Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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222
L'ipotesi
di
continu
ita
delle
derivate
price
della
temperatura
fa
si
cbe
i1
pr obl ema
della
determinazione
della
ve10cita
delle
onde
acusticbe
non
risentevdella
propa6azione
termica.La
(1.9)
serve
successivamente,per
la
determ
inazione
delle
discontinuita
delle
derivate
seconde
di
T
le
quali
si
propagano,
pertanto,
con
1a medesima
velocita
delle
onde
puramente
acustiche.
E'
pos5ibile
riconoscere
che
nel
caso
dei
corpi
elastici
poco
deformabili
so-
lo
le
on4e
longitudinali
trasportano
una
discontinuita
termica.
A
parte
ogni
considerazione
di
tipo
fisico,
una
trattazione
di
quella
appena
richiamate
presenta
i1
grosse
inconveniente
di
non
consentire
di
asse
Enare a
piacere
i
valori
iniziali
delle
di5con-
tin
t
,it
a
termiche
e
cio
fa
ritenere
che
il
problema
sia
mal
posto.
Os
servando
che
le
(1.2),(1.6),(1.7),(1.9)
discendono
dai
prin-
cipi
g
eneral
i
della
meccanica
e
della
termodinalica,
5i
conclude
che
unico
modo
poss
ibile
di
modificare
1e
cose
e
quello
di
ri-
coneiderare
l'
equaz
ione
costitutiva
(1.3)
e,al
fine
di
avere
una
ef
fettiva
interazione
tra
problema
meccanico
e
problema
termico,
di
ritenere
che
le
derivate
prime
della
te
mperatura
possano
non
ee
sere
continue
attraverso
il
fronte
d'onda
rna
possano
ivi
pre-
sentare
delle
discontinuita
di
prima
specie.
2
.
-
~
nossibile
teoria
della
nropa~azione
termomeccanica
La s ener al i zzazi one
della
(1.3)
a
cui
si
e
gia
accennato
e
ac-
colta
da
vari
Aut or i e
espressa
da1l'equazione
(
2.1)
o ,
ove
beL
sono
dei
coefficienti
non
ne
Dativi.
;
:~1e1l
gi a
conside-
ro
un'i
potesi
del
cener e
rna
poi
rite
nne
di
sop
pri
me
re
il
termine
in
g
ricadendo
nella
(1.3).
Facendo
siste
ma
tra
la
(1.7)
jriva
del
ter
mine
nel1e
as
e
la
(2.1)
8i
ottiene
tm
sist
em
a
che
~
e
d
ia
n
t e
l'elinin
az
ione
dei
vet-
tori
~
e II
porta
a un ' oqua zi one
pili
;e
ne
ra
l e
di
que l l a
di
Fourier
e non
pili
parabolic
a e ch e
d
~
luo
zo a
veloc
it
e di
prop
a
~
azione
223
finita[2]
•
La
relazione
(2.1)
e
stata
giustificata
con
considerazioni
di
meccanica
statistica(2)
e anche gener al i zzat a [l O] •
L4eliminazione
dei
vettori
g e
~
tra
le
(1.7),(2.1)
non e
age-
vole
(e
spesso
impossibile)
nel
caso
di
deformazioni
finite,
fa-
cile
nel
caso
di
corpi
rigidi.
Comunque,
essa
da
luogo
a un
gros-
so
inconveniente
qualora
nella
(1.7)
8i
ten
gano 1
ter
mini
nelle
~s'
com'e
corretto
fare,
per
il
fatto
che
compaiono
le
derivate
delle
as
e
cio
crea
delle
compltcazioni
non
lievi
e
in
un
certo
senso
stravolge
il
classico
problema
delle
onde
di
accelerazio-
ne.Ad
es.,
nel
caso
dei
corpi
elastici
il
sistema
differenziale
risolvente
dipende
dalle
derivate
terze
delle
componenti
di
spo-
sta
8ento,
dando
luo
~o
a un
problema
del
tutto
nuovo e
alla
neces-
sita
dell'a
pplicaz
ione
della
teoria
delle
discontinuit
a
iterate.
