Ferrarese G. (editor) Wave Propagation
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234
ne
cubica
sia
una
funzione
della
temperatura
assoluta
la
quale
ai
riduce
a
zero
nella
trasformazioni
isoterme
(
solidi
incomp
primibili
secondo
Signorini
[11]
,cfr.
anche
Manacorda
(151.
Piu
in
generale
si
pub
ammettere
come
vincolo
interno
una
r~
lazione
finita
fra
deformazione
e
temperatura,cfr.Amendola
[4]
e
Manacorda
[15]
.Green,Naghdi,Trapp
(91
hanno
introdotto
vincoli
eepressi
da
forme
differenziali
non
com)letamente
int~
grabili
nelle.quali
perb
non
compare
la
derivata
temporale
de!
la
temperatura.La
teoria
piu
generale
di
vincoli
termomeccanici
~
dovuta
a
Gurtin
e
Podio-Gu1dugli
tll]
.Essi
hanno
provato
la
impossibilita
che
il
vincolo
riguardi
tutta
Ia
storia
della
de=
formazione
e
della
variazione
di
temperatura
se
si
vuole
soddi~
fatta
la
disuguaglianza
di
Clausius-Duhem
da
ogni
processo
pos=
sibile.I
lore
risult
nti
50no
stati
ritrovati
in
modo
piu
ele=
mentar
e,ma
con
condizioni
piu
restrittive
da
Manacorda
[15]
.
Restrizioni
suI
gradiente
di
temperatura
sono
state
conside~
te
da
Trapp
t23] •
Per
il
segui
to,
~
bene
tratteggiare
La
teoria
s ener al e
di
un
solido
vincolato
nell'ambito
della
moderna
mec=
caniea
d
ei
continui.
Di
un
continuo
~
,formato
da
elementi
X
,si
considera
ac=
canto
ad
una
configurazione
di
riferimento
Bo,la
configurazio=
ne
istantanea
B. X
indica
la
terna
di
coordinate
di
X
in
B
o
rispetto
ad
un
sistema
cartesiano
fiseo,
mentre
=
~
la
terna
corrispondente
in
B.
Data
la
corrispondenza
biunivoca
traB
o
Ii
B
~
1.
1 ) .! = X
(~
J .t)
mentre
il
gradiente
di
deformazione
,
!=
J-J
('!:
J
-t)
F=
Grad
X
(2)ha
Ie
comi!
...,
.....
(2)
te
lettere
maiu8cole
indicano
che
Ie
derivate
80no
fatte
r!
spet
to
alle
.!.
ponenti
cartesiane
235
t,
l
r..
1.2
)
PH =
x
'R
=~
Naturalmente
oX
1.3
)
J =
det
I
pi
l;l
0
e
s1
ammette
J)
o ,
durante
tutto
il
moto
del
corpo.
Altri
tensori
di
interesse
cinematico
nella
meccanica
dei
continui
Bono : 11
tens
ore
rappresenta
gli
sforzi
interni
nel
T
-
di
Cauchy-Green
= F
T
P
-
! ) e
il
tens
ore
di
deformazione
E =1 ( C - 1
),
2'
...
-)
trasposto
di
(
1;4
)
( .!,,"eil
(
1.5
)
1 e 11
tensore
unitario.
Lo
stress
d1 Cauchy
)-1
( 0
secondo
tensore
di
solido
,j"".
l E , e ad
esso
corrispondono,
il
tens
ore
degli
sforzi
di
Piola-Kirchhoff
T
R
(
1.6
)
!R
= _I ! (
!T
e
il
tensore
lagrangiano
degli
sforzi
Piola-Kirchoff
(
1.7
) T =
p-l
T = J
p-l
T ( F
T
)-1
"V
O
--R
,...,
-
,..,
Men~re
~R
non
e
simmetrico,l'equazione
di
bilancio
del
mo=
mento
della
quantita
di
moto e
l'assenza
di
coppie
interne
1m=
plica
la
simmetria
di
T e
di
!o'
Le
equazioni
fondamentali
di
b1lancio
per
un
continuo
sono:
a)
l'
equaz i one
di
conservazione
della
maaaa,
Se
~
e
la
dens;!.
ta
materiale
di
lP.>
in
B,
e
So
e
la
densitll.
di
d3
in
B
o
per
ogni
sottodominio
b
di
H
ie
(
1.8
Sl.~
dv
~
}J'odV
dove
b
o
e
l'insieme
di
Eo
corr1spondente
a b •
Sotto
ov=
vie
di
regolarita
(
1.8
)
equivale
a ( 1n
forma
rispettivamen=
te
lagrangiana
ed
euleriana
(
1.8'
)
~
J =
~o
,
236
b)
l'equazione
di
(
1.
