Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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211
Nell'onda
riPlessa
vi
sono
tre
termini,
uno
di
Prequenza
W
che
si
ha
nel
caso
lineare,
mentre
la
non
linearita
porta
per
t -
~
~
z>
0 a un
termine
costante
(rispetto
al
tempo)
di
scar-
so
interesse
pratico
e a un
termine
sinusoidale
di
Prequenza
20
,
cioe
nell'onda
riPlessa
si
ha
un'onda
di
Prequenza
dop-
pia
dell'onda
incidente.
In
altre
parole,
dalla
riPlessione
su
un
dielettrico
non
lineare
si
PUQ
avere
il
cosiddetto
Penomeno
della
duplicazione
di
Prequenza.
Per
esempio,
inviando
la
lu-
ce
emessa da un
laser,
di
lunghezza
d'onda
6940
AO
(cioe
luce
rossa),
si
PUQ
avere,
hella
luce
ri£lessa,
anche
luce
di
lun-
ghezza
d'onda
3470
AO,
cioe
luce
violetta.
7.
Passiamo
ora
allo
studio
della
propagazione
dell'onda
tra-
smessa
dal
dielettrico.
Per
la
(3.3),
poiche
G(u) e
espressa
da
(6.14),
si
ha:
(7.1)
E(t,
1)
~
ll)~A.t.o
(t
-t'LEl~,
t))~)
.{ (t--
to
(c(~/t:l)
x.)
-
- 't [ b-
~
Co,2.w
(b-
r(et!',t))!)1
{[
~
- r(
E(l!-,
~))
'l-
)
Ora,
per
(6.3),(6.11),
trascurando
sempre i
termini
in
\2
,
si
ha:
(7.2)
rlEl
l
,\;\) ,.
~
(-!.i"
"t
c(
€(tl~))
Sostituendo
(7.1)
in
(7.2)
e
trascurando
i
termini
in
'l.
te-
t '
nendo
presente
anche
(6.7'),
si
ha:
(7.3)
rCE
(~,!
J)"~
[i
..
(
'1.
0( Cl
~
IV
l~-
r(f(~,Hh)
/{
U·-r(E(J/t-lj~)J
Ora,
ponendo
in
(7.3)
(7.2)
e sempre
trascurando
i
termini
in
1-
'\
si
ha:
)
(7.4)
r(6(t,'f))"~
(i+
1d-a.-~~~t-J!j~)
-i(t--~
l);
2 12
Ora poniamo
per
brevi
ta:
(7.5)
~
..
k-~E)
50stituendo
(7.4)
e
(7.5)
in
(7.1)
si
trova,
con
Ie
semp1ifi-
cazioni
suggerite
d
q
(6.7')
(7
.6)
€(~,l-).
a.Jf-
(~_,
~
O'tC><'a.,~
&' ,(
(t-
~.))
-l
(t-
~
l)
-
-
"L
(b -
6Co,:>l~)
-{
(~-
vy..
l')
.
Ora,
con
uno
sVl1uPPo
di
Maclauri"relativo
alla
variabile
't
e
accorciato
fino
al
termine
in
t'2..,
si
ha,
per
i1
primo
termine
a
secondo
membro
di
(7.6)
(a
meno
s'intende
del
termine
int'L):
Q.~(+-"t'J~U>'E-~a.HM"8'-{(I--~1))
i
(~-~
'I)
~
""
(a.
r \9"_ a.
~
Q-
~
~
W
""
ol a
~
e-
) -l
(~-
rY"
l)
•
e,
(ar
e-
-
to(
a
~~
t.O"t-
MNt. 'l
ty)
-{
(l--
~
,.)
In
conclusione
si
ha:
Quindi
in
un
punto
zein
tutti
gli
istanti
t >
J5-..
~
si
ha
che
il
campo
dell'onda
trasmessa
e
la
somma
di
tre
campi,
uno
di
frequenza
eo
,
cioe
il
campo
qualora
si
trascura
la
non
li-
nearit3.,
uno
costante
e
infine
uno
di
frequenza
2 w
,cioe,
co-
me
nell'onda
rifles
sa,
si
ha
una
duplicazione
di
frequenza.
