Горский Н.М. Практикум по математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

лить вероятности p

, i = 1, 2, …, k, которыми случайная величина

ть

Очевидно, что в обоих случаях

Этап 4. Вычислить выборочное значение статистики критерия

Х принимает каждое значение, или вероятность появления группы

значений. В случае, если Х — непрерывная случайная величина,

вычислить вероятнос p

попадания в каждый интервал ∆

P (X∈∆

) = p

, i = 1, 2, …, k.

∑

()

nnp

−

∑

Этап 5. Принять статистическое решение: гипотеза Н

не

противоречит выборке наблюдений на заданном уровне значи-

мости α, если

(

)

в 1 α

1,kl

χχ

−

−−

где l — число параметров рас-

пределения

(

)

, которые оцениваются по выборке; если же

(

)

в 1 α

χχ

−

то гипотеза Н

отклоняется.

Замечание. Использование критерия

1,kl≥−−

(хи-квадрат) осно-

вано на том факте, что случайная величина

, 1, 2, , ,

nnp

−

= K

имеет распределение, близкое к стандартному нормальному

распределению

(

)

0,1N

. Чтобы это утверждение было достаточ-

но точным, необходимо, чтобы для всех интервалов выполня-

лось условие np

≥ 5. Если в некоторых интервалах это условие

не выполняется, то их следует объединить с соседними.

1.8. Проверка статистических гипотез

на примере модельных задач

1.8.1. ЗАДАЧА О ДОЛЕ БРАКА В ПАРТИИ ТОВАРА

Постановка задачи о проверке статистических гипотез.

Ошибки первого и второго рода.

Задача. Крупная партия товара может содержать дефектные

изделия. Поставщик полагает, что их доля составляет 3%, а по-

купатель — 20%. Достигнута следующая договоренность: по-

ставка состоится, если при проверке 10 случайно отобранных

изделий будет обнаружено не более одного дефектного.

Сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы. Оп-

ределите критическую область и область принятия нулевой ги-

потезы. Сформулируйте, в

чем состоят ошибки первого и второ-

го рода, найдите их вероятности.

Решение. С точки зрения покупателя нулевой гипотезой

следует считать гипотезу о 20% дефектных изделий. Альтерна-

тивная гипотеза соответствует версии поставщика — дефектных

изделий 3%.

Поскольку отбирается 10 изделий и затем фиксируется чис-

ло дефектных, множество всевозможных результатов будет

Ω={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

По условиям поставки гипотеза покупателя отвергается, ес-

ли ω ≤1 для ω

∈

Ω, поэтому критическая область S = {0, 1}.

Соответственно, область принятия нулевой гипотезы

Ω \S={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Ошибка первого рода: нулевая гипотеза отвергается, хотя

она и верна. В данном случае партия закупается, хотя в ней 20%

дефектных изделий.

Ошибка второго рода: нулевая гипотеза принимается, в то

время как верна альтернативная. Это означает, что поставка не

состоится

, хотя в партии лишь 3% дефектных изделий.

Найдем вероятности этих ошибок.

Если нулевая гипотеза верна, то вероятность того, что одно

случайно выбранное изделие окажется дефектным, составляет

p = 0,2. Ошибка первого рода произойдет, если из 10 изделий

дефектными будут не более чем одно (т. е. нуль или одно).

В случае истинности Н

число бракованных изделий

явля-

ется биномиальной случайной величиной B (10; 0,2)

()

119 9

ω 1 0,2 0,8 10 0,2 0,8 0,26PC== ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ≈

0 0 10

ω 0 0,2 0,8 0,8 0,107;

PC== ⋅ ⋅ = ≈

Вычислим вероятность ошибки первого рода α:

(

)

(

)

(

)

ω 1| ω 0| ω 1|

PHP HPH

=≤ == += =

брат

сти Н

число дефектных изделий ω тоже

имеет биномиальное распределение, но с другими параметрами:

B (10; 0,03). Поэтому

119 9

ω 1 0,03 0,97 10 0,03 0,97 0,228.PC== ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ≈

Для вероятности β ошибки рода получаем:

0,107 0,268 0,375.=+=

Если верна альтернативная гипотеза Н

, то вероятность вы-

ь дефектное изделие составляет 0,03. Ошибка второго рода

произойдет, если из 10 изделий дефектными окажутся два и более.

