Горский Н.М. Практикум по математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

10,6−0,5<

<10,6+0,5;

10,1<

<11,1.

Общая масса 5000 индеек будет заключена между 5000⋅10,1

и 5000⋅11,1 фунт

перв о рода, ется меньше

19190

анали н

, т. е. между 50500 и 55550 фунтами. В это время

ндейки стоил 0,38 долл., так что доход фермера от продажи всех

тиц составил бы от 19190 до 21090 долл. Вероятность ошибки

т. е. вероятность того, что доход окажог

долл. или больше 21090 долл

., составляет 0,05. Однако та-

кую ошибку фермер счел пренебрежимо малой.

1.3.2. ЗАДАЧА ОБ ОЦЕНКЕ СТОИМОСТИ БИБЛИОТЕКИ

Построение двустороннего доверительного интервала для среднего

при неизвестном стандартном отклонении. Определение объема вы-

борки для получения заданной точности

В книготорговом деле часто приходится иметь дело с продажей

тех или иных собраний книг, причем объем такого собрания может

колебаться от нескольких томов до нескольких сотен тысяч книг.

Директору некоторой библиотеки предложили купить собра-

ние, насчитывающее 80000 томов, и предложили назвать свою

цену. По мнению советников директора, некоторые книги почти

ничего

не стоили, в то время как другие были весьма ценны. Они

посоветовали директору предложить 0,5 доллара за книгу, т. е.

40000 долларов за все собрание.

Директор не последовал этому совету. Речь шла о большой

сумме, и он решил затратить некоторые средства для проведе-

ния более научного анализа стоимости всего собрания. При этом

он, конечно, понимал, что если стоимость собрания окажется

достаточно низкой, то все средства, затраченные на проведение

за, будут потеря ы.

Он решил взять некоторую выборку книг из собрания, оце-

нить каждую из них и затем получить доверительные пределы

вместе с оценкой общей стоимости. Попавшие в выборку книги

он мог просто сравнить с

каталогом своей библиотеки. Двойные

экземпляры можно было продать, либо выбросить. В последнем

случае считалось, что стоимость книги равна нулю.

Директор хотел получить доверительный интервал вида

± 0,06 долл., где

есть средняя цена книги. Это дало бы ему

доверительный интервал шириной 0,12 долл. Для всех 80000 книг

этот интервал означал бы разницу в 9600 долл. Более точная

оценка обошлась бы ему слишком дорого. Чтобы определить,

выборка какого объема даст такой интервал, он должен был сна-

чала получить оценку для стандартного отклонения

по относи-

тельно небольшой выборке. Зная, что вариация цен для книг это-

собрания будет большой что распределение частот цен

буд нимал, что объем выборки будет

заве му он взял предварительную вы-

борку n = 100 (только для того, чтобы оценить σ и найти n,

но

не для того, чтобы построить доверительный ин л).

После того как все 100 книг выборки были оценены, оказа-

лось

го очень и

ет сильно скошенным, он по

домо больше n = 100. Поэто

терва

, что s = 0,82 долл. Чтобы найти n, он решил уравнение

−

(1)

0,06.

tn−

Взяв

= 0,10, он получи

1, 64 0, 82

⋅

0,06, 502.

где n

=≈

При этом не было необходимости использовать формулу

(1)tnS

−

−=,06,

так как n<0,05·80000, т. е. n<4000.

После этого осталось выбрать наугад еще 402 книги, оце-

нить их и вновь вычислить

и s. Эти значения оказались рав-

ными

0,72x =

долл. и s = 0,85 долл. Отсюда

αα

(1) (1)

µ,

tnS tnS

−−

−<<+

совокупности, может быть использована для фор-

мул

ние

буд

Подлеж проверке

ст

,72 – 0,06 < µ < 0,72 + 0,06,

0,66 < µ < 0,78.

Это доверительный интервал с надежностью γ = 0,9. Из этого

следует, что стоимость всего собрания заключена в интервале от

52800 до 62400. Директор предложил за него 53000 долл., но по-

просил продавца сообщить ему, если кто-нибудь предложит боль-

ше. Он был готов дать гораздо больше — до 63000 долл. Если бы

он

последовал рекомендации своих советников, он никогда не

приобрел бы это собрание, поскольку предложенная цена за одну

книгу (0,5 долл.) была бы слишком низкой для его приобретения.

