Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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106
frequence
w
comme
1a
source,
par
une
somme
de termes qui ne
dependent
de w
-k
0
que
par
un
facteur
w • Si
west
grand
les
termes en w ,
c'est
~a-dire
U
o
V
o
'
sont
preponderants
.
Le terme
oscillatoire
est
de
la
forme exp i
w~x,
e) avec
~(x,t)
• -
IEiJ
IXI
+ t , La
fonction
~(x,t)
satisfait
a
l'equation
dite
ei-
kona1e de
l'optique
geometrique :
IVlfl2
Les
surfaces
\f.
cte
sont
pour chaque t donne des
spheres
de
centre
0,
de
rayon R
• t/lEU
,e11es
sont
identiques
aux
fronts
d'onde
(normales aux
rayons lumineux)
correspondant
a une
source
ponctuelle
en
0,
pour
une
vitesse
de
propagation
de 1a 1umiere
II
~.
On
cons
tate
de
plus
que V
o
et
U
o
sont
orthogonaux
au rayon x
(i1
en
est
ainsi
aussi
de H, mais pas de E). done
tangents
au
front
d'onde
et
orthogo-
naux
entre
eux. On
voit
aussi
qu'ils
verifient
1es
equations
:
ou
d
(r
u
o)
0
..!.
(r
vol
0
dr
et
dr
d i
a
2
• r
(i)2
dr
.
x
--.-
r
ax
1
i
donc
qui exprime 1a
conservation
sur
Ie
front
d'onde
Ie
long
du
rayon
x de
la
den-
site
associee
au
scala
ire
luol2 + Ivol2 • Ces
differentes
proprietes
sont
ca-
rasterisciques
du champ de
l'optique
geometrique
.
107
2 -
Milieux
non homogenes,
et
conducteurs.
Les
equations
de Maxwell
sont
maintenant
(2-1
)
(2-2)
H
aE
J"
+ 4 IT a E
rot
- e
at
-
aH
rot
E +
~
at
- 0
e:
,
~
ainsi
que
la
conductivite
electrique
a
sont
des
fonctions
continues
du
point
x. On
cherche
encore
une
solution
de
representation
complexe
(2-3)
E = e
i wt
u(x)
H - e
iwt
v(x)
iwt
correspondant
a
la
source
dipolaire
j - e M6. On
peut
encore
introduire
Le
potentiel
vecteur
A,
tel
que v -
rot
A
et
fixer
Ie
potentiel
scalaire
V
par
Ie
choix
)-5
• mais
1'equation
satisfaite
par
A ne
peut
plus
etre
resolue
de
fa90n
exacte
explicite.
On
cherche
done
directement
u
et
v
sous
la
forme
u
_ e
i
w ljI(x) U
u (x)
(2-4)
U -
E_
n
__
n
(iw)n
i
w ljI(x) V
v
(x)
(2-5)
v -
e
V
-
E
_n
__
n
(iw)n
E
et
H
satisfont
aux
equations
de Maxwell
si
U
et
V
satisfont
en
dehors
de
l'origine
x - 0 aux
equations
suivantes
:
(2-6)
rot
V + i w 'iI
ljI
V - i w
e:
U - 4 IT a U
o
(2-7)
rot
U + i wV
ljI
U+iw~V
- 0
ou on a
pose
'illj1
-
grad
ljI
•
En
reportant
dans
ces
equations
les
series
2-4
et
2-5
et
annulant
Ie
terme
108
en W
O
on
trouve
(2-8)
V1/J
.A v
-
e:
u
0
0 0
(2-9)
V1/J
A
u
-
\.I
v 0
0
0
les
equations
ont
une
solution
non
nulle
(u
o'
Yo)
si
et
seulement
si
c'est-il-dire
9i
'f(x,t)
::
1/J(x)
+ t
aatisfait
l'equation
eikonale
il
coeffi-
cient
e:\.I
dependant
de x
3
1:
i •
• 0
Les
vecteurs
u
o
et
V
o
sont
encore
perpendiculaires
en chaque
