Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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188
e dunque
anche
l'urto
non e
limitato
app
ena
si
sposta
la
superficie
d'urto
rappresentata
ad esempio da
un'equa
zione
del
tipo
(1)
-If
i
e e = x n
1
- -
~
t
-0
'f~o.
Questo
e
il
caso
dell'urto
di
contatto
gia
citato.
In
un
urto
stabile
la
quan-
tita
(8.06)
cambia
di
segno
[16]
• Vedremo come
si
traduce
questa
condiz
ione
per
Ie
equazioni
di
Eulero.
10.
Evoluzione
del1'urto
caratteristico
di
Eulero
DaIle
equazioni
di
Eulero
scritte
nella
forma
u
t
(10.1)
(vedi
§3)
derivano
Ie
condizioni
di
Rankine-Hugoniot
A'h'
-~h
= O.
n
Da
cui
segue,
tenendo
conto
del
1egame (§
2)
e
di
(8.04),
h =
H'h'
-
wV')./).t
000
Definiamo
gli
autovettori
(10.2)
(10.3)
1'(A'
-~H')=
0,
I n
(A'
-c\H')d'
n I
0,
(:L0.4)
tale
che,
l'
= I
I I
~
d'
I
H'd'
I
~II'
•
(10.5)
Allora
da
(3)
viene
semplicemente,
I'
1
.h
= S u = u
I
10 _
II'
mentre
g
.h
=0( w ,
o 0
dove c( =0( u , 1) e una
fu
nz
ione
conosciuta
del
campo
prima
dell'
urto
o 0
189
(10 . 6 )
La
(8.05)
diventa
che
si
integra
subito
J 2 2
(1
-~
w) = -
~
lui
o 0
+a(u,1:),lul
o
(10.7)
-'S
II'
="
(
!I'u
u
i.
La
costante
di
integrazione
si
determina
sapendo
che
l'urto
e
nullo
(e
dun-
que
anche
gli
u
I,
vedi
8.04)
quando w e
nullo
(5.05)
e
r17j
J 2 2
(1 - .... w) = 1 - e( lui .
o 0
Vediamo da
(5)
che
l-gh=l-o(W
o 0
(10.8)
L'
instabili
ta
corrisponde
a a( " O.
Invece
se
0( '>
0,
Iu I , w e
di
conse-
o 0
guenza
l'urto
e
limitato;
la
quantita
1 - goh
cambia
allora
di
segno
•
Non
e
difficile
di
vedere
che
la
velocita
radiale
e
continua.
Derivando
(4)
(A' - H'
)V'd
I'
-
H'd'
V').
-~V'H'd'
= o.
n I I
Moltiplichiamo
a
sinistra
per
l'
e a
destra
per
~id'
che
rappresenta
la
deri-
I I
vata
del
autovettore
rispetto
a
~1
'V.~
~id'
=
-~l'V'H'd·)id'
(10.9)
I I I I
Se
adesso
s1
moltip11ca
a
destra
per
di
&ottiene
Der1vando
rispetto
a
~
e
ricordando
che H'
=V'V'h'
s1
trova
che
la
quantita
al
secondo
membra d1
(9)
e
nulla.
A
causa
della
condizione
di
ecceziona11ta
(7.11)
r1sulta
che
che
equivale
ancora
a f}
~ilj,
["iu.-J
I
~
= 0 e
pertanto
U T . = O.
190
Una
conseguenza
immediata
e
che,
per
quan
to
abbiamo
detto
alIa
fine
del
§7,
non
esiste
per
il
fluido
un
principio
variaz
ionale
con
una
densita
h
(3.06)
convessa
.
Dopo
pass~gi
lunghi
assai
[17)
la
legge
di
evoluzione
(7.17)
dell'urto
si
" d
It
I ' i
d'
(1)
' 0 d i
f'f
0
I'
esprlme
ln
un
mo
0
mo
0 semp l ce ; un s sterna 1 m
equazlonl
1
erenzla
1
per
quantita
VI
legate
in
modo non
lineare
agli
u • Quando
~
e
negativo
I 0
l'urto
puo
effettivamente
tendere
all'infinito
dovuto
in
particolare
alIa
for-
mazione
della
caustica.
11.
Limitatezza
della
velocita
dell'urto
P
er
un
urto
normale,
cioe
non
caratteristico,
l'evoluzione
non
si
fa
lunge
Ie
cara
ttertstiche.
Da
ciascun
lato
della
superficie
i campi u e u
soddis-
o
fan
e i1
sls
tema a
derivate
parziale.
Le due
soluzioni
si
devono
poi
raccorda-
re
sulla
superficie
tramite
Ie
equazione
di
Rankine-Hugoniot.
II
saIto
del
campo
dipende
come abbiamo
visto
della
velocita
dell'urto
che,
a
priori,
se
non
si
assumono
Ie
condizioni
di
Lax, puo
anche
andare
all'infinito
.Invece
con una
densita
di
energia
convessa
la
velocita
e
limitata
(18j
Abbiamo
il
seguente
teorema
(19:l
(dove
fu
pubblicato
per
la
prima
volta
?).
