Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
Подождите немного. Документ загружается.
CENTRO INTERNAZIONALE
MATEMATICO
ESTlVO
(C.I.M.E.)
U R T I
GUY BOILLAT
Guy
BOILLAT
1.Preliminari
Introduciamo
un
vettore
che
e un
insieme
di
N
funzioni
delle
variabili
in-
a
dipendenti
x
(a
..
1,
2,
•••
.n)
a
u(x
)
La
variabile
X
O
..
t
rappresenta
usualmente
il
tempo
mentre
xi
(i
n) sono
variabili
di
spazio.
Scrlviamo
dove
1,2,
...
,
(
1.01)
u.
=
t)u/~x4l(
e
le
A" Bono
matrici
NX N
general
mente
dipendenti
dal
campo u e
delle
varia-
bili
x~
• La
somma
e
sottointesa
sugli
indici
ripetut~
.•
Un
tale
sistema
si
chiama
quasi
lineare.
Se 1e
matrici
Bono
indipendenti
da u
si
ha un
sistema
semi
lineare;
se
poi
anche
la
funzione
sorgente
f non
dipende
da u
il
siste-
ma
si
dice
lineare.
Dimentichiamo
ora
la
dipendenza
esplicita
da
x«
.11
5is-
tema
pu~
essere
riscritto
coal
170
o i
A (U)U
t
+ A (U)U
i
=
feu)
(1.02)
i
...
Definizione
di
iperbolicita.
Gli
autovalori
di
A A n. (n
versore
della
n
~
spazio)
rispetto
a A
O
sono
tutti
reali
per
ogni
1 ed
esiste
una
base
di
auto-
vettori
delle
spazio
di
u. Questo
implica
la
regolarita
di
A
O
e
pertanto
il
sistema
(1.02)
si
puo
mettere
sotto
la
forma
All'autovalore
i
u
t
+ A (U)U
i
=
feu)
\(i)
.
(1)
~
di
moltepl~cita
m devono
(1.03)
(i)
corrispondere
m
autovetto-
ri
(destri
e
sinistri)
linearmente
indipenaenti
cosl
definiti
=
0,
(i)
I =
1,2,-
•••
,m
(1.04)
(j)
J ::
1,2,
...
,m
che denoteremo anche
se~plicemente
lJ
' d
I•
In
particolare
se
tutte
Ie
matrici
di
(1.01)
sono
simmetriche,
cioe
ed
inoltre
A
O
e
definita
positiva,
(1.01)
viene
chiamato
sistema
di
Friedrichs
.
E
chiarD
che
tali
sistemi
sono
iperbolici.
In
generale
un
sistema
qualunque
non
si
puo
mettere
nella
forma
simmetrica;
pero
i
sis~emi
della
Fisica
mate-
~atica
8i
possono
ricondurre,
come vedremo , ad una
tale
forma.
2.
Sistemiconservativi
Questi
hanno una
~orma
speciale
nel
senso
che
si
scrivono
come
divergenza
nello
spazio-tempo
di
certi
vetteri
f~(U)
"
?..
f'
(u)
=
f'(u)
oppure,
'con
l'introduzione
del
gradiente
rispette
al
campo
u,
chs
corrisponde
a
(1.01)
con
A
f4
=
Vr'
.
(2.01)
(2.02)
171
Poiche
A
O
non e
s\ngolare
5i
puo qu
indi
scegliere
r
O
come ca
mpo
u ed
allora
i
"e + ';)it
(u)
r(u)
Per
un
fluido,
ad e5empio.
k i k
\'ik
(>u
eu
u
+ p
U =
r
i i
~
t
u
i
£
(e+
p)u
2
dove
~
= eu 12 +
eel'
energia
totale.
e
l'
energia
interna.
i
l
'entalpia
libera
legata
all'entropia
da
di
= TdS +
dr/t
Come
conseguenza
segue
la
legge
di
conservazione
del1'entropia
(2
.04)
(2.05)
e + pIt
(2.07)
Abbiamo
qui
un
sistema
con un
equazione
i n
piu
;
l'ultima
e
pero
una
conse-
guenza
delle
altre
.
In
generale
dato
un
sistema
conservativo
(2
.08)
e
un'equazione
scalare
conseguenza
(2.09)
se
si
fa
la
derivata
rispetto
ate
si
sostituisce
(2
.08)
si
ha
1'identita
i i
Vh(r
-
Au)
-
Vh
u = g
i i
che
deve
essere
vera
per
ogni
u
i
da
cui
i
1.2
,
••••
n
(2.10)
Friedrichs
e Lax hanno
fatto
vedere
[1]
chef
definita
1a
matrice
hessiana
H =
VVh.
la
matrice
HA
i
e
simmetrica.