point
x il
la
di-
rection
(spatiale)
du
rayon
lumineux,
V1/J
,
perpendiculaire
au
front
d'onde
1/J(x)
=
constante,
et
perpendiculairea
entre
ewe :
la
solution
genera
Ie
de
2-8,9
pour
Ivwl
2
•
e:\.I
est
telle
que
v • 0
o
elle
est
determinee,
par
exemple,
par
Ie
choix
d'un
vecteur
U
o
orthogonal
il
V1/J
•
Un moyen
remarquable,
qui
s'averera
tout
a
fait
general,
pour
trouver
les
equations
de
propagation
de U
o
et
V
o
consiste
il
ecrire
que
lea
equations
doi-
vent
etre
verifiees
il
l'ordre
suivant,
c'est
-a-dire
a
annuler
les
termes en
W-)
dans
2-6,
2-7,
on
trouve:
V1/J
..A
v)
-
e:
u)
-
rot
V
o
+ 4
1T
a
u
0
V1/J
A
u)
+
\.I
v
J
-
rot
u
0
on
sait
que
si
IVl/I!2
~
e:1l
(impose
par
les
equations
d'ordre
zero)
les
premiers
109
membres de
ces
equations
ne
sont
pas
1ineairement
independants
- i1 en
est
donc de
meme
des
premiers
memhres : un
calcul
purement
algebrique
fournit
les
relations
satisfaites
par
ces
seconds membres,
qui
seront
donc
des
equations
aux
derivees
partiel1es
du
premier
ordre
pour
U
o
et
v
o'
On
trouve
que
ces
e-
quations
differentie11es
Ie
long
des
rayons,
trajectoires
du
vecteur
VW,
qui
s'ecrivent
du I
---do
+ -2 (6
~
+ 4
~
0
~)u
+ (u •
T u 0 0
d
r
-1!l!..
a
avec
dT
ax
i
ai
i
.
6~
1jI
-
~
r
.a,
(
.!.
~)
6
~
- E r
a
I
~)
ait
i
u
axl.
E
-ax
i
e
axl.
Les
equations
differentielles
que
l'on
vient
d'obtenir
sont
appelees
"equa-
tions
de
transport"
-
la
methode
qui
les
fournit
s'etend
aux systemes
quel-
conques,
comme
nous
Ie
verrons
dans
la
prochaine
le~on.
References.
M.
Kline,
1.
W.
Kay
"Electromagnetic
theory
and
geometrical
optics"
Interscien-
ce,
1965.
110
II
ONDES
ASYMPTOTIQUES
POUR
U:S
SYSTEMES
D'
EQUATIONS
AUX
DERIVEES PARTIELLES LINEAIRES.
La methode
indiquee
dans
la
le~on
I
pour
la
recherche
d'ondes
de
frequence
elevee
solution
des
equations
de Maxwell.
developpee
par
Luneburg III
puis
par
Kline
121
a
ete
generalisee
par
P. Lax
131
qui
construit.
pour
un systeme
d'equations
aux
derivees
partielles
lineaires
du
premier
ordre
a
caracteris-
tiques
simples
un developpement
asymptotique
u
'"
iw
e
( + 1 v )
V
o
w I +
•••
P. Lax
utilise
ce developpement pour
la
resolution
approchee de Cauchy a
donnees
initiales
oscillatoires,
et
pour
la
demonstration
de
certains
theo-
remes gene
raux
concernant
les
equations
hyperboliques.
D. Ludwig
151
generalise
encore
la
methode en
rempla~ant
la
fonction
e
i w
par
une
famille
de
fonctions
f
j
,
et
construit
des
developpements
asymptoti-
ques de
la
forme :
u
'"
E
j • 0
avec
111
pour
1es
equations
aux
derivees
partie11es
1ineaires
hyperbo1iques
dans
1e
cas
d'un
systeme
du
premier
ordre
ou
d'une
equation
d'ordre
que1conque.
