Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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201
il
simbolo
E(z,t),
H(z,t)
al
campo
entro
la
lamina
ed
omettea-
do,
per
semplicita
di
scrittura
e
perehe
ora
non
vi
e
luogo
ad
equivoc0,
i
segni
+ e -
davanti
allo
0,
si
ha:
Nel
semispazio
z » s
si
ha
solo
un'
onda
che
diremo
trasmessa
e
che
si
propaga
nel
verso
positive
dell'asse
z
(non
si
POSSOftO
avere
riflessioni
perc
he
per
z
~s
il
mezzo e omogeneo) i
cui
campi
indicheremo
con
E~(z,t), H~(z,t).
Per
la
continuita
del-
le
componenti
del
campo
elettromagnetico
sul
piano
z=s
(ora
si
possono
evitare
i
simbe1i
+0
e
-0)
si
ha:
e
poiche
"~vale
J~
~t
si
ha
subito:
Le
(2,12),
(2.14)
in
cui
E~(O,t)
si
suppone
assegnato,
costi-
tuiscono
condizioni
a11a
frontiera
per
(2.§)
e
(2.6).
Ad
esse
si
possono
eventualmente
associare
opportune
condizioni
inizia-
1i,
sicche
il
campo
entro
1a
lamina
resta
determinato.
Le
(2;12)
e
(2.14)
si
devono
al
Frof.Cesari
(1)
[2]
[3]
[4]
il
qua1e
ha
dimostrato
import
anti
teoremi
di
esistenza,
di
uni-
cita,
di
dipendenza
continua
dai
dati
per
Ie
soluzioni
delle
equazioni
(2.~)
e
(2.6)
corredate
da
(2.13)
e
(2.14),
qualora
sia
noto
Eo~(O,t)
per
ogni
t
(positivo
0
negativo).
Nel
caso,
importantissimo
per
1e
app1icazioni,
in
cui
E~(O,t)
e
periodi-
co
rispetto
al
tempo e
con
periodo
T,
~nche
i1
campo
entro
la
lamina
risulta
periodico
con
10
stesso
periodo.
Noto
il
campo
entro
la
lamina,
mediante
(2.8),
(2.9)
e
(2.13)
e
facile
cal-
colare
il
campo
riflesso
e
trasmesso
da11a
lamina.
202
I
teoremi
di
Cesari
sono
stati
dimostrati
per
valori
della
spes-
sore
s
della
lamina
non
troppo
elevati.
Torner6
in
seguito
su
questi
risultati,
per
ora
noter6
che
il
Prof.
Bassanini
[5]
ha
dimostrato
che
i
valori
di
s
per
cui
sana
validi
i
teoremi
ora
citati
risultaao
superiori
allo
spessore
delle
lamine
usa-
te
in
pr-at
Lca ,
3.
Passiamo
ora
a
ricereare
una
soluzione
di
notevole
interes-
se
di
(2.5)
e
(2.6)
supponendo (come £aremo sempre
in
seguito)
r
aO.
A
questa
scopo
poniamo,
ricord~do
(2.4'),
(3.1)
Nel
caso
lineare
(si
ricordi
(1.3»
~
= c
(costante
die-
lettrica)
ed
esiste
una
soluzione
delle
(2.5)
e
(2.6)
per
cui
il
campo
elettrico
ha
l'espressione:
(3.2)
E(z,t)
=G(u)
dove G(u)
e
una
funzione
di
classe
C
4
della
u
per
u
variabile
in
qualunque
intervallo
limitato
dell'asse
reale;
G(u)
se
u=t
vale
il
campo
elettrico
suI
piano
z=O e
all'istante
t,
sicche
Ie
proprietA
della
fupzione
di
t,E(O,t),
sono
Ie
stesse
di
G(t)
o
G(u).
Ora,
nel
caso
line
are
peE):
Je~'
;
viene
pereio
naturale
con-
getturare
valide
Ie
(3.2)
anche
nel
caso
generale
sostituendo
pera
nell'espressione
di
u a
V~
, peE) come
de£inita
da
(3.1)
e
con
segno
positivo.