В случае истинно

()

0 0 10 10

ω 0 0,03 0,97 0,97 0,737;PC== ⋅ ⋅ = ≈

()

второго

()

(

)( )

(

)

(

)

11 11

ω1| 1 ω 1| 1 ω 0| ω 1|

1 (0,737 0,228) 0,0

PHPH P HPH> =−≤ =− = += =

=− + =

35.

ие вер т, что выбранная

процедура прове

Сравнен оятностей α и β показывае

рки выгодна поставщику.

1.8.2. ЗАДАЧА ОБ ОБЪЕМЕ ЗАКАЗА

Проверка статистических гипотез

с помощью биномиального распределения

Задача. Изобретателю для проведения показательных испыта-

ний необходимо 20 хороших образцов нового изделия. Изготови-

тель утверждает, что при сегодняшнем состоянии производства

получается в лучшем случае 5% брака. Как много образцов должен

поставить изготовитель, чтобы среди них с не менее чем 99%-ной

вероятностью было бы как минимум 20 хороших изделий?

Решение. Попробуем решить задачу без теории вероятностей

и математической статистики на уровне «здравого смысла» или

правдоподобных рассуждений. Очень часто использование слож-

ных математических формул (построение сложных математиче-

ских моделей) дает тот же самый, почти тривиальный результат.

5%-ный брак означает, что из 100 изделий 5 могут оказаться

бракованными. Если заказать 20 изделий, то по крайней

мере

одно из них вполне может оказаться бракованным. Следова-

тельно, если заказать 21 изделие, то очень вероятно, что 20 из

них будут хорошими и не более одного бракованного. Но как

оценить это количественно?

Знакомый с основами теор вероятностей, изобретатель

распределении (формуле Бернулли

пехов в последовательности из

n независи-

учебник (справочник) по теории веро-

тике, он нашел формулу

ии

вспомнил о биномиальном

для подсчета числа ус

мых испытаний). Раскрыв

ятностей или математической статис

(

)

kknk

Pk Cpq

−

где n — число испытаний,

k — число успехов,

p — вероятность успеха,

q = 1 − p — вероятность неудачи,

()

(

)

(

)

()

nn nk

!! 11knk kk

⋅

−⋅⋅⋅ −+

⋅−

изделий. Конечно, для изобретателя

⋅−⋅⋅⋅

Изобретатель догадался, что под числом испытаний нужно

понимать число заказанных

«усп елие, но при проверке качества из-

дели акованных изде-

лий стандартных).

и заказе 20 изделий все они окажутся хорошими, т. е.

брака нет. В этом случае:

ех» — это хорошее изд

й под «успехом» лучше понимать число бр

(поскольку их всегда меньше, чем

Прежде всего изобретатель решил вычислить вероятность то-

го, что пр

n = 20 — объем заказа

;

k = 0 — количество бракованных изделий;

p = 0,05 — вероятность брака;

q = 1 – 0,05 = 0,95 — вероятность изготовления хорошего

изделия;

(

)

0020

20 20

0 0,05 0,95 0,358,

20!

PC=⋅ ⋅ ≈

1; 0 ! 1 .

0! 20!

C ===

⋅

Если произведено 21 новое изделие (n = 21), то для изобрета-

теля

ать различные значения от 0 до

n. Например, X = 0 — брака нет, X n —

все изделия бракованные.

Эта случайная величина имеет биномиальное распределение

возможны два благоприятных случая: все 21 хорошие, т. е.

брака нет (k = 0), или 20 хороших и одно бракованное (k = 1).

Пусть случайная величина X — число бракованных изделий, из

n изготовленных. Она может приним

(

)

()

kknk

PX k P k Cpq .

−

== =

Если в партии содержится не более одного бракованного из-

делия, то нам нужно вычислить вероятность того, что случайная

величина X принимает значения не больше чем единица, т. е.

0 или 1. Таким образом, вычислим

0 0 21 1 1 20

21 21

(1)(0)(1)

0,05 0,95 0,05 0,95 0,717.

PX PX PX

≤

==+==

=⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ≈

Если объем заказа n = 22 и в партии должно быть не менее

20 хороших, то число бракованных изделий X должно быть не

больше двух, т. е. нужно вычислить

0 0 22 1 1 21 2 2 20

22 22 22

22 21 2 20

( 2) ( 0) ( 1) ( 2)

0,05 0,95 0,05 0,95 0,05 0,95

22 21

0,95 22 0,05 0,95 0,05 0,95 0,905.