I~oltre,
l'ipotesi
di
co~tinuita
delle
derivate
prime
della
tem-
peratura
toglie
l'influenza
della
propagazione
termica
su
quella
meccanica.
~ostrero
come
sia
possibile
formulare
una
teoria
priva
dei
va-
ri
inconvenienti
segnalati
semplicecente
usando
una
relazione
differenziale
piu
generale
della
(2.1)
nella
Quale
si
tenga
con-
to
in
modo
completo
della
necessaria
interazione
tra
fenomeni
termici
e
fenomeni
meccanici.A
tal
fine
e
fondamentale
l'osser-
vazione
che
la
(2.1)
si
puo
derivare
dalla
relazione
eostitu-
tiva
.,
s =
-hL
S
e-hSg(t_s)ds
,
e
ove g
denota
11
gradiente
spaziale
di
T,
nell'ipotesi
di
h e L
indipendenti
sia
da
ll~
deformaz
ione
sia
dalla
temperatura
e
da
t.
Volendo
tener
conto
della
naturale
interazione
tra
feno
meni
ter-
mici
e fenomeni
meccanici,
si
ammet
ta,invece,
ancora
va
lida
la
relazione
costitutiva
(2.
2)
senza
escludere
pero
che
L
possa
d~
pendere,
in
un
modo
che
per
ora
non
occorre
precisare,
dalla
tem-
peratura
e
dalla
deformazione
del
continuo.In
tale
ipotesi
e
fa-
cile
verificare
che g
sodd
isfa
non
alla
(2.1)
rna
all'equazione
differenziale
2
24
• ( •
-1)
zg + 1 - zLL g +
Lgradp,T
=
0,
ove z e un
coef
ficiente
costante
di
rilassame
nto
(~=l/h)
mentre
L e un
operatore
mat r i c
ia
l e
di
pendente
da T e
dalle
as'
Si den ot i
con
V
la
velocit
a
di
pr opaga zi one ,
con
a e £ 10
sca-
l ar e e i l v
ettore
caratteristici
delle
disco
ntinuit
a
delle
de-
riv
at e
prime
di
T e
g,
con
B
il
versore
della
normale
al
fron-
te
d'on~a
su
p
posto
dotato
di
normale
ori
entata
(nel
verso
del-
l'
avanz
am
ento).
Suppost o
che,
co
me
gene
ra
lment e
acca
de,
1
coef-
I
f 1c
ien~
trs,
t
r
chec
compa
iono
nel
le
equazioni
dei
vi~coli
si-
ano
funzioni
note
delle
as
e
di
~
,
l'applicazione
de
lle
formu-
le
di
H
UG
oni
ot
- Hadam
ar
d
alle
(1.
7)
(pensata
come u
gua
glianza)
e
all
a (
2.5),
de
luo
go
alle
relazioni
'}t
i
1
(If-Pi
1'i!
- cV)a
(
2.4-)
-z
V£ +
a(
Ls +
zV
~*
L-l~)
me
nt r e
dalle
(1.
5)
si
deduce
- z
Da (
2.
4,
2)
51
trae
o.
(
2.
6 )
o.
La
(
~.
6),
confrdnt
a
ta
con
la
(
2.
4,1),
de
225
La
(2.7)
va
assoCiata
alle
equazioni
sulle
discontinuita
che
provengono
dalle
equazioni
dinamiche,
all'equazione
di
continui-
ta
e
alle
(~.5).
Osservazione
I~
Il
caso
Q.g
= 0
va
considerato
a
parte;
e
da
pre-
surnersi
che
soltanto
in
casi
eccezionali
esso
non
dia
luo
go a
in-
compatibilita.
Osservazione
II~
Se
il
continuo
e
assimilabile
a un
corpo
rigi-
do
le
equazioni
della
dinamica
non hanno
influenza
sulla
veloci-
ta
di
propagazione
di
onde
termiche.ln
tal
caso
11
problema
e
descritto
dalla
sola
equazione
(2.7),
ridotta
al
solo
termine
in
a e
supposto
che
L
sia
un
coefficiente
di
proporzionalita
dip
en-
dente
al
piu
dalla
temperatura.Si
ha,
pertanto,
(2.8)
2
,L
zcV - z
~
g.g
V - L
0,
la
quale
ammette due
radici
reali
di
cui
una
sola
positiva,
per
ogoi
val
ore
positivo
di
z.