1.4. Основные понятия

статистической проверки гипотез

Информация, полученная на основе выборки из некоторой

генеральной

ировки некоторых утверждений обо всей совокупности. Эти

утверждения служат основой для тех или иных выводов, кото-

рые называются статистическими решениями. Очень важен их

вероятностный характер, благодаря которому мы всегда в со-

стоянии вычислить вероятность того, что принимаемое

реше

ет ошибочным. Основное достоинство теории принятия ре-

шений состоит в возможности объективного измерения в рамках

вероятностных категорий степени риска, соответствующего то-

му или иному управленческому решению.

Статистической гипотезой Н называется предположение

относительно параметров или вида распределений случайной

величины.

Сущность проверки статистической гипотезы заключается

в том, чтобы установить, согласуются или

нет данные наблюдения

и выдвинутая гипотеза, можно ли расхождение между гипотезой

и результатом выборочных наблюдений отнести на счет случайной

погрешности, обусловленной механизмом случайного отбора.

ащая гипотеза называется основной. По-

скольку очень ча о она состоит в предположении об отсутствии

расхождения (нулевом расхождении) между неизвестным пара-

метр

вляют альтернативную (конкурирующую)

гипо

ом генеральной совокупности и заданным значением, ее назы-

вают также нулевой гипотезой и обозначают Н

. Каждой нулевой

гипотезе противопоста

тезу, которую обозначают Н

. Обычно по отношению к ос-

новной можно указать бесчисленное множество альтернативных

гипотез. Содержание гипотезы записывается после двоеточия. На-

пример, если проверяется гипотеза о равенстве параметра θ неко-

торому заданному значению θ

, т. е. Н

: θ = θ

, то в качестве аль-

тернативной гипотезы можно рассмотреть одну из следующих:

()

:θθH >

;

(

)

:θ < θH

;

(

)

:θθH

≠

;

(

)

:θθH

, где θ

— за-

данное значение

θθ

≠

. Выбор альтернативной гипотезы опреде-

ляется конкретной формулировкой задачи.

Нулевая гипотеза может относиться не только к одному, но

и к нескольким параметрам или даже к закону распределения

случайной величины.

Критерий проверки статистической гипотезы — это про-

цедура выработки решения о том, принять или отвергнуть эту

гипотезу. Так как решение принимается на основе

выборки на-

блюдений случайной величины Х, необходимо выбрать подхо-

дящую статистику Ψ — функцию, построенную по выборочным

данным, с известным распределением, называемую в этом слу-

чае статистикой критерия. При проверке простой параметри-

ческой гипотезы Н

: θ = θ

качестве стат тики критерия берут

ту же статистику, что и для оценки параметра

ис

Проверка статистической гипотезы основывается на прин-

ципе, в соответствии с которым маловероятные события счита-

ются невозможными, а события, имеющие большую вероят-

ность, считаются достоверными. Этот принцип можно реализо-

вать следующим образом.

Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая ве-

роятность

, называемая уровнем значимости. Пусть V — мно-

жество значений статистики критерия Ψ, а V

кр

⊂V — его под-

множество такое, что при условии истинности нулевой гипотезы

вероятность попадания статистики критерия равна α, т. е.

(

)

кp0

Ψα.PVH∈=

Таким образом, событие, состоящее в том, что выборочное

значение ψ

статистики критерия Ψ будет принадлежать области

кр

, может рассматриваться как маловероятное событие (с уров-

нем значимости

). Если по данным проведенной выборки ψ

все же получено, что ψ

∈V

кр

, то это может служить основанием

для отклонения гипотезы Н

. Если ψ

не будет принадлежать

кри

о говорят при-

ним

кри-

тическую область от области принятия гипотезы.

Статистическая проверка гипотез, основанная на результа-

тах

зе Н

) можно вычислить по формуле

тической области V

, то можно лишь заключить, что данные

опыта (выборки) не противоречат гипотезе Н

и последняя не

отклоняется. На практике в таких случаях част

кр

ается (такая формулировка не совсем точна, однако она

широко распространена).

