Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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146
et
sur
une
te11e
section
on a
A(x, p)
o
Soit
IT
:
T~
+ X
la
projection
canonique
(x,p)'+
x de
T~
sur
X.
On
definit
une
(-forme
sur
T~,
appelee
I-forme
fondamentale
ou forme de
soudure
par:
B( )
(u)
c
p(lI'
(u»
x,p
son
expression
en
coordonnees
locales
est
:
u €. T T*x
X,p
La
2-forme
B
(j
= de
x
Ph dx
est
fermee
et
de
rang
2~,
une
telle
2-forme
est
dite
symplectique.
La
2-forme
(j
mun
it
T~
de sa
structure
symplectique
canonique
. Une
sous-variete
de T*x
qui
annule
(j
et
qui
est
de 1a
dimension
maximum
possible,
c'est
a
dire
:
~
,
est
dite
lagrangienne.
Si
Vest
une
variete
de
dimension
~,
immergee
dans
T*x
par
une
application
f,
on
dit
que
(V,f)
est
une
sous-variete
1agrangienne
[immergee] de T*x
si
o
sur
V
ou
f
2 Recherche
d'une
sous-variete
lagrangienne
(V,f)
de
T~
telle
que
A(x,p)
= O.
Le prob1eme
est
celui
de
la
recherche
des
varietes
integra1es
(immergees
147
dans
T~)de
dimension
~
du
systeme
differentiel
exterieur
(2-1)
a
o
(2-2)
o
La
fermeture
de
ce
s~steme
contient,
outre
1es
equations
precedentes,
1'equa-
tion
exterieure
sur
T~
:
(2-3)
dA
o
Le
systeme
caracteristique
de
2-1,
2-2
est
Ie
systeme
associe
de
2-1,
2-3.
11
est
constitue
par
les
champs de
vecteurs
v
sur
T1x
tels
que :
(2-4)
i a
v
k d A
avec
k€:JR
c'est
a
dire
en
coordonnees
canoniques
(XA,PA)
de T*X ou v =
(vA,VA+~)
A - 0,
•••
,
~-I
(2-5)
Un champ de
vecteurs
vA
possedant
la
propriete
2-4
est
dit
hami1tonien
pour
1a
structure
symp1ectique
a
et
1'hamiltonien
A. On
remarque
que vA
est
tangent
a
Jl:
(sous-var
ie
te
A(x,p)
0 de T1x)
Une
trajectoire
du champ de
vecteurs
hamiltonien
vA
est
appelee
une
(courbe)
bicaracteristique
de
l'equation
aux
derivees
partielles
A(x,
~x)
= o.
On
suppose
que
l'hamiltonien
A
n'a
pas
de
point
critique
sur
ciC(c'est
a
dire
que dA
~
0 quand A =
0),
Ie
champ
hamiltonien
vA
n'a
alors
pas
de
zero
sur
en:
,
et
on d.emont
re
Le
theoreme
fondamental
suivant
(cf
par
exemple
Ill):
Soit
Y une
sous-variete
compacte
de
dimension
t-I
de T*x
verifiant
a = 0
et
A =
0,
transversale
en
chaque
point
au champ
hamiltonien
vA.
Soit
f
t
Ie
flot
du champ de
vecteurs
vA'
alors
(Y x
:JR
,f)
ou
f:
Y x
:JR
...
T~
par
(y,t)
.....
ft(y)
148
est
une
sous-variete
1agrangienne
immergee de
T~.
3.
Determination
de 1a
phase.
Etant
donnee une
sous-variete
1agrangienne
(V,f)
immergee
dans
X,
il
existe
dans
chaque
ouvert
U C V
simplement
connexe
une
phase
~
,
determinee
a une
constante
additive
pres,
satisfaisant
a
l'equation
(3-1
)
puisque
l'on
a,
sur
U, fX de = fX
o
= O.
v
Remarque : 11
existe
toujours,
globalement,
sur
Ie
recouvrement
universel
V
v v
de V,
projete
sur
V
par
IT,
une
fonction
~
telle
que
v
d
~
v
(f
0 IT)x e
On
d
eduit
de
~
, connu
dans
uc
V, une
phase
~
dans
n
ex
si
l'application
IT
0 f : U
~
nest
inversible.
L'application
f
etant
une immersion
il
existe
toujours
un
sous-ouvert,
enco-
re
note
U, de U,
tel
que f
soit
un
diffeomorphisme
de U
sur
feU).
L'applica-
tion
IT
0
fest
alors
inversible
sur
U
si
la
projection
IT
: T*X
~
X
restreinte
a feU)
est
inversible
:
il
en
sera
ainsi
au
voisinage
de
tout
point
ou feU)
n'
est
pas
tangent
a
la
fibre
de
TXX,
c'est
a
dire
n'a
pas
un
plan
tangent
"vertical".
