Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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116
fixe
(respectivement
chaque i
fixe)
(3
-8)
k
A~
(x,
\D)
J
Ix
i jA
ou
Aj(x,P)
designe
Ie
mineur de a
i
PI.
dans
Ie
determinant
A(x,p)
et
k une
fonction
de x
qui
depend du
choix
de
hi
et
h. (on
peut
les
choisir
de
maniere
J
a
avoir
k =
I).
Or,
d'apres
la
loi
de
derivation
d!un
determinant
(3
-9)
D'ou
dA(x,p)
dPA
=
A~
(x,p)
J
a
(a~lJ
p )
dPA
1 lJ
(3-10)
x
• k A
(x,
f x )
On
deduit
de
3-10
que
l'equation
3-5
s'ecrit
(3-1
I)
• 0
AI.
__
d_
est
la
derivation
Ie
long
du
rayon
correspondant
a
la
surface
d'onde
dX"
\f(x)
•
cte
• On a
pose
6
0
est
nul
si
w~
• 0
(3-13)
ne depend que
des
equations
donnees e t du
choix
de 'f .
Calcul
de B
Une
expression
interessante
de
Best
obtenue
aisement
on
a,
si
k • ILenme
(3-14)
B(x)
=
.!.
a 1.( )
2 ax
A
A x, x +
1
.,
"hi
+ -2
Ih
J
•
aJi\
_0
_ _
i di
'1.
h
i - I
dai
h
(----
+
j
~
dx"
i j
:.::r
oh
'
I
h
a.
1
ox
117
Preuve un
simple
calcul,
puisque
alors
Corollaire
si
l'operateur
differentiel
L :
L
est
autoadjoint,
on
peut
choisir
hi
de
sorte
que B se
reduise
A
(3-15)
L'equation
de
propagation
3-1!,
avec 00 = 0, se
~eduit
alors
A une
equation
2
de
conservation
pour U
o
Ie
long
des
rayons.
Preuve:
Lest
autoadjoint
si,
pour
u
et
v A
support
compact on a
l'egalite
d d
. I . 2
es
pro
U1ts
sca
a1res
L
(u,Lv)
c'est-A-dire
si
les
matrices
a
A
(v,Lu)
'A
(a.
J
)
sont
symetriques
et
si
1
I a
a.i
A
_
b.i
= 0
'2;:; 1 . 1
On a
alors
h
et
h
proportionnels.
On
peut
choisir
h
tel
que h = h (avec
tou-
jours
k =
1).
L'equation
3-11
peut
alors
s'ecrire
(3-16)
o
Remarque
(3-17)
D'apres
les
regles
classiques
de
derivation
d'un
determinant
on
a:
si
x =
x(t,y)
verifie
Ie
systeme
differentiel
des
rayons
associes
a
la
phase
'1':
la
derivation
le
long
de
ces
rayons.
118
d
~
()
et
on a
designe
par
de·
A
()x~
L'equation
3-16
exprime
la
conservation
le
long
des
rayons
de
d
dt
[u2
D(x)] 0
o
D(y)]
la
densite
de
119
III
ONDES
ASYMPTOTIQUES
D'
ORDRE
q,
ONDES
APPROCHEES.
EXEMPLE.
I -
Determination
des
termes
successifs
i
u
q
Uo(X'~)
etant
determ
ine
verifiant
3-5 de
la
le~on
lIon
pourra
trouver
u~
verifiant
pj
• O.
sa
forme
generale
sera
o
(1-1
)
i
ou
VI(x.~)
est
une
fonction
arbitraire
et
VI(x.~)
est
une
solution
des
equa-
tions
linea
ires
(1-2)
i
On
deduit
de
I-I
en
designant
par
u(x.~)
et
U
(x.~)
des
primitives
par
rapport
a
~
de V
et
Vi :
(1-3)
i
Supposons
alors
construites
des
fonctions
u • p < q •
verifiant
les
equa-
p
tions
pj = 0 p <
q-I
et
soit
u
i
de
la
forme
p • q
(1-
4)
i
u
q
120
ou U
(x.~)
es t
arbitraire
et
U
i
est
une
solution
quelconque,
ma
is
fixee
. des
q q
equa
tions
lineaires
(1-5)
ti
i
+ gi • 0
q
q-I
'). i . i
_
a1.,J
~,u
+ b .