Критической областью V

кр

называют множество значений

статистики критерия, при которых нулевую гипотезу отклоня-

ют. Уровень значимости α определяет размер критической об-

ласти. Положение критической области на множестве значений

статистики критерия Ψ зависит от формулировки альтернатив-

ной гипотезы Н

Областью принятия гипотезы (областью допустимых зна-

чений) называют множество значений статистики критерия, при

которых гипотезу Н

не отклоняют (принимают).

Критическими точками называют точки, отделяющие

выборки, неизбежно связана с риском (вероятностью) при-

нять ложное решение. При этом возможны ошибки двух родов.

Ошибка первого рода произойдет, если будет принято решение

отклонить нулевую гипотезу Н

, хотя в действительности она

оказывается верной. Ошибка второго рода произойдет, если

будет принято решение принять нулевую гипотезу Н

, в то вре-

мя как в действительности оказывается верной альтернативная

гипотеза Н

. Вероятность ошибки второго рода β (при простой

альтернативной гипоте

(

)

кр

Ψ \|PVVHβ.

∈

Мощностью критерия называют вероятность обоснованно-

го отклонения нулевой гипотезы Н

, т. е. вероятность попадания

стат

ативная (конкурирующая) гипотеза.

Мощ нулевая гипо-

теза

ьтернативная гипотеза Н

Есл

ть

кри

при

пом

1. Сформулировать проверяемую нулевую Н

и аль-

терн

ем выборки n.

брать область принятия гипотезы и критическую об-

ласт

ь статистическое

решение.

е-

рие ь-

ных ин

ов-

не значимости α ервалом для па-

истики критерия в критическую область V

кр

при условии,

что справедлива альтерн

ность критерия — это вероятность того, что

будет отклонена, если верна ал

и вероятность ошибки второго рода (принять нулевую гипо-

тезу в то время, как верна альтернативная) равна β, то мощнос

терия равна 1 − β.

Критическая область должна строиться так, чтобы мощ-

ность критерия была максимальной.

Проверка параметрической статистической гипотезы

ощи критерия значимости может быть разбита на следую-

щие этапы.

Этап

ативную Н

гипотезы.

Этап 2. Назначить уровень значимости

Этап 3. Задать объ

Этап 4. Выбрать статистику Ψ критерия и определить рас-

пределение статистики

при условии, что верна гипотеза Н

Этап 5. В зависимости от проверяемой и альтернативной

гипотез вы

ь. Определить критические точки.

Этап 6. Сформулировать правила проверки гипотезы.

а) Гипотеза Н

должна быть отвергнута на уровне значимо-

сти

, если вычисленное значение ψ

попадет в критическую

область.

б) Гипотеза Н

не отвергается (принимается) или ее приня-

тие откладывается, если вычисленное значение

принадлежит

допустимой области.

Этап 7. Выполнить эксперимент и проверить гипотезу, т. е.

получить выборку намеченного объема, вычислить выборочное

значение ψ

статистики критерия Ψ и принят

Проверка статистических гипотез с использованием крит

в значимости может быть проведена на основе доверител

тервалов. Область принятия гипотезы Н

: θ = θ

на ур

совпадает с доверительным инт

рам

ал, а двустороннему кри-

терию значимости — двусторонний доверительный интервал.

Гипотеза Н

не отвергается (принимается), ли значение θ

на-

крывается соответствующим доверительным интервалом; в про-

тивном случае гипотеза Н

отклоняется.

и ,

1.5.1. Статистика критерия для проверки гипотезы о ра-

венс

етра θ при доверительной вероятности (надежности) 1 − α.

При этом одностороннему критерию значимости соответствует

односторонний доверительный интерв

ес

1.5. Основные статистик и критические области

используемые при проверке статистических

параметрических гипотез

тве средних нормально распределенных генеральных сово-

купностей при известных дисперсиях

()

~0,1

σσ

где n

, n — объемы выборок;

−

1 2

, X

— выборочные средние исследуемых генеральных со-

вокупностей;

терия для проверки гипотезы

о ра

σ , σ — известные дисперсии генеральных совокупностей.

