Горский Н.М. Практикум по математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

что

и нет.

й.

Буд ь-

ност

решение

. Для

обо

это значение принадлежит генеральной совокупности с не-

которым фиксированным значением µ.

1.8.4. ЗАДАЧА О ПРОВЕРКЕ ПРАВИЛЬНОСТИ МОНЕТЫ

Проверка гипотезы о доле признака

Задача. На основании результатов подбрасывания монеты

опр ) иледелить, является монета фальшивой (неправильной

Этап 1. Выдвижение нулевой и альтернативной гипотез.

Эксперимент с монетой, как правило, проводится с целью дока-

зать, что правильная, на первый взгляд, монета является фальшиво

овить «правилем считать, что единственным способом устан

ь» монеты являются статистические методы. В качестве «нуле-

вой» обычно выдвигается гипотеза об отсутствии различий:

нулевая гипотеза H

: р = 0,5 (монета правильная);

альтернативная гипоте а H

: р ≠ 0,5 (монета фальш вая), т. е.

р<0,5 или р>0,5;

такая гипотеза называется двусторонней альтернативной.

Этап 2. Определение уровня значимости α.

Если наше первоначальное состояло в отклонении ну-

левой гипотезы (мы хотим установить (доказать), что монета фаль-

шивая), то нужно найти вероятность того, что решение ошибочно.

Уровнем значимости статистического критерия называют

веро ой гипотезыятность ошибочного отклонения нулев

значения этой вероятности используют греческую букву α.

В статистике

наиболее часто используются следующие значе-

ния: 0,05; 0,01; 0,001.

Выберем α = 0,05,

т. е. допускается, что примерно в 5 случаях

из 100 можно прийти к выводу о фальшивости монеты, хотя она на

самом деле правильная (вероятность ошибки первого рода).

Этап 3. Определение объема выборки n.

Определение объема выборки зависит от затрат на проведе-

ние экспериментов, времени, необходимого для получения вы-

борки, соблюдения статистически неизменных условий, при ко-

торых проводится эксперимент, величины случайных колеба-

ний, присутствующих в эксперименте, вероятности принятия

неправильного решения, т. е. принятия нулевой гипотезы, при

условии правильности альтернативной (ошибка второго рода),

последствий принятия неправильного решения (ошибок первого

и вт

запись

резу зможные зна-

чени

ли бро 0

быть известно. Из курса теории ероятностей известно,

что число выпавших гербов (или решек) называется случайной ве-

лич

орого рода) и т. д. Очевидно, что чем больше объем выбор-

ки, тем больше вероятность принять правильное статистическое

решение, на основе которого принимается в условиях неопреде-

ленности (действия многочисленных

случайных факторов) обос-

нованное управленческое решение. Чтобы уменьшить вероятно-

сти ошибок первого и второго рода (неправильных статистиче-

ских решений), нужно увеличить объем выборки.

Для эксперимента с монетой затраты и время на проведение

эксперимента незначительны (каждое бросание монеты и

льтата занимают немного времени), поэтому во

я n находятся в очень

широком диапазоне. Очевидно, что если

монета фальшивая, то чем больше значение n, тем ярче результаты

эксперимента будут подтверждать этот факт. Поэтому мы выберем

по возможности достаточно большим. Это позволит установить

неправильность монеты, даже если смещение невелико. Предпо-

ложим, что мы реши сить монету 10 раз, т. е. n = 100.

Этап 4. Выбор тестовой статистики критерия.

Выборочное распределение этой статистики в предположении

должно в

иной и обозначается Х

. Случайная величина Х принимает зна-

чения от 0 до

n и имеет биномиальное распределение с математи-

ческим ожиданием

µ np

и дисперсией

σ npq= , т. е. вероят-

ность того, что она прин маети заданное значение k,

вычисляется по

формуле Бернулли

() .

kkn

PX k Cpq==

Известно, что если п велико и р не близко к значениям 0 и 1,

то биномиальное распределение может быть аппроксимировано

(приближено) нормальным с тем же математическим ожиданием

и дисперсией Х

∼

(np, npq ).

Случайную величину Х мы будем использовать в качестве

тестовой статистики (статистики критерия). Информация о ее

выборочном распределении потребуется на следующем шаге.

Этап 5. Вычисление критической области и области приня-

тия гипотезы.

Предположим, что нулевая гипотеза верна, а значения п и

выб

= 0,05. В этом

эксп

может случайно попасть

ываем каждому «хвосту» вероятность

раны. Вычислим область значений тестовой статистики, по-

зволяющих не отклонять (принять) гипотезу Н

. Значения Х, ле-

жащие вне ее, называются критической областью. Область зна-

чений величины Х, позволяющих принять гипотезу Н

, выбира-

ется таким образом, что если значение статистики, полученное

по данным выборки, не попадает в нее, то выполнимость гипо-

тезы Н

подвергается сомнению.

