Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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244
avendo
posto
(d
F!(
.2-
~!
) )N = J
~
Si
ottiene
infine
la
condizione
di
c0I!rpatibilita.
dinamica
3.
6 UN
[p]
1
~
+ ( Q - t
~
2:
)
~
= 0
ove
(3.7
£.=!-p~
e un
teneore
doppio
aimmetrico.
• m
....
K A N.N - 1 L
,....
"'..... U
N-
Le
implicazioni
della
equazione
dell'energia
ai
ottengono
ra=
LS!l
= 0 e
[DiV,.9-R
l
= - L [SR]
.~
=
U
Uiv
con
L
=d.9.
•
Eaaendo
ov
,l
R
-
pidamente.
Per
eaaere
-
L~E
•
!:
UN
1a
(
3.1)4
'
si
ha
(~
-
P.f
)!.
.~
• N
-
=f
[pJ
+
3.9
)
D'a1tra
parte
,se
ai
ricorda
Poiche
k (
~~!
) e
una
funzione
lineare
di
~
esiate
W1
tensore
doppioAtale
che
! . . L (
~~1!
;
)
={).
J!.
~
e
si
ottiene,alla
fine
(3.8)
~C7e[i]=A!!
con
I
3.10
Si
ottiene
3.11
)
;roiche
si
1imita
ad
e
di
p.
0{
:.0 -
5c,';);!
f 1 = -
d~.E
T'
quindi
la
condizione
di
compatibilita.
A!}.!.
N
-L~~·
~=
feEp]
+9(e'-
Pl)
!.~
UN
[pJ
si
puo
ricavare
dalla
(3.6),
la
0.11)
esprimere
A
in
funzione
di
grandezze
continue
Moltip1icando,
infatti,
la
(
3.6
)
per
r N
si
-,.....,
245
Sostituendo
questa
determinazione
di
ottiene
(
3.12
)
[P]
~
= I.!L
I!!!
I
nella
(
3.6
)
si
perviene
a
(3.13)
(l-\)e'J)(Qj'U(.l)a;=
0
"'-
"'\J)ON"-,....,
Si
rieordi
ora
ehe
a
deve
essere
seelto
tra
i
vettori
per:
,...
pendieolari
a V
posta
-v
(
3.
14 ) ,9,1 =
(l
-:i
~!
) s '
la
eondizione
3.13)
si
serive
'1
( 3
.15
)
~1!t.
=
~~
UN
!!:,
a .\,)
""
o
II
problema
e
quindi
ridotto
a
bidimensionale,ed
esistono
pereio
due
autovettori
almeno
distinti
e,ae
i
corrispondenti
autovalori
sono
positivi,essi
individuano
Le
direzioni
di
di
,:=
aeontinuita
e
Ie
riapettive
velocita
di
propagazione.
In
particolare,sia
u un
autovettore
comune, (
se
esiate
)
,."
A u =
v'1.
11
,...
...
per
e
A
si
ottiene
(
3.16
) Q u =
PUt.
U = v.'L _ P -:;2. ) u
~l
'"V
)0
N "..,
la
quale
mostra
che,anche
se
v
2.)
0,
V
">
0 , puo
darei
ehe
UN'"
<.
0 e
quindi
che
non
ai
abbia
propagazione.
246
4 - Onde
d'urto
Lo
studio
delle
onde
d'urto
e
ricondotto
allo
studio
delle
condizioni
dinamiche
di
compatibilita
(1.19)
cui
va
ag
giunta
la
condizione
che
si
ottiene
dall'equazione
del
vincolo.
Conviene
scrivere
la
(1.19)
(
4.1)
in
1:orma
lagrangiana
r~
u
N
l = 0
+
[!R!
1 = 0 [
~
UN
E,
]
• III 1
o
alle
quali
va
aggiunto
N,
~
0
(1)
(1)
Questa
equivale
ad
imporre
ne
dal
significato
fisico
evidente
•
[I'Ll
~
0 ,
una
relazio=
•
la
condizione
derivante
dall'equazione
del
vincolo
(
4.2
)
[fJ
=0
Lo
studio
di
tale
tipo
d1
onde
e
evidentemente
complesso,
a
meno
di
non
riiurs1
a
cas1
unidimensionali.Qui
ci
s1
occupa
solo
di
onde
di
p1ccola
inten5ita,per
le
qUali
5i
vuole
dire,
sono
valide
le
versioni
linearizzate
delle
(
4.1
) e (
4.2
),
in
solidi
iso~pi.ln
tali
condizioni,si
introduca
la
differen=
za
di
temperatura
tra
la
temperatur~
attuale
e
quella
(che
si
suppone
uniforme
)
di
riferimento,
e
si
indichi
con
e
la
sua
lineariz
zazione.lnfine,5i
5upponga
naturale
la
configuzazi~
ne
di
riferimento.ln
tali
condizioni,per
il
tens
ore
1inearizza
to
degli
sforzi
si
ha
(
4.3
)
Tl'l
=
T('\ =
-)"t
1 +
r.
e
1
+
2fJ-:!-
-r(9
:l
-R
ove
x,
e
la
linearizzazione
di
p ,
e
i1
tens
ore
1i=
AJ
nearizzato
di
deformazione,
e
=~e
=
div
~,
u
line~
rizzazione
dello
spostamento,
~
,
~,
~
,
sono
cos
tanti
delle
quali)L
e
certamente
positiva.
247
Allo
stesso
tempo,
• 4 )
",«)
--
...•
t..
per
la
linearizzazione
di
-
.!LJ'
+
..k...
e +
.s.
e
~o'1:-
~Q~
fo't.
con
~
la
temperatura
di
riferimento,mentre
la
condizione
di
vincolo
diviene
(
4.5
)
div
u = a e .
....,
I campi
linearizzati
devono
soddisfare
alle
linearizzaeioni
delle
(4.1)
e (
4.2)
:
precisamente,posto
m
a
.=
~
UN
[
• r
tfl
1 [
,.,'1
[
- m
a
~
1 = ! !!
I,
m
a
€'.l
=
~~'.!,
1
(
4.6
) m
a
C~(4
+
Cg~).N]
= 0
't.
(div
u 1
=
areJ.
,...,
Conviene
distinguere
due
casi
:
a)
(eJ
= 0
( onde
meccantche)
58
"0
a
il
parametro
caratteristico
delle
discontinui=
ta
delle
derivate
prime
di
~,
il
vincolo
impone
(
4.7
)
~o
• N
=
0
-
l'onda
a
trasversale
(1).
Dalla
prima
delle
(
4.6
)
si
ha
(1)
Propriamente
percH)
non
a piU
un'
onda
d'urto
=
0
[x]
=
e
=
!
I""
2
Ma
e
all
ora
[Bl = - ~
~o
)
( 4 ' •7 ) [ T
(t)
m • N J = 0
- - ,..
e
cioa,
tenuto
canto
di
(
4.3
)/della
continuita
di
e e
di
(div
~1
e
infine
r e N 1 .N = 1 " • N = 0
~......
2"
_0
,.....,
Segue dunque
[7"C.]
= 0
248
(
4.8
)
e,daJ.la
(4.4
(
4.
9 ) C
,,(4'1
= 0
Ancora
dalla
(
4.6
)1
,molt1plicando
scalarmente
per
)~
si
ottiene
e
perc10.
(
4.9
)
che
assegna
cc,(4)
=
la(4.6)2
soddisfatta
=
la
veloc1ta
di
propagaz1one
dell'onda.Infine,po1che
()~)
e
+f~f.)
e
[£(')J
= 0
fJIt;
0
~'O'
0 '
e
soddisfatta
da
(~'
•
.!!
1
'"
0,
che
rende
anche
1a
( 4
.6
)3
(2)
subordinatamente
alla
= 0
[
,,-
Gtll • 1
Se
vale
la
legge
di
FOURIER
,
r<;.
! =
0:11
gra=
qiente
di
temperatura
normale
deve
es~ere
continuo.
(
4.9
):il
flusso
normale
di
calore
e
continuo.
249
b)
[&
J
-I
0
(onde
termiche
),
a
-I
0
In
questo
caso,il
vincolo
essendo
rappresentato
da
(4.5
),si
ha
(
4.10
)
La (
4.
6
)1
"0.
N = a ®
-.
IV
da"
ora,moltiplicando
Bcalarmente
per
N.
N
(
4.11
)
~
U;
a @ =:
[-
';C.
+ A e -
~
aJ + 2
p..a
G)
[~l.N
= t(
~o
i(~o·
~)
!! )
[~
!
1.!
=
~
0 • N = a e .
mentre,moltiplicando
per
t
2..
-..I
( 4
.12
)
~
UN
~
oJ
.!
=jJ.
~
0 •
~
Se
~
0
non
e
parallelo
ad
~
,
si
ottiene
ancora
per
UN
la
determinazione
(4.9).
Se
invece
l'
onda
e
longi
tudinale
la
(
4.12
) e
una
identi
ta. e
u';-
e
indeterminato.
Per
onde
non
longi
tudinali
(e
neanche
trasversa11,
v ,
(4.10)
s1
ottiene
da11a
(
4.11
)
per
1a
(
4.9
)
(
4.13
[)tJ = a e
(~
+)J. -
~
n>
e
(
4.14
)
[I'()]
=
( .!L (
2'1
-a(l\+p»
+ L
}@.
~'t
e'o't;
D'a1tro
canto,la
(
4.1
)4
imp1ica
che
tr
sia
continua
cfr.n.1
Oss
.1
) e
quindi
che
sia
continua
anche
a..r(1).
(
4.16
)
che
coincide
con
(q~'
1.
N. =
mo'"C
(1Z.
(4)J.
4.6
)3 • Le
condizioni
di
compatibilita
2-
termomeccaniche
aono
qUindi
atte
a
determinare
UN ed
inaie=
Segue,po~endosi
assumere
~
= 0
4 •15 )
[t;C1'l
=
L\f>C4
J
]
e
quindi,
da
(
4.6
}2
250
me
le
discontinuita
di
e
.....
e
di
~
(I)
in
funzione
di
@ •
5i
ha
anche
(
cfr.
(
1.19
)1
)
c~
uJ = 0
U = u - v
n n
con
~
:
velocita
di
avanzamento
(
locale
di
propagazione
)
dell'onda.
Linearizzando
(
[~1
=
(~J.
N = - UN
~o
• N = - UN a
e.
)
e
quindi
4.17
)
l'onda
e
compresaiva
opplilsto
(3)
[~(t)J
= -
~o
a e :
se
a @ >
0,
espansiva
nel
caso
(
4.18
)
(3)
Si
osserva
che
(
4.17
)
vale
anche
se
1'onda
e
1ongitudi=
nale,
mentre
,per
onde
meccaniche
(e
= 0 )
implica
La
continuita
di
~u;
Per
onde Longd,
tudinali,
UN
non
puo
essere
determinato
da1=
le
sole
condizioni
di
discontinuita,mentre
per
le
discontinui=
ta
di
JC
,
di
'1.{')
si
ha
[lel
= a @ ( ? +
2}J-
-
~
-~"
u;
)
a
251
mentre
e
anche
(
4.19
)
BnlLIOGRAFIA
A
Vincoli
1 -
J.E.
Adkins
: A
three-dimensional
problem
for
highly
elastic
materials
subject
to
constraints,Quart.J.Mech.Appl.
Math,11,88-97
(
1958
)
2 -
J.E.
Adkins
-
R.S.Rivlin
:
Large
elastic
deformation
of
isotropic
materials
: X •
Reinforcement
by
inextensible
cor:
ds,
Phil.Trans.Roy.Soc.London
A, 248
201-223
( 1955 )
3 -
T.Alts
- Termodynamics
of
thermoelastic
bodies
with
kinematic
constraints
:
fiber
reinforced
materials.
Arch.
Rat.Mech
An. 61
(1976)
253-289.
4 - G.B. Amendola A
genaral
theory
of
thermoelastic
solids
restrained
by an
internal
th
ermomechanical
constraints,
Atti
Sem.
Mat.
Fis.
Univ.
Mod. 27
(1978)
1-14.
5 -
J.
Bell
: The
experimen~al
foundations
of
solid
mecha=
nics.Encycl.of
Phys.Vol
VI
a/
1
,Spring
er
V
erlag
,B
erlin
1973.
6 -
G.Capriz
-
P.Podio-
Guidu
gli
Form
al
structure
and
classification
of
th
eories
of
orient
ed
materials,Ann.mat.
pura
appl.(4)
115
(1977)17-39.
7 - H.H.
Erbe
W~rmeleiter
mit
thermomechanischer
in=
neres
Z
wangsbedingung,ZAM,Sonderh
eft
76-79
(1975)
252
8 -
J.L.
