Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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156
c'est
a
dire
Idet
g..1
1J
Idet
g. . 1
1J
iwf(y
)
1/2
/
b(o)
- e 0
a(y)
Idet
g. • 1
Idet
Hess fl
o
1J
y=yo y=yo
On
montre,
par
un
raisonnement
analogue
a
celui
fait
pour
une
variable
que
ill/40
iWf(y
0)
e e
a(y
) Idet gl 1/2
o
7'"Y
I 2 0
Idet
Hess fl
y·yo
ou 0 = s
ign
Hess f Iyay - q - p
o
3°) Si f a un nombre
fini
de
points
critiques
y . non
degeneres
sur
Ie
sup-
J
port
de a, I(w)
est
estime
par
une
somme
de
termes
de
la
forme de
l'expression
prec
edente
.
3.
Int
egrale
dependant
d'un
point
x e.X.
Dans Ie
cas
OU
les
fonctions
f
et
a
sont
definies
sur
Ie
produit
de deux
varietes
X x Y
et
ou on
considere
l'integrale
(3-1)
I(w)·
I
y
a(x,y)
eiwf(x,y)
on
obtient
l'estimation,
pour
w
grand:
(3-2)
I(w)
1:
jE.J
iIl/40.
iw'f'(x)
e J e J
I 1
1/ 2
a
j
(x)
det
g y=y
.(x)
1/2 J
Idet
Hess '
fly=y
(x)
o
ou OJ =
sign
Hess
flYaYj(x)
, ou
Yj(x),
j £ J
designe
l'ensemble
suppose
fi-
ni
et
non
vide
des
points
crit
iques,
supposes
non
deg
eneres
, de f
considf-
ree
comme
fonction
de y
pour
x
fixe
et
ou on a pose
~j(x)
=
f(x'Yj(x»,
157
a.(x)
=
a(x,y.(x').
J J
Remarque
L'expression
3-2
est
a
la
base
de
la
methode de
quantification
de
Maslov-Leray
. Pour que
la
phase
'f
soit
determinee
globalement
sur
n
il
faut
que
1I
W'Pj(X) +
4"
OJ
modulo 2 1I
-I
ce
qu'on
ecrira,
si
y
est
un I- cyc l e
sur
V,
puisque
'fi(x)
=
(W
0
~
)(Yi(x»
et
deW
0
~-I)
= e
mod
1
ou [nJ
y
est
la
variation
sur
y de
"l'indice
de Maslov" de V
(cf
131,
141,
15
1,
16
1de
VIII).
Dans
les
applicat
ions
a
la
mecanique
quantique
on
prend
W =
I/~.
4.
Parametrisation
d'une
variete
lagrangienne
V.
Soit
V une
sous-variete
lagrang
ienne
de T*x.
Si
la
restriction
a V de
la
projection
1I : T*x
~
X
est
un d
iffeomorphisme
V
~
n,des
coordonnees
locales
x
A
sur
X
fournissent
aussi
des
coordonnees
locales
sur
V. Une
phase
W
sur
V
fournit
une
phase
'f
sur
n
et
l'
application
n
~
T*x
par
x
I~
(x,
'f')
est
un
diffeomorphisme
de n
sur
V,
qu'on
appelle
une
parametrisation
de
V.
On
generalise
la
definition
de
parametrisation,
dans
Ie
cas
ou 1I1v
n'est
pas
un
diffeomorphisme
en
plongeant
X dans un
espace
a un
plus
grand nombre
de
dimensions.
Nous
exposerons
ici
le
cas
le
plus
s
imple
ou
l'on
introduit
un
seul
parametre
supplementaire.
Designons
par
f(x,a)
une
fonction
sur
X x
~
et
par
C
f
l'ensemble
des
points
(If
(x,a)~
X x ~
tels
que (la
(x,a)
= O.
15 8
Definition
La
fonction
f
x x
:JR
...
:JR
est
dite
une
par
ame t r i.aa t i on de V
si
l'
app
lica
tion
est
un
diffeomorphisme
de C
f
sur
V.
Si
fest
une
parametrisation
de V
la
fonction
W = f 0
~-)
est
une
phase
sur
V,
c'est
a
dire
verifie
sur
cette
variete
dW
i*e
ou i
est
l'inclusion
de V
dans
T*x.
Une
condition
equivalente,
puisque
~
est
un
diffeomorphisme
de C
f
sur
V,
est
en
effet
,",veT C
f
x,a
Cette
relation
est
verifiee
d'apres
la
definition
de e
et
Ie
fait
que.
sur
Une
fonction
f
parametrisant
V
fournit
done
aussi
une
fonction
phase
~i
sur
un
ouvert
n de X
diffeomorphe
par
la
projection
IT
a un
ouvert
U. de V. On
1
pose
:
-) -)
f 0
~
0
IT
i
ou
c'est
a
dire
If i
(x)
a
f(x,
a
i
(x)
d'une
parametrisation
d'une
variet~
la
grangienne
s'etend
en
gienne
V
d
2
f
et
--
= O.
dcl
La
definition
ou l
'application
~
-
I
0
rr~1
: x>+
(x.ai(x»
est
determine
par
resolution
en a
de
l'equation
de C
f
,
~
~
(x,
a)
= O.
Cette
resolution
est
possible
(au
moins
d
2
f
lo
calement)
si
---2
(x
,u)
f O.
L'ens
emble
singulier
L de
la
variete
lagran-
dU
(cycle
de Maslov)
est
l'image
par
~
des
points
de X x
:JR
•ou
af
= 0
da
rempla~ant
X' x
:JR
par
un
esp
ace
fibre
de
dimension
£ + m au
dessus
de X
(par
159
exemple T*x
dans
lequel
Vest
deja
plonge).
L'obtention
d'une
parametrisa
tion
donne
la
pos
s Lbi l i.t.e de
fixer
dans
l'
ouvert
n C X une
phase
'f'i c
or
r esporr-
dant
a
chaque
U
i
diffeomorphe
par
ITlu.
a n
et
de
remplacer
1a
valeur
asym
p-
1
totique
d'une
integrale
du
type
3-1 en
uti1isant
3-2
par
une
somm
e de
termes
faisant
intervenir
ces
phases.
Exemple :
supposons
que
nous
ayons
une
seule
variable
d'espace
x
et
une
varie-
te
lagrangienne
dans
Ie
plan
(x,p)
qui
passe
par
Ie
point
(0,0),
et
est
tan-
gente
en
ce
point
a
l'axe
des
p.
p
v
x
11
est
alors
naturel
pour
"deplier
la
singula-
rite",
c'est
a
dire
i ci
pour
trouver
la
var
Le
te
C
f
et
la
fonction
f(x,
a),
de
chercher
cet
en-
semble
C
f
dans
X x lR
sous
la
forme :
2
x
Ct
ce
sera
1
'ensemble
~.
0
si
f
est
de
la
forme
aCt
f(x,Ct)
f
sera
une
parametrisation
de V
si
3
a
a(x)
+ XCt - 3
af
a'ex)
+ a
ax
~
est
tel
que
l'on
a
V -
{x,
a'ex)
+
Ct}
x = a
2
c'est
a
dire
si
Vest
compose
des
deux
ouverts
u\
= {x,
a'(x)
+
Ix
}
et
U
2
= {x,
a'(x)
-
Ix
}
et
de
l'ensemble
singulier
:
L
(0,0)
x > 0
x > 0
160
VIII
DEVELOPPEMENT
ASYMPTOTIQUE
AU
VOISINAGE
D'UNE
CAUSTIQUE
.
I.
Caustiques
du
premier
type.
La forme
d'une
parametrisation
d'une
variete
lagrangienne
est
liee
a
la
na-
ture
des
singularites
de
l'inverse
de
la
projection
n : T*x + X
restreinte
a
V. Les
singularites
des
applications
different
iables
ont
ete
classifiees
par
Thom
.