5i
ha
cosi:
(3.3)
E =G(u)
u = t -
p(E)z.
203
Ora.
portando
G(u)
al
~rimo
membro
di
(3.3)
si
ha
l'equazione
che
definisce
implicitamente
E
in
Punzione
di
t e z :
(3.4)
E - G( t -
p(E)z
) = 0
Questa
equazione
e
ovviamente
risolubile
per
z=O.
Affinche
sia
risolubile
per
ZFO
e
suf£icente,
per
il
teorema
delle
Punzioni
implicite.
che
sia
:
)
condizione
certamente
soddisfatta
per
z=O. Ora.
riservandoci
Cal
n.5)
di
discutere
meglio
la
(3.5).
ammettiamo, come
del
re-
sto
e
intui
ti
ve,
che
esista
un numero
h>
0
tale
che
per
ogni
Z e
(O.h).
t €
(-'Ji,T)
(T,
e T
positivi
e
del
resto
arbitrari)
sia
valida
(3.5).
Fino
ad
avvertenza
in
contrario,
ammettere-
mo z e t
nei
limiti
ora
indicati.
Cia
pr~messo,
vediamo
di
determinare
il
valore
del
campo magne-
tico
H
che,
associato
al
campo
elettrico
espresso
da
(3.3),
sia
tale
da
soddisfare
le
equazioni
di
Maxwell
(2.5)
e
(2.6).
A
questo
scopo
ricordiamo
che
il
Prof.
Jeffrey
ha
dimostrato.
nella
prima
delle
Sue
lezioni.
che
E, come
espresso
da
(3.3).
soddisfa
all'equazione
a
derivate
parziali:
(3.6)
che
ora
verificheremo
direttamente.
A
questa
scopo
osserviamo
che,
derivando
(3.3)
prima
rispetto
a z e
poi
rispetto
a
t,
si
ha:
(3.7)
';)
E
(-1..+
<;.'(l«.)
'!J~i~.11)
+
G.'(~)
r(E)
::.
0
~l
BE
2 04
Sommando
(3.7)
con
(3.8)
mo1t
iplicata
per
peE),
tenendo
pre-
sente
(3.5),
segue
subito
(3.6).
In
base
aIle
(3.1),
(3.6)
Ie
(2.5)
e
(2.6)
si
possono
scrivere:
Poniamo
ora:
(3.10)
fi
B.
==
i.
f pCB) dE
7
0
In
base
alIa
(3.10) H e
una
funzione
di
E e
tramite
E
di
t e
z.
Dalla
(3.10),
derivando
rispetto
a z
eat
si
ha:
(3.11)
0
1-4
~)~E
9H
.. .J..h(e)f,>£
d
Eo
"
..r
D!-
~ ~
./1.1-
r
~
t:
che
coincidono
con
Ie
(3.9),
quindi
(3.3)
e
(3.10)
rappresen-
tano
una
coppia
di
va10ri
di
E e H
che
soddisfano
aIle
equazio-
ni
di
Maxvell.
4.
Pa
ssiamo
ora
allo
studio
delle
soluzioni
delle
equazioni
di
Maxve11
trovate
nel
numero
precedente.
Supponiarno
anzitutto
la
lamina
di
spessore
infinito,
ossia
s=
"0
, sd.cche 1a
lwdna
occupa
i1
semis
pazio
z
~o
•
.s14
Supponi
arn
o
che
per
t=t~,
z=O'fEocG(to)
e
proponiamoci
di
deter-
minar e i v
alori
di z e t
per
cui
E
rimane
uguale
a
Eo,
valori
che
rappresenteranno
una
caratteristica
dell'equazione
(3.6),
come
ha
osservato
i1
Prof.
Jeffrey.
Si ha
percio
l'equazione:
certamente
soddis
f a
tta
se:
205
Di££ereDZiando s1
ha
subitOI
(4.3)
Ora dz
~
10
spostamento
del
campo
elettrico
di
val
ore
E~
nel
tempo
dt.
quiJldi
Re-.,)
~
la
veloci
ta
con
cui
si
propaga
il
campo
elettrico
che
all'istante
to
aveva
il
valore
E
••
Notiamo
che
la
(4.2)
si
puo
ricavare
in
altro
modo
d1
va11di-
ta
pi~
amp1a.