J
u
1\
q-I
1.
q-I
i i
Pour
ces
fonctions
up , u
q
on a
aussi
(1-6)
o
Les
equations
F
i
• 0
s'ecr
ivent
q
a .
iA
.i
+ gi
gi
'A
i
+
b~
i
(1-7)
d).
u
q
+
1
• 0
-
a
i
J
d
A
u u
1.
q
q q
1.
q
. i
S1.
· t I t
S1.'
on
pourra
t
rouver
u
q
+
1
e
seu
emen
(1-8)
o
Cette
equation
est
une
equat
ion
differentielle
du premi
er
ordre
lineaire
pour U
q'
analog
ue a
II.
3
-5.
qui
s'ecri
t
:
(1
-9)
k
AA
d
U + B U +
cS
0
A
q q q
ou
Best
la
fonction
de x
II
-
3-13
et
:
est
connu quando
u~_1
e
tant
determ
ine
.
U~
a
ete
choisi
.
2 - Ondes app
rochees
.
Nous
dirons
que
Ie
developpement
fini
(2-1)
i
u
r
E
p - 0
o W
121
est
onde
approchee
d'ordre
r
-I
si
il
existe
une
constante
M
telle
que
(2-2)
pour
tout
w
ou
j
{I)
IlL
(u)1 Ix
designe
une norme
convenable,
par
exemple
{2-3)
IILj(u)ll
x
Sup
IL
j
(u) I
xES:
X
On
voit
que
la
condition
2-2
sera
realisee
si
les
i
verifient
F
j
• 0, P
< r
u
p
p
et
sont
bomes,
ainsi
que
leurs
derivees
partielles
par
rapport
aux
variables
x.
D'apres
les
equations
)-7
les
u~+)
dependent
lineairement
des
u~
; on
pour-
ra
trouver
une onde
approchee
d'ordre
r-\
si
u
i
admet r
primitives
par
rapport
o
a
t;
uniformement
bornees
,
pour
t;
Eo.
R,
ainsi
que
leurs
derivees
partielles
par
rapport
aux
variables
x.
Cette
condition
pourra
toujours
etre
verifiee,
par
un
choix
convenable
d'une
donnee
initiale,
au moins
dans
un domaine de
regu-
larite
des
rayons
.
Cette
construction
d'ondes
approchees
d'ordre
quelconque
ne
sera
en
general
pas
poss
ible
pour
les
equations
non
lineaires.
3 - Exemple ondes dans
les
flu
ides
compress
ibles
)-dimensionnels
linearises.
Les
equations
classiques
non
lineaires
sont
(I)
Pour
les
equations
hyperboliques
on
est
amene a
considerer
d'autres
normes .
122
ou t
est
Ie
temps, x
la
variable
spatiale.
p , n
et
u
respectivement
la
dens
i-
te,
la
pression
et
la
vitesse.
Les
equations
lineairsees
au
voisinage
d'un
etat
de
repos
sont
(3-1)
ou r
et
a
sont
des
fonctions
donnees de x.