On
montre
que
dans
Ie
cas
Ie
plus
simple
(
pliage,
auquel
correspond
l'exemple
a
la
fin
de
VII)
on
peut
parametriser
V
par
une
fonction
de
la
forme :
f(x,a)
3
a
o(x)
+
p(x)a
-
:r
ou a
et
p
sont
des
fonctions
regulieres
du
point
x E X.
L'ensemble
C
f
est
alors
~~
_
p(x)
- a
2
0
. a
2
f
L'ensemble
singulier
E de
Vest
l'image
de
l'ensemble
---2
=- 2a = 0 de
Cf'
aa
II
se
projette
sur
X en
p(x)
= 0
et
on a
u
e; ±
161
p(x)
< 0
chacun de
ses
points.
La,
figure
represente
la
projection
sur
X :
l'ensemble
singulier
E se
projette
sur
l'
ensemble C
appe
Ie
"caustique".
L'ensemble
p(x)
< 0
n'est
la
projection
d'aucun
point
de V.
l'ensemble
p(x)
> 0
est
recouvert
deux
fois
par
la
projec-
tion
de V :
deux
"rayons"
passent
par
2.
Integrale
asymptotique.
fonction
d'Airy.
Pour
construire
des
solutions
asymptotiques
d'un
systeme
differentiel
cor-
respondant
a une
variete
lagrangienne
du
type
precedent
on va
etudier
la
va-
leur
asymptotique
de
l'integrale
u(x)
• f
iwf(x.a)
( ) d - iwo(x)
e a
x.a
a = e
ex
3
f
iw(p(x)a
~
31)
e
a(x.a)
da
On
sait
que (theoreme de
preparation
de Malgrange)
il
existe
des
tonctions
done
puisque
2 ilf
p(x)
- a •
ilex
2
+
h(x.a)
(p(x)
- a )
+
Le
dernier
terme
peut
s'eerire
feiWf(x.a)da
+
al(x)
Jeiwf(x.a)
J
iwf(x.a)
h( )
~
d
e
x.a
ila a
a da
162
ioo
a
aa
h(x,a)
da
il
est
done
d'ordre
1 . En
repetant
Ie
meme
raisonnement
on
trouve
un
develop-
00
pement de
la
forme
u(x)
'\,
1:
q
oo-
q
b
(x)
q
Jeioof(x.a)
da +
r 00
-q
c
(x)
q q
J e ioof(x
,«)
ada
Dans
Ie
cas
considere
f(x.a)
_
a(x)
+
p(x)
- a
3/3
on
introduit
la
fonction
d'Airy
.A,(t)
:;
on a
alors
1
2II
J
+ ...
-
...
itt
- t
3
/3
e
dt
feioof(X,a)
da •
:/3
eiwa(x)
Jt(00
2
/
3
p(x»
00
et,
en
derivant
sous
Ie
signe
d'integration
par
rapport
a
p:
D'oii
J
ioof(x,a)
d
e a a
1
eiwa(x)
·213
00
.:i'
(i/
3
p(x»
On a
les
estimations
suivantes
pour
la
fonction
d'Airy
.A:
(t)
J 2
3/2
11
)
pour
t > 0
grand
~
~4
cos(}
t
4
.:/C'
(e)
_ t
l/
4
. 2
3/2
11
)
pour
t > 0 . grand
:lL
"n-
un(}
t -
4
.
(peut
etre
obtenu
par
la
methode de
la
phase
stationnaire).
On
voit
que
pour
p > 0
et
00
2
/
3
grand
on a
pour
Ie
premier
terme
du
develop-
pement :
163
( )
'V eiwcr(x)
[b
O
cos(
2w3P2/3
-1!.4)
- Co p
I/ 2
Sin(2Wp23/3
-
1!.4
J
u x _ L i jj
2/j
1/4
vuw (w
p)
cette
expression
coincide
avec
celIe
obtenue
dans
les
etudes
d'optique
geome-
trique
en
presence
de
caustique,
on cons
tate
en
particulier
un changement de
phase
de n/2
entre
les
deux
termes.
