Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
Подождите немного. Документ загружается.
126
IV
DEVELOPPEMENTS
ASYMPTOTIQUES POUR DES
E~ATIONS
QUASI LINEAIRES A CARACTERISTIQUES SIMPLES.
r
Definitions
Nous
designons
par
X une
variete
differentiable
de
classe
C
m
de
dimension
n • • d X.' xO.x
l
•
~-!
d d
~
lId
~.
par
x un
p01nt
e
••••
x
sont
es
coor
onnees
oca
es
e
x.
Nous
considerons
un systeme de N
equations
aux
derivees
partielles
du
premier
ordre
sur
X.
quasi
lineaires.
aux N
inconnues
uk(x).
fonctions(!)
sur
X a
valeurs
complexes
(1-1
)
L u o
en
posant
u =
I N
u ,
•••
, u
et
en
des
i.gnanz
par
u ... L u une
application
(non
lineaire)
de
l'espace
des
suites
{uk(x)}
de N
fonctions
differentiables
con-
tenues
dans
un
polycylindre
P :
(I)
les
inconnues
uk(x)
peuvent
aussi
etre
des
tenseurs
sur
X.
l'application
u »
Lu
s'ecrit
encore
!-'3 en
coordonnees
locales.
les
u
i
etant
les
com-
posantes
des
tenseurs
envisages,
(1-2)
127
uk(x)
fonctions
donnees ,
o
dans
l'espace
des
suites
de N
fonctions,
ayant
dans
chaque
systeme
de
coord
on-
nees
locales
une
expression
de
la
forme
(1-3)
'A i
_
a~
(x,u)
au,
+
bj(x,u)
s 0
1.
ax"
i,j
s
I,
••
,N;
A = 0
•••
,t-I
tx
.
at
(x.u)
et
bJ(x.u)
sont
des
fonctions
de
classe
C~
en x,
analytiques
en u
sur
P
et
egales
a
la
somme
de
leur
developpement
en
serie
entiere
(1-4)
bj(x,u)
ou on a
pose
i
Designons
par
u
(x.~)
• q -
0.1
••••
,
des
fonctions
a
valeurs
complexes.
deri-
q
vables.
de
x
€X
et
d'un
parametre
numerique
reel
~
•
par
w un
parametre
reel
(norome
frequence),
par
~x)
une
fonction
derivable
sur
X
(noromee
phase).
Posons
(1-5)
i
u
q
i
u 0 w
q
i
u
q
(x,
w'f'
)
Nous
dirons
comme
dans
Ie
cas
lineaire
(cf.
II)
que
la
serie
formelle
(1"
-6)
i
u
est
une onde
asymptotique
pour
le
systeme
d'equations
aux
derivees
partielles
si
en
reportant
formellement
1-6
dans
1-3,
compte-tenu
de
)-4
on
trouve
un
developpement
en
serie
de
puissance
de w
qui
s'ecrit,
formellement
:
12 8
(
1-7)
E w
-q
F~
• W
If
= 0
q = 0
dont
chaque
coeffic
ient
F
j
est
nul
que1s que
soient
x
et
~.
q
2 -
Determination
de 1a
phase
~
•
On
pose.
comme
dans
II
(2
-1)
on a
. i
u
q
(2-
2)
On
trouve
a10rs
en r
eportant
dans
\-3
une
expression
de 1a forme
\-7
au
les
coeffic
ients
F
j
sont
q
(2
-3)
(2-
4) F
j
a
~A
(
ui
a 'f +
i
jA
h
.i
Cl
A
'f
+ b
j
-
Cl
" u
o
)
+a
u
1
u
0
10 I A
0
0
F
j
j A • i
Cl
A'f +
j A i + j
i
j " h
i.
i h
.i
I
-
a
i o
u
2
a
i o
Cl"
u
1
b
i
u \
+aih
{u
l(Cl
"
Uo+ul
Cl,,
'f
) + u
2
uO
Cl
A'f}
(2-5)
129
i
Nous
etudierons
Ie
cas
ou U
o
est
une
solut
ion
donne
e,
i ndependant e de
S,
des
equations
1-3.
(2-6)
Les
equat
ions
F
j
• 0
s'ecrivent
alors
q
(2-7)
F
j
-
0
-I
(2
-8)
F
j
a~A
CIA
'f
.i
• 0
0
-
10
u
1
(2
-9)
F
j
a
~A
Cl
A~
.i
+
jA i jA h
.i
1
-
10
U
2
a
i o
CIA
u
1
+ a
i h
CI
AIf u
1
u
1
'A
i
+ b
j)
h
+
(aih
CIA
u u
1
.