J.
Leray
141
puis
L.
Garding,
T. Kotake,
J.
Leray
16\construisent
pour
des
systemes
d'equations
aux
derivees
partie11es
1ineaires
d'ordre
que1conque,
des
deve10ppements
asymptotiques
tres
gene
raux,
du
type
u
'"
(x
point
d'une
variete
differentiable,
~(x)
fonction
sca1aire,
w
parametre
reel)
dans
1e
cas
ou 1a
phase
\f
correspond
a une
caracteristique
simple
du
systeme
.
C'est
1a methode de
J.
Leray
qui
s'etend
1e mieux aux
systemes
d'equations
aus
derivees
partie11es
non
1ineaires.
Nous
allons
l'exposer,
dans
un
but
de
simp1icite,
dans
1e
cas
d'un
systeme
du
premier
ordre.On
sait
d'a
il1eurs
que
tout
systeme
d'equations
aux
derivees
partie11es
peut
s'ecrire
sous
forme
d'un
systeme
du
premier
ordre.
1 -
Definitions
Nous
designons
par
X une
variete
differentiable
de
c1asse
C~,
de
dimension
i,
par
x un
point
de X; x
O
,
xl,
•••
xi-I
sont
1es
coordonnees
locales
de x.
Un
operateur
differentie1
[systeme
d'equations
aux
derivees
partie11es]
1i-
neaire
du
premier
ordre
sur
X
est
une
application
L de
l'espace
des
sections
C~
d'un
fibre
vectorie1
E
sur
X
dans
l'espace
des
sectionsC
~d'un
autre
fibre
F
sur
X. Nous supposons
ici
dim E = dim F = i + N,
a10rs
L
s'ecrit
en
coor-
donnees
locales
(1-1
)
(lui J' i
+
b.
u
(lX>"
1
i,j
1,
...
N ;
>..
=
0,
..
.
i-I
112
~
1 jA b j
sont
des
fonctions
donnees,
c= , des coordonnees
locales.
ou es
ai'
i
Designons
par
ui(x,~),
q - 0, I,
•••
,
des
fonctions
a
valeurs
reelles
ou com-
q
plexes,
derivables,
de x E X
et
d'un
parametre
numerique
reel
~
,
par
w un
pa-
rametre
reel
(nomme
frequence),
par
~(x)
une
fonction
reelle
derivable
sur
X
(nommee
phase).
On
definit
la
fonct
ion
u~
• w
~
sur
X
par
:
(
1-2)
Nous
dirons
avec
J.
Leray I 4 I que
la
serie
formelle
(1-3)
i
'"
r
q .. 0
(
1-4)
est
une onde
asymptotique
pour Ie systeme
d'equations
aux
derivees
partielles
si
en
reportant
formellement
1-3
dans
I-I
, compte
tenu
de 1-2 on
trouve
un
developpement en
serie
de
puissance
de w
qui
s'ecrit,
formellement
:
=
E
W-qFi.W'f
q .. 0 q
dont
chaque
coefficient
F
j
est
nul
quels
que
soient
x
et
~
•
q
Les developpements de Lax
correspondent
au
cas
part
icul
ier
:
e
i
~
i
v
q
(x)
(2-1)
2 -
Determination
de
la
phase
~
•
Derivons
formellement,
il
vient
en
posant
i
au
(
x
,
~
)
9
i
u
q
ai
(x,~)
q
113
(2-2)
Dans
Ie
cas
des
developpements de Lax
les
formules
2-1
et
2-2 se
reduisent
a :
i~
a i ( )
e
A V
q
x
c'est-ii-dire
On
trouve
dans
Ie
cas
general
en
reportant
dans
I-I
une
expression
de
la
forme 1-4
OU
les
coefficients
pi
sont
:
q
(2-3)
pi
-
a~>'
u
i
d
'f
-I
1
o ),-
pi
">'
C
i
i)
+
b~
i
(2-4)
-
a~
U
I
a), 'r
+ a),
u
0
1
0
1.