ErlksGn-
R.S.Rivlin
:
Large
elastic
deformations
of
homogeneous
anisotropic
materials,
J.Rat.Mech.Anal.3,281-
361,(1954)
9 -
A.E.Green-J.E.Adkins
:
Large
elastic
d
eformations
. and
non
-linear
continuum
mechanics,·
Oxford,Clarendon
:eress
1960
~O-
A.E.
Green-
P.M.Naghdi-J.A.Trapp
: Thermodynamics
of
a con=
~inuum
with
internal
constraints,Int.J.Enw1g.
.Sei.8
(1970)
891-908.
11-
M.F.Gurtin-P.Podio-Guidugli
: The thermodynamics
of
constrai
ned
materials,
Arch.Rat.Mech
An.51 (1973)
192-208.
12
-E.
Hellinger
,
Die
al1gemeinen
Ansatze
der
Mechanik
der
Kon=
tinua,Enz.math.Wiss.
4
4,
602-694
(1914).
13
-S.Levoni:Sull
a
integrazione
delle
equazioni
della
termoe1a=
sticita
di
solidi
incomprimibi1i,Ann.Sc.N~rm.Sup.
Pisa
(3),
22,(1968),515-525..
14
-T.Manacorda:Una
osservazione
sui
vincoli
interni
in
un
soli=
do,Riv.Mat.Univ.Parma
(3),3,(1974),169-174.
15
-T.Manacorda:Introduzione
al1a
termomeccanic~
dei
continui,
Quaderni
UMI,n.14,Pitagora
Ed.,Bologna
1979.
16
-S.L.Passman:Constraints
in
Cosserat
surface
theory,Ist.Lomb.
Sc.Lett.
Rend.
A,106,(1972),781-815.
17
-A.C.Pipkin:Constraints
in
linearly
elastic
materials,J.of
El~
6,(1976),179-193.
18 -
H.Poincare:Le90ns
sur
la
theorie
mathematique
de
la
lumie=
re,Paris,
1889.
19
-H.Poincare:Le90ns
sur
la
theorie
de l
'elastcite,Paris,1892.
20
-S.Rivlin:Plane
strain
of
a
net
formed by
inextensible
cords,
J.Rat.Mech.Anal.
4,(1955),951-974.
21
-A.Signorini:Trasformazioni
termoelastiche
finite,Mem.III,
Ann.Mat.pura
appl.
(4),39,(1955),147-201.
253
22 -
A.J.M.Spencer:Finite
deformations
of
an
almost
incompres=
sible
elastic
solid,
Second-order
Effect
in
Elasjicity,
Haifa
1962,Oxford,Pergamon
Press,1964.
23 -
J.A.Trapp:Reinforced
materials
with
thermo-mechanical
con=
straints,Int.J.Engng.Sci.
9,(1971),757-776.
24 -
L.R.G.Treloar:The
physics
of
rubber
elasticity,Clarendon
Press,
Oxtord,1949.
25 -
C.Truesdell
-
W.Noll:The
non-linear
field
theories
of
Me=
chanics,Encycl.of
Phys.
Vol.IIl/3,Springer
Verlag,Berlin,
1965.
1Il )
Omie.
1 -
A.Agostinelli:Sulla
propagazione
di
onde
termoelastiche
in
un
mezzo omogeneo e
isotropo,Lincei
Rend.
(8),50
(1971)
163-171,304-312.
2
-G.B.
Amendola : On
the
propagation
of
first
order
waves
in
incompressible
thermoelastic
solids,
B.U.M.l.
(4)
1
(l~13)
267-284.
3 -
G.B.Amendola:
Acceleration
waves
in
incompressible
mate~
rials.
Atti
Sem.Mat.Fis.Modena
24
(1975)
381-395.
4 -
C.E.Beevers
:
Evolutionary
dilational
shock
waves
in
a
generalized
theory
of
thermoelasticity,Acta
Mech.
20(1974)
67-'19.
5 -
a.R.Bland:
On
shock
waves
in
hyperelastic
media,IUTAM,
Second
order
effects
in
El ast mc i t y , Pl as t i c i t y
and
Fluid
Dynamics,Pergamon
Press,1964.
6 -
P.Chadwick
-
P.Powdrill:3ingulnr
surfaces
in
_
linear
thermo=