5i
noti
che
per
z
_00,
i1
campo
di
frequenza
doppia
tendereb-
be
all'infinito,
pero
per
z
grande
non
valgono
Ie
precedenti
approssimazioni,
anzi
non
sarebbe
neppure
valida
'la
(3.5)
e
quindi
la
soluzione
(3.3)
e
(3.10)
delle
equazioni
di
Maxwell.
S'
bene
anzi
not
are
~he
nelle
ricercpe
sperimentali
dell'otti-
ca
non
lineare
si
considerano
ovviamente
lamine
di
spessore
fi-
nito
s.
5e s e
inferiore
al
valore
di
h
calcolato
al
n.5,
i1
213
che
avviene
in
pratica,
Ie
(7.3)
e
(3.10)
sana
soluzioni
(sen-
za
catastroEi)
delle
equazioni
di
Maxwell.
Esse
pero
rappresen-
tano
l'
onda
entro
la
lamina
e
quella
che
ne
esce
do~averla
>r.\
•
~!e....
attraversata
solo
se
si
trascura
:l'inEluenza
dell~facce
in-
terne
della
lamina
stessa.
Comunque non mi sembra
inutile
la
seguente
osservazione.
Eseguiamo
il
rapporto
r Pr-a i due
termini
di
Erequenza
2""
,
dhe
compaiono
in
(7.7).
Ricordando
il
valore
(6.12')
di
b e
che
w~.
lUJh,.~
•
J,lrhV
/
~
dove').
e
la
lunghezza
d'onda,
nel
vuoto,
corrispondente
alla
Erequenza
~
,
si
ha:
Ora
s
vale
10·1
mm
. ,
poiche
n+l/2
e
dell'ordine
di
unitA,
r
al-
l'uscita
dalla
lamina
(cioe
per
z=s)
e
dell'ordine
del
miglia
-
io.
Pereio
nella
(7.7),
nei
termini
in
2~
,
prevale
il
primo,
almeno
all'uscita
dalla
lamina.
Poiche
b e
l'ampiezza
dell'on-
da
riElessa,
si
puo aEEermare
che
e
molta
piu
facile
osserva-
re
la
duplicazione
di
Erequenza
nell'onda
trasmessa
che
nella
riElessa.
Notiamo
che
la
velocita
di
propagazione
delle
onde
che
compa-
iono
in
(7.7)
vale
l/{fj-
,
cioe
tale
velocitA
non e
altera-
ta
dalla
non
linearitA.
II
risultato
non e
pero
generale,
ad
esempio
se
F(E) e
proporziona
le
al
cubo
di
E
si
ha
alterazio-
ne
di
velocitA,
ma
su
cio
non
insisto.
214
Bibliogra£ia
1
L.Cesari-Rend.Sem.Mat.Fis.Univ.Milano
45,
139 (1974) •
2
L.Cesari-Ann.Scuola
Normale
Sup.Pisa
4,
(311)
(1974).
3
L.Cesari-Riv.Mat.Univ.Parma
13,
107
(1974).
4
L.Cesari-Rend.Accad.Naz.Lincei
56-1
(1974);
57,303
(1974).
5 P.Bassanini-ZAMP 27, 409
(1976).
6
D.Graffi-nNon
linear
partial
differential
equations
in
physical
prob1ems
M
Pitman
London
(1980).
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO
ESTlVO
(C.I.M.E.)
SULLA PROPAGAZIONE DEL CALORE
NEI
MEZZI CONTINUI
GIUSEPPE
GRIOLI
SULLA PROPAGAZIONE DEL CALORE
NEI
l-1EZZI CONTINUI
Giuseppe
Griol1
Universi~a
d!