0
0 h
(2-10)
F
j
a~A
CIA
If'
.1'
+
jA i jA
CIA
'f
h
.i
-
u
q
+
1
a
i o
CIA
u
+ a
i h
u
1
u
q
10
q
q
'A
. i +
CI
u
i)
+ b
j
}
h
+ f j
+
{alh
(CIA
'P
u
• 0
u
1
A
0 h q q
OU
fj
ne depend que
des
i
.i
CIA
i
OU p <
u
,
u
,
u
q.
q p p p
L'equation
2
-8
e
ntr
aine,
si
l'on
veut
.i
t 0
que u
1
(
2-11)
A(x,
'f'
x)
o
2-11
est
une equa
tion
aux
der
i vees
part
ielles
du
premier
o
rdre
qui
expr
ime
que
la
phase
'f
est
solut
ion
de
l'
equ
ation
caracteristi
que
approchee,
obtenue
en
donnant
aux coe
fficien
ts
principaux
de 1-3
la
valeur
qu
'i1s
prennent
pour
la
solution
donnee
ui(x)
.
o
On
designe
par
A(x,p)
Ie
polynome
caracteristique
du systeme 1-3
correspon-
dant
a
la
solution
u~
,
c'
est
a
dire
Ie
polynome
des
composantes
PA
du
vecteur
covariant
p
defini
par :
A(x
,p)
'A
d
et(a~
p,)
10
J\
130
I'
equation
2-11
exprime que Le
gradient
'f x de
la
phase
'f es t une
racine
de
ce polynome
et
on suppose que
cette
racine
est
simple,
c'est
a
dire
que
pour
tout
x
Eo
X
ou on a pose
a
A
A(x,p)
Le
determinant
A
est
alors
necessairement
de
rang
N-I
pour
p = 'f
x'
Vx
Eo
X.
l'
etant
choisi
solution
de
2-11
on
deduit
de
2-8
(3-1)
ou
hi(x)
est
une
solution
du systeme
d'equations
lineaires
homogenes
(3-2)
o
et
VI(x,~)
une
fonction
arbitraire
.
Puisque
A(x,
fx)
est
de
rang
N-I.
hi
est
determine
a un
facteur
pres.
On
choisit
:
(3-3)
(3-4)
Les
equations
F
j
= 0
sont.
si
If
verifie
2-
11,
N
equations
lineaires
pour
1
les
N
inc
onnue s
.i
a
determinant
nul.
.i
d
exister
u
2
•
Les u
2
ne
pourront
onc
,
131
reguliers,
que
si
(3-5)
ou on a
pose
(3-6)
et
OU
on a
designe
par
h. une
solution
du
systeme
transpose
de
3-2,
c'est
a
J
dire
telle
que
(3-7)
On
a
(cf
.
II)
(3-8)
h.
a~).
a, ID • 0
J 1.0 1\ T
ou
A~(X,P)
designe
Ie
mineur
de
af~
p).
dans
Ie
determinant
A(x,p),
et
k une
fonction
de x
qui
depend du
choix
de
hi
et
h. (on
peut
les
choisir
de
maniere
J
a
avoir
k • I)
et
(3-9)
On
deduit
de
(3-9)
que
l'equation
3-5
s'ecrit
(3-10)
A aU
I
(x,!:;)
k A A +
a(x)
UI(x,;)
UI(x,;)
+ B(x)
UI(x,;)
E 0
ax
est
la
derivation
Ie
long
du
rayon
correspondant
a
la
surface
d'onde
cte
On
a
pose
(3-11)
(3-12)
i
a
et
Bne
dependent
que
des
equations
donnees
et
de
la
solution
u
o•
132
Le
coefficient
e a une
expression
analogue
a ce11e
obtenue
dans
Ie cas
line
-
aire,
en
11.3.14,
une
fois
la
solution
u
i
choisie,
et
en
rempla~ant
b~
dans
o 1
j
j).
R.
11
.3.14
par
b
i
+ aR.i a). U
o
Le terme
aU
I
01
n'existe
pas
dans
Ie
cas
lineaire.
La non
nullite
du
coef-
ficient
a va
provoquer
un
effet,
lie
a
la
non
linearite,
de
dis
torsion
des
signaux.
Pour
ealculer
Ie
coefficient
a on remarque que
(3-13)
or,
d'apres
3-8
on a
a •
(3-14)
= u
•
'f~
en
eonsiderant
que
(3-15)
A(x,u,p)
')'
det
(ai
(x,
u)
p).)
on demontre
(cf
Boillat
IV-~)
que
la
quantite
3-14
est
proportionnelle
a
la
d
~
• -
<lA
er
ive
e
--R.
au
On
aura:
si
de
la
vitesse
de
propagation
eorrespondant
a
l'onde
Y'(x) •
ete.
a 0
(3-16)
{OA
}
hi
auR.
u.
u
p •
'f~
o
les
varietes
earaeteristiques
possedant
la
propriete
3-16,
rene
on
tree
par
P. Lax (meeanique
classique)
et
G.
Boillat
(meeanique
relativiste)
dans
l'e-
tude
des
discontinuites
ont
ete
appelees
par
eux
exeeptionnelies
.
133
4 -
Integration
•
L'equation
3-11
est
une
equation
aux
derivees
partie1les
du
ler
ordre
qua-
si
lineaire,
son
integration
se
ramene done a
celle
d'un
systeme
differentiel
ordinaire,
son systeme
bicaracteristique.