Sia
f
una
applicazione
continuamente
differenziabile
di
un
aperto
convesso
di
R
N
in
R
N
,
Se
la
parte
simmetrica
della
matrice
jacobiana
e
definita,
l'appli-
cazione
e
globalmente
invertibile.
La
matrice
jacobiana
di
(4.02)
rispetto
aIle
variabili
u'
e
simmetrica
A' - s H' •
n
Basta
allora
che
s
')
sup
u'6D'
oppure
max
i
~(i)
s
<.
inf
min
~(i)
u'fiD'
i
(0'
aperto
conves s o)
purche
esiste
una
soluzion
e
unica
che
ovviamente
e
191
u' = u·
o
i.
e.
assenza
d'urto.
Di
con~nza
i
valori
estremi
delle
ve
lo
cita
caratte-
ristiche
costituiscono
limiti
per
la
velocita
dell'urto
in
accordo
con
le
condizioni
di
Lax.
In
particolare
in
una
teoria
relativistica
tutte
le
vel oc i -
ta
caratteristiche
sono
minori,in
val
ore
assolutto,della
velocita
della
luce.
Ne
segue,
a
causa
de
lla
convessita,
anche
la
limitatezza
della
veloc
ita
dell
'urto
ls
i'
c.
R
ingrazio
la
Dott.ssa
Franca
Franchi
per
gli
appunti
presi
da
lei
durante
11
corso
e
che
sono
serviti
come
base
per
la
stesura
del
testo.
192
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I
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CENTRO INTERNAZlONALE MATEMATlCO
ESTlVO
(C.l.M.E.)
SULLA
TEORIA
DELL'OTTlCA
NON-LlNEARE
DARIO
GRAFFl
SUlla
teoria
dell'ottica
non-lineare
Dario
GraEfi
U~versitA
di
Bologaa
1.
Come
i!
aot
o, un campo
elettromagnetico
in
ua
dominic
ep
del-
10
spazio
i!
rappresentato
da
cinque
vettori
(che
chiameremo
vet-
........
---
-..
---
--
tori
elettromagnetici)
E, H, D, B, J
detti,
rispettivamente,cam-
po
elettrico,
campo
magnetico,
vettore
spostamento,
vettore
indu-
zione,
dens
itA
di
corrente.
Questi
vettori
sono,
in
generale,
Punzioni
del
punto)(e
P e
del
tempo t
quindi,
a
rigore,
si
do-
vrebbe
scrivere,
in
luogo
di
E:
E(X,
t)
e
analogamente
per
gli
altri
vettori
.elettromagnetici.
Per~,
per
semplicitA,
useremo
quest'ultima
scrittura
solo
nei
casi
in
cui
i!
necessaria
per
Come
e
nato,
i
vettori
elettromagnetici
sono
legati
Era
lora
dalle
equazioni
di
Maxwell:
,
(1.2)
che
esprimono
leggi
£isiche
£ondamentali
e
perci~
sono
val
ide
sempre e ovunque.
Ma
Ie
(1.1)
e
(1.2),
anche
corredate
da
op-
portune
condizioni
inizia1i
e
alIa
£rontiera,
non
sono
su££i-
centi
per
determinare
un campo
e1ettromagnetico
e
perci6
biso-
19 8
gna
aggiungere
opportune
equazioni
costitutive
che
nell'elet-
tromagnetismo
ordinario
(supponendo,
come £aremo sempre
i.
se-
gIli
to,
esterne
a
5)
le
sorgenti
del
campo
e1ettrOlllagnetico
e,t=»e.r'
oW
,
isotropo
i1
mezzo
in
"P )
sono:
--t
-.
(1.3)
D::.
eo
E.
- -
,
(1.5)
J.: rE
dove
E.
'.Y"
y"
sono
rispettivamente
la
costante
die1ettri-
ca,
la
permeabilitA
magnetica,
la
conduttivitA
del
mezzo
nel
punto
X
in
cui
si
considerano
i
vettori
che
compaiono
rispet-
tivamente
in
(1.3),(1.4),(1.5).
Be
poi
i1
mezzo e
anisotropo
1e E ,
r-
'f
vanno
sostituite
con
tensori
-doppd ,
Poiche
Eo
, V
~
dipendono
solo
da1 mezzo e non da1 campo
e-
lettromagnetico,
le
(1.1),(1.2),(1.3),(1.4)
e
(1.5)
costitui-
scono
un
sistema
1iaeare,
percio
1'elettromagnetismo
ordina~
•.
rio
si
puo
chiamare
anche
e1ettromagnetismo
1ineare.