0
(2-5)
Les
equations
2-3
ont
une
solution
non
nulle
u
i
en x € X
si
et
seulement
si
o
"),
la
matrice
a
i
J
d),f
est
singuliere,
c'est-ii-dire
si
Ie
symbole
principal
de
l'operateur
L
est
non
iniectif
pour
Ie
vecteur
covariant
p =
(a>.
~),
ce symbo-
Ie
etant
suppose non
identiquement
nul
(systeme
regul
ier
au
sens
de Cauchy
Kovalevski)
:
les
equations
2-3
auront
une
solution
-non
nulle
sur
un
ouvert
n de X
si
et
seulement
si,
dans
cet
ouvert
la
phase
~
verifie
l'equation
aux
derivees
partielles
du
premier
ordre
de
degre
N -
dite
equation
eikonale
du
systeme :
(2-6)
A(x
, 'f
x)
• 0
OU
'f
x = (V
'f)(x)
qui
s'ecrit
en coordonnees
locales
114
Une phase
~
verifiant
l'equation
eikonale
2-6
etant
supposee
choisie
(cf.
le~on
VI),
la
resolution
du
systeme
lineaire
2-3 -
puis
les
equations
sui-
vantes
- depend du
rang
de
ce
systeme.
Nous
etudierons
Ie
cas
Ie
plus
simple
ou ce
rang
est
N-I.
3 - Cas ou
'P
correspond
a une
caracteristique
simple.
Designons
par
A(x,p)
Ie
polynome
caracteristique
du
systeme
I-I
,
c'est-a-
.
dire
Ie
polyname
des
composantes
PA
du
vecteur
covariant
p
defini
par
:
A(x,p)
'A
det
(
a~
i.
I'
equation
2-6
exprime
que
Ie
gradient
'f
x de
la
phase
l'
est
une
racine
du
poly-
nome
caracteristique;
supposons que
cette
racine
soit
simple,
c'est-a~dire
que
oU on a
pose
{ AA
(x,
p)
} «0
p - Ifx
pour
tout
x
E..
X
A
A
(x,
p)
A
a
A(x,p)
Le
determinant
A
est
alors
necessairement
de
rang
N-l
pour
p -
~x
• V'x
~
X
i
Determination
de u
o
~
'r
etant
choisi
solution
de
2-6
on
deduit
de 2-3
()-I
)
oU
hi(x)
est
une
solution
du systeme
d'equations
lineaires
homogenes
(3-2)
o
115
et
V0
(x,
F;)
une
fonetion
arbitraire.
Puisque
A(x,tp
x) es t de
rang
N-I,
hi.
est
determine
a un
faeteur
pres.
On
deduit
de 3-1 :
(3-3)
(3-4)
i
et
wo(x) des
fonetions
arbitraires
de x.
Les
equations
F~
a 0
sont
,
si
If
verifie
2-
6
,N
equations
lineaires
pour
les
N
ineonnues
u~
, a
determinant
nul.
Les
u~
ne
pourront
done
exister,
re-
guliers,
que
si
(3-5)
oil on a pose
(3-6)
o
et
ou on a
designe
par
h.
une
solution
du systeme
transpose
de
3-2,
e'est-a-
J
dire
telle
que
(3-7)
3-5
s'eerit
ii.
hi
'>'
+ ii.
a~>'
U
hi
a~
d>.
U
d>.
J
~
0
J
~
0
+ b
j
ii.
hh U
'
>'
wi +
b~
i
+
ai
d>.
h.
w
h
J
0 0
~
J
0
On
a,
puisque
hi
(respeetivement
ii.)
est
proportionnel
a
A~
pour ehaque j
J J