Celui-ci
s'ecrit
:
(4-1)
la
solution
dt
(4-2)
x =
x(t,y)
x(o,y)
= y
des
t+
1
premiers
rapports
est
le
rayon
correspondant
a
la
surface
d'onde
~x)
=
cte
passant
par
le
point
y.
La
solution
UI(x
,~)
passant
par
la
var
iete
initiale
(4-3) ( l: )
s(y)
•
0,
{UI(x,~)}
x = Y • WI(y,n)
~
= n
(s
et
WI
fonctions
donnees)
est
engendree
par
les
courbes
bicaracteristiques
(solutions
de 4-1)
s'appuyant
sur
l: ,
c'est
a
dire
est
obtenue
par
elimina-
tion
de
t,
y, n
entre
les
solutions
de 4-1
(4-4
a)
(4-4
b)
(4-4
c)
x •
x(t,y)
~
•
~(t,y,n)
verifiant
x(o,y)
• y ,
UI(o,y,n)
=
WI(y,n),
~(o,y,n)
• n avec
s(y)
= o.
Remarque :
Si
la
sous-variete
S de V
n,
s(y)
= 0,
est
differentiable
et
transversale
aux
rayons
(c'est
a
dire
que son
plan
tangent
ne
contient
pas Ie
vecteur
tangent
134
au
rayon
en ce
point)
les
equations
4-4
a
sont
inversibles
pour
t
assez
petit;
en
dehors
d'un
voisinage
de
s(y)
= 0
cette
inversion
peut
ne pas
etre
possi-
ble
(cas
ou
les
rayons
admettent
des
caustiques).
Les rayons x =
x(t,y)
etant
supposes
connus
les
fonctions
U1(t,y,n)
et
~(t,y,n)
sont
donnees
par
les
quadratures
(4-5
a)
(4-5
b)
fo
t
U
I
•
exp(
- 8(X(T,y» dT)
WI
(y
,n)
~
• n +
f:
a(X(T,y»
U1(T,y,n)
dT
c'est
il
dire
(4-6 a)
U
•
WI
(y,n)
$
(t,y)
ou
I
(4-6 b)
~
n +
WI
(y,n)
~(t,y)
ou
Remarque on a
(4-7)
~
(t,y,n)
an
d'ou
(~(o,y)
= 0)
:
(4-8)
li
(o,y,n)
•
an
$ = exp
(-
J:
a
dT )
~
=
ra
~
dT
0
aWl
~
+--
an
~
etant
une
fonction
continue
de
t,
d'apres
les
hypotheses
faites
au § I on
deduit
de 4-8
l'existence
pour
t
petit
d'une
fonetion
differentiable
n •
n(t,y,~)
PI
~
.
~
t
t·
(t; t') d 4-6 b
pour
It I $. t . at' oJ 0
us
prec~semen
on
pourra
~rer
n
,y,~
e , 0
s~
~
r
pour
It I
~
to'
On a ,
pour
t
petit
(done
~
petit)
qui
traduit,
reporte
dans 4-6 b de
petites
perturbations
de
la
forme du
135
signal,
dependant
de
cette
forme.
On
remarque
d'autre
part
que,
puisque
tjl > 0
si
a
est
de
signe
constant
~
est
une
fonction
monotone de t
et
en
general
(independamment du phenomene
des
caustiques)
~
s'annulera
pour
certaines
aWl
valeurs
de t
(dependant
de y)
si
an-
est
de
signe
oppose a
a.
La
plus
petite
valeur
de t
pour
laquelle
l'equation
4-6
b
cesse
d'etre
in-
versible
est
appelee
Ie temps
critique
. Le temps
critique
effectif
a
ete
de-
termine
dans
un
certain
nombre de
situations
physiques
realistes
de
la
mecani-
que
des
fluides
compressibl
es
et
de
la
magnetohydrodynamique
par
A. Greco ,
M.
Anile
et
leurs
collaborateurs.
5 -
Conclusions.
i
Le
premier
terme
u
l
0
wf
de
l'onde
asymptotique
1-6
est
donc
u~
0 W
~
=
WI
(y(x),n(t(x),
y(x),
W'f(x»)
cI>
(t(x),
y(x»
hi(x)
c'est-a-dire
que ce terme
es
t,
comme
dans
Ie
cas
lineaire,
proportionnel
au
vecteur
propre
a
droite
hi
de
la
matrice
A(x,
~x)
(valeur
propre
zero).
Le
facteur
de
proportionnalite
WI
cI>
est,
comme
dans
Le
cas
Li.neai t e ,
produit
d'une
fonction
cI>
qui
ne depend que de
l'equation
et
de
la
surface
d'onde
don-
nee
(et
ici
de l a
solution
u
i)
et
que
l'on
calcule
par
integration
Ie
long
o
des
rayons
correspondants
par
une
fonction
WI'
dite
facteur
de forme,
qui
de-
pend
d'un
choix
initial.
Cette
fonction
est,
dans
Ie
cas
lineaire,
constante
Ie
long
des
rayons;
elle
ne
l'est
plus
dans
Ie
cas
non
lineaire,
si
a
n'est