Per6
in
quei
die1ettrici
(ai
quali
ci
ri£eriremo
sempre
in
se-
gIlito)
dove
si
manifestano
i £enomeni
de11'ottica
nOft
lineareJ
mentre
restano
valide
1e
(1.4)
e
(1.5),
la
(1.3)
va
sostitu-
ita
con
una
relazione
non
lineare
ira
DeE
che
scriveremo:
(1.3')
si
cr.he i
mezzi
in
cui
vale
(1.3')
si
possono
chiamare
dielet-
trici
non
1ineari.
In
questa
1ezione
cerchero
di
.stabilire
alcune
proprietA
de1~e
onde
elettromagnetiche
che
si
propa-
"',,"Oot'"
gano
nel
dielettricorcosl
da
interpretare
qualche
£enomeno
de11'ottica
non
lineare.
2.
Ri£eriamo
i
punti
dello
spazio
a un
sistema
di
coordinate
cartesiane
ortogona1i
(O,x,y,z)
e supponiarno
i1
dominio
~
coincidente
con
una
lamina
di
spessore
s
riempita
da un
199
dielettrico
non
1ineare
omogeneo. Porremo
l'origine
0 e
l'asse
z
del
sistema
di
assi
in
modo
che
1e
facce
della
lamina
abbiano
equazione
z=O,
z=s.
A11'esterno
della
lamina
supporremo
i1
vue-
to
che,
da1
punto
di
vista
elettromagnetico,
si
puo
identifica-
re
con
l'
aria.
Indicheremo
con
£.
1a
costante
dielettrica
del
vuoto,
mentre
ammetteremo
la
r
che
compare
nella
(1.4)
ugua-
le
a
quella
del
vuoto
(ipotesi
non
restrittiva
dal
punta
di
vi-
5ta
fisico)
cioe
ammetteremo~
identica
i.
tutto
10
spazio.
Nel
semispazio
z < 0
sia
posta
una
sorgente
che
generi
un'onda
elettromagnetica
piana
con
direzione
di
propagazione
parallela
all'asse
z.
Supponiamo
la
lamina
tagliata
e
disposta
in
modo
che
il
campo
elettromagnetico
dipenda
solo
da
z e
t;
anzi,
con
un'opportuna
disposizione
degli
assi
x e y
si
possa
scrivere,
per
ogni
punta
delle
spazio,
:
- -
1noltre
supporremo
D
para11elo
ad E
cioe;avremo:
(2.3)
Al10ra
la
(1.3')
diventa
(sottintendendo
Ie
variabi1i
z e
t)
·
l'equazione
sca1are:
(2.4)
e
la
£unzi~ne
D{E)
verra
supposta
di
classe
c~
in
qualunque
intervallo
limitato
del1'asse
reale.
Le
equazioni
di
Maxwell
nella
lamina
si
riducono
a:
2
00
L~
(2.5)
e
(2.6)
valgono
anche
all'esterno
della
lamina
purch~
si
ponga
r
.0,
.5.,
in
luogo
di
~
~
•
Ammetteremo
inoltre,
con£orme
l'esperienz~:
ci~
D
Punzione
crescente
di
E e D{O).O.
Stabiliamo
ora
alcune
condizioni
sui
pian!
che
limitano
la
lami-
na,piu
precisamente
sui
piani
z=+O, z=s-O ;
si
~
scritto
+0 e
5-0
per
identificare
1e
facce
dei
piani
rivolte
verso
l'inter-
nO
della
lamina
o/pi~
brevemente,facce
interne.
Ora,
nel
semispazio
z <°
si
avranno
due onde,
una
che
diremo
diretta,
emessa
dalla
sorgente
e
che
si
propaga
nel
verso
po-
sitivo
de11'asse
z,
l'a1tra
ri£lessa
da11a
lamina
e
che
si
pro-
paga
nel
verso
negativo
del1'asse
z.
Detti
E~{z,t),
HdJz,t),
E~(z,t),
H~{z,t)
rispettivamente
il
campo
dell'onda
diretta
e
i1
campo
de11'onda
rifles
sa,
si
ha:
)
Ora, co:ne e
noto,
su
un
piano
che
separa
due
mezzi
diversi
so-
no
continue
le
co~ponenti
tangenziali
a1
piano
del
campo
e1et-
tromagnetico
(ovviamente
z=-O. z=s+O
sono
1e Eacce
della
lami-
na
rivolte
verso
l'esterno
0
facce
esterne).
Si
ha
cosi:
(
~
'
.:»
£.ol(-
0,
t) +
E""
(-
0,
t;) : E
(+
0,
t::
)
(2.9)
H<t(-o,l:) +
H",(-O,~)
~
l-\
(+
0,
t-)
.
Ora,
per
note
proprietA
delle
onde
e1ettromagnetiche
piane
si
ha:
(2.10)
H.,l(-O
'~)"'~
E~(-Or~)
,./
Sostituendo
(2.10)
e
(2.11)
in
(2.9)
e sommando
con
(2.8)
mol-
tiplicata
per
~
si
eliminano
EIt-
e
HI(.
• A11ora,
riservando
r