9 )
bilancio
della
quantita
di
moto.
s,
f
J5
~
dv : J
\'£
k 1"
(!'"
M
dt
b b
~b
Si
scrive
di
V
la
de:
,..
..
t
),
.;.
=X
=
;"
;
""
-..;
...
3i
ottiene
f
Alla
in
questa
Sotto
opportune
condizioni
di
regolarita
, (
1.9
)
equLvale
a
•
~
! =
3!
1"
d1v!
e
la
dens
ita
di
forze
di
massa e
.
rivata
molecolare
della
velocita,
v = X( X ,
.....,
'"
.v
1.10
) a1
puc
dare
forma
lagrang1ana.
•
~ .! =
~D!.
+ D1v 1
R
c) b11anc±o
del
momento
della
guantita
di
moto.In
assenza
(
1.10
)
(
1.10'
coppie
distribuite,
si
limita
ad
imporre
la
aimmetria
di
la
normale
grad!
)dv
n
T
!!o
=
~o
»
la
condizione
.., TT
-
-R
TT
: T
,...
-
(dr.
(
1.6
T ..,T =
"'R
,...
anereia.
In
aSsenza
di
sorgenti
interne,si
b f
:B
,
2..
(~f.
dv = (
q.n
dEi
+
(btr(:£
dt
J.
~~~
~
),
bdensita
di
flusao
termico,
e
la
e
in
conseguenza
ove
d)
bilancio
della
scrive
per
ogni
(
1.12
)
,! ,
Zo
(loll)
eaterna
a b
nei
punti
di
u
b.
Queata
equivale
,nelle
conauete
ipotesi
di
regolarita
a
"
1.13
)
.$
f. =
div
q + tIz.(
~grady
) =
div.s
+
tr
( ! Q )
tenuto
conto
della
simme7ria
di
.!
,con
E:
1.
(
grad
v
+(,t4tll1r)
Al1e
equazioni
di
bilancio
va
aggiunta
la
2
disuguaglian=
za
dell'entropia.Qui
,per
semplicita,in
assenza
di
Borgenti,e
assunta
nella
forma
J..
[." J _
1's'
~
J.~
~
0
(1.14)
"'iCM1'
e
,O[t .. b
equivalente,nel1e
consuete
ipotesi
di
regolqrita,a
(
1.15
)
~61-.div4
+
.~.,--l9
»o
237
In
questa,
e e
1a
temperatura
asso1uta.L'
e1iminazione
di
div
.3
tna.
(
1.13
· ) e
(1.15
)
consente
di
scrivere
1a
(1.15
)
nella
forma
della
disuguag1ianza
di
C1ausius-Duhem.
Le (
1.13)
e
(1.15)
si
possono
scrivere
in
forma
la=
grangiana,rispettivamente,
'.
T •
-1
1.13:
So
£ = Dl.v
~R
+
tr
(~R
!),
~R
= J F S
1.15
')
$0
e
'1
- Div Sa + j
'sR'
Grad
e)j 0
L'introduzione
dell'
energia
1ibera
l' =f.
~
,,8
,consente
di
scrivere
(1.15)
e (
1.15'
)
nella
forma
(
1.15'
)
~(f-"le)
-
tr
(;g.D)
- 1
q.
grade~
0
.'J
T'
~~
)0
(r"~
8 -
tr
( lR
X)
- 1
.9-R.
Gr ad
e
~
0
Le
equazioni
fondamentali
{
1.10
f e (
1.13
)
vanno
comple=
tate
da
equazioni
costitutive.
Un
solido
e
detto
termoelastico
se
r = If (
z-
e,
§ )
~
= 1 ( s.e, s
),
1= j {
!'
e,
s )
(
1.16
)
~
=s (
!'
e,
§ )
ove g =
grade
ed e
sottintesa
l'eventuale
dipendenza
da
x,
....