Для эксперимента с монетой Н

: р = 0,5 и α

ерименте нет оснований для выбора несимметричной об-

ласти, поскольку нет предварительной информации, позволяю-

щей определить направление смещения, если оно существует на

самом деле. Герб может появляться чаще, чем решка, и наобо-

рот. Мы отвергли бы гипотезу Н

, если бы число выпадений

герба было очень мало; точно так же мы отвергли бы эту гип -

тезу при очень большом числе появлений герба.

Возможность ошибочно отвергнуть гипотезу Н

возникает

в силу того, что выборочное значение

в критическую область. Это произойдет, когда значение стати-

стики критерия Х окажется на одном из «хвостов» распределе-

ния. Принимая во внимание симметричность области принятия

гипотезы, мы припис

поскольку вероятность попадания в критическую область, со-

стоящую из двух «хвостов», равна α.

Для эксперимента с монетой из таблиц нормального рас-

пределения находим, что с вероятностью 0,95, т. е. приблизи-

тельно для 95% всех выборок объема п, число выпадений герба

будет лежать между

1, 96 1, 96 .и

np npq x np npq=− ⋅ =+ ⋅

Эти значения статистики критерия Х будут критическими, они

определяют границы области принятия гипотезы Н

. Для их вы-

числения мы воспользуемся значением п = 100, установленным

для данного эксперимента на третьем этапе величину = 0,5

найдем из определения нулевой гипотезы.

, а р

ровано

Этап 6. Формулировка правила проверки гипотезы.

Общее правило проверки гипотезы может быть сформули-

следующим образом.

а) Гипотеза Н

при заданном уровне значимости

отверга-

ется, если выборочное значение

попадает в критическую об-

ласть, т. е. оказывается вне интервала

[, ]

x . В этом случае

принимается альтернативная гипотеза Н

оч-

ное

б) Гипотеза Н

не отвергается (принимается), если выбор

значение x

принадлежит области принятия гипотезы

[, ]

x . В некоторых случаях, особенно при небольшом объеме

выборки, а также для выборочного значения

, близкого к од-

ному из критических значений

или

, решение о принятии

гипотезы Н

откладывается до момента, когда будет собрана до-

полнительная информация.

Этап 7. Выполнение эксперимента и проверка гипотезы.

Выполним п испытаний и на их основе найдем выборочное

значение статистики критерия

. Затем применим правило

проверки гипотезы, сформулированное на седьмом этапе.

Прежде чем выполнять эксперименты, необходимо тща-

тельно сформ кой провер-

ки гипотез. До орками нужно

выбрать тестовую статистику (статистику критерия), уровень

знач спользовании односторонней

или двусторонней критич сти. Изменение условий

проверки гипотез

на основе ых соображений, как пра-

вил одам.

тап

: Н

: = 0

значимости α = 0,05.

улировать все процедуры статистичес

начала работы с полученными выб

имости, решить вопрос об и

еской обла

интуитивн

о, ведет к неверным вероятностным выв

Окончательное решение примера

о проверке монеты на смещение

Э 1.

Гипотезы р ,5;

: р≠0,5.

Этап 2. Уровень

Этап 3. Объем выборки n = 100.

Этап 4. Статистика критерия: Х — число вы авших гер-

бов имеет приближенно нормальное распределение со сред-

ним

значением

µ 100 0,5 50

⋅= и стандартным отклонением

σ 100 0,5 0,5 5=⋅⋅=

Этап 5. Критическими значениями статистики критерия

Х будут следующие:

1,96 50 1,96 5 40,2xnp npq=− ⋅ =− ⋅=

;

1,96 50 1,96 5 59,8.xnp npq=+ ⋅ =+ ⋅=

Областью принятия гипотезы будет множество целых чи-

сел, лежащих между 41 и 59 включительно.

Критической областью будут множества целых чисел между

0 и 40 и между 60 и 100 включительно.

Этап 6. Правила проверки гипотезы.

а) Гипотеза Н

(монета несмещенная, т. е. правильная)

должна быть отвергнута на уровне значимости α = 0,05 (при

5%-ном уровне значимости), если число появлений герба в вы-

борке принадлежит критической области.

б) Гипотеза Н

не отвергается (принимается) или ее приня-

тие откладывается, если наблюдаемое число появлений герба

лежит в области принятия гипотезы, т. е. между числами 1 и 59

включитель

но.

яется монета правильной или нет.

Этап 7. Выполнение эксперимента и проверка гипотезы.

