Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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136
pas
nul
: nous
dirons
que
la
non
linearite
provoque en
general
une
dis
torsion
des
signaux,
et
nous enoncerons Ie theoreme :
I.
Le
long
de
varietes
caracteristiques
exceptionnelles
les
signaux
se
pro-
pagent
sans
dis
torsion.
2. Si
Ie
facteur
de
dis
torsion
a
est
de
signe
constant
il
existe
un temps
critique
au
dela
duquel
la
distorsion
du
signal
conduit
a
la
disparition
de
l'onde
asymptotique
(formation
d'un
choc).
References.
[11
Leray
J.,
Particules
et
singularites
des
ondes
..•
Cahiers
de
Physique,
t.
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[2J Garding
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Kotake T." Leray
J.,
Uniformisation
et
solution
du probleme
de Cauchy
lineaire
•••
Bull
. Soc. Math. 92, 1964, p 263-361.
[31
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.,
Asymptotic
solutions
of
oscillatory
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value
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J.,
24,
1957, p. 627-646 .
[4] Ludwig
D.,
Exact
and
asymptotic
solutions
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Comm.
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pure
and
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[5J
Choquet-Bruhat
Y
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Ondes
asymptotiques
pour un systeme
d'equations
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derivees
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non
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Boillat
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Ondes asymptot
iques
non
lineaires,
Ann. Mat.
pura
et
Appl.
iL, 1976, p.
31-44.
137
V APPLICATION
AUX
EQUATIONS DES FLUIDES PARFAITS RELATIVISTES.
I -
Equations
des
fluides
parfaits
relativistes
.
En
l'absence
de
courant
de
chaleur,
les
equations
s'ecrivent
(1-\
)
(p + p)
a
'V
uS _
yas
a p K 0
U
a a .
(1-2)
u
a
d
p+
(p + p) 'Va
a
K 0
(E)u
a
(1-3)
a
d
a
S 0u
p , p
et
S
sont
respectivement
la
densite
d'energie
,
la
pression
et
l'entro-
pie
spec
i f i que , Ce
sont
des
"grandeurs
d'etat"
fonctions
donnees
de
deux
d'en-
tre
elles,
par
exemp1e p
et
S
pour
1'equation
d'etat
(
1-4)
On
sait
que
si
l'on
pose
p
p(p
, S)
p
r(I
+
e)
ou
rest
1a
densite
materie1le
propre
et
e
1'energie
int
ern
e
specifique,
138
1-3
est,
compte-tenu
de
l'equation
thermodynamique
de • T d 5
+ P
r-
2
dr
equivalente
a
l'equation
de
conservation
de
la
matiere
introduite
par
Taub [2]
On a
pose
(1-5)
a,S·0
,
1,2,3
ou gaS
est
une
metrique
hyperbolique
donnee; V
designe
la
derivee
covariante
ex
correspondante
et
d
ex
On
peut
ecrire
les
equations
1-2,
3, 4,
sous
la
forme
(1-6)
I,J·
0,1,
• •• , 5
en
posant
I a
u - u
4
u - P
2 -
Determination
de
la
phase
If .
pour
I •
0,
•• • 3
Cherchons une
solution
asymptotique
des
ces
equations,
au
voisinage
d'une
solution
donnee u
o'
Po'
So'
c'est
a
dire
un mouvement
vibratoire
du
fluide,
perturbe
d'un
mouvement donne.
Soit
139
P
S
S + L
o
q =
en
supposant
que
l'equat
ion
d'etat
p •
p(p
, S)
est
une
fonct
ion
analytique
de P
et
S,
et
on
ecrit
(2-1)
en
posant
p(p,S)
Po +
P~
(p - po) + Ps (S - So) +
•••
o 0
Les
termes
independants
de w
donnent
(2-2)
On a
pose
, S
0,
• • •
,3
Ces
equations
lineaires
en
~~
PI'
8
1
n
'ont
une
solution
non
nulle
que
si
Ie
determinant
A
est
nul.
On
trouve
pour
A,
comme
prevu,
Ie
determinant
carac
-
teristique
du systeme (E)
ou on a
pose
140
a
a
~
u
'P
o I a
La
condition
A
~
0 exprime que
les
varietes
~x)
• c
t e
sont
des
varietes
caracteristiques,
c'est
a
dire
des
surfaces
d'onde,
des
equations
(E)
pour
la
solution
u~,
ondes
acoustiques
(a
2
+ b
p'
- 0) ou ondes
materielles
(a
•
0).
Po
3 -
cas
ou
la
phase
verifie
l'equation
des
ondes
acoustiques
.
Supposons que
(3-1
)
A
bp'
2
::
{p'
aB
uo(p~
-I}'fa
'fB = 0
-
+ a
g - u
Po po·
0
0
I
a
A
est,
pour
A
0,
de
rang
N-I
•
5,
{u!
}
u
l
'
PI'
51)
est
donne
par
(3-2)
ou
U1(s,x)
est
une
fonction
scalaire
et
les
hl(x)
sont
une
solution
de
2-2,
c'est
a
dire
proportionnels
aux
mineurs
d'une
meme
ligne
de A.
Calculons,
par
1
exemple
les
mineurs
de
la
quatrieme
ligne
A
4,
on
trouve
:
A
4
• (p +
p)4
as
4 0
Nous
prendrons
h
A
_
I
aA
'fa
pp Yo
h
4
•
0
(3
-3)
(p + p) 0 a
h
5
0
141
Appliquons
la
methode
generale
pour
trouver
l'equation
ditf
erent
iel
le
veri-
fiee
par
U
I
:
en
egalant
a
zero
les
termes
en w-
I
des
equations
on
trouve
(3-4)
o~
(l'indice
I
indique
que
l'on
prend
dans
la
quantite
ecrite
Ie
coefficient
-I
de w )
a
s[(
')
• +
(')
51]
'fa
+
(p
+
p)o
uao
M
a
uS
I
- Yo Pp I P;
Ps
I v
(3-5)
·1
Les
equations
3-4
ont
une
solution
U
z
si
(3-6)
ou
les
h
J
sont
proportionnels
aux
mineurs
d'une
mieme
colonne
de A,
par
exem-
pIe
a
~
. On a
A
4
(p +
4
4
A
4
= ( p +
4 5
A
p)o
a
'fA
4
p)o
a
A
4
as
'f
'
(p
+
4 3
5
- Yo a PS
p) 0
'fs
a
0
On
prendra
142
(3-7)
2
a
J I I
Formons h
J
gl en
rempla~ant
u
1
par
U
1
h • On
trouve
que U
1
doit
satisfaire
l'equation
differentielle
du
premier
ordre
suivante
(3-8)
avec
(3-9)
2
k = - 2 a (p +
p)o
;.a
1
aX
• '2
dpex
(A
Cl
est
bien
Ie
rayon
acoustique)
et,
compte-tenu
de
3-1
:
(3-10)
alors
que
2
ex
=
~
{2(1
-
p'
)
2 Po
(p
+
p)o
)
ex
u -
o
-I
(p+p) 0
2
(P+P)
0
+ pIt _
2
p'
P Po
-I
(p+p)o
-~{PS
Po
oil on a
designe
par
a
I'
operateur
des
ondes
acoustiques
O'f
::
(p'
ex"
+
uex
})
V
~"
Po
Yo
0 0
ex
3
2-
a
J A
a" )
(on a
= '2
rap
aPA}
r:;
=
'fA
ex
ex
PA
Si
la
solution
de b
ase
es t a
densite
et
entropie
constantes,
et
a
lignes
de
143
courant
a
divergence
nulle
(3-12)
a
se
reduit
a
o
a • t Q !p
o
o
a
on remarque que
les
conditions
3-12
impliquent,
si
u
o'
Po' Po' So
est
une
so-
lution
de (E) que u
a
Va u
a
• 0
d'ou
on
deduit
que
o 0 '
Remarque
a
est
nul
si
et
• 0
c'est
a
dire
en
particulier
si
Ie
fluide
est
incompressible
(au
sens
relati-
viste
cf
[IJ),
c'est
a
dire
admet l ' equa
ti
on
d'etat
p • p +
cte
Dans
ce
cas
les
andes
acoustiques
sont
exceptionnelles
au
sens
defini
prece-
d
eement
,
Pour
les
fluides
reels
on a
p'
~
1
P
donc
a
~
0
p"
>,
0
p
Si
p'
< 1, ou p" > 0 on a
raidissement
des
signaux.
p p
On
peut
aussi
trouver
un
dev~loppement
asympt
ot
ique
corr
espondant
aux
ondes
materielles;
celles
ci
apparaissent
comme
multi
ples
(en
accord
avec
la
theo-
r
ie
genera
Ie
de
Boillat,
cf
[4J).
Le probleme de Cauchy
oscillato
ire
est
144
reso1ub1e,
au
premier
ordre
d'approximation,
pour 1es
equations
des
fluides
parfaits.
II
n'en
est
plus
de
meme
en
presence
de phenomenes
dissipatifs,
par
exemple
pour un
fluide
charge
a
conductivite
non
nulle
(cf
[3
J)
.
References.
[.]
Lichnerowicz
A.,
Hydrodynamique
et
magnetohydrodynamique, Benjamin 1967.
[2] Taub A.H., High
frequency
gravitational
waves and
average
lagrangian,
General
Relativity
and
Gravitation,
Einstein
Centenary
volume, A. Held
ed,
Plenum.
[3}
Choquet-Bruhat
Y.,
Ondes
asymptotiques
pour
un systeme
d'equations
aux'
derivees
partielles
non
lineaires,
J.
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pures
et
appliquees,
48,
1969, p. 117-158.
Coupling
of
high
frequency
gravitational
and
electromagnetic
waves, Actes
du Congres Marcel Grossmann,
Trieste,
Juillet
1975).
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Boillat
G.,
Ondes
asymptotiques
non
lineaires,
Ann. Mat.
Pura
et
Appl.
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Asymptotic waves and
critical
time
in
general
relativistic
magnetohydrodynamics, Ann.
I.H
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vol.XXIX,
n03,
1978,p.2S7.
[6]
Breuer
R.A. and Eh
lers
J.,
Propagation
of
high-frequency
electromagnetic
waves
through
a magnetized plasma
in
curved
space-time,
to
appear
in
Proc.
Roy. Soc. A.
145
VI
DETERMINATION DE LA PHASE. BICARACTERISTIQUES.
VARIETES LAGRANGIENNES.
I .
Definition
des
varietes
lagrangiennes.
L'equation
eikonale
1i
laquelle
doit
satisfaire
la
phase
If:
(I-I)
A(x,
'fx>
= 0
est
une
equation
aux
derivees
partielles
du
premier
ordre
non
lineaire,
A
est
un polynome de
degre
N, homogene, en
~x'
Nous
allons
rappeler
comment on
in-
tegre
une
telle
equation,
en
utilisant
Ie
langage
de
la
geometrie
symplectique.
On
designe
par
T*X
l'espace
fibre
cotangent
a
la
variete
X de
dimension
~.
Un
point
de T*x
est
un
couple
(x,p)
ou
pest
une
I-forme
sur
l'espace
tangent
TxX
a x en
x,
c'est
a
dire
un
vecteur
covariant.
Une
solution
de
l'equation
)-1
dans
n
C.X
est
une
section
du
fibre
T:tX x
lR,
au-dessus
de n :
par
x
....
(x,
p, Ip(x»
telle
que
(d 'f)x • <
p,
dx >
A •
0,
• ••
~-I