Os
servazione
IlIa.
Il
va10re
z=o,posto
nelle
relazioni
precedenti,
porta
a
incompatibilita,
avendo
supposto
g
continuo
anche
attra-
verso
il
fronte
d'onda
e,invece,
discontinue
le
derivate
prime
di
T.eio
non puo
sorprendere:
infatti,
per
z = 0
la
(
2.3)
si
ri-
duce
alla
le
~
[e
di
Four
ier,
incompatibile
con
tale
sup
posizione.
r
;eglio
si
puo
dire
che
llipotesi
z = 0 ha come c onse
guenza
la
con-
tinuita
delle
derivate
prime
di
T e
riporta
alla
teoria
tra-dizio-
nale
con
gli
inconvenienti
in
essa
contenuti.
D'altronde,
se
si
riflette
che
g
in
realta
esprime
una
velocit
a
di
flusso
di
calo-
re
se@bra
naturale
attribuire
ad
esso
una
-densit
a e a z
il
signi-
ficato
di
coefficiente
d1inerzia
ter
mica.ln
tal
mpdo
il
calore
viene
assimilato
a un
fluido
dotato
di
massa e
l'annullarsi
di
z
non
a9pare
plausibile.
3.-
Fluidi
n£g
viscosi
inco~2ri
mibili
Sup
porro
che
il
continuo
si
a un
fluido
non
viscoso
so
s
setto
al
vinco10
interno
di
inco
mpri
~
libilita.lntendero
ta
l e
vincolo
in
senso
gener
alizzato
ris
petto
alIa
sua
cor.su
etn
accezione;
riter-
ro,cioe,
che
o
eni
sua
porzione
possa
variare
di
vomume
se
e
sol-
226
tanto
se
varia
la
te
nperatura.
Basta
richi
amare
l'e
qu
azione
di
con-
tinuita
per
riconoscere
che
un
tale
tipo
di
vincolo
e
espri
mibi-
Ie
nella
forma
§=F(T)T,
ove
~
denota
la
densit
a
all'istante
t e
F(T)
e
una
funzione
del-
la
te
mperatura.
La
(~.l)
Bostituisce
il
gruppo
di
equazioni
(1.5).
Den
ot
ando
con
p
la
pressione
e
con
y
la
,
velocit
a
in
pI,
il
gru
ppo
delle
equazio-
ni
dinamiche
e
di
continuita
e
0.2)
.
P
/r
= - ) v
r
'
De
tt
a
p'
l'incognita
pressione
di
reazione
vincolare
e
osser-
vato
che
l'ener
sia
libera
de ve
rite
nersi
fun
zione
di
T e
~,
Ie
equazioni
costit
utive,
tenuto
conto
del
vincolo
di
1ncomprimib1-
lit
a,
si
scrivono
.2L
')'r + E -
p'F
=
0,
Tenuto
conto
di
(
3.3),
si
ha
+
pI
= o ,
&vendo i ndi cat o
con
llapice
l a der i
vaz
i one
ris
pet
to
a T.
81 de
noti
con
~
il
vet
tore
che
c
ar
at t
eriz
za
La
di
sco
nti
n
uita
del
le
de r i
va
te
pr ime de l
la
v
eloc
it
e.
Da
ta
l a
contin
uit
a
attra-
ver
so
11
fronte
d'onda
di
T,g,y
e
p,
l'
ap
plic
a
zione
delle
not e
for
mule
di
HU50
nio
t -
Hadam
ar
d po r
ta
aI l e r
ela
zio
ni
[T
1
227
In
base
alle
equazioni
(3.1),(3.2),
8i
ha
In
definitiva,
tenuto
conto
di
(3.5),(3.6),da
(3.4)
si
deduce
2 V
3
- (F
-~-
+ mV)a,
pur
d'intendere
0.8)
m =
Tenuto
conto
di
(3.5),(3.7)
e
ritenendo
L
funzione
di
T e
di
~,
il
sisteQa
delle
equazioni
(1.2),(2.3)
da
luogo
al1e
secuen-
ti
re1azioni
Bulle
discontinuita
0,
zbV -
[(
l&-
F + J L
)z
+ q +
LqJ
a
-
1~
J"T
.lJ
=
o.
Esc1udendo
l'ipotesi
Q'll
= 0
che
in
generale
porta
a
discon-
tinuita
terQica
nulla
(cioe,ad
a = 0
),
da
(3.9)
segue
l'equa-
zione
risolvente
0.10)
A
Z
~
.I!
2 V
4
?
f"\r
)r
V
__
+
"zV--
( /I J 1<'
.LJ\
~
£II
'Jf~
.
+
)~ZSl'll
LT
L
- T
o.
Risulta,
com'e
facile
riconoscere,
0.11)
A(o)
-L
<
0,
Cio
assicura
che
la
(5.10)
a
w~ette
in
ogni
casm due
radici
22 8
re
ali,
una pos i t
iv
a
l'
altra
ne
sativa.
Se
am>
0
la
(
3.1
0) non
ha
al
tre
r a
dici
r
ea
lijinf
at
ti,i
n t
al
c
aso,
l a
fun
zion
e A
(V)
ha
der i vat a
seconda
se
mpre
positiva
e i l
corri
sponde nt e
di
agr am
ma
la
concavit
a
riv
olta
se
mpre
verso
Ie
A pos i t
iv
e .
Se
si
rifle
tte
che V i ndi ca
una
ve
locit
a
di
pr op
as
azi
one
ris
pet-
to
al
mezzo
contin
uo ed a,
pert
ant
0,
es
pressa
da
V =
V'-y.g,
se
con V'
si
den
ot a
la
v
elocit
a
di
avanzament o n
ello
s
paz
ioR
della
superficie
d'onda
e
si
su
ppone
che
10
sta
to
di
rif
eri
me
nto
c
oin-
cida
con
quello
attu
ale,
si
comprende co
me
pos
sano
es
sere
ac
cet-
tabili
anche
valor
i
neg~tivi
di
V. La
scelta
del
se
gno
di
V
pre-
suppone
una
discussione
che
ninuncio
a
fare.
Se
la
perturbazione
si
prop
a
ea
in
un mezzo
iniz
i
almente
in
quie-
te
e a
temperatur
a
uniforme,
nella
re
gione
i
mpertur
b
ata
e
per
con-
tin
uit
3
suI
fronte
d'
onda
risulta
~
=
cost.,
~
= c ost , , ! = g = 0
e
la
(
5.10),
te
nuto
conto
di
(3.
8),
divi
ene
(5.1
2)
2 L
+
mzV
-:c-
0,
l a q
uale
amm
ette
due
rad
i
ci
re
ali
in
V
2
di
c
ui
~
a
sola
posi t i va .
Per t a
nt
0 ,
in
un mezzo non p
ertur
bato
a
possibile
solo
una
velo-
cit
a
di
propa
~a
zione.
O
sserv
a
zi
one . Se i l
vi
ncolo
di
ihco
m
pri
mi
bili
t a a a
ssol
uto,
c Loe
se
nel l a (
,,;
1 )
si
su
ppone F = 0
e,
per
t an
to,
ris
ul
ta
~
=
cost.,
l'eq~ione
(
3.10)
s i
identifica
con
la
(
2.
8),
vali
da
nel
caso
dei
corpi
ri
g
idi.Pertanto,
sotto
questo
as
petto
il
fl
u
ido
non
viscoso
assoluta
me
nte
inc
m
pri
mibil
e
si
com
porta
co
me
un
cor
po
ri
gido.
BIBLI
OG
RA
FIA
[
11
~~r.#e l l
,
J
.
C
.
P h
i
l
.T
ra
n
s
.
rt
o
y.3
0 c
.
1
57
A 49
(1
86
7)
[2]
C
avt
aneo,C.