Студент может самостоятельно выполнить этот экспери-

мент, т. е. взять монету и подбросить ее 100 раз, записав при

этом число выпадений герба. На основании этого эксперимента

необходимо решить, явл

Для обсуждения процесса проверки гипотезы рассмотрим

три возможных результата эксперимента: 1)

= 38; 2)

= 46;

= 58.

Результат 1.

= 38 принадлежит левому подмножеству

критической области. Мы отвергаем гипотезу Н

0 и

делаем вывод

о том, что монета смещена в сторону выпадения решки по срав-

нению с выпадением герба. Сделанный вывод может оказаться

неверным в 5% случаев.

Результат 2.

= 46 лежит внутри области принятия гипо-

тезы, поэтому мы не отклоняем гипотезу Н

. Поскольку значе-

ние 46 далеко от границ критических значений, у нас нет осно-

ваний подозревать смещение у монеты.

Результат 3.

= 58 находится внутри области принятия

гипотезы, хотя и близко к правому критическому значению.

Можно б

на пра-

ви -

мат

этих

довлетворять условию п>83, так как должно

выполняться соотношение п⋅0,06>5.

ыло бы не отклонять гипотезу Н

, основываясь

ле (этап 6). Однако целесообразнее на этом этапе не прини

ь никаких решений. Может возникнуть подозрение в том,

что монета имеет смещение, которое ведет к тому, что герб вы-

падает чаще, чем решка. В этом случае желательно получить

вторую выборку и провести проверку гипотезы о подозреваемом

смещении с

помощью односторонней критической области.

Альтернативной гипотезой будет Н

: р>0,5.

1.8.5. ЗАДАЧА О СРАВНЕНИИ ДОЛИ БРАКА С НОРМАТИВОМ

Проверка односторонней гипотезы. Вычисление объема выборки

Рабочий должен высверлить отверстия в 10000 деталей. Отвер-

стия делаются очень быстро с помощью ручного сверлильного стан-

ка или некоторым автоматическим устройством. Контроль прово-

дится с помощью двустороннего калибра. Если один конец калибра

входит в отверстие, а другой — нет, то диаметр отверстия правиль-

ный, и деталь кладется в ящик с готовыми деталями

. Если оба конца

калибра не входят в отверстие, то это значит, что оно слишком мало.

Если оба конца входят, то отверстие слишком велико. В каждом из

случаев детали отправляются в брак. В проведении 100% про-

верки нет необходимости, и качество работы (автоматического уст-

ройства) можно проверить по некоторой выборке.

среднем за длительный промежуток времени доля брака

составляет π

= 6%. Число бракованных деталей распределено

по биномиальному закону. Для того, чтобы биномиальное рас-

пределение можно было аппроксимировать нормальным, объем

выборки должен у

Чтобы найти подходящий объем выборки, нужно принять

во внимание ошибки первого и второго рода. Можно считать,

что мастера не интересует случай, когда π < π

. Его беспокоит

лишь возможность того, что π >

. В этом случае рабочий дол-

жен работу или

вообще уволен (автоматическое устр ство остановлено и пере-

налажено). Тогда интересующий нас критерий должен быть

прав

быть переведен на более низкооплачиваемую

ой

осторонним.

Для уровня значимости α = 0,05 при п = 100 критическая

точка определяется из соотношения

()

кр 01α

100 π

694

ππ 61,64 9,9.

100

−

⋅

=+ =+ ≈

Эта критическая точка эквивалентна значению

кр

1,z 64.

* *

лить бракодела) даже

при 9% брака достаточно велика

Если окажется, что π

< π

кр

, . е. z < zт

кр

, то гипотезу о том,

что π несущественно отличается от π

или даже меньше π

, сле-

дует принять, и рабочий не потеряет свою работу. Если окажет-

ся, что π

> π

кр

> z

кр

), его следует перевести или уволить.

Мастер догадался, что при таком небольшом объеме выбор-

ки вероятность принять ошибочное решение очень велика. Дей-

ствительно, отвергнуть нулевую гипотезу достаточно сложно,

а вероятность ошибки второго рода (не уво

()

кр 11

ππ :π 90,310,62

991

⎜⎟

9,9 9

100

⎛⎞

⎜⎟

−

⎜⎟

⎝⎠

ды на проведение выборочного исследова-

ния по сравнению с издержками принятия неправильного реше-

ния незначительны, мастер решил поступить следующим обра-

зом. Он выбрал π

> π

такое, что относительно этого π

шибка

второго рода может произойти с некоторой фиксированной ве-

=Φ=Φ=

⎜⎟

⋅

Поскольку расхо

роятностью β. В данном случае он принял

= 9 и β = 0,05.

Объем выборки он нашел из соотношения

() ()

00 1

01α 11β

π 100 π 100 π

π.z

−−

=−

πz+

Подставив соответствующие величины, он получил

694 991

61,64 91,64 ,

770.

