Горский Н.М. Практикум по математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

кампания, а в каждую семью был бесплатно послан образец но-

вой пасты. Через некоторое время было проведено выборочное

исследование с целью установить, какой процент населения пе-

решел на использование новой пасты. Если более 5% населения

пол нать производство

этог

Отдел сбыта разработал план выборочного обследования.

Этап 1. Выдвижение нулевой и альтернативной гипотез.

Обследование проводится с целью показать, что после про-

ведения рекламной кампании спрос будет несущественно отли-

чаться от 5%. В качестве нулевой обычно выдвигается гипотеза

об отсутствии различий:

нулевая гипотеза Н

: π = 5 (спрос несущественно отлича-

ется от

);

альтернативная гипотеза Н

: π = 7 (при таком спросе компа-

ния получит большую прибыль).

Такая гипотеза называется правосторонней.

Этап 2. Определение уровня значимости

Если наше первоначальное решение состояло в отклонении

нулевой гипотезы (мы хотим установить, что спрос существенно

отличается от 5%), то нужно оценить вероятность того, что ре-

шение ошибочно.

Выберем α = 0,05,

т. е. допускается, что примерно в 5 слу-

чаях из 100 можно прийти к выводу о спросе в 5%, хотя на са-

мом деле он меньше или больше (вероятность ошибки первого

рода). Зададим вероятность ошибки второго рода β = 0,10, т. е.

не более чем в десяти случаях из 100 спрос существенно больше

5%, но мы отказываемся

от производства новой пасты.

Этап 3. Определение объема выборки n.

При заданных уровнях ошибок первого и второго рода ми-

нимальный объем выборки находим из уравнения

ьзуется этой пастой, то имеет смысл начи

о сорта в общенациональном масштабе. В противном случае

от такого производства следует отказаться.

() ()

00 11

011

100 100

.zz

αβ

ππ ππ

ππ

−

−−

+=−

Подставив соответствующие величины, получим

595 793

51,96 71,28 .

1420.

⋅⋅

+⋅ =−⋅

≈

Этап 4. Выбор тестовой статистики к итерия. р

()

π 100 π

ππ

−

Этап 5.

Вычисление критической области и области приня-

тия

−

гипотезы.

лев

кр

595

π 51,96 3,87;

⋅

=− =

пр

кр

1420

π 5 1,96 6,13.

1420

⋅

=+ =

Этап 6

. Формулировка

правила проверки гипотезы.

щи

а н о

ри

Общее правило проверки гипотезы может быть сформули-

ровано следую м образом.

а) Гипотеза

при з данном уровня з ачимости α тверга-

ется, если выборочное значение

π попадает в к тическую об-

ласть, т. е. в интервал

)

пр

кр

π ,

⎡

∞

⎣

. В этом случае принимается

альтернативная гипотеза

Н .

оч-

ное

объ-

, а для выборочного значения

близкого к

критическому значению

решение о принятии гипотезы Н

откл

б) Гипотеза

не отвергается (принимается), если выбор

значение

π принадлежит области принятия гипотезы

)

лев пр

кр кр

π , π

⎡

⎣

. В некоторых случаях, особенно при небольшом

еме выборки также

π ,

кр

адывается до момента, когда будет собрана дополнительная

информация.

Этап 7. Выполнение эксперимента и проверка гипотезы.

Предположим, что результаты первого выборочного иссле-

дования уже поступили. Оказалось, что

т = 90 и

π 100 6,3%.

1420

=≈

Это означает, что π

существенно отличается от π

, но при

этом

попадает в ту часть критической области, где верна аль-

тернативная гипотеза. Доверительный интервал имеет вид

() ()

αα

π ;

*****

π1 πππ π1 π

−−

−−<<+−

1, 96 1, 96

6,3 6,3 93,7 π 6,3 6,3 93,7;

1420 1420

−⋅<<+⋅

6,3 1,26 π 6,3 1,26;

5,04 π 7,56.

−

<< +

Эти результаты можно представить руководству компании

для дальнейшего анализа.

1.8.8. ЗАДАЧА ОБ ОЦЕНКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫБОРОВ

Определение объема выборки

Один из кандидатов на некоторый пост на данном этапе

своей избирательной кампании решил, что его шансы очень хо-

роши и он должен собрать значительно больше 50% голосов.

Если это действительно так, то он мог бы существенно умень-

шить расходы на свою избирательную кампанию. Организация,

проводящая опрос общественного мнения, разъяснила ему связь

между

объемом выборки и издержками проведения выборочно-

го исследования. Кандидат предложил

п = 200. При α = 0,05

критическая точка равна

()

кр 01α

π 100 π

50 50

ππ 50 1,64 55,8.

200

−

⋅

=+ =+ ≈

В связи с этим организация по опросу общественного мнения со-

общила кандидату, что даже при π = 55,7% число его сторонников

составит несущественно больше 50%. В то же время такая выборка

может происходить из генеральной совокупности, которой соо ветст-

вует

= 61,5% с вероятностью 0,05. Поэтому объем выборки должен

быть больше, чем п = 200. Кандидат решил, что β = 0,05 при π

= 58%

вполне достаточно. В этом случае ему придется оплатить выборочное

исследование

п = 415. Это значение можно получить из уравнения

() ()

00 11

01α 11β

ππ;zz

−−

π 100 ππ100 π−−

+=−

50 50 58 42

50 1,64 58 1,64 ;

+⋅ =−⋅

⋅⋅

415.

≈

Теперь критическим значением является

()

кр 01α

π 100 π

50 50

ππ 50 1,64 54.

415

−

⋅

=+ =+ ≈

Это побудило кандидата спросить: какова вероятность, что

гипотеза окажется отвергнутой, если π = 55%? Чтобы ответить

на этот вопрос, следует найти

Р (π > 54,0 | π = 55%). Соответст-

вующее значение определяется величиной

54 55

0,41 ,

55 45

−

==−

415

⋅

Фирма, производящая электрические лампочки, гарантиру-

ет, что среднее время безотказной работы лампочек мощностью

60 Вт равно по меньшей мере 800 часов со стандартным откло-

откуда

р = 0,84. Такой ответ удовлетворил кандидата, и он решил

провести обследование с предложенным ему объемом выборки.

1.8.9. ЗАДАЧА О ЛА

Проверка гипотезы

МПОЧКАХ

о среднем

при известном стандартном отклонении

нением 120 часов. Из некоторой па шестидесятиваттных

лампочек производится случайная борка 25 лампочек, для

которых выборочное среднее времени работы лампочек оказа-

лось равным 750 часов. Можно ли на основании этого сказать,

партии лам-

поч

тика критерия (тестовая статистика)

ртии

вы

что и следуемая выборка лампочек не удовлетворяет гарантии?

Решение. Пусть µ — среднее время работы для

ек.

Этап 1. Нулевая гипотеза Н

: µ = 800.

Альтернативная гипотеза

: µ < 800 (односторонняя про-

верка; нас интересует, будет ли среднее меньше гарантирован-

ного минимума).

Этап 2. Уровень значимости α = 0,05.

Этап 3. Объем выборки п = 25.

Этап 4. Статис

−

800

;

−

есть стандартная случайная нормальная

т. е.

120

приближенно) величина при усл

(возможно овии, что верна

Этап 5. Критическая область и область гипотезы.

При 5%-ном уровне значимости для односторонней провер-

ки наименьшее значение, при котором

еще не отвергается

(кри

тап 6. Правило проверки гипотезы.

а) Партия лампочек не удовлетворяет гарантии, если значе-

рантии

принятия

тическая точка), — это квантиль стандартного нормального

распределения порядка 0,05. Найдем в таблице нормального

распределения

0,05

= −z

0,95

= −1,65. Таким образом, критическая

область — это интервал (−∝; −1,65), а область принятия гипоте-

зы — [−1,65; +∝).

ние статистики критерия

Z, вычисленное по выборке z , меньше

чем −1,65.

б) В других случаях считаем, что партия удовлетворяет га-

Этап 7. Выполнение проверки.

По выборочным данным находим, что

750 800

2,83

120

−

==−

Вывод. Исследуемая партия мпочек должна быть забра-

кована, поскольку −2,83 < −1,65. Время безотказной работы лам-

почек в партии значительно расходится с гарантированным вре-

менем работы 800 часов и более. Это решение будет неверным

менее чем для 5% всех случаев.

ла

Про

о среднем на основе построения довери-

бильного двигателя расход

топл те ме-

нения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива

уменьшится. Для проверки проводятся испытания 25 случайно

реднее рас бега по ре-

зуль

1.8.10.З АДАЧА О РАСХОДЕ ТОПЛИВА

верка гипотезы о среднем при известном стандартном отклонении.

Вычисление ошибок первого и второго рода. Определение объема вы-

борки. Проверка гипотезы

тельного интервала

По паспортным данным автомо

ива на 100 км пробега составляет 10 л. В результа из

отобранных автомобилей с модернизированным двигателем.

Выборочное с ходов топлива на 100 км про

татам испытаний составило

= 9,3 л. Предположим, что

выб

ипотеза Н

: µ < 10 (односторонняя провер-

ка; од у модернизирован-

ного

Объем выборки п = 25.

орка расходов топлива получена из нормально распределен-

ной генеральной совокупности со средним µ и стандартным от-

клонением σ

2 л. Используя критерий значимости, нужно про-

верить гипотезу, утверждающую, что изменение конструкции

двигателя не повлияло на расход топлива.

Этап 1. Нулевая гипотеза Н

: µ = 10.

Альтернативная г

нас интересует, будет ли средний расх

двигателя меньше).

Этап 2. Уровень значимости α = 0,05.

Этап 3.

Этап 4. Статистика критерия (тестовая статистика)

10XX−−10

Z ==

есть стандартная случайная нормальная (возможно приближен-

но) величина

(

)

~0,1ZN

при условии, что верна Н

Этап 5. Критическая область и область принятия гипотезы.

При 5%-ном уровне значимости для односторонней провер-

ки наименьшее значение, при котором Н

еще не отвергается

(критическая точка) — это квантиль стандартного нормального

распределения порядка 0,05. Найдем в таблице нормального

распределения z

0,05

= −z

0,95

= −1,645. Таким образом, критическая

область — это интервал (−∝; −1,645), а область принятия гипо-

тезы — [−1,645; +∝).

Этап 6. Правило проверки гипотезы.

а) Модернизация двигателя привела к уменьшению расхода

топлива, если значение Z, вычисленное по выборке z

, меньше

чем −1,645.

б) В других случаях считаем, что средний расход топлива не

изменился.

Этап 7. Выполнение проверки.

По выборочным данным находим, что

9,3 10

1, 75.

−

==−

Вывод. Выборочное значение статистики критерия принад-

лежит критической области, т. к. −1,75<−1,645. Гипотеза Н

от-

клоняется, следует считать, что модернизация двигателя приве-

ла к уменьшению расхода топлива.

Граница

кр

критической области для исходной статистики

критерия

может быть получена из соотношения

кр

1,645,

x −

=−

откуда получаем

кр

= 9,342, т. е. критическая область для ста-

тист

__ __

определяется неравенством ики

<9,342.

Это решение может быть ошибочным менее чем в 5% всех

случ

а можно вычис-

лить

статистики критерия возьмем выборочное среднее. Предполо-

жим

аев. Это вероятность ошибки первого рода.

Ошибка второго рода происходит в том случае, если

принимается, но в действительности верна альтернативная

гипотеза Н

. Вероятность ошибки второго род

при простой альтернативной гипотезе Н

Предположим, что наряду

с нулевой гипотезой Н

: µ = 10 л

рассматривается альтернативная гипотеза Н

: µ = 9 л. В качестве

, что критическая область задана неравенством

< 9,44 л.

Найти вероятности ошибок первого и второго рода для кри-

терия с такой критической областью.

Найдем вероятность ошибки первого рода. Статистика кри-

терия

при условии, что верна нулевая гипотеза Н

: µ = 10 л,

имеет нормальное распределение

() ()

1,4 1 1,4 1 0,9192 0,08.

=Φ − = −Φ = − ≈

Это означает, что принятый критерий классифицирует ≈8%

автомобилей, имеющих расход 10 л на 100 км

9,44 10

α (9,44|:µ10)

PX H

⎛⎞

⎜⎟

−

⎜⎟

=< ==Φ =

⎜⎟

⎝⎠

пробега, как ав-

томобили, имеющие меньший расход топлива.

При условии, что верна альтернативная гипотеза Н

: µ = 9 л,

статистика

имеет нормальное распределение. Вероятность

ошибки второго рода равна

()

9,44 9

β (9,44|:µ9)1

1 1,1 1 0,8643 0,136.

PX H

⎛⎞

⎜⎟

−

⎜⎟

=≥ ==−Φ

⎜⎟

⎝⎠

=−Φ =− ≈

Следовательно, в соответствии с принятым критерием ≈13,6%

автомобилей, имеющих расход топлива 9 л на 100 км пробега,

клас цсифи ируются как автомобили, имеющие расход 10 л.

При заданной вероятности ошибки первого рода вероят-

ность ошибки второго рода может быть уменьшена путем уве-

личения объема выборки. Если при

этом вероятность ошибки

второго рода не должна превышать заданного значения β, то

минимальный объем выборки можно найти из решения системы

(

)

()

кр 0

кр 1

\| β.PU V V H

⎪

⎨

| αPU V

⎧

∈=

∈

≤

⎪

⎩

Найдем минимальный объем выборки п, чтобы при проверке

тезы Н

: µ = 10 л против альтернативной гипотезы Н : µ = 9

гипо

0 1

ошибка первого рода была равна α = 0,01, а ошибка второго рода

не превышала 0,1. Какова в этом случае критическая область?

()

кр

|:µ101 0,01

| :µ 9 1 0,10.

PX x H

⎧

⎛⎞

−

<==−Φ=

⎪

⎜⎟

⎪

⎝⎠

⎨

⎛⎞

−

⎪

≥==−Φ≤

⎜⎟

⎪

⎝⎠

⎩

;

Эту систему можно записать так:

кр

0,01

кр

0,9

2,326;

1,282;

⎧

−

==−

⎪

⎨

−

⎪

≥=

⎪

⎩

или

кр

(10) 22,326;

( 9)

⎧

−=−⋅

⎪

⎨

−

⎪

⎩

2 1,282.

≥⋅

Исключая

кр

, получаем, что

7,216n ≥

, т. е . Под-

ставляя наименьшее значение п в первое уравнение системы,

най

. 53n ≥

дем границу критической области

кр

10 9,361.

=− =

Следовательно, критическая область

определяется нера-

2 2,326⋅

венс

кр

твом

9,361X <

Проверим гипотезу Н

: µ = 10 при альтернативной гипотезе

: µ < 10 на уровне значимост

= 0,05, используя довери-

тель и

Найдем

ный нтервал для параметра µ.

границу µ

дл левостороннего интервала для пара-

метра µ:

11α

σ 2

µ 9,3 1,645 9,958.

−

=+ = + =

Так как значение µ = 10 не накрывается интервалом

(

)

;9,958−∞

, гипотезу Н

следует отклонить, что совпадает с

ранее полученным результатом.