Горский Н.М. Практикум по математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

а) отношения семей, состоящих из одного человека, б) отноше-

ния семей, состоящих из 6 и более человек.

Число членов семьи

Число семей

в 1966 г., %

Число семей

в 1968 г., %

1 14,0 16,2

2 30,8 30,2

3 21,1 20,6

4 18,7 18,3

5 8,7 8,8

6 и более 6,7 5,9

Всего: 100 100

Общее число опрошенных семей 3274 7184

Задача 63.

На каждом из двух имеющихся на заводе станков произво-

дят новые изделия одного типа. При пробном пуске из 350 изде-

лий, изготовленных на станке А, при проверке по принципу го-

ден — не годен 15 оказались дефектными. Среди 320 изделий,

изготовленных на станке В, оказалось всего 8 дефектных. Мож-

но ли, приняв уровень значимости равным

= 0,05, ожидать,

что в продукции, производимой на сравниваемых станках, ока-

жется одинаковая доля дефектных изделий?

Список рекомендуемой литературы

1. Калинина В. Н., Панкин В. Ф. Математическая статистика.— М.:

Высшая школа, 1998.— 336 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник/ Под

ред. В. И. Ермакова.— М.: ИНФРА-М, 2003.— 656 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное

пособие / Под ред. В. И. Ермакова.— М.: ИНФРА-М, 2003.—

575 с.

Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и моде-

ли в управлении.— М.: Дело, 2000.— 440 с.— (Серия «Наука

управления»).

Список использованной литературы

1. Вайнберг Дж., Шумекер Дж. Статистика.— М.: Статистика,

1979.— 389 с.

2. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента

в технике и науке. Методы обработки данных.— М.: Мир, 1980.—

510 с.

3. Колкот Э. Проверка значимости.— М., Статистика, 1978.— 128 с.

4. Мелник М. Основы прикладной статистики.— М.: Энергоатомиз-

дат, 1983.— 416 с.

5. Теннант-

Смит Дж. Бейсик для статистиков.— М.: Мир, 1988.—

208 с.

6. Тернер Д. Вероятность, статистика и исследование операций.—

М.: Статистика, 1976.— 431 с.

7. Тутубалин В. Н. Теория вероятностей и случайных процессов.—

М.: Изд-во МГУ, 1992.— 400 с.

Раздел II

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

2.1. Образец задания по математической статистике

Вариант № 777

Выборка 1

1 1 2 4 3 1 6 1 2 2

2 0 0 3 0 2 4 1 2 1

1 1 2 1 2 0 3 2 1 0

1 2 1 1 4 2 1 3 1 1

3 1 4 0 3 1 3 6 8 5

Выборка 2

1,92 3,83 3,27 4,59 4,00 1,32 3,79 2,54 3,24 3,51

3,67 2,15 3,76 2,96 3,67 2,21 3,98 1,11 3,99 2,17

4,98 3,36 2,74 4,29 3,03 4,36 3,31 1,66 3,59 5,19

2,90 1,94 2,95 1,75 2,48 3,59 2,99 3,22 1,87 1,96

1,44 2,99 3,19 4,81 3,20 1,96 2,97 4,05 2,83 2,23

Для выполнения задания необходимо;

1. Определить тип исследуемого признака (дискретный или

непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон отно-

сительных частот для дискретного случая или гистограмму для

непрерывного случая.

3. Построить эмпирическую функцию распределения (функ-

цию накопленных относительных частот).

4. Для выборки вычислить:

а) выборочное среднее,

б) исправленную выборочную дисперсию,

в) среднеквадратическое (стандартное) отклонение.

5. Для дискретного признака проверить гипотезу о соответ-

ствии выборочных данных распределению Пуассона с парамет-

ром λ = 2 с помощью критерия

(хи-квадрат) на уровне зна-

чимости α = 0,05.

6. На основе анализа гистограммы и эмпирической функции

распределения непрерывного признака выбрать гипотезу о зако-

не распределения: нормальный или равномерный.

7. Для генеральной средней (математического ожидания)

и дисперсии непрерывно распределенного признака построить

двусторонние доверительные интервалы, соответствующие на-

дежности (доверительной вероятности) γ = 0,95.

8. Предположив,

что исследуемый непрерывно распределен-

ный признак имеет нормальное распределение, проверить гипоте-

зу о равенстве генеральной средней (математического ожидания)

значению µ = 3,00 на уровне значимости α = 0,01 при альтерна-

тивной гипотезе о том, что генеральная средняя µ > 3,00.

9. Предположив, что исследуемый непрерывно распреде-

ленный признак имеет нормальное распределение, проверить

гипотезу о равенстве

генеральной дисперсии значению σ

= 1,00

на уровне значимости α = 0,05 при альтернативной гипотезе о

том, что генеральная дисперсия σ

<1,00.

2.2. Образец выполнения задания

по математической статистике

Выполнение задания следует начинать с обработки дис-

кретного признака.

1. Определить тип исследуемого признака.

Значения, наблюдаемые в выборке 1, являются целыми чис-

лами, причем некоторые значения повторяются по несколько раз.

Вывод: экспериментальная выборка 1 является результатом

наблюдений над дискретной случайной величиной Х. Объем

выборки п = 50.

2. Упорядочив элементы выборки 1 по величине, построим

вариационный ряд: 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1;

1; 1

признака

та встр

; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4;

5; 6; 6; 8.

Подсчитаем, сколько раз каждая из вариант встречается в

данной последовательности. Результаты подсчета запишем в

виде таблицы 1, первая строка которой содержит значения вари-

ант x

(различных значений исследуемого ), вторая —

их частоты n

(сколько раз данная вариан ечается в выбор-

ке) и третья — относительные частоты

(для их вычис-

ления каждый элемент второй строки нужно раздел ъем

выборки п, в нашем сл ае 50)

0 1 2 3 4 5 6 8

ить на об

уч на .

Таблица

6 18 11 7 4 1 2 1

0,12 0,36 0,22 0,14 0,08 0,02 0,04 0,02

Для контроля правильности записи находим сумму частот

— сумму элементов второй строки. Эта сумма должна быть

равна объему выборки n = 50:

(0; 0,12),

618117412150.

==+++++++=

∑

При вычислении относительных частот округление резуль-

татов должно быть проведено так, чтобы их сумма была равна 1.

Полученную табл. 1 иногда называют статистическим ря-

дом.

На основании данных таблицы 1 строим полигон относи-

тельных частот. Для его построения на оси абсцисс находим

точки, соответствующие различным значениям вариант. В каж-

дой из этих точек

по оси ординат отложим соответствующие

значения относительных частот. Отмеченные точки соединим

отрезками прямой линии. Или, другими словами, в прямоуголь-

ной системе координат находим точки с координатами

(1; 0,36), (2; 0,22), (3; 0,14), (4; 0,08), (5; 0,02), (6; 0,04),

(8; 0,02) и соединяем их отрезками прямой (рис. 1).

Рис. 1

0,4

0,3

0,2

0,1

p =

1 3

3. Построим эмпирическую функцию распределения для

дискретной случайной величины.

Наименьшее значение варианты равно 0, поэтому при х ≤ 0

случайная величина Х не может принять значение, меньшее х.

Следовательно, значения эмпирической функции распределения

(x) равны 0 при всех х ≤ 0. Если 0 < х ≤1, то неравенство Х < x

выполняется только для варианты х

= 0, которая встречается в

выборке с относительной частотой p

= 0,12, т. е. F

(x) = 0,12 при

0 < х ≤1. Если 1 < х ≤ 2, то неравенство Х < x выполняется уже для

двух вариант х

= 0 и х

= 1, которые встречаются в выборке с от-

носительными частотами p

= 0,12 и p

= 0,36. Для получения

значения эмпирической функции распределения F

(x) эти относи-

тельные частоты нужно сложить, т. е. F

(x) = 0,12 + 0,36 = 0,48

при 1 < х ≤2. Если 2 < х ≤3, то неравенство Х <x выполняется для

трех вариант х

= 0, х

= 1 и х

= 2, которые встречаются в выборке

с относительными частотами p

= 0,12, p

= 0,36 и p

= 0,22. Для

получения значения эмпирической функции распределения F

(x)

эти относительные частоты нужно сложить, т. е. F

(x) = 0,12 +

+ 0,36 + 0,22 = 0,70 при 2 < х ≤3 и т. д. В результате получаем, что

эмпирическая функция распределения (функция накопленных

относительных частот) для дискретной случайной величины име-

ет вид

()

0; 0;

0,12; 0 1;

0,48; 1 2;

0,70; 2 3;

0,84; 3 4;

0,92; 4 5;

0,94; 5 6;

0,98; 6 8;

1; 8 .