⋅⋅

+⋅ =−⋅

≈

Таким образом,

()

кр 01α

π 100 π

694

ππ 61,64 7,2.

770

−

⋅

=+ =+ ≈

Далее необходимо случайным образом отобрать п = 770 де-

талей, проверить все детали (такое количество деталей можно

проверить примерно за один час), определить количес брака

т и вычислить

тво

π 100.

770

Предположим, что мы получили π

= 7. Поскольку 7 < 7,2, т. е.

лить

или еревести (автоматическую линию остановить). Однако мас-

тер может заметить что значение π

= 7,5 с большой вероятностью

напри

несомне

кр

, нулевая гипотеза не отклоняется, и рабочий сохраняет свое

рабочее место (автоматическая линия не останавливается). При

= 7,5 нулевую гипотезу следует отклонить, а рабочего уво

может быть получено из генеральной совокупности с π, равным,

мер, 6,5, что он считает вполне допустимым. На этом этапе

нную пользу может принести вычисление двустороннего

доверительного интервала для π

= 7,5 при α = 0,05:

() ()

αα

−−

−

*****

π1 πππ π1 π ;

−<<+−

1, 96 1, 96

7,5 7,5 92,5 7,5 7,5 92,5 ;

770

−⋅<<+⋅

770

7,5 1,88 7,5 1,88;

5,62 9,38.

−

<< +

Если и доверительные интервалы не помогают, то мастер

может продолжать увеличивать объем выборки до тех пор, пока

ожет принять обоснованное упра ленческое решение.

вых ста

ца в проценте выпус-

каем

вого рабочего:

число сделанных деталей п

= 200; число бракованных дета-

лей

не см в

1.8.6. ЗАДАЧА О СРАВНЕНИИ ПРОЦЕНТА БРАКА

роверка двусторонней гипотезы о равенстве долей признака. Вычис-

ление объема выборки.

Двое рабочих на одинако нках изготавливают одина-

ковые детали. Есть ли существенная разни

ого ими брака? Чтобы выяснить это, была собрана следую-

щая информация.

Для пер

= 12; доля брака π

= 6%.

Для второго рабочего:

число сделанных деталей п

= 200; число бракованных дета-

= 18; доля брака π

= 9%.

Вычислим

()

ππ 69

1,14,

7,5 92,5

π 100 π

200 200

−−

===

⎛⎞ ⎛ ⎞

⋅+

′′

−+

⎜⎟

⎝⎠

где

π 100 7,5%.

200 200

′

== =

При α = 0,05 имеем z

ππ

12 18

, что π

различаются несущественно.

один

рабочий делает

кр

= 1,96, так как 1,14 < 1,96, получаем

z < z

кр

. Отсюда мастер, в ведении которого находятся оба рабо-

чих, может заключить

ательно, из того, что

ππ< , еще не следует, что

больше брака, чем другой.

Следо

Для того чтобы обнаружить разницу по крайней мере в 4%,

мастеру придется отобрать выборку, объем которой должен

быть равен

(

)

7,5 92,5 2 1,96 2 1,64

1588 .

⎛⎞

⋅⋅⋅+⋅

⎜⎟

=≈

⎜⎟

⎝⎠

Предположим, что объем выборок был после этого увели-

чен до п

= п

= 1588, и случайно были получены те же самые

результаты:

для первого рабочего п

= 1588; т

= 95; π

= 6%;

для второго рабочего п

= 1588; т

= 143; π

= 9%.

Вычислим

()

ππ 69

3,23.

7,5 92,5

π 100 π

1588 1588

−−

== =

⎛⎞ ⎛ ⎞

⋅+

′′

−+

мож е

брак

ение о том, следует ли производить ее в общена-

цио

то компания понесет большие

убы окажется, что

паст пустит

возмож-

ност

⎜⎟

⎝⎠

Теперь уже нулевая гипотеза об отсутствии различий долж-

на быть отвергнута, так как 3,23>1,96, имеем

кр

, и мастер

шет считать, что второй рабочий делает существенно боль

а, чем первый.

1.8.7. ЗАДАЧА О ПРОИЗВОДСТВЕ НОВОГО СОРТА ЗУБНОЙ ПАСТЫ

Проверка гипотезы о доле признака.

Компания разработала новый сорт зубной пасты и должна

принять реш

нальном масштабе. Если производство будет начато, но пас-

та не будет пользоваться спросом,

тки. Если производство не будет начато, но

а пользовалась бы спросом, то компания у

ь получить большую прибыль и потеряет средства, затра-

ченные на разработку нового сорта зубной пасты. Так как из-

держки принятия неправильного решения очень велики, руко-

водство компании решило провести анализ спроса.

Был выбран некоторый регион, новый сорт зубной пасты

был разослан по магазинам этого региона, начата рекламная