Atti
del
S
e~
i
na
ri
o
o
at
ec
at i co e
fisico
dell'u-
nive
rsit
o.
di
~
;
o
dena
.5
.
(
1948
)
[3] Ver not t e
,P
.Compt.Rend .Ac
ad.
Sci .
21~6
(
195
8)
(4) C
attan
eo ,C. Comp
t.
Rend.Aca
d.
3c
i.
247
(1
958
[5] Re
tt
l et on , R.F
.P
hys .
Fl
ui ds 3
(l
S60)
[6J
Chester,
M Phys .Rev . 131
(1
963)
r7J
G
ur
t i n ,N
and
Pip
kin,
A. Arch . Ra
t.
Nech. and Ana
L3
1 (1 96
8)
La]
(9]
lio)
[11]
[12J
229
j'
;eixner
_
~_rch.Rat.Eech.andAna1.39
(1970)
Carrassi,
1'1
e Hor r o , A. Nuovo Cimento 9B
(1972)
Carrassi,M.
Nuovo Cimento 46 B
(1~7
a)
LindsaY,K.A. and
Straughan,B.
Arch.Eat.Mech.
and
Anal.
Ge
(1978)
Bressan,A.
In
corso
di
stampa
nelle
Eemprie
dell'
Accademia
Nazionale
dei
Lincei
Grioli,G.
Nota I
a,
in
corso
di
stampa
nei
Rend.
dell'Acca-
demia
Nazionale
dei
Lincei
Grioli,G.
ibidem
CENTRO
INTERNAZIONALE
MATEMATICO
ESTIVO
(C.I.M.E.)
ONDE
DEI SOLIDI
CON
VINCOLI
INTERNI
TRISTANO
MANACORDA
ONDE
NEI SOLIDI Calf.
vmoorr
IlflrERNI
Tristano
Manacorda
Universitk
di
Pis
a
~-Vincoli
interni
La
nozione
di
vincolo
di
incomprimibilitk
in
un
fluido
ideale
~
ben
nota
fin
dai
primordi;la
stesaa
nozione
~
stata
introdot=
ta
nella
teoria
dei
solidi,ben
piu
recentement~.Per
quanto
6 a
Mia
conoscenza
la
si
trova
in
Poincar6
[1I~]
f19
J
e
soprattutto
nel
fondamentale
articolo
di
Hellinger
[i2
.Solo
assai
piu
re=
cente
me
nte,sono
state
sviluppate
considerazioni
generali
sul
v~
colo
di
incomprimibilita.
t ugger i t e
inizialmente
dallo
studio
del
comportamento
della
gomma
1a qua1e
~
a
dilatazione
cubica
nulla
in
ognl
sua
trasformazione
1soterma
[5]
[24J
.A1tro
tlpo
diva:
colo
cinematico
studiato
di
.recente
~
quel10
della
inestendibi1!
ta
in
una
direzione
introdotto
da
Riv1in
[20]
e
poi
ampiamen=
te
studiato
da Adkins
[2J
ad
altri,anch'esso
suggerito
dal
comportamento
della
gamma
rinforzata
da
una
fitta
trama
di
fill
dl
ny10n.Vinco1i
piu
comp1essi
Bono
stati
considerati
da Wozniak
[26]
.Una
teoria
generale
dei
vinvoli
cin
ematlci
non pub
non
far
riferimento
all'articolo
d1
~ruesde11
e
Noll
[25]
dello
Handbuch
der
Physik.
E'
quasi
apontaneo,
a
questo
punt
0,
la
introduzlone
di
vincoli
in=
terni
non
puramente
cinematici
ma
dipendenti
anehe
dalla
tempe=
ratura
assoluta
(11
(1)
Ne11a
,teoria
termodinamica
di
MU11er,sviluppata
ampiamente
da
Alta
r3]
per
solidi
vincolati,l'
esistenza
della
temperatu=
ra
aasoluta
6
provata
inveee
ehe ammeasa.Qui
per
semplicltk
s1
aceettera
la
temperatura
assoluta
come
nozione
primitlva.
Una
prima
estens10ne
s1
ha quando
si
ammetta
che
la
d1latazio=