La
incondizionata
va1idita
di
(
1.15
)
per
oeni
processo
am=
missibile,
implica
che
If ,11 , e !
non
possano
dipendere
da
, I • T •
13
,e
che
si
abb
La
~,,(f
+ , e ) -
tr
{~R
l i =
~
cioe
(1.17)
TR=~,,}r'i=
-()ef
:!=J-v,,'f
F
insieme
a
[
~
E:
u] +
[~
•
~d
=0
( 3 )
[)
:!
u]
[~i
uJ
(
1.19
)
(
1.18
)
~
•
~
)} 0 {
...9-R
• Q /? 0
S1
r1chiamano
infine
le
condizioni
di
discontinuita
dovute
alle
equazioni
d1
bilancio
quando
il
solido
sia
attraversato
da
un'onda
di
discontinuita
del
primo
ordine;
esse
sono
f
~
uJ
= 0
+L~~]
= 0
+
[~
•
~]
= 0
(
3)
La
va1idita
di
(
1.19
)4
richiede
che
le
sorgenti
di
entropia,esterne
e
intrinseche,si.ano
limitate
al
tendere
di
238
volume
di
b a
zero.
Green e
Naghdi
non
ammettono
tale
condi
=
zione
l16]
.3i
puo
invece
ammettere
1t
esistenza
di
un
flusso
intrinseco
di
entropia.ln
tal
caso
esso
deve
essere
sempre
non
negativo.
h e
il
flusso
di
entropia.
E'
facile
scrivere
la
versione
la=
grangiana
di
(
1.19
)
la
quale
fa
intervenire
la
velocita
UN
dell'immagihe
in
B
o
dell'onda.
Osservazione
1
3i
assuma
h =
q/O
;
se
9 e
continua
at=
,...,
""
traverso
l'onda,
la
(
1.19
)4 '
tenuto
conto
di
(
1.19
)3'
di=
viene:
[~e~u.]-
[~(u.J=O
cioe
[cfr.
(
1.19
)J
[£-,9] =
[~1
= 0
3i
osserva
che
l'introduzione
di
un
vincolo
ha
dei
riflessi
anche
meccanici
,
in
quanto
il
tens
ore
degli
sforzi
non
e
piu
completamente
determinato
da
una
equazione
costitutiva
come
(
1.17
)1 ' ma
contiene
una
parte
che
rappresenta
gli
SfOTZiodi
reazione
dovuti
al
vincolo.Per
un
vincolo
termomeccanico,anche
l'entropia
e S
non
sono
completamente
determinati,mentre
si
puo
assumere
completamente
nota
la
forma
di
f
nelle
(
1.16
)
Osservazione
2 -
In
un
soliao
termoelastico
non
soggetto
a
vincoli,
l'essere
il
calore
specifico
a
configurazione
co=
stante
C
positivo
implica
corrispondenza
biunivoca
tra
e
v
e 1 '
per
cui
s1
puo
assumere
come
variabile
termodinamica
la
entropia
al
posto
della
temperatura.
Tale
corrispondenza
viene
a
cadere
per
solidi
vincolati,onde
si
potrebbero
istituire
due
teorie
parallele,assumendo
in
una
,come
variabile
termodinami=
ca,percio
soggetta
al
vincolo,la
temperatura;
nell'altra,invece
l'
entropia.
239
2 -
Vincoli
interni
nei
solidi
Esempi
di
vincoli
a)
Vincoli
cinematici
Vincolo
di
incomprimibilita
2.1
)
J =
det
F =
if
det
C
'"
..;
Vincolo
di
inestendibilita
1
Si
ammette
che
in
B
o
esista
un
campo
vettoria1e
~ (X)
1e
cui
1inee
vettoriali
conservano
1unghezza
ina1terata
in
B. Se
~
ha
modulo
unitario,il
vincolo
e
tradotto
in
(
2.2
cioe
2.3
Fe..
F e = 1
/V
IV
,...,,..,
Vinco10
superficia1e
:
Si
ammette
l'esistenza
di
una
famig1ia
g.
di
superfici
I.