Cherchons une
solution
asymptotique
approchee
d'ordre
I,
avec
'f
(3-2)
I
v • v0
(x,
e,
W
'f)
+ wv I
(x,
t.w
If )
'f(x,t)
:
on
trouve
pour
l'annulation
des
termes
en
w,avec
'fx·
3tr
/ 3x,
1ft
• 3'f/3t
F
I
Po
\ft
+
I
rv
\.f
0
-
a
-I
o x
(3-3)
F
2
:: r
•
~
+
Po
'fx
0
-I
V
o
t
On
pourra
verifier
F~I
•
F:
1
• 0
avec
Po
et
V
o
pour
tous
deux
nuls
si
l'e-
quation
eikonale
suivante
est
verifiee
:
(3-4)
II
Y a
ici
deux
familIes
de
phases
possibles
qui
sont
si
a
est
une
constante
\F(x,t)
=
~(x
-
at)
et
f(x,
c)
~(x
+
at)
Les
rayons
correspondants
etant
alors
les
droites
x -
at
•
c~
et
x +
at
•
c~~
si
a
est
une
fonction
donnee de x
les
deux
familIes
d'ondes
sont
obtenues
par
123
resolution
des
equations
lineaires
du
premier
ordre
(3-4
a)
et
(3-4
b)
'ft - a
'fx
• 0
Les
rayons
spatio-temporels
correspondant
a
la
premiere
fsmille
sont
les
cour-
bes
solutions
de
l'equation
differentielle
dx
dt
a(x)
soit
x •
f(t,y)
f(o,y)
• Y
Ie
rayon
issu
d'un
point
(o,y).
Supposons
l'equation
inversible
(c'est
tou-
jours
Ie
cas
pour
t
assez
petit
puisque
f(o,y)
•
y)
on en
deduit
que
si
(x,t)
est
un
point
du
rayon
issu
du
point
y on a :
y •
g(t.x)
La
solution
de
(3-4
a)
telle
que
g(o.y)
y
(3
-5)
If(o,x)
• t/J(g)
au
t/J
est
une
fonction
donnee,
est
(3-6
a)
'r(t,x)
• t/J(g(t.x»
puisque
If
est
constant
sur
Le r!1yon
spatio-temporel
(bicaracteristique
de
l'eikonale)
issu
de y.
De
meme
la
solution
de
(3-4
b)
telles
que
(3-5)
soit
verifiee
est
ou
g-(t,x)
est
obtenu
par
inversion
de
la
solution
de
dx
dt
• - a
(x,
e)
La
solution
generale
des
equa
tions
pour
un
tp
de
la
pr
emiere
fsmille
est
124
(3-7)
(on a
integre
en
~
et
supprime
Ie
terme
independant
de
~
).
L'annulation
des
termes en W
O
est
equivalente
a :
(3-8)
2 2 2
Pour Ift - a r x
ces
equations
impliquent
(3-9)
rempla~ant
V
o
et
Po
par
3-7 on
trouve
l'equation
de
propagation
pour
U
o'
de
la
premiere
fami
lle
(Ift = - a rx)
(3-10)
equation
de
conservation
Le
long
du
rayon
du
facteur
a r
rl-
, independanment
o
de
~
.
On resoud
ensuite
les
equations
F~
- 0, i =
1,2,
sous
la
forme
ou
PI'
VI
est
une
solution
particuliere,
par
exemple, U
o
satisfaisant
a
1-10
d'ou
ou U
designe
une
primitive
de
Uo(t,x,~)
par
rapport
a
~
.
0
Si on
calcule
Lu
I 2
la
somme
3-2
ou
=
(L
(p,v),
L
(p,v))
pour
Po'
PI'
v
o'
vI
sont
les
fonctions
qu'on
vient
de
determiner
on
trouve
:
125
I
1.
F
1
= 1. (a
2
a
L
(p,v)
-
PI +
a
r
vI)
w 1
w t
x
2
1.
F
2
=1.
(r
at
+ ax
vI)
L
(p,v)
-
w 1
w
donc
ILi(P,V)I
~
-1
M
w
si
les
derivees
partielles
en t
et
x de
PI(x,~,~)
et
vl(x,t,~)
sont
bornees
:
ceci
sera
realise
si
Uo(t,x,~)
et
Uo(t,x,~)
sont
uniformement
bornes
en
t,
x
et
~,
et
ceci
pour
tout
~
E R.
U
o
satisfaisant
a
l'equation
de
transport
1-10
(condition
de
conservation)
sera
uniformement borne en
~,
dans
tout
domaine du
plan
(x,t)
ou
les
rayons
ne
representent
pas de
caustiques
(equations
x =
f(t,y)
donnant
les
rayons
inversibles)
s'il
en
est
ainsi
a
l'instant
initial
taO.
Un
choix
possible
est
: