Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Подождите немного. Документ загружается.

1.7. Глубокая обратная связь

Если, например, р(«) = 1, то с неизбежностью q(s) = 1, и все определяется

устойчивостью полинома

(fik{s) = л^ + (Ai + А2)з + А1А2 + *;,

которгм на^ступает только при выполнении неравенства

Ai +

Аг

> 0.

Ясно,

что последнее нергшенство может и не выполняться. Если же

р{з) = л + с, где с = const > О, то при q(s) = 1 устойчивость полинома

4>k{s)

+ [{Xi +

Х2)

+ к]

Х1Х2

+ кс

наступает при любых параметрах Ai, А2 и достаточно большом значении

коэффициента обратной связи к. При этом следует обратить внимание на

то,

что передаточнги! функция регулятора

физически нереализуема, так как deg q(s) < deg р{з), следовательно, в при-

веденных выше расчетах нужно, как минимум, положить

q(s) = 3 + q, q = const > 0.

Тогда можно установить, что отвечающий за устойчивость замкнутой си-

стемы полином имеет вид

4>k{s)

= 3^ + {Xi +

Х2

+ q)

3'^

+ [А1А2 + (Ai -I-A2)g-|-fc] 3-f-AiA2g-f-fcc,

a устойчивость наступает при достаточно больших значениях параметров

тл

q. Тем самым мы получим структуру замкнутой системы управле-

у'

S + X2

^ 6

" Ч

у'

s + Xi

Рис.

1.44

ния (рис.

1.44),

устойчивую при неограниченном увеличении коэффициента

обратной связи {к

—>•

оо) и решающую поставленную задачу стабилизации.

62 Глава 1. Принципы построения линейных

систем

1.7.3. О грубости систем с глубокой обратной связью

Рассмотрим влияние двух типов вариаций оператора объекта:

• регулярных вариаций, или вариаций параметров;

• нерегулярных вариаций или сингулярных возмущений, меняющих

порядок объекта.

Для анализа последствий, которые имеют место при регулярных воз-

мущениях, достаточно обратиться к полиному

ipk{s) = a{s) q{s) + kb{s) p{8),

отвечающему за устойчивость замкнутой системы. Очевидно, что

если полиномы ^б,р(«) = b(s)p(s) и ipk{s) гурвицевы (последний при

достаточно большом значении к), то, в силу непрерывной зависимости

спектра от параметров, малые изменения параметров полиномов a(s)

и b{s) (т.е. параметров объекта) не меняют ситуацию качественно%

Иными словами,

• системы с глубокой обратной связью грубы по отношению к регу-

лярным возмущениям.

При сингулярном возмущении меняется порядок объекта, напри-

мер,

вместо передаточной функции W{s) = b{s)/a{s) мы имеем дело с

передаточной функцией вида

WAS) = -7^,

a{s) T(S)

где T(S) — некоторый устойчивый, но неизвестный полином степени

не ниже первой, т.е. deg T(S) > 1. Тогда за устойчивость замкнутой

системы отвечает полином вида

<Рк («)

= •г(«) a{s) q(s) + kb{s) p(s)

и ясно, что если имеет место неравенство deg T{S) > 2, то для физи-

чески реализуемой обратной связи полином fl{s) всегда неустойчив

при fc -> оо. Надежда на устойчивость сохраняется только тогда,

когда deg T{S) = 1. Но и эта надежда призрачна, так как порядок

реального объекта всегда выше порядка его математической модели

и,следовательно,

• практическое использование глубокой обратной связи всегда ведет

к неустойчивости.

Следовательно, значение коэффициента усиления, предельно допу-

стимого по соображениям устойчивости, ограничено некоторым кри-

тическим значением kct, т.е. О < к < к„. Последнее, разумеется, не

позволяет полностью устранить влияние возмущения / на регулиру-

емую координату у и, как следствие, добиться требуемого равенства

у = у', т.е. не позволяет точно решать задачу стабилизации. Иными

словами,

• системы с глубокой обратной связью негрубы по отношению к син-

гулярным возмущениям.

1.7. Глубокая

обратная

связь

Пример 7. Неустойчивость систем с обратной связью по от-

ношению к сингулярным возмущениям. Пусть в системе с обратной

связью (Пример 6) имеется действующее указанным выше способом сингу-

лярное возмущение с оператором

т(а) = гз +

г = const > 0.

Тогда полином замкнутой системы упргъвления описывается выражением

ifil{s) =

{тз

+ 1){з + \2){з + Ai)(s +

д)

+ к{з + с)

и ясно, что ни при кгисом положительном значении г он не может быть

гурвицевым при /с -> оо. Таким образом, построенная в Примере 6 система

стабилизгщии неработоспособна при к -^ оо. Заметим, что при к <

кет

полином

(р^(з)

устойчив, однако требуемое равенство у = у' не выполняется

и, более того, ощибка стабилизащш зависит от возмущения f{t).

Выясним, что принципиально нового вносит в полученные резуль-

таты дополнительная прямая связь по нагрузке в соответствии со схе-

•^

Рх

—^

Рис.

1.45

мой, представленной на рис. 1.45. Отвечающие этой структуре урав-

нения имеют вид

y = P2{f + r), r=Pi{u + u'), u'=Qy', u = kR{y'-y).

После исключения переменных и, и' и г находим искомую связь между

переменными у, у' и / в виде

{l + kPR)y = P2f + {kPR + PQ)y'.

Из этого выражения следует, что рассматриваемая прямг1я связь

по нагрузке не влияет на устойчивость системы, так как отвечающий

за устойчивость полином 1 -f- kPR не зависит от оператора Q. Точ-

ность компенсации возмущения / также не зависит от оператора Q.

Польза от прямой связи состоит в том, что при конечном коэффи-

циенте усиления (к 4С ^сг) с помощью оператора Q можно повысить

точность поддержания требуемого равенства у = у'.

64 Глава I. Принципы

построения

линейных

систем

1.7.4. Метод пространства состояний

в €кналнзе систем с глубокой обратной связью

Решим задачу стабилизации объекта из Примера 6 (рис. 1.42) мето-

дами пространства состояний. Дифференциальные уравнения, опи-

сывающие объект в пространстве состояний, имеют вид

\2У=/+г,

(1.42)

г-\- Air = и.

Применим оператор d/dt+Xi к уравнению (1.42), полагая, конечно,

дифференцируемость функции /. Тогда, используя стандартные обо-

значения

a2 = Ai-bA2, ai = А1А2,

уравнение объекта можно записать следующим образом:

y + a2y + aiy=F + u, (1.43)

где F = f + Xyf — возмущение, приведенное ко входу объекта, т.е. к

управляющему входу. Пусть

у'

+ а2у' + aiy' =Y'.

Вычтем из этого выражения уравнение объекта (1-43) и, так как

е = у"

—

у, получим в результате уравнение объекта в отклонениях:

ё + огё + aie = Y' - F -и.

Определим декартовы координаты xi = е, жг = ^ и запишем урав-

нения объекта управления в фазовом пространстве (xi,a;2)- Имеем

XI = Х2) ^2 = —iiaJi

—

ога^г

—

и + У

—

При обратной связи

и = ка, а =

Х2

+ cxj, с = const > О,

получаем замкнутую систему управления вида

ii = Х2, Х2 = -aixi - агхг - к{х2 + cxi) + Y' - F. (1-44)

При к -> оо последнее дифференциальное уравнение вырождается в

алгебраическое уравнение X2-f-cxi = 0. После подстановки

Х2

= —cxi в

дифференциальное уравнение (144), получаем уравнение предельного

движения в виде

Xi = —CXi.

Поскольку это уравнение экспоненциально устойчиво, а

у'

-y = e = xi,

то у*

—

—>

О, и задача стабилизации тем самым решена.

1.7. Глубокая

обратная

связь

1.7.5. Геометрическая интерпретация

систем с глубокой обратной связью

Если в (1.44) положить

oi = const, 02 = const, Y'

—

F = А = const,

TO уравнения замкнутой системы принимают вид

ii = ar2, Х2 =-aiXi-a2X2-k(x2 + cxi)+А, (1-45)

и полученным аналитическим результатам можно придать геометри-

ческую интерпретацию (рис

1.46).

При конечном значении параме-

\ °

Чг»

У^Л2(к)

Нк)

а=0

Рис. 1.46

тра к качественное поведение фазовых траекторий системы (145) ил-

люстрирует рис.

1.46а,

на котором Ai(fc), A2(fc) — нули характери-

стического полинома

<ph{s),

определяющие парциальные движения, а

X* = A/{kc + ai) — статическая ошибка. При Л -> ос прямая Ai(fc)

стремится к прямой

<т

= О, прямая Х2(к) занимг1ет вертикальное поло-

жение, а точка х* стремится к нулю. В результате получаем фазовый

портрет предельной системы, представленный на рис.

1.466.

1.7.6.

Влияние амплитудного ограничения

на системы с глубокой обратной связью

Пусть в канале управления имеется ограничение на амплитуду сиг-

нала (рис.

1.47).

Тогда при использовании глубокой обратной связи

наступает, в отличие от предыдущего случая, качественно новая ситу-

•i-^-TT

sat

Рис. 1.47

Глава 1. Принципы

построения

линейных

систем

ация. Поясним это. Пусть sat (•) описывает функцию насыщения или

линейную зону с упорами (рис.

1.48а).

Если и = fc<r, то зависимость

-1

J/.

0 1"

-1

-I

.. .;,

-1 / !

0 Г

-1

Рис. 1.48

v{<j)

подобна sat(«), но с измененной зоной линейности (рис.