,
densa
in
B
o
'
La
cui
di1atazione
superfi=
ciale
e
nulla
nella
trasformazione
B
o
4'
Bl •
Poiche
la
dilatazione
superficiale
e
cf6'"
= J
(~'C-1:Q
con
~
norma1e
nei
punti
di
~
in
B
oJ
1a
condizione
di
ines
stendibi1ita
superficia1e
si
scrive
-i
J
<.:t0g
£ ) = 1
per
ogni
punto
di
l..
ed
ogni
r.
E..
g.
b)
Vincoli
termomeccanici
Sono
estensioni
di
vincoli
precedenti.
Vinco10
di
incomprimibilita
(
Signorini
)
2.4
) J =
f'
(e)t"')~
) f
(r',7:i~)
= 1
~
e
1a
temperatura
(
supposta
uniforme
)
in
B
o
•
Vincolo
di
inestendibilita
2.5
) F
~
• ! 2
f(tl)'t',X);
f(t')t'j.0)
= 1
Vincolo
anolonomo
(Green,
Naghdi,Trapp
)
2.6)
tr
(~T
i)
+j(!
,8) .
.e=0
ove
A e K
sono
un
tensore
ed un
vettore
funzioni
di!
e
'V
24 0
e
di
e
3i
assumera
,d'ora
innanzi,l'esistenza
di
un
vincol0
della
forma
(
2.7
) r (
F,
e
,X
) = 0
~
'"
(
1)
=
0,
.
r
(1)
II
principio
di
obiettivita
impli~a
che
T
possa
dipendere
da
F
solo
per
il
tramite
di
C = F
F,
ma
si
conserva
la
form~(
2.7
)
per
comodita.
~
~
------------------------------------
A
Lungo
un
processo
F = f ( t
),
e:::
e(t)
,in
condizioni
'"' ""
di
sufficiente
regolarita
di
r e
identicamente
qu.Lnd
L
'1' •
(
2.8
tr
t r F )
+ I e
0
.......
-
ove
2.9
r
=
'"J
y
r
~
=
de
r
--
'V
,e
, x );
Osservazione
1
3i
assuma
r = r (f
in
una
trasformazione
linearizzata
a
part
ire
da
B
o
e
LX)
tr
(\-_'1'
E
Lt
l)
+fa
~1'J=
0 .
(.il
"f'
(ol)
(II IflT
ove E e
la
linearizza~ione
di
E,
2 E - =
Grad~+(Gra~~
)
(.4)
.......
ttl
'
it-elf)
1 1 . .
..v
•
~
spos
amen 0
mear
z
za
0,
e a an ear-a.zaaz t.ona
della
variazione
di
temperatura;
dO
e
la
determinazione
in
B
b
di
'";),€
Te
fc
quella
di
%1'.
In
}:articolare,
se
.b
=
Ii,
la
(II\)
diviene
tramite
dei
suoi
tre
invarianti
con
a
'~J
a
eLf)
div
-u,L
=
costante.Cio
accade
se
T'
dipende
da
.!
per
il
lII
E
•
In
un
solido
termoelastico
soggetto
ad
in
vincolo
del
tipo
2.7
),10
stress
e
l'entropia
risultano
non
co
mpl
etamente
determinati
da
equazioni
costitutive
:
pr
ecieamente
si
ha
(
2.
10
) T = - p
\'
+
5'
o ?
'f,
"l = +
-r-
f3
-
"8
r
.-R
... r ,
s:,
I
ove p e
un
p
arametro
lagrangiano
atto
ad
individuare
la
rea=
zions
vincolare
int
erna.
_
tr
(TT
F_·)
....
R
alle
reazioni
interne
241
Osservazione
2-
La
potenza
delle
reazioni
vincolari
e
data
da
..
.
-
tr
( p r
F)
AJ
.v
ed e
quindl
nulla,in
corrlspondenza
al
vincolo,in
ogni
trasfoE
mazlone
lsoterma
.Plu
in
generale,essendo
la
prodpzione
speci=
fica
interna
di
entropia
data
da
-
5'oy
+
~o"1
e
la
produzlone
di
entropia
dovuta
-pT'
e.E.~
e
,-- I • ". •
50 P (f e +
tr
(r.
! »
ed e
qUindi
zero
in
virtu
del
vincolo
(cfr.
(
2.8
»
Osservaeione
3-
Una
teoria
perfettamente
analoga
si
ottie=
ne
assumendo i come
variabile
termodinamica
e e
determina
=
ta
da
una
equazione
costitutiva.
Naturalmente,
r
va
sostitul
ta
con
g
242
3 - Onde
di
accelerazione
11
quadro
delle
equazioni
fondamentali
in
presenza
di
un
vin=
colo
come(2.7),e
in
assenza
di
forze
di
massa
e
di
sorgenti
termiche
e
di
entropia
(
cfr.
(
1.10'
),
(
1.15'
),
(
2.10
»)
..
~ei
=
Div
~
.\
3.1
)
~o
%-
=
Div
:£R
-i
,q
=JoFq
;;R
~-
~R
• G
~
0
3R =SR (
.!
' § , e)
G = Grad e
~
=
50}
'P
- p
S'
~
= t
~
-
~
If!
'
1'(F,e)=O
- -
31
comincia
,qui,
ad
esaminare
le
cond1zion1
per
zione
di
secondo
ordine
( onde d1
accelerazione
).
la
propaga=
A
questo
scopo
s1
pone
3.2
a=[X]
,....
rv
Una
notevole
sempl1ficaz1one
e
dovuta
al
fatto
che,in
un
co~
duttore
definito,tale
cioe
che
la
parte
simmetrica
del
tensore
K -
~~R
e
definita
positiva,
possono
anche
in
presenza
di
--
()Q:
vincol1
(l),propagarsi
solo
onde omoterme
,per
le
quali,cioe
(1)
Per
un
solido
non
vincolato
V.ad
es.
[B,7J
=
=
o
3i
osserv1
,infatt1,che
pur
essendo
~
completamente
dete~
minata
da
un'equaz1one
costitut1va,
6
non
10
e ,ma
si
ha
E
=)'+je='\f-
e
1'
+
r.,
f
e
;
tuttav1a
f. e
da
r1teners1
continua
attraverso
l'
onda
(2)
(2)
1a
(1.19)2
impl1ca
[1.e]
=
0,
cioe
[p]
= 0
Dalla
equaz10ne
della
energia
s1
ha
allora
[5'0
~
t: ] =
[3R
1 N
e
percH)
(
3.3
)
N = 0
,....
=1N.a
--
-
(
3.4
)
24 3
ove ,!! e La
normale
all'
immagine
dell'
onda
in
B
o
•
Sia
G:
discontinuQ
,peraia
[~J
=o(N
,
dato
che
9 e
continua
a
~
= Grade ;
si
ha
allora
J;
= 3R (
~
+ , e ) .;a SR
(~r
+0(
!
J,
()
)
quindi
Ef~)=
L~R]
.
~
=(
SR
(~-
+
()(,1'
4,
e) -
.3R(
2-
,
e)
):!
J =0
Derivando
questa
identita
rispetto
ad~
K+ N • N = 0
....
- -
che e
impossibile
per
l'ipotesi
che
il
conduttore
aia
definito.
Si
pua dunque
asaumere
che
l'onda
sia
omoterma.
Dopo
di
cia,dalla
(
3.1)6
a1
ha
• [t"'l'''j1 = 0
od anche
{[
l1']=
L
~
w! , e
tr
l'
T (
~
/li7
1!
UN
flN.a
=
0:
,...
'"
.--
le
onde ( omoterme )
di
accelerazione
di
un
solido
termoalast!
co
sono
trasversali.
ai
ha
Si
prende
in
esame,ora:
la
(
3.1
)1
(
[di
v
TRJ
=
-!.-
[T
R
] ! )
u
• N •
L~RJ
= -[ p
r]
+
f;
[!] -tX [ g]
ove
((
e
il
tenaore
quadruplo
~
~
•
Si
ha
poi
~
f
[i]
= - f
(1
~
~
1!
) = - 1
UN UN
A a
...,
---
ove A
indicadn
conveniente
tensore
del
aecondo
ordine,fun
=
,....
zione
di
N.•
[p·rf=
[;]I+
p[d.r1'(i)J
+
p[;>e!
e]
e
cioe,nelle
condizioni
presenti
(
3.5
) - [P1]! = - [p] 1'! +
rr:-
A
~
]I