1.5.2. Статистика кри

венстве средних нормально распределенных генеральных

совокупностей при неизвестных, но равных дисперсиях

()

−

~2,

TTnn

=+−

⋅+

()()

112 2

;

где

nSnS

−+−

+−

, n — объемы выборок;

1 2

— выборочны средние исследуемых генеральных со-

вокупностей;

— исправленные выборочные дисперсии исследуемых

генеральных совокупностей.

ве

при неизвестных, но неравных дисперсиях

,SS

1.5.3. Статистика критерия для проверки гипотезы о ра-

нстве средних двух нормально распределенных генеральных

совокупностей

()

−

⎛⎞

ν ;где

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

−−

, n

— объемы выборок;

— выборочные средние исследуемых генеральных со-

вокупностей;

,SS — исправленные выборочные дисперсии исследуемых

гене

неизвестных средних

ральных совокупностей.

1.5.4. Статистика критерия для проверки гипотезы о ра-

венстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных

совокупностей при

()

~1,1

FFnn

−−

где SS>

1.5.5. Область принятия гипотезы

H при проверке гипо-

тезы о равенстве дисперсий двух распределенных нормально

генеральных совокупностей при неизвестных средних для дву-

стороннего критерия

11 2

:σσH

≠

()

α 12

1, 1 .fn n

−

−−

ерсий нормально распределенных гене-

ральных совокупностей при неизвестных средних для правосто-

роннего критерия

1.5.6. Область принятия гипотезы

H при проверке гипо-

тезы о равенстве дисп

11 2

:σσH >

()

1 α 12

−

1, 1 .

fn n

−−

Проверка гипотезы о доле признака

ичины Х,

име

— относи-

тель муле

1.6.

Сравнение значения Р параметра совокупности и его выбо-

рочного значения р

Пусть х — наблюдаемое значение случайной вел

ющей биномиальное распределение B (п; Р); р

оная част та оценка параметра Р, вычисляемая по фор

Если п > 50, а выборочное значение р

удовлетворяет усло-

виям пр

> 5 и п(

−

) > 5, то для проверки гипотезы Н

: Р = р

используют статистику

,1где

Q-P

−

име е

При условии, что гипотеза Н

верна, статистика критерия

ет распр деление, близкое к стандартному нормальному рас-

пределению:

(

)

~0,1ZN

Критическая область критерия при уро ачимости

определяется неравенств и

вне зн

ам

1 0

> z

1-α

— при альтернативной гипотезе Н : Р> р ,

< z

— при альтернативной гипотезе Н

: Р< р

| >

−

— при альтернативной гипотезе Н

: Р≠р

Для проверки гипотезы Н

: Р = р

можно использовать дове-

льные интервалы для параметра Р.

При этом гипотеза Н

рите

не отвергается (принимается) на уров-

не значимости

, если соответствующий односторонний или

двусторонний доверительный интервал накрывает значение р

; в

противном случае гипотеза Н

отклоняется.

1.7. Проверка гипотезы

о виде распределения генеральной совокупности

Пусть

,,,

xxK — выборка наблюдаемых значений

случайной величины Х. Проверяется гипотеза Н

, утверждаю-

щая, что случайная величина Х имеет закон распределения

()

. Процедура применения критерия

(хи-квадрат) для

проверки гипо

след .

ых значений случайной ве-

лич

мог

тезы Н

состоит из ующих этапов

Этап 1. По выборке наблюдаем

ины Х найти оценки неизвестных параметров предполагае-

о закона распределения

(

)

Этап 2. Если Х — дискретная случайная величина, то опре-

делить частоты п

, i = 1, 2, …, k, с которыми каждое значение

или группа значений встречается в выборке. Если Х — непре-

рыв

о, что в обоих случаях

∑

ения

ная случайная величина, то разбить область ее значений на k

непересекающихся интервалов ∆

, ∆

, …, ∆

, и определить число

элементов выборки п

, i = 1, 2, …, k, принадлежащих каждому

интервалу. Очевидн

Этап 3. В случае, если Х — дискретная лучайная величина,

используя предполагаемый закон распредел

(

)

, вычис-