Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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178
Que
sto
mostra
che
s e co
mpresa
fra
u 10 s
tate
tale
che
o
~
e
o
~.
5i
PUQ qu
ind
i sempre ch
iamare
..
\
...
~(u
,n)
<s < C'
(u.ri
)
o
es
c l udendo
il
caso
Keccez
ionale"
(4.09
).
(4
.11)
Unata 1e
disug
uaglianza
insieme
aIle
equazioni
(4
,5)
conduce
aIle
condizioni
di Lax
[71
: a non
raggiunge
mai
una
veloci
ta
cratter
ist
ica
ma e compreso
fra
due
autovalori
conaegutlvl
sla
per
11 campo u
che
per
il
campo u
o
(4.12)
(4.13)
per ogn i
~,
in
modo
tale
che
(11) v
iene
verificata
quale
che
sia
k.
Cosl
gl i
urtl
vengano
classificati
secondo
il
valore
di
k.
5.
Entropia.
Funzione
generatrlce
5uppo
ni
amo
adesso
l'es
istenza
dl
una
legge
di
conservazione
supp
lementare
(
2.0
9)
e,
in
analog
ia
con
Ie
equaz
ion
i
di
Rankine-Hugoniot
cons
lderiamo
la
fun
zi
one del l ' ur t o
(5.01)
In
condiz
ione
di
dlfferenziabilita
(2.09)
e
conseguenza
di
(2
.08)
e s i
potr-
ebbe
pensare
che
~
e
nulla
se
valgono
(4.0
2) .
1nvece,
di
sol
ito,
non e ve-
.
' . 5e
si
i ns er i sce
(4.03)
i n
(1)
sl
ottlene
Deriv
lamo
rispetto
a s
(5.02)
i =
<Vh
n
W
sVh}1i
-
(hI
=
~'(A
-
a1)it
-
[h]
= W
• n
~'h
-
[h]
(5.03)
(5.04)
t enendo c
onto
di
(2 .10 ) e
(4.
04).
Essendo
h una fu nz
ione
convessa
di
u ,
179
hj u ) - h l u) - 'i1h(u - u )
=:!(~
-
;-;)
H(u )
(~
-~)
'? 0,
o 0 2 0 c 0
e pe
rtanto
u
c
w
"70,
u +
2;"(
u - u
),
o 0
"f h " O.
(5.05)
Da
(3)
e
dalle
condizioni
di
Lax
segue
'(
=
Is
wds
~o
purche
l'u
rto
sia
nullo
quando s =
~
• Di
conseguenza
[81
o
che
traduce
come vedremo
la
crescenza
dell'entropia
.
Facciamo
la
derivata
di
~
lispetto
a u
o
>J v
V"1=u'(A
-sl)(I+Vh)-u'(A
-sl)
o
(n
0 0 on
(5.07)
= ('i;' -
~')(
A -
sl)
o on
in
virtu
di
(4.05).
Se
conosciamo
la
runzione
1'urto
in
termini
delle
variabi1i
u'
(
V
-1
u 'J = V /VI (A - s L)
o I on
~
'7
(uo
,s,n)
possiamo
ricavare
(5.08)
L'entropia
genera
l
'urto.
Accanto
a
questa
proprieta
la
formula
mette
in
ri-
salta
il
r
uolo
impo
rtante
di
u'
ch
iamato
da T.
Ruggeri
[91
,If
campo
princi-
pale
If
6.
Esempi
Per
il
f1uido
(§ 2)
la
legge
di
conservazione
supplementare
(2
.09)
che
sce-
glieremo
e
quella
dell'entropia
(2.07)
e vedremo
che
e
funzione
co
nvessa
di u (2
.05)
.
Inratti
(10)
.....,
2
Tdh =
u.d(eu
) + (G - u
!2)d{'
-
de.
dove G - TS e
l'entalpia
l
ibera
e
180
~
u
u'
- 1
(6
.03)
che
coincidono
con
Ie
variabili
introdotte
direttamente
da Godunov
[3J
.
Per
la
convessi
ta
basta
considerare
[10"1
w
Ma
e
pertanto
deve
essere
LG) -
(~~T)
[TJ
-
(~Gj)p)
[p)
<0
.
o 0
Ne
risulta
che
- G
deve
essere
una
funzione
convessa
di
peT,
una
condizione
ver
ificata
per
I'
equilibrio
termodinamico
[111.
D'altra
parte
i
(6.04)
rna
dall'equazione
di
conservazione
della
massa
segue
la
continuita
di
e dunque
i\f =
I)
(5
- u
)rsJ
.
, \ 0 on
Da
(5.07)
deriva
a1
10ra
1a
crescenza
de1l'entropia
(6.05)
Infine
1a
funzione
genera
trice
exp
("1/e
c
~
M )
" v 0 0 0
'( (U
o
• s ,
1)
si
esprime
ne1 modo
seguente
2¥
2 2 2 "tL 2 2. 2
= M
o
/(1
-I"
+r
M
o
)
1(1
+("')14
0
-I"
~
dove c e
1a
velocita
del
Buono, M
o
r
2
= «(-
l)/()'+
1),
(u -
s)/c
i1
numero
di
Mach,
on
0
)' = e
/c
p v
~6.06)
181
C
p
e
C
v
sono i
calori
specifici
costanti
per
un
fluido
politropico.
II
grafico
della
~
si
compone
di
due rami
corrispondenti
all'urto
lento
e
all'urto
veloce,
con due
punti
di
flesso
per
s = u
on
~
Co ' due
asintot~
per
s = u
on
~
Co V«(-
1)/2Y
e un pun
to
isolato
'1
= 0
per
s= u
on
corrispon-
dente
all'urto
caratteristico.
Per
i
materiali
iperelastici
della
meccanica
dei
continui
de = Td5 - T dF
ij
ij
dove T = (T 0 0) e
il
tensore
di
Piola-Kirchhoff,
F = (F
..
=
')u
.I~X.)
tensore
~J ~J
~
J
gradiente
di
spostamento.
5e
poi
v ,
=I)u.l~
e
la
velocita
di
spostamento,
0 _
~
~
~
la
densita
costante
nella
stato
di
referimento,
b
o
Ie
forze
esterne,
il
siste-
~
rna
(2.04)
e
definito
cosl
(su
una
base
ortonormale
di
vettori
~)
~
u=
F
e
i
, f' =
....
e,t
T
j i
e
j
...
...
- v
~
e
i
f =
0
......
V/
j 1
e*b.v
con
la
conservazione
dell'entropia
~S/~
=
o .
Da h
- 5 e
(6.06)
si
deduce
...
v
u'
=
T-
1
- T
(6.07)
- 1
5i
dimostra
come
nel
caso
del
fluido
che
-5
e una
funzione
convessa
di
u
pur-
che
questo
sia
vero
p~e(5,
F, 0)' Ne
segue
la
crescenza
dell'entropia
quando
I
~J
la
veloci
ta
dell'
urto
e
posi
ti
va
£12
J .
II
quadrivettore
(2.13)
ha
Ie
componenti
2
h'
=
(Ov
/2
- TooF
i
, - G)/T,
\~
~J
J
T u" .IT
J J
182
7.
Urti
caratteristici
Finora
si
e
considerata
una
soluzione
(4.03)
delle
equazioni
di
Rankine-
Hugoniot
(4.02)
dipendente
da
un
solo
parametro
s.
Adesso
ci
chiediamo
se
e
possibile
di
trovare
una
soluzione
u = u +
h(u
o 0
parametri
u
I
I
~
• u •
n},
(7.01)
(A -
sI)~
h -
~IS
h =0
n I
I'
poi
rispetto
a u e
eliminiamo
h
(7.02)
Se
p)l
esiste
almena uno
dei
vettori
che
non e
nullo
. Ne
segue
che
s e
neces-
sariamente
un
autovalore
di
A
n
Studiamo,
in
generale,
questa
possibilita.
Supponiamo
per
primo
che
....
s =
s(u
, n ) ,
autovalore
di
A
o on
Sostituendo
nella
(4.02)
e
facendo
la
derivata
rispetto
a
I
u
viene
e
pertanto
s
deve
essere
anche
autovalore
di
A .
Scriviamo
dunque
Ie
equazioni
n
(4
.02)
con
s =
~(u,
ri)
per
ottenere
e
d'altra
parte,
facendo
la
derivata
rispetto
s u
o
I,
2,
...•
p
(7.03)
(7
.04)
(A
-~I-hV~(I+Vh)
=A
-
~I
nOM
(7.05)
Mol~li
chiamo
queste
equazioni
per
un
autovettore
corrispondente
all'sutova-
(i)
lor
e
~
di
mol
teplici
t8
m
183
-
(1II·h)V~(I
+ Voh)
(i)
I'=1,2,
...
,m
1 (A -
~I)
,
I'
on
(7.06)
(7.07)
Se
II
I·
h
~
0,
dalla
prima
segue
';)1
~
la
seconda
equazione
d~
1 (A
-~I)=O,
I'
on
O. Se
invece
vale
l'uguaglianza,
cioe
~
e
autovalore
anche
di
A ,
dipende
sol
tanto
da u e dunque abbiamo'
on
0
ancora
e da
(7.04)
o
o
(7.08)
(7.09)
i.
e.
h puo
dipendere
da
tanti
parametri
quanti
possono
essere
i
vettori
(i)
~Ih
indipendenti,
vale
a
dire
m
(i)
I=1,2,
...
,m
La
(8)
si
scrive
oppure
tenendo
conto
di
(9)
(7.10)
(7.11)
Questa
uguaglianza,
che
deve
va1ere
qual1{he
sia
u e
~
e
la
condizione
di
e
c-
ceziona1ita
di
Lax.
I
La
(8)
fa
vedere
che
~
e
indipendente
di
u e
siccome
amme~amo
la
solu-
zione
n~1
1a
u = U
o
(corrispondente
per
esempio
alIa
nullita
di
tutti
i
para-
metri
u
),
segue
....
....
~(u,n)
=
~(u
,n).
o
(7.12)
La co
ndizione
(11)
si
incontra
spesso
in
Fisi
ca
ma t emat i ca ;
basta
citare
184
Ie onde
di
materia,
di
Alfven,
gravitationali,
di
Born-Infeld,
della
corda
re-
lativistica,
ecc.
[13)
. E'sempre
verificata
per
Ie onde
moltiple
di
un
sis-
tema
iperbolico
conservativo
(14)
• Oeriviamo
(A
-~r)d
=0
n r
nella
direzione
dell'autovettore
d
I,
Scriviamo
la
stessa
cosa
cambiando
gli
indici
e facciamo
la
differenza.
Per-
chll 11
sistemail
conservativo
An
.. Vt'n e
VVfndI,d
I
=VVt'ndldI'
. Rest a
Ne r i sul t a
necessariamente
(11) . Nel
caso
di
moteplicita
esistera
dunque sem-
pre
un
urto
che
si
propaga
con una
velocita
caratteristica
e che chiameremo
urto
caratterlstico.
Nel
caso
di
un
autovalore
semplice
la
condizione
(11)
di
ortogonalita
del
gradiente
di
~
e
dell'autovalore
corrispondente
pu~
anche
essere
soddi 5fat t a , p.
e.
per
gli
urti
di
Alfven.
S
ia
~
(x~)
.. 0
l'equazione
del
fronte
d'urto
che
veri
fica
l'equazione
carat-
ter-t
s t Ic a
(7.13)
(7.14)
S1 ha
e
derivando
rispetto
a
1
At4.
I
(7.15)
(7.16)
(7.17)
Moltiplichiamo
Ie
equazioni
del
campo
per
II
It
IrA u
ee
"
lIt
Ma
lIA~
~~
e un
opera
tore
di
derivata
tangenziale
alIa
superficie
d'urto
come
5i
vede da
(13,15).
01
conseguenza
s1
pu~
50stituire
nella
(17)
il
valore
(7.18)
185
(1)
di
u
sulla
superficie
0(1'\
It
(1)
lIA
~(u
+
h(u
• u , n» = 1
.r
;
I.
I'
=
1,2,
••.•
m
..
0 ° I
E~un
sistema
di
equazioni
differenziali
ordinarie
per
gli
u
I•
Infatti,
essen-
dO~Ih
un
autovettore
destro
di
An
(vedi
9)
Ie
derivate
dei
coefficienti
ap-
paiono
tramite
termini
del
tipo
"
I'
lI
A
d
I,
~t(
u
che
tenendo
conto
di
(16)
si
mettono
sotto
la
forma
(7.19)
dove
!
la
derivata
lunge
i
raggi
dell'urto
(7.20)
Po~ch!
il
sistema!
iperbolico
la
matrice
di
coefficienti
lI.d!.
e
invertibile
e
(14)
puc
essere
risolto
rispetto
aIle
derivate.
Le
quantita
~i~
sono
Ie
componenti
della
velocita
radiale.
La
~
chiara-
mente e una
funzione
omogen£~del
primo
grade
rispetto
aIle
f• .
Pertanto
dal
teorema
di
Eulero
oppure
E'interessante
di
notare
che
mentre
la
velocita
normale
~
e
continua
(12),
questo
non e
vero,
in
generale,per
la
velocita
radiale
[141.
Derivando
(13)
rispetto
a
'f.tenendo
u
o
costante
si
ha
';)~
t =
~04cr
+V'r~~h
I
~i
crJ
= -lVflV
c\
.")i
h
o
e
il
secondo
membro
non e,
di
solito,
nullo
Per
esempio,
in
un
fluido
esis-
te
un
urto,
cosl
chiamato
di
contatto,
che
si
propaga
con
la
velocita
carat
-
186
teristica
continua
s =
~.n
=
-;r
.n
•
Invece
e bene
conosciuto
che
,
per
questo
o
urto,
la
veloci
ta
radiale
~
e
discontinua
t
~:1
f, o.
8.
Soluzione
esplicita
Abbiamo
gia
visto
che,
quando
l'urto
e
debole,
il
saIto
di
u
appartiene
al-
10
sottospazio
degli
autovettori
di
~
. Quando
l'urto
non e
piu
deboIe
si
o
puo
ancora
dare
una forma
esplicita
del
saIto,
non
di
u
rna
di
u',
grazie
alIa
funzione
generatrice
1 .
Derivando
la
(5.01)
con s =
~
,
I)"'=~'(A
-~I)?h
=0,
I ( n I
in
virtu
di
(7.09).
Sieeome
~
e
nulla
per
l'urto
nullo
ne
risulta
!11
(u
,~
,h)!f
0
I 0 0
(8.01)
Pertanto.
la
sua
derivata
rispetto
a U
o
e
anehe
nulla
e
tenendo
conto
dalla
(5.03)
viene
ehe
inserita
nella
(5.08)
fornisee
h' (A -
~
I)
= - w V
~
on 0 0 0
h' = u ' - u'
o
(8.02)
Adesso
introduciamo
un
vettore
g(u,~)
cos
1
definito
g(A
-h)
=
-v~,
n
(i)
I =
1,2,
...
,m
(8.03)
La
soluzione
esiste
proprio
perche
vale
la
condizione
di
eccezionalita
(7
.11),
e
unica
perche
e
ortogonale
agli
autovettori
d
I
• 11
saIto
del
campo
princi~~
puo
mettersi
sotto
la
forma [151
.., I
~
-t
h' = u 1 (u , n) + w
g(u
,
n).
I 0 0
(8.04)
Nel
caso
lineare
g
sarebbe
nullo.
II
secondo
termine
rappresenta
dunque
la
parte
non
lineare
dell'urto
caratteristico.
I due
vettori
dipendono
dello
stato
prima
dell'urto
e
sono
conosciuti.
Resta
da
determinare
I
Deriviamo
(5.04)
rispetto
a u
sol
tanto
I
w(u
,u
).
o
..,
=
'i>
h'.h
I
187
cioe
purche
Per
la
derivata
seconda
I)
w ='a h' h
+~h'HI(U')~
h'
II'
II"
I
I'
v
"}
w g h
+')
h'H'~
h'
11'
o'
I
I'
(8.05)
(8.06)
e
9.
StabilitB
dell'urto
caratteristico
Sia
(8
.07)
n , =
cost.,
1
(9.01)
I
una
soluzione
ovvia
di (7
.13).
Scegliamo come
parametri
u
(che,
a
priori,
sono
del
tutto
arbitrari
)
delle
funzioni
lineari
di
tf.
Segue da
(8.05,
07)
Se supponiamo che
qua~he
sia
l'urto
,
come 10
e quando
l'urto
e
debole,
allora
(9.02)
la
derivata
prima
cresce
e siccome e
nulla
quando
l'urto
e
nUllo,
e
positiva.
Ne
risulta
che w
tende
all'infinito
con
'(
•
Ma
ai
vede
faci1mente
che
hvh
'
~
w