Soit
x€.n
ex,
tel
que IT-I (x) ne
soit
pas
tangent
a
feU).
Soit
Y
1
,
..
• Yk
1es
points
de feU)
tels
que IT(Yi) = x
149
Le
poin
t x
admettra
un
voisinage
dans
X,
encore
note
n
tel
que
IT-Ic
n)
soit
l'union
disjointe
d'ouverts
de fCU) :
C3-2)
i =
U fCUi)
I,
•.•
,k
A
chaque
U,
pour
une
meme
phase
~
sur
V,
correspond
une
phase
~
i
sur
n donnee
par
:
-)
Ifi =
~
0 (IT
i
0
f)
,
Dans
les
applications
la
donnee
physique
est
souvent
la
variete
lagrangienne
V,
provenant
de
la
geometrie
du
probleme
et
de
sa
dynamique :
les
bicaracte-
ristiques,
c'est
a
dire
les
trajectoires
du
vecteur
hamiltonien
vA
sont
les
rayons
lumineux
Cdans
l'espace
des
phases)
dans
les
problemes
d'optique,
les
trajectoires
des
particules
materielles
dans
d'autres
problemes.
Nous
allons
cons ider er
Ie
cas
ou
la
projection
de V,
supposee
sous-variete
de
r*x
pour
simplifier,
sur
Q c:
r%x
n'est
pas
bijective,
mais
OU
il
existe
un
sous-ensem-
ble
L de V
(son
"contour
apparent")
tel
que IT-I cm = V
"L
soit
de
la
forme
(3-3)
-I
IT
cm = V
........
L =
i =
U
1, •• • k
U.
L
oU
chaque
res
tric
tion
1\
de
IT
a Ui
IT
. U.
~
Q
L L
est
un
diffeomorphisme.
4.
Solutions
asymptotiques.
II
est
nature
1 de
chercher
une
solution
asymptotique
du
systeme
differentiel
150
d'equation
eikonale
A(x,
~x)
= 0,
correspondant
a une
variete
lagrangienne
du
type
3-3
sous
la
forme :
(4-1)
ufx)
k
E
L •
i, w
'f
i
(x)
e
vi
(x)
ou
les
i'i
sont
des
phases,
sur
nc. X,
correspondan
tala
varie
te
v. On
sera
aide
dans
ce
calcul
par
la
methode de
la
phase
stationnaire
qui
montre
(cfVII)
comment
4-)
liee
a
l'evaluation
asymptotique
d'une
integrale.
Des
developpe-
ments du
type
4-1,
et
les
equations
de
transport
correspondantes,
sont
utili-
sees
pour
determiner
l'intensite
lumineuse
en
presence
de
caustiques
(envelop-
pe
des
rayons
lumineux
en
projection
sur
l'espace-temps
X).
Remarque : Chaque
phase
~i
n'est
connue
qu'a
une
constante
additive
pres,
puisque
la
variete
lagrangienne
V ne
determine
W
qu'a
l'addition
pres
d'une
constante,
depourvue
de
signification
physique.
La
theorie
des
integrales
a-
symptotiques
et
de
l'incide
de Maslov
permet
de
determiner
des
relations
entre
ces
constantes,
puis
des
conditions
sur
la
variete
V,
dites
cor~itions
de
quan-
tification
de
Maslov,
pour
qu'il
corresponde
a V une
solution
asymptotique
globale,
avec
une
phase
\f
determinee
globalement
sur
n = n(V)
(cf
references
[3l
et
[51
de
VIII).
151
VII
PHASE STATlONNAlRE. PARAMETRlSATION
D'UNE VARlETE LAGRANGlENNE.
I.
Methode de
la
phase
statiounaire
(une
variable).
On
se
propose
d'evaluer,
pour
w
grand,
une
integrale
de
la
forme
lew) -
00
ou a
et
f
sont
des
fonctions
C ,
et
a
est
a
support
compact.
J
O
)
On
suppose
que
~~
ne
s'annule
pas
sur
Ie
support
de
a;
on
deduit
alors
de
que
a
(e
i w
f)
aa
• iw
lew) z
I
iw
l'integrale
etant
bornee
par
un nombre M
independant
de w on a
-I
Mw
152
Par
iteration
du
procede
on
trouve,
pour
tout
n
~
~
I(w) 0 (w-
n)
2°)
On suppose que f
s'annule
en un
point
et
un
seul
0
0
du
support
de a
et
a
2
f
que
---2
r 0
pour
0 = 0
0,
c'est
a
dire
que f a un
point
critique,
et
un
seul.
ao
non
degenere
sur
Ie
support
de a .