Basta
allora
m01t~plicare
1a
(2
.08)
per
H
per
ottenere
un
sistema
del
tipo
172
Hf
(2.11)
che e un
sistema
simmetrico
ne1
senso
di
Friedr
ichs
purche
1a
funzione
h(u)
sia
una
funzione
convessa
di u ,
cioe
H
definita
positiva.
Quando
si
mo1t~lica
(2
.08)
per
H
si
perde
1a forma
conservativa,
perc
con
e:
un cambio
di
variabi1i
s1 puc
ritrovare
e
si
perviene
ad un
sistema
conserva-
tivo
e
simmetrico.
S1
introduce
il
campo nuovo
dato
da r2J
~
u'
=Vh
e qua
ttro
funz10ni
scalari
In
partico1are
per
~
= 0
h'
=
u'
.u
- h,
h'o;&
h',
e una
trasformata
di
Legendre.
Deriviamo
la
(2.13)
r
ispetto
a
u'
e da
(2.10)
r1su1ta
1-"
=
V'h,l(
In
partico1are
~
= V'h'
Ne
segue
(2.12)
(2
.13)
(2.13'
)
(2.14)
(2.15)
A,at(u,)U'
= s,
at
(2.16
)
cioe
1e nuove
matrici
non
solo
sono
simmetriche
rna
anche
hessiane.
La forma
(2.16)
e
stata
introdotta
da Godunov 131 con
tre
esempi.
Notare
1a
differenza
Ie
matrici
simmetriche
sono
rispettivam~nte
1n
(2.11)
e
(2.16).
173
3.
Equazionl
dl
Eulero
Applicando
un
principio
variazionale
alla
lagrangiana
L =
L(q:
• qS)
dove
le
qS(x~)
sono
funzioni
dello
spazio-tempo
e
~
equazioni
di
Eulero
(3.01)
~~qS
3i
arriva
al1e
tdo(OL/~)
_';)L/~qS
= 0
che
si
possono
mettere
nella
forma
conservativa
(2.04)
con
~Lj)qS
':>L/)q;
~L~s
0
s
r.i
s
~
j
• f =
0
u
=
qi
-q
o i
S
0
s
q
qo
(3.02)
(3.03)
Se L non
dipende
esplicitamente
da qS
basta
eliminare
la
terza
riga.
D'altra
parte
si
puo
definire
una
quantlta
con due
indici
tale
che
CJT~-O
fa
f( -
(3.04)
(3
.05)
se
le
equazioni
di
campo
(3.02)
sono
soddisfatte.
Le
(3.05)
rappresentano
quattro
equazioni
supplementari.
La
conservazione
dell'energia
corrisponde
a
~
=0
che
sceglieremo
come
equazione
(2.09)
con
(3.06)
Si
deve
ricavare
u'.
il
che
significa
che dobbiamo
valutare
le
derivate
par-
ziali
di
h
rispetto
alle
componenti
della
u.
Indichiamo
le
componenti
di
u
nella
maniera
seguente
o
u
S
i
u '" u
s
174
si
ricav
a
u'
i n q
uesto
modo
";)h/au
o
=~qsl)
uo
'h/~qS
+ qS
':>
(~L/dqs)/) uo
r 0 r 0 o 0 r
_ ()L/dqS
)qS/h
O
_
~L/~
q~
~q
~/)u°
_
~L
/)qS
!)qS
,1u
o
0
o r
1. r r
r
qo
e
similmente
per
le
altre
compo
nenti.
In
fine
s i ha
S S
u
' qo
0
u
'
i
-
")Ll)q~
u'
5 1.
u'
_h/~s
S
(5 i
tol
ga
la
ter
za
S
r
iga
se
L
L(~).)
Oi
conseguenza
-
u,j
-
u'
s s
ri
_u,s
~j
f =
0
o i
s
0
u'
0
(3.07)
(3.08)
cioe
~
,
f sono
funzion
i
lineari
di
u'
;
le
equazion
i di
Eulero
prendono
la
forma
(4)
.
(53
.
(3
.09)
L'u
ni
ca
nonl
inear
ita
e dovu
ta
al
co
ef
ficiente
della
der
iva
ta
tempor
ale.
Le
mat
ric
i
A,i,
B'
sono
co
stanti.
le
prime
s i
mmetriche.
l'
ultima
em
isimmetrica
V i _ A,i
A' - ,
oJ
B' = - B'
5e L non d
ipende
e
splicitamente
da qS, f e i l secondo membro
della
(3.09)
sono
nUlli;
un
caso
gUI
con
siderato
da Godunov
C3:!
.