Remarque
pour t
<
0,
Ie]
grand
on
a -:
cit
(t)
1
-
2/3
(-
t)3/2
'V
un
(_t)1Y4
e-
it'
(t)
'V
1
(_
t)
1/4
-
2/3
(-
t)
3/2
un
a
Si
l'on
admet que
l'integrale
donne
aussi
une
estimation
de u
pour
p < o.
On
trouve
que u
devient
rapidement
petit
avec
I/lpl
, p < O. On
trouve
aussi
ici
une
estimation
pour p • 0
(c'est
a
dire
sur
la
caustique),
en
utilisant
Ie
fait
que
pour
t
voisin
de
zero
on a :
~(t)
~
0.355)
0.259 t
3. Onde a
haute
frequence,
solution
approchee
d'ordre
I
d'un
systeme
differen-
tiel
lineaire.
Considerons
Ie systeme
differentiel
lineaire
(3-1
)
o
j •
I,
•••
N
de polynome
caracteristique
A(x,p).
On
cherche
une
solution
approchee, pour
w
grand,
sous
la
forme :
164
(3-2)
i
iWO"
(
it:<w
2/ 3
b
i
+ w-
1/3
dt'
(i
/ 3
p)
c
i)
u
= e
ou b
i
et
i
sont
des
fonctions
de x de 1a
fol:'llle
c
(3-3) b
i
_ b
i
+
1.
b
i
i
i
+ 1.b
i
c
• c
0 w I
0
w I
tandis
que 0
et
p
sont
lies
a
la
geometrie
des
rayons du prob1eme pose
f(x.a)
=
o(x)
+
p(x)a
- a
3
/ 3
est
une
parametrisation
de 1a
variete
lagran-
gienne engendree
par
les
rayons dans
l'espace
des
phases.
On
voit
aisement
sur
son
expression
que
la
fonction
d'Airy
verifie
l'equa-
tion
differentielle
:
(3-4)
J!"(t)
+ t
Je(t)
o
En
reportant
3-2 dans 3-1
et
annulant
Ie
terme en w on
trouve.
compte
tenu
de
3-3
et
3-4.
et
du
fait
que
eft
et
Jr'
sont
des
fonctions
Lndependances
, Le
systeme
lineaire
en b
i
c
i
o·
0
o
qui
est
equivalent
pour P > 0 a
l'ensemble
des deux systemes
lineaires.
obte-
nus en
faisant
£ • + I ou £ - - I
dans
On en
conclut.
en
accord
avec
les
resultats
precedents,
que
les
fonctions
'f
£ •
£ - + I
ou
doivent
etre
solutions
de
l'equation
eikonale
165
Un ca1cu1 analogue a
ce1ui
fait
en
l'absence
de
caustique
(cf
II)
peut
alors
etre
fait
pour
determiner
les
equations
de
transport
de b
o
et
co'
References.
[IJ
Choquet-Bruhat Y., De
Witt-Morette
C.,
"Analysis
manifolds
and
physics"
2
nd
edition,
North
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1980.
[2] Ludwig D. Uniform
asymptotic
expansion
at
a
caustic.
Comm.
pure
and app.
Maths. Vol
XIX
p. 215-250, 1966.
[3J Leray J
.,
Solutions
asymptotiques
des
equations
aux
derivees
partielles
(une
adaptation
du
traite
de V.P • • Maslov). Convegno
International,
Meto-
di
valutativa
della
fisica
matematica,
Acad. Naz.
dei
Lincei
1972.
[4J
Leray
J
.,
Seminaires
du
College
de
France
1976-1977
et
livre
a
parattre
aux
M.I.T
University
press.
[5]
Guillemin
V.
et
Sternberg
S. "Geometric
Asymptotics"
A.M.S.,
Providence
1977 (Math. Surveys
nO
14).