Si
osservi
in£atti
che
se
G(t
-
p(E.,)z)
e
costan-
te
e
uguale
a Eo.
per
la
(3.6) s1
hal
da
cui
integrando
e
teJlendo
conto
che
per
t=t
o
,
z.o
, s1
r1-
trova
(4.2).
E'
bene
nctare
che,
essendo
~1/~r
pos1tiva,
11 campo s1
propaga
Bel
verso
positivo
dell'asse
z,
qu1ndi
la
soluz1one
del
numero
precedente
rappresenta
un'onda
che
s1
propaga
nel
verso
positi-
vo
dell'asse
z.
In
particolare,
se
il
campo
~
nullo
per
z=o
in
un
certo
istan-
te
to
,
esso
s1
propaga
con
veloc1ta
l/p(O).
Hel
caso
per
noi
pi~
interessante
in
cui
G(t)=O
per
t
...
0,
si
c ompz'ende
che
per
t>
0
si
avra
un
£ronte
d'
onda,
cioe
ua
pia-
no/
che
si
sposta
col
temp~
di
ascissa
z 0
..
Zo
(t
)
tale
che
per
Z
:;>zo,
E(z,t)::o,
per
z<z",E(z,t),lo
almeno
per
z
e(zo-k,z)
COD.
k ;>0 e
del
resto
qualsiasi.
Poiche
E
~
uguale
a
zero
per
ogni
t
suI
£ronte
d'onda,
la
sua
velocita
sara
la
velocitA
del
cam-
po
nullo,
ci~
il
£ronte
d'onda
si
sposta
con
velocitA
l/p(O).
5.
Passiamo
ora
a
discutere
la
(3.5).
Anzitutto
se
Gt
(u)
e
!dppr;
hanna
(se
diversi
da
zero)
per
ogai
u e
per
ogn1 E 10
stesso
segno
(per
esempio
G(u) e peE)
sono
206
funzioni
crescenti,
la
prima
rispetto
a
u,
l'altra
rispetto
a
E),
la
(3.5)
e
sempre
soddisfatta
e h
=00
per
ogni
t.
In
questa
caso,
se
Ie
condiziOfti
iniziali
sono
nulle
per
z?O
e
suI
piano
z=O e
assegnatc
per
ogni
t
positive
il
campo
elet-
trico,
per
un
teorema
di
unicitA
del
campo
elettromagnetico,
(3.3)
e
(3.10)
(pureM
si
assuaa
G(u)=o
per
U
-<
0)
rappresenta-
BO
il
campo
elettromagnetico
cOlllpatibile
con
Ie
condizioni
ini-
ziali
e
alIa
frontiera
e
che
si
propaga
nel
verso
positive
del-
l'asse
z.
Tornando
al
case
generale,
cerchiamo
di
dimostrare
l'esisten
...
za
del
numero
h>
0
di
cui
si
e
accennato
al
n.3.
A
questo
sc
opo,
aggiungeremo
un'ipotesi
pi~
che
plausibile
dal
punta
di
vista
fisico.
Cioe
la
funzione
G(t)
(0
che
e
10
stes-
so
G(u»
che
rappresenta
il
campo
E(O,t)
sia
limitata
assieme
alla
sua
derivata
G'
(u)
per
t E
(--
,T);
i.
altre
parole
esi-
stano
due
numeri
positivi
M e
M'
tali
ehe
per
ogni
U 4:-
(-
00
,T)
sia:
1G.1(1.L)\~M'.
\ E
\-s:
M
sarA
Inoltre
per
Ie
nostre
ipotesi
.fi"D
.9
e-h,e..
Ig
~(E~E
\
limitata
da
UJl.
numero
N.
Ci~
premesso,
fissato
un
istante
t,
esisterA
un
numero
positi-
vo
h(t)
tale
ehe
per
z €
[O,h(~)')
,
(3.5)
e
verificata
e
quiJl-
di
(3.3)
risolubile.