PX PX PX PX

CCC

≤

==+=+==

=⋅ ⋅ +⋅ ⋅ +⋅ ⋅

⋅

=+⋅⋅+⋅⋅≈

) 0,99.PX n

Для определения объема производства потребуем, чтобы

( 20

≤

−≥

Это математическая формулировка задачи. Ранее мы уста-

новили, что

( 1) 0,717 0,7 21,

( 2) 0,905 0,9 22.

при

PX n

≤

≈> =

≤≈ > =

При отсутствии статистических таблиц для биномиального

распределения значения вероятностей для различных n придется

вычислять по соответствующим формулам. Например, при n =

24 получим

(0)(1)(2)(3)(4)

0,05 0,95 .

kk k

PX PX PX PX PX

−

(20)(4)

PX n PX

≤

−= ≤=

Для вычисления вероятностей биномиального распределе-

ния при различных последовательных значениях k, удобно ис-

пол тношение

==+=+=+=+==

=⋅⋅

∑

ьзовать следующее рекуррентное соо

(1) (

nkp

PX k PX k

−

=+= ⋅ ⋅ =

Таким образом, при n = 24 получим

( 0) 0,95 0,292; 24; 0; 0,05; 0,95;

24 0 0,05

( 1) ( 0) 0,369;

010,95

PX n k p q

PX PX

== ≈ = = = =

−

== ⋅ ⋅ = ≈

24 1 0,05

( 2) ( 1) 0,223;

11 0,95

24 2 0,05

( 3) ( 2) 0,086;

210,95

24 3 0,05

( 4) ( 3) 0,024;

310,95

( 4) 0,292 0,369 0,223 0,086 0,024 0,993 0,99.

PX PX

−

== ⋅ ⋅ =≈

−

== ⋅ ⋅ =≈

−

== ⋅ ⋅ =≈

≤≈ + + + + = >

Изобретатель должен заказать не менее 24 новых изделий.

Это статистическое решение. Для принятия управленческого

решения о том, какой реальный объем заказа сделать, необхо-

димо проанализировать наличие средств для заказа, возможную

прибыль и возможные убытки.

Большинство изобретателей — уверенные в себе,

склонные

к риску, но ограниченные в средствах люди. Минимальный объ-

ем заказа, по-видимому,— 21 изделие, при этом с вероятностью

0,7 в партии будет не менее 20 хороших, но и с очень большой

вероятностью 1−0,7 = 0,3 среди изготовленных может оказаться

менее 20 хороших.

При объеме заказа в 22 изделия общая стоимость заказа (по

сравнению с необходимым

заказом в 21 изделие) увеличивается

всего на 5%, а вероятность получения 20 хороших изделий возрас-

тает до 0,9. При этом исключается возможность достаточно редких

событий, вероятность которых 0,1, т. е. таких, как выпадение четы-

рех гербов при четырех подбрасываниях монеты:

0,5 0,06≈

Заказ 24 новых изделий характерен для перестраховщика,

который имеет достаточно средств и готов увеличить стоимость

заказа на 15% (дополнительно на 3 изделия), чтобы исключить

совсем редкие случаи неудачи (выпадение шести гербов при

шести подбрасываниях:

50, 0,016≈

1.8.3. ЗАДАЧА О КОРМЕ НОВОГО ТИПА

Проверка односторонней гипотезы для среднего

при неизвестном стандартном отклонении.

Сопоставление выборочного среднего с нормативом.

Определение объема выборки по вероятностям ошибок первого

и второго рода.

Задача. Фермер каждый год выращивает около 5000 инде-

ек, средняя масса которых составляет 14,8. Однажды ему пред-

ложили корм нового типа. Этот корм будет стоить дороже, но,

как предполагается, даст возможность увеличить среднюю мас-

су индеек на один фунт. Такое увеличение массы было бы фер-

меру очень выгодно, и он решил испытать новый сорт

корма, но

не сразу на всех индейках, а на некоторой случайной выборке.

Каким должен быть объем выборки?