1.486).

Ясно,

что при Л -4 00 функция sat {ко) превращается в функцию иде-

ального реле (рис.

1.48в).

В результате взамен гладкого управления

и =

к(т

получаем разрывное управление и = sgn

сг

и вместо линейной

системы — релейную систему, фрагмент которой показан на рис. 1.49.

Рг

-1

Рис. 1.49

Поведение релейных систем разительно отличается от поведения

линейных систем. Некоторые важные особенности поведения релей-

ных систем рассматриваются в следующей главе.

Подводя итог обсуждению темы, можно сделать следующий вывод:

• не существует линейного регулятора, робастно решающего задачу

стабилизации при наличии неизвестного внешнего возмущения.

1.8. Библиографический комментарий

Работы

[

13,

56, 58, 77, 78, 95-97] заложили теоретическую базу клас-

сической теории автоматического регулирования. Действительно, ан-

глийский ученый Дж. Максвелл (J. Maxwell) впервые в [95] матема-

1.8. Библиографический комментарий 67

тически исследовал вопрос об устойчивости пары "паровая машина —

регулятор" и сформулировал критерий асимптотической устойчиво-

сти линейного уравнения третьего порядка.

Русский математик И.А. Вышнеградский в статье [13] уточнил

модель Максвелла и провел исчерпывающее качественное исследова-

ние произвольной трехмерной системы. Он впервые поставил вопрос

о качестве переходного процесса в системе автоматического управле-

ния и математически описал границы областей в пространстве па-

раметров уравнения системы с различным типом качественного по-

ведения его решений, дал практические рекомендации по настройке

регулятора Дж. Уатта (J. Watt).

Словацкий инженер А. Стодола (А. Stodola) сформулировал не-

обходимые условия устойчивости произвольного полинома и привлек

внимание немецкого математика А. Гурвица (А. Hurwitz) к проблеме

необходимых и достаточных условий устойчивости. Эта задача была

решена Гурвицем в 1895 г. с использованием результатов Ш. Эрмита

(Sh. Hermitte), но еще ранее, в 1877 г., эквивалентные условия устой-

чивости были найдены Е. Рауссом (E.J. Routh) [97].

Наиболее общие методы исследования устойчивости и основные по-

нятия современной теории устойчивости движения даны A.M. Ляпу-

новым в диссертации [56].

Частотные методы и структурные схемы стали широко приме-

няться в теории управления после работ Г. Найквиста (Н. Nyqwist)

[9б],Г.Блейка(Н. Black) [77], Г. Воде (Н. Bode) [78] и А.В. Михай-

лова [58]. Ученые провели исчерпывающее исследование устойчиво-

сти замкнутых обратной связью систем по частотным характеристи-

кам объекта и регулятора.

Основные постановки задач и базовые принципы теории автома-

тического регулирования имеют глубокие корни. Считается, что аме-

риканец М. Бултон (М. Boulton) в 1788 г. и француз Ж.-В. Понселе

(J.-V. Poncelet) в 1826 г. ввели в научный обиход принцип разомкну-

того регулирования. Авторство принципа обратной связи датиру-

ется 1788 г. и приписывается американцу Дж. Уатту. Интеграль-

ную компоненту в обратную связь ввел в 1837 г. француз Л. Молини

(L.

Molinie), производную — немцы, братья Уильям и Вернер Сименсы

(William

Werner Siemens) в 1844 г. Регулирование по нагрузке впер-

вые было предложено Ч. Портером (СТ. Porter) в 1908 г., релейная

обратная связь, по-видимому, впервые использовалась Ч. Шофилдом

(C.L. Schofield) еще в 1836 г., пропорциональное регулирование при-

менялось в 1870 г. американцем Д. Вудбери (D.A. Woodbury).

С современной трактовкой методов прямого управления можно

ознакомиться по работам [1, б, 11, 12, 64, 67]. Принцип двухканаль-

ности изложен в [61, 62, 67]. Метод Кулебакина подробно описан

в [49, 52]. Теория и методы большого коэффициента усиления, по-

видимому, впервые систематически изложены в монографии [57].

Глава 2

Некоторые принципы построения

нелинейных регуляторов

Релейные системы являются простейшим видом принципиально нели-

нейных динамических систем, они описываются дифференциальными

уравнениями с разрывными характеристиками и потому часто их на-

зывают разрывными системами. В теории автоматического управле-

ния интерес к исследованию разрывных систем связан с использова-

нием сервомеханизмов типа полный вперед-полный назад, а также

ввиду наличия амплитудных ограничений на сигналы.

В этой главе мы рассматриваем некоторые специальные вопросы

теории релейных систем, представляющие интерес в общем контексте

монографии и прежде всего в связи с ангшизом возможностей релейной

стабилизации в условиях неопределенности.

2.