Allora
per
questi
valori
di
z,
t,
(E(z,t)I::IG(u)\~
M,
sic-
eM
l
~
1<
N,
inoltre
IG'
(u)
l~
MI.
Dimostriamo
ora
che
esiste
un
nwnero
h
o
tale
ehe
h(t»)
h
o
'
t
E.
(-
coo
,T).
Infatti
sostituendo
h(t)
in
(3.5)
e-
tenendo
con-
to
ehe
e
soddisfatta
se
Gt(u)?JI~)<O'
si
ha:
Ouiadi:
(5.3)
h(t)
>
~M'
=
~
..
207
come
si
era
arPermato.
Assumeremo h
~
he>
l'estremo
inPeriore
delJli
h(t)
per
t t
(-
00
.T).
T
pu~
essere
aache
inPinito
purch~
sia
soddis£atta
(5.1).
Per~
nel
caso
G(t)=O
per
t~O
(sicch~
(5.1)
sono
certamente
soddisPatte)
e t
non
e
molto
elevato,
segue
h-
00.
InPatti
sia
p~>
0
il
minimo
val
ore
di
peE)
per
IE\~
M,
allora
se
val-
gono
le
relazioai:
(5.4)
t
~
T
t <
P.
h =
r......,
Iho.. 0
NM'
il
valore
di
u
che
compar~
nella
(5.2)
~:
(5.5)
u =t -
p(E)h(t)
E; t - 'D h <
P.
h - P h =O.
......
-..
-.
Ma
allora
il
G'(u)
della
(5.2)
~
nullo
e
questa
equaziORe
nOB
puo
essere
soddisfatta
per
h(t)
finito.
Deve
essere
h=
00
10.
che
~
10
stesso,
la
soluzione
(3.3)
e
valida,per
valori
di
t
soddisfacenti
(5.4),
per
ogni
z,
ed
essa
rappresenta
il
campo
elettromagnetico
in
tutto
il
semispazio.
Si
noti
chef
come
ve-
dr~~o
~el
numero
seguente,
N
~
molto
piccOlo;
l'intervallo
di
tempo
in
cui
la
(3.3)
e
valida
PUQ
essere
sufficentemente
gran-
de
per
Ie
applicazioni
pratiche.
Hel
caso
in
cui
non
siano
soddisfatte
Ie
ipotesi
ora
esposte.
fissato
t
PUQ
esistere
un
valore:z
di
z
per
cui
la
(3.5)
e
nul-
la,
e
se
G(t
- p(E)z)
risulta
diverso
da
zero,
da
(3.6)
e
(3.7)
\
". '
l;lE I I
fl
. ' 9E I .
segue
che
~
~J:
=-t-
"0,
i-:i I.)f; =
...
c>o ,
C10e
Ie
deriva-
te
di
E
per
z
_z
tendono
a
diventare
infinite.
Si
ha
cioe,
conforme
a
una
locuzione
del
Prof.JefPrey,
una
catastroPe.
Si
PUQ
cosi
interpret
are
l'accennato
risultato
di
Cesari
per
cui
i
Suoi
teoremi
sono
validi
solo
~e
10
spessore
della
la-
mina
e
suPPicentemente
piccOlo.
20
8
In
seguito
cornunque ammetteremo
che
(3.3)
e
(3.10)
rappresen-
tino
il
campo
elettromagnetico,
almeno
per
valori
di
t e z
sU££icentemente
grandi
per
Ie
questioni
pratiche.
6.
Hel
case
s =
00
notiamo
che,
mentre
(2.12)
rimane
valida,
(2.14)
non
ha
pi~
signiPicato
e
si
pu~
sostituirla
can
la
con-
dizione
che
il
campo
sia
nullo
all'infinito,
0
meglio
che
il
campo
rappresenti
un'onda
che
si
propaga
nel
verso
positivo
del-
l'asse
z,
condizione
questa,
come
si
~
osservato
al
••
4,
sod-
dis£atta
dalle
(3.3)
e
(3.10).