Решение. Средняя масса индеек, выращенных фермером за

последние три года, составляет µ

= 14,8. Поэтому он решил, что

его новым стандартом будет µ

= 15,8 фунта. Так как нас интере-

сует лишь то, будет ли µ существенно больше, чем µ

, то нам

нужно воспользоваться односторонним критерием с пределом

интервала принятия гипотезы

(

)

1 α

15,8

tn s

−

Соответствующая нулевая гипотеза формулируется сле-

дующим образом:

: µ несущественно отличается от µ

или µ больше, чем µ

Альтернативная гипотеза имеет вид

: µ существенно меньше µ

Если в результате выборочного исследования наш фермер

получит, что

удовлетворяет неравенству

(

)

1 α

15,8 ,

tn s

−

то он примет сформулированную альтернативную гипотезу и

закупит количество нового корма, необходимое для всех индеек.

Чтобы найти подходящий объем выборки, необходимо

найти оценку стандартного отклонения S. Эту оценку можно

получить, взвесив некоторое число индеек, откармливавших-

ся старым способом. Фермер считал, что новый корм мог бы

изменить средний вес индеек, но

мало отразился бы на раз-

бросе их масс.

Выборка с n = 15 дала следующие результаты (в фунтах):

11,5; 15,7; 16,8; 15,0; 17,4; 11,6; 14,2; 15,2; 15,6; 15,7; 14,7; 16,8;

17,1; 13,0; 11,2.

Среднее значение и среднеквадратичное отклонение этих

значений соответственно равны:

()

221.3

14,77; 2,00.

15 1

== ≈ = ≈

−

В этот момент фермер подумал о том, что неплохо бы срав-

нить расходы на проведение выборочного исследования с из-

держками, связанными с ошибками первого α и второго β рода.

Издержки выборочного исследования равны стоимости нового

корма в количестве, необходимом для выборки из п индеек, ми-

нус стоимость корма старого типа.

Издержки ошибки первого

рода равны сумме, в которую обойдется фермеру решение, что µ

меньше, чем µ

xxx−

∑∑

, тогда как на самом деле µ несущественно отли-

чается от µ

. При этом фермер решит не покупать корм нового

типа и тем самым потеряет возможность получить большую при-

быль. Издержки ошибки второго рода будут определяться тем,

что фермер примет свою гипотезу (и закупит большое количество

ново сго корма), тогда как на амом деле µ существенно меньше,

чем µ

. При этом дополнительные расходы на корм нового типа

окажутся больше, чем увеличение дохода от продажи птицы.

В связи с этим фермер решил провести более подробный

анализ соответствующих затрат. К своему удивлению он обнару-

жил, что увеличение дохода вследствие использования нового

корма может оказаться гораздо больше, чем расходы на выбороч-

ное обследование (т. е. разность между стоимостью корма нового

и старого типа в количестве, необходимом для откорма выборки

из n индеек). Кроме того, он обнаружил, что окажется в выигры-

ше даже в том случае, если

средняя масса его индеек увеличится

только на 0,5 фунта, т. е. до 15,3 фунта. Поэтому он решил прове-

рить нулевую гипотезу с уровнем значимости α = 0,05 и β = 0,025

относительно альтернативной гипотезы Н

:µ = 15,3 фунта. Объем

требуемой выборки был найден из уравнений

1, 96 2,58

µµ;

1,96 2,00

⋅

2,58 2,00

15,3 15,8 .

⋅

+=−

Решением является n = 330.

Это означает, что фермеру следует купить

+=−

корм нового типа

для 330 индеек. Эти индейки б ут, конечно, откармливаться

отдельно ото всех остальных. Когда они вырастут, фермер опре-

уд

делит их среднюю массу. Если окажется, что

2,58

15,8 ,

⋅

−

т. е. t

кр

, он примет свою гипотезу и будет считать, что либо µ

есущественно отличается от µн

< t

кр

, то он отвергнет свою гипо езу. Тем не менее, прежде чем

окончательно принять решение пр етении нового корма,

, либо µ>µ

. Если окажется, что

о иобр

фермеру полезно будет проделать еще одно вычисление. Если

будет лежать недалеко от предела интервала принятия решения

1 α

(1)tn s

−

с какой бы

ему стоит

построить дове оятность того,

то ни было стороны (т. е. t

близко к t

кр

), то

рительный интервал, а также вер