 13 9

9,25;

++++++ ++ + + +

222222 22 2 2 2

12 7 9 5 4 8 17 2 11 14 13 9

9,25 19,295;

++++++ ++ + + +

=−

−⋅ =

19,295 4,39 ;ss== =

он получил

2,201 4,39 2,201 4,39⋅⋅

9,25 µ ;

12 12

−<−

9,25<

9,25−2,79<µ<9,25+2,79.

То есть 95%

-ный доверительный интервал имеет вид

6,46<

<12,07.

Разумеется, отец только посмеялся, посмотрев на такой ре-

зультат, и сказал, что он может без всяких выборок гораздо точ-

нее оценить средний вес индейки µ, для чего ему достаточно

просто взглянуть на своих птиц. Сын фермера, если бы он более

внимательно изучал математическую статистику, мог догадать-

ся, что при таком

большом разбросе веса птицы от 2 до 17 фун-

тов и при среднеквадратическом отклонении 4,3 фунта объем

выборки должен быть значительно большим. Тем не менее отцу

очень хотелось получить доверительный интервал шириной

один фунт, поскольку т л бы стоянии более точно

это

до-

верительный интервал

огда он бы в со

оценить свой доход.

Сын догадался, что интервал шириной один фунт —

−

0,5 < µ <

+ 0,5

и состави уравнение для получения объема выборки

αα

(1) (1)

0,5

или

tnS tnS

−−

1 0,5.

−

Он решил, что не стоит полагать

−=

(1)2,201,tn

−

по-

скольку

12n ≠ . Даже при своем ограниченном опыте статисти-

ческих исследований он понимал, что объем выборки будет

больше 30. Поэтому он подставил в уравнение

α 0,975

( 1) ( ) 1,960.tn t

−

−= ∞=

После этого он стал думать над

тем, по какой формуле определять объем выборки n. Второй

формулой сл дуе ет воспользоваться в том сл е, когда

n > 0,05 5000, т. е. n > 250. Сын фермера решил, что в сомни-

тельном случае лучше потратить

уча

больше времени на вычисле-

ния, чем получить неправильный ответ. Неправильный ответ

будет означать, что ему придется обследов ь большую выбор-

ку, на что понадобится гораздо больше времени, чем на решение

урав

ат

нения, включающего коэффициент

−

Таким образом, окончательно уравнение для определения

объема выборки n приобрело вид

1, 96

10,5.

⋅

⋅− =

Тогда ему стало ясно, что придется использовать значение

s = 4,39, вычисленное по уже отобранной им выборке из 12 ин-

деек. Он понял, что именно это обстоятельство имеет более об-

щее и n, не зная σ или, по

крайней мере, оценки S. Во всех последующих выборочных ис-

следованиях, в

которых ему придется искат n, он должен будет

сначала отобрать некоторую небольшую выборку, но не для то-

го, ч того,

чтоб

выборки.

части на

значение. Нельзя найти объем выборк

тобы вычислить по ней доверительные пределы, а для

ы найти s, без чего он вообще не сможет определить объем

он получил

Умножив обе

0,5 8,6 1 .

5000

n⋅=⋅−

После озведения в квадра в т уравнение приобрело вид

73,96

0,25 73,96 ;

5000

⋅

=−⋅

n = 279 или 280.

К счастью, студент ещ л 12 индеек, которых он

взве

е не выпусти

шивал, обследуя свою первую выборку, так что ему при-

шлось взвесить еще «только» 268 индеек. В результате он полу-

чил

10,6x =

и s = 4,2, откуда

1, 96 4, 2 1, 96 4, 2

10,6 10,6 ,

⋅⋅

−<<+

280 280