On montre que f
peut
alors
s'ecrire
dans
un
voisinage
de 0
0,
par
un
change-
ment de
variable
o~
t(o)
tel
que
t(oo)
- 0,
sous
la
forme
g(t)
-
f(o(t»
=
g(o)
+ t t
2
e:
•
donc
I(w)·
J::
e
i we:/2
t
2
b(t)
dt
_
iwg(o)
do
ou b I t ) = e
a(o(t»
-
dt
l'integrale
existe,
absolument
convergente,
puisque
b a un
support
compact.
On
peut
en
particulier
la
calculer
par
passage
a
la
limite
On
pose
alors
I(w)
lim
A = + 00
f
A eiwe:/2 t
2
b(t)
dt
-A
On
sait
que
b It ) =
b(o)
+ t
c(t)
On
va.
estimer
lim
A=oo
f
+ A iwe:/2 t
2
b(o)
e
dt
-A
b
(0)
(2II»)
/2
w
iIIe:/4
e
f
+ A eiwe:/2 t
2
I I (w) ::
lim
c
(c)
t d t
A=+oo
-A
Puisque
b a un
support
compact on a c(A)
c(
-A)
done
( )
m
_1_
I(
W
iwe:
lim
A = <:D
J
+ A
-A
iwe:/2 t
2
e
c'(t)
dt
153
l'integrale
est
bornee
parce
que
c'
est
une
fonction
de
c1asse
c
2
bornee
ain-
. d- . -
d'
d 2 (
JAB
e
iwe:/2
t
2
c'(t)
dt
sr que
ses
er
rvees
or
re.;;: on montre que
tend
vers
zero
quand A
et
B
tendent
vers
l'infini
en
faisant
des
integrations
par
parties).
Le
raisonnement
peut
s'appliquer
a nouveau
pour
l'estimation
de
l'integrale
figurant
dans
IJ(w).
On a montre que :
Ona
Ona
sa
= <If da
dt
<la
dt
au
point
t = 0, a
a
o
on a done
done
da I
dt
t=O
m
<l2~
,-1/2
<la
a=a
o
D'ou
finalement
l'evaluation
asymptotique
I(w)
ou
3°)
Supposons que f a un ensemble
fini
a.,
j E:
J,
de
points
critiques
non
J
degeneres
sur
Ie
support
de a. En
utilisant
une
partition
de
l'unite
sur
ce
154
support,
isolant
les
points
critiques,
on demontre que
ou E.
J
I(w)
ilk
./
4
e
J
iwf
(a.)
e J
a(a.)
J
2. Methode de
la
phase
stationnaire
(plusieurs
variables).
Considerons
l'integrale
I(w) =
J
a(y)
eiwf(y)
d~(y)
Y
oo
ou a
et
f
sont
des
fonctions
a
valeurs
reelles,
C ,
sur
une
variete
riemanien-
ne
Coo,
Y,
d'element
de volume
d~(y),
de
dimension
n.
1°)
Supposons que a
est
a
support
compact
et
que f
n'a
pas de
point
critique
sur
Ie
support
de
a.
on a a
Ior
s ,
pour
tout
1'1
E.
II
:
-N
I(w)
• O( w )
En
effet
on a :
d'ou
iwf
e
iwf
e
i
• iw v
iwf
e
en
posant
(si
f
n'a
pas
de
point
critique
on a
i
v
155
c'est
a
dire
iwf
e
1
= iw
done
I
iw
l'integrale
etant
bornee
on a lew) = O(w-
I).
Le
resuitat
O(w-
N)
s'obtient
par
iteration
.
en
ce
point
est
une forme
quadratique
non
degeneree,
a q
carres
po-
2°)
Supposons que f a un
point
critique
et
un
seuI,
Yo'
sur
Ie
support
de
c'est
a
dire
que
Ie
hessien
a,
et
que
ce
point
critique
est
non
degenere
(l2
f
sitifs
et
p = n - q
car
res
negatifs.
D'apres
Ie
lemne de Morse
il
existe
des
coordonnees
locales
t
l
,
...
t
n
au
voisinage
de y
telies
que:
o
f(t)
a
f(y(t»
=
f(o)
+
Q(t)
t
avec
I
Q(t) =
2"
q
E
i =
. 2 I p+q . 2
(t~)
-
2"
E
(t~)
i = q+1
Dans
ces
coordonnees
:
avec
iwf(o)
-
1/2
bet)
= e
a(y(t»
[d
et
g
..
1
1J
ou g
•.
sont
les
composantes
de
la
metrique
dans
les
coordonn
ee s
t.
La
quanti-
~J
te
det
Hess
f/
det
g
est
un
scalaire;
on a au
point
Yo' en co
ordonnees
t
done,
en
ce
point