5tudiamo
adesso
la
convess
it
a di h .
~u.lu'
=
~uHSu
.,
o,
'f
~u
-F
O.
Con (3 .03 ,07) s i o
ttie
ne
to
rnando a
Il
e va
ri
abili
ini
zi
a
li
175
1u.}u'
(3.10)
somma
di
tre
forme
quadratiche
ciascuna
delle
quali
deve
essere
definita
po-
sitiva.
5e
cerchiamo
Ie
velocita
caratteristiehe
basta
far
eorrisponder
e
e
si
ottiene
-
~ ~u
+'
l'
= 0 •
n
Quando
la
veloeita
e
nulla
segue
subito
da
(3.08)
0,
= O.
(3.11)
5e
inveee
supponiamo
~
~
0 da
(3.02)
si
ha
,,2
"r
s
:"1:2
s
+ eJ LI
"q
.
~
q . n , n .
)"
q
~
J
~
J
o.
Deve
risultare
nullo
il
determinante
delle
quantita
tra
parentesi.
Le
sue
ra-
diei
~(t)
usual
mente
sono
diversi
da
zero
. Ad
ogni
autovalore
~
I 0 e
asso-
eiato
un
eerto
autovettore.
5upponiamo
ehe
per
un
eerto
valore
di~
la
velo-
eita
diventa
nulla,
signifiea
ehe
la
molteplieita.
dell'autovalore
~=
0
au-
menta,
ma
il
numero
di
autovettori
assoeiati
e
sempre
10
stesso,
dato
da
(11).
5i
perde
eosl
l'iperbolieita.
5i
deve
dunque
evitare
ehe
J
(~)
=
0;
la
matri-
ee
deve
essere
regolare.
Una
eondizione
ovviamente
soddisfatte
se
vale
la
eon-
vessita
(vedi
(3.10).
176
4.
Urti
Supponiamo
che
attraverso
una
superficie
~(x~)
di
normale,
e
velocita
s:_f(/"'f\
t
il
campo u e
discontinuo
(u)
: U - U
o
f. o.
o
che
si
muove
col
tempo,
(4.01)
Al
sistema
(2
.01)
si
appliea
il
teorema
di
flusso-divergenza
e
si
arriva
a11e
equaz
ioni
di
Rankine-Hugoniot
ehe
si
serivono
[6)
I
,e
, t
[rl-
seuJ:
0,
n
t
n
i
r
(u)n
.
1.
(4.02)
I1
problema
e
r (u) - B U = r (u ) - s U
n n 0 0
tro
vare
il
campo dopo
l'urto
in
term
ini
del
eampo U
o
prima
l'urto
e
di
s
(velocitA
dell'urto)
u = U +
h(u
,s,~).
o 0
Deriviamo
(4.02)
rispetto
a s e U
o
(A - 81)& - h = 0
n
Supponiamo
ehe
l'urto
sia
debole.
Faceiamo
tendere
b a
zero;
si
ha
(A - 81)& O.
on 0
II
che
signifiea
ehe
s e
autovalore
di
A
on
(4.03)
(4.04)
(4.05)
8 =
~(u
,'it)
,
o
Ii
=d..d(u~)
.
o 0
177
Da (4
.03)
segue
h(u
•
~
',n )
~
0
• 0 0
(4.06)
e.
facendo
la
derivata
rispetto
a U
o
V h + il V
~
= O.
000
0
Prendendo
il
dterminante
della
(4.05)
si
ottiene
det
(I
+ V h) =
det
(A -
sI)1
det(A
-
sI).
o on n
L'equazione
precedente
d~
subito
il
valore
del
primo
membro
det(I
+ V
h)
= 1 - V
~
.il
= 1 -
~.
o 0 0 0 0
II
secondo
membro
si
presenta
jn
una forma
indeterminata
(4.07)
11
cui
limite
-
1/(~'
-
1)
o
deriva
facilmente
della
regola
di
L'Hospita1.
Pertanto
1-
~
=
II
(1 - /I:
i.
~
(~
-
2)
= O.
o 0 0 0
(4.08)
o
significa
che
V}.
.il
o 0 0
o e
quindi
v
~.d
= O.
000
(4.09)
Torneremo
su
questa
condizione
di
"eccezionalita
".
cosl
chiamata
da Lax e
supporremo
per
il
momento
che
non e
verificata
(urto
normale).
Allora
i. =
2,
~
=
~
+ \'
(s
-
~
) +
•••
,
o 0
~o
0
s =
(~+
~
)/2
+
O(s
_
~
)2
o 0
(4.10)
cioe
la
velocita
di
un
urto
debole
e
il
valore
medio
della
ve10cita
caratte-
ristica.