Supponiamo
ora
l
'
onda
E<!
incidente
suI
piano
z=O,
col
campo
elettrico
i
(e
quindi
anche
il
campo
magnetico)
per
t
~O
ugua-
le
a t:L" senl.Dt
(A
0 e w
costanti)
•
Converra
introdurre
la
Punzione
di
Heaviside
let),
(l(t)=l
per
lo:i-l".IL)
tpO,
l(t)
=0
per
t<:O)
sicch~
si
avr!
(sostituendo.'
per
bre-
vita
di
scrittura,
E~(t)
a
E~(O,t),
e
analoga
semplilicazione
-
.faremo
in
segui
to
per
i
termini
che
compaiono
in
questa
equa-
zione)
:
(6.1)
Ci~
premesso,
per
ottenere
formule
semplici,
supporremo,
come
avviene
spesso
in
pratica,
debole
la
non
linearit!
cioe
che
sia
lecito
scrivere:
(6.2)
D(E)=
Eo
E +
1..
e.
peE)
dove F(E)
~
una
£Unzione
di
E
che
specificheremo
meglio
in
se-
guit~,
~
UK
parametro
adimensionale
molto
piccOlo
in
modo da
poter
traseurare
in
seguito
termini
in
,1.
. SUpporremo
inoltre,
il
cbe
non
~
af.fatto
res
trittivo,
F(O)=O.
Quindi
si
avra,
da
(3.1)
:
209
e
da
(3.10)
:
(6.4)
Allora
sostituendo
in
(2.12)
si
ha
l'equazione
per
E(t).
campo
elettrico
sul
piano
Z=O
e
sUlla
faccia
rivolta
verso
l'inter-
no
della
lamina:
Non
sarebbe
difficile
dimostrare
che
la
soluzione
E(t)
della
(6.5)
~
limitata~
ometteremo
per
brevita
questa
dimostrazione
o
Per
risolvere
esplicitamente
(6.5)
useremo
un ben
nota
proce-
dimento
di
approssimazione
ponendo:
(6.6)
E ( t ) = Eo ( t ) +
1.
E.f
(t)
•
Ora.
come e
noto.
si
puo
scrivere.
applicando
poi
il
teorema
del
valor
medio e
indicando
con
9-
nn numero compreso
fra
0
e ,1 :
(6 •
7H
l f (
~
(t) +
'1.
fAit))"
'1
F(~(~))40
,.t
F(~Lt)
+ 1.
EAt-V
- F
(E"ol~»)
=
=1F(Eo(t-))
"Hl'l.
F'(
E,,{t-h~,E.(t-))E.clt)
;&
"'l.
F(toU
"))
tenendo
conto
che
l'ultimo
termine
~
trascurabile
perche
del-
• • '1.
I
'ordJ.ne
dJ.
"l
•
Con
questo
ragionamento
si
giunge
alIa
formula
piu
generale
(A(t)
e
B(t)
due
funzioni
limitate
di
t
):
Si ha
cosl.
sostituendo
(6.6)
in
(6.5)
210
Quindi:
(
6 . 9 )
Eo/l;;)::
1~
a
MM~t
--let):
_~_
aoMMwt- -itt)
l
~+J£
0 ..
-4+_
dove a=
V:
o
e
1'indice
di
ri£razione
del
dielettrico
in
assen-
za
di
non
linearita.
Si
ha
poi:
Specializziamo
ora
la
F(E)
considerando
la
relazione
non -
-line-
are
pill
semplice
ira
DeE
cioe
(c{
costante)
:
'L
Quindi
essendo
(l(t»
=
l(t)
(6.12)
E~(t).
_
~
c(
_u_
a:
~wt
t(4+t\-
)
[..(ot
'")L
Posta:
(6.13)
si
ha
quindi:
e
il
valore
di
E~(t),
cioe
de~
campo
elettrico
dell'onda
ri-
flessa
suI
piano
z=O,
ricordando
(2.8)
e
(6.12)
:
Per
avere
il
campo
ri£lesso
nel
punto
di
coordinate
z,
basta
porre
nella
(6.15)
al
posto
di
t,
t +
~
z,
perche
ora
l'on-
./
da
si
propaga
nel
verso
~egativo
dell'asse
z,
con
velocita
~
•
JE;t.
./