Padova
Introduz
i one
II
problema
della
propagazione
del
calore
nei
mezz!
con~1nui
ha
richiamato
in
questi
ultimi
tempi
l'attenzione
di
molti
stu-
diosi
i
quali
hanno
prospettato
teorie
di
vario
tipo
con
10
sco-
po
di
arrece~e
un
contributo
alIa
formulazione
delle
equazioni
costitu~ive
dei
continui
e
nel
contempo
superare
il
cosidetto
paradosso
della
propagazione
del
calore
con
velocita
infini-
ta
di
cui
e
affetta
la
teoria
classica.
Le
varie
teorie
proposte
poggiano
0
su
generalizzazioni
di
talune
funzioni
termodinamiche
di
stato
(a
parer
mio,
discu-
tibili
dal
punta
di
vista
!isico
matematico)
0 au
una
qualche
modifiea
de
lla
classica
leg
ge
di
Fourier
che
lega
il
vetto-
re
flus
so
termico
al
gradiente
della
temperatura
0
su
ambedue
Ie
cose.
Ben
nota
e
vastissima
e
la
tett~ratura
relativa
alla
termo-
dinamica
dei
continui
e
alle
equazioni
costitutive.Mi
limitero
a
citare
taluni
lavori
attinenti
aIle
questioni
considerate.
Una
soddisfacente
formulazione
della
teoria
della
propagazio-
ne
del
calore
per
conduzione
non puc
prescindere
dall'influenza
dei
fenomeni
meccanici
concomitanti
ad
eccezione,se
mai,
dei
ca-
si
ideali
di
continui
a
temeratura
ignorabile
e
de!
corpi
rigi-
die
Gie
il
tener
conto
della
completa
interazione
tra
fenomen!
termici
e
fenomeni
ceccanici
da
luogo
a
equazioni
non
pin
affet-
te
dall'accennato
paradosso
ma
rende
la
velocita
di
propagazio-
ne
del
cal
ore
uguale
a
quella
del
suono.
Tale
risultato
puc
es-
sere
accettabile
ma
non e
certo
un
privilegio
della
teoria
clas-
sica
il
fatto
ehe
la
velocita
di
propagazione
delle
onde meeca-
niche
non
sia
sostanzialmente
in!luenzata
dalla
propagazione
218
termica
anche
in
casi
non
isotermi
ne
adiabatici.
Oio e dovum
al
iatto
che
nella
trattazione
abituale
le
derivate
prime
della
tem-
peratura
sono
ritenute
continue
anche
attraverso
il
ironte
d'on-
da.
Recentemente
e
stata
proposta
una
teoria
in
cui
s1
continua
ad
ammettere
la
validita
della
le
gge
di
Fourier
ma
si
abbandona
l'i-
.
potesi
di
der~ate
prime
della
temperatura
continue
attraverso
il
ironte
d'onda.Ne
nasce
un
problema
analitico
del
tutto
nuovo
il
cui
studio
righiede
l'uso
delle
discontinuita
iterate
secon-
do
Thomas[12l.
Un'ipotesi
costitutiva
ben
diversa
dalla
legge
di
Fourier
e
stata
gia.
considerata
da
Haxwell(l].
In
essa
si
ammette un
le-
game
lineare
tra
vettore
ilusso
di
calore,
la
sua
derivata
tem-
porale
e
il
gradiente
della
temperatura.L'ipotesi,abbandonata
dallo
stes
s o riaX\·rell che ha
ritenuto
di
dovere
sopprimere
il
ter-
mine
con
la
derivata
prima
temporale
ricadendo
nella
legge
di
Fo
ur
i er , e s
tata
ripresa
da
vari
Autori
«(2],
•••
,e
6 J ) e anche
generalizzata(lO].
La
relazione,associata
alIa
nota
uguaglianza
dell'entropia
(che
in
generale
e
in
realta
una
disuguaglianza)
ds.
luogo
a un
problema
non
pin
parabolico
e
implica
velocita
di
propa
gazione
finita.
Trr~tavia,
il
necessario
procedimento
di
e-
li
mina
z~pne,
ove
si
tenga
conto,
com'e
desiderab
ile~dell'inte
r
azione
Qeccani c a ,
porta
la
presenza
di
derivate
terze
delle
com-
ponenti
di
s
rostamento
che
insieme
alle
seconde
sono
discontinue
attraverso
il
ironte
d'otda,
modificando
totalmente
il
classico
problema
delle
onde
di
discontinuita.L'inconveniente
non
si
pre-
senta
sol
tanto
nel
caso
dei
cor
pi
rigidi.
Una
teoria
della
propa
gazione
termica
fondata
su
un'ipotesi
co-
stitutiva
ana
Loga a que.l.la pr-opos t a
da
;'
:axwell
che
sembra
molto
interessante
rna
che
tenga
conto
in
modo
completo
dell'interazio-
zi one
tra
renomeni
termici
e
renomeni
meccanici
si
ottiene
dando
alla
relazione
di
l·
jaxwell
un
si
gnificato
un po
pin
generale,
a-
datta
aIle
esigenze
della
meccanica
dei
continui,
come mi
prop
on-
go
di
mostrare.
Le
ipotesi
amce
ase
aono
le
seguenti:
continuita
attraverso
il
rronte
d'onda
della
temperatura,
del
vettore
flus-
so
di
calore,
dello
s
posta
~ento
e
delle
sue
derivate
prime;
pos-
sibilita
di
discon
tinuit
a
di
p
rim
a
specie
per
le
derivate
prime
della
temperatura,d
el
vet
tore
flus
so
di
calore
e
delle
derivate
219
seconde
delle
spostamento.A
titolo
applicativo
e
di
indagine
ho
considerato
il
caso
dei
tluidi
non
viscosi
comprimibili
e
inc
om-
primibili
e
quello
dei
corpi
elastici
isotropi
poco
deformabili.
In
ognuno
dei
casi
considerati,
si
giunge,
per
la
determinazione
delle
possibili
velocita
di
propagazione,
a
un'equazione
risolven-
te
di
quarto
grado.
In
as
senza
di
vincoli
interni,
tale
equazio-
ne ammette
in
generale
due
radici
reali
positive,
una
ma
G
Giore
e
una
minore
di
quella
ben
nota
che
de
la
velocita
di
propagazio-
ne
delle
onde
acustiche
longitudinali.
Mentre
nel
caso
elastico
Ie
onde
possibili
sono
ne
trasversali
ne
longitudinali,
nel
ca-
so
di
un
fluido
non
viscoso
comprimibile
esse
sono,invece,
solo
longitudinali
ma, come
nel
caso
elastico,
sono
possibili
due
di-
stinte
velocita
di
propagazione,
una
maggiore
e una
minore
di
quella
solitamente
ammessa
alla
quale
esse
si
riducono
se
si
fa
tendere
a
zero
il
eoefficiente
di
rilassamento.
Si
presenta,cioe,
un
secondo
suono
la
cmi
possibilita
e
gia
stata
segnalata
(vedi,
ad
es.,[n1).
Differentemente
vanno
Ie
cose
nel
caso
dei
fluidi
non
viscosi
incomprimibili
in
quanto,
pur
dipendendo
ancora
il
problema
da
un'equazione
di
quarto
grado"
puo
accadere
che
sia
possibile
una
sola
velocita
di
propagazione,
come
capita
certamente
nel
caso
che
la
perturbazione
si
propaghi
in
un mezzo
in
quiete
a
tem~eratura
uniforme.
E'
interessante
notare
che
ove
l'incom-
primibilita
sia
totale
(ci06,
la
densita
non
4ipende
neppure
dal-
la
temperatura)
il
comportamento
del
fluido
per
quanto
concerne
la
propa
gazione
di
onde
termomeccaniche
e
analogo
a
quello
dei
corpi
rigidi.
Nel
seguito
riteriro
in
modo
esplicito
solo
suI
caso
dei
flui-
di
non
viscosi
incomprimibili,
rinviando
per
altri
casi
a
una
no-
ta
lincea
in
corso
di
stampa[141.
1.-
Quel che
osservazione
sull'eguazione
di
Fourier
.