Fx x

≤

⎧

⎪

<≤

⎪

<≤

⎪

<≤

⎪

<≤

⎨

⎪

<≤

⎪

<≤

⎪

<≤

⎪

⎩

Построим график эмпирической функции распределения.

Для его построения на оси абсцисс находим точки, соответст-

вующие вариантам. В каждой из этих точек по оси ординат от-

кладываем соответствующие значения эмпирической функции

распределения. Левее точки х = 0 функция F

(x) принимает

только нулевые значения. Между точками х = 0 и х = 1 на высо-

те 0,12 проводим стрелку, направленную от 1 к 0. Конец стрелки

означает, что F

(0) = 0, а начало, что F

(1) = 0,12. Между точка-

ми х = 1 и х = 2 на высоте 0,48 проводим стрелку, направленную

от 2 к 1. Конец стрелки означает, что F

(1) = 0,12, а начало, что

(2) = 0,48 и т. д. Правее точки х = 8 проводим стрелку на высо-

те, соответствующей 1. Конец стрелки означает, что F

(8) = 0,98,

а во всех точках правее ее F

(x) принимает значение, равное 1

(рис. 2).

(x)

2 3 4 5

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Рис. 2

4. Вычислим выборочные характеристики:

а) выборочная средняя

06 118 211 37 44 51 62 81

102

2,04;

⋅

+⋅ +⋅ +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

∑

б) исправленная выборочная дисперсия

iiii

==−⋅=

22 2 2 2 22 2

()

111

06118211374451628150

2,04

49 49

xxn xn

nnn

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

−

−−−

⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅+ ⋅+ ⋅ ⋅+ ⋅+

350

4,25 2,89;

−

⋅=

∑∑

в) выборочное среднеквадратичное (стандартное) отклоне-

ние равно

=− ≈

1, 70.ss==

5. Проверим гипотезу о соответствии выборочных данных

распределению Пу λ=ассона с параметром 2 с помощью крите-

рия

(хи-квадрат) на уровне значимости α = 0,05.

Распределение Пуассона в общем случае имеет вид

()

PX k

−

==⋅

По статистическим таблицам или, вычисляя по соответст-

вующим формулам, как это сдел ниже, находим теоретиче-

ские вероятности:

ано

()

() ()

()

1! 1 0! 1

320,180;

3! 3 2! 3

PX e e PX

== =⋅ = =≈

0 0,135;

2222

100,270;

PX e

PX e PX

−

−−

== = ≈

== =⋅ = ≈

22 2

210,270;

2! 2 1! 2

2222

PX e e PX

−−

== =⋅ = =≈

() ()

()

2222

4 3 0,090;

4! 4 3! 4

2222

540,036;

5! 5 4! 5

PX e e PX

−−

== =⋅ = =≈

() ()

()

2222

6 5 0,012;

6! 6 5! 6

2222

PX e e PX

PX e

−−

== =⋅ = =≈

()

≈

6 0,003;

7! 7 6! 7

222

8 7 0,001.

e PX

PX e PX

−−

=⋅ = =≈

⋅ = =

лени о

умножить на объем выборки и округлить до ближайшего цело-

го. Для исследуемой выборки найденные вероятности нужно

умножить на 50.

Использование критерия

8! 8 7 8

== =

Для нахождения ожидаемых (теоретических) частот появ

я исследуемого признака найденные вероятности нужн

(хи-квадрат) основано на том

факте

, 1, 2, , ,

, что случайная величина

имеет

распределение, близкое к стандартному нормальному распреде-

лению

(

nnp−

)

0,1N

Для обеспечения необходимой точности нужно, чтобы час-

тота каждой группы была не менее пяти, поэтому значения для

к = 4, 5, 6 и 8 нужно объединить. Результаты запишем в виде

табл е

а р

ца 2

ицы, в первой строке которой выписаны наблюдаемы зна-

чения, объединенные в группы, во второй — наблюдаемые зна-

чения (сколько раз значение наблюдаемого признака приняло

данное значение).

В третьей строке запишем соответствующие

теоретические вероятности, в четвертой — тео етические зна-

чения частот (табл. 2).

Табли

2 3

≥4

0 1

6 18 11 7 8

0,135 0,270 0,270 0,180 0,145

7 14 14 9 7

100