Siano
CeO'
due
configurazioni
del
continuo
in
evoluzione
ter-
oomeccanica,
del
le
quali
la
prima,fissa,
e
la
configurazione
di
riferimento,
l'altra
quella
attuale
(all'istante
t).
Denotero
con
x
r'
Y
r
Ie
coordinate
ris
petto
a
una
medesi
ma
tema
di
rife-
rimento
trirettangola
levogira
di
punti
corrispondenti
P,
P'
di
220
o e
OI.La
corrispondenza
tra
C e CI e
caratteriz
zata
dalle
ugua-
g1ianze
continue,invertibili
e a
jacobiano,D,
positivo.
Denotero,inoltre,
con
T e S
la
temperatura
assoluta
e
il
vettore
che
caratterizza
i1
flusso
di
cal
ore
in
pt.
Denotando
con
E
llentropia
per
unita
di
massa,
dalla
disugua-
glianza
di
C1ausius-Duhem,in
assenza
di
un'eventuale
sorgente
di
calore,inesr,enziale
per
quanto
seguira,
segue
(1.
2)
• 1
E + T
divplS
~
0,
ove
i1
punt o
denota
derivazione
materiale
rispetto
al
tempo.
Tradizionalmente,
alIa
(1.2)
si
associa
la
re1azione
cosituti-
va
ove L
rappresenta
un
operatore
~atriciale
soddisfacente
alIa
re-
lazione
(1.4)
Suppor r o
che
llentropia,
~
liener
cia
interna,
il
cui
val
ore
per
unita
di
massa
indichero
con
J,
dipendano
dalla
te~peratura
e
dal
complesso
di
altre
variab
ili
al,a~,
•••
,a
caratterizzanti
c: n
la
defor~azione
e
il
~oto
del
continuo,
mentre
eventuali
vinco-
Ii
interni
siano
esprimibi1i
nella
forma
(1.5)
r z
1,2,
•••
Sussiste
di
conse3uenza
la
nota
relazione
dell
ientropia
221
(1.6)
ove i
coefficienti
Pi
rappresentano
delle
incognite
reazioni
vin-
colari
da
considerare
tutti
nulli
in
assenza
di
vincoli
interni.
Da
(1.2),(1.6)
segue
•
)2
J
B:s-
~
(P1
ti+
Piti)
(1.7)
cT
-
T
7.J:?a
s
+
divpdl
~
0,
..
ove
(1.8)
e
-T
)2
J
rw-
denota
11
calore
specifico
sotto
configurazione
costante.
E'
ben
noto
che
nel
caso
di
sistemi
a
trasformazioni
reversibi-
11,
come
accade,ad
es.,
nel
caso
di
corpi
iperelastici
e
di
flui-
di
non
viscosi,
nella
(1.7J
vale
il
segno
di
uguaglianza,
rna
anche
in
caso
di
irreversibilita
si
suole
ritenere
che
la
(1.7~
considerata
come
uguaglianza
e
associata
alIa
(1.3),rappresenti
l'equazione
che
regola
la
pr opagazi one
del
calore.
Spesso
si
ri-
tiene
trascurabile
1'interazione
tra
fenomeno
termico
e fenome-
no
meccanicG,sopprimendo
nella
(1.7)
il
secondo
ter
mine e
pro-
vocando
cosi
1'insorgere
del
paradosso
della
velocita
infihita
di
propagazione
del
calore.
Si
supponga,
per
semplicita,
che non
vi
siano
vincoli
interni
e
si
interpreti
l'uguag1ianza
associata
al
Ia
(1.7),
associata
alla
(1.3),
come
equazione
del
calore.
Si
denoti
con
la
sbarret-
ta
la
derivazione
rispetto
a.lLe x
r
e
con
Cw]
la
discontinuit
a
(di
prima
specie)
attraverso
il
fronte
d'onda
di
una
qualunque
funzione
w. Supponendo
che
L co
me
J
possa
dipendere
dalle
as
e
da
T
e,
c.om'e
abitua1e,continua
la
te
l1lperatura
attraverso
11
fronte
d'onda,
da
(1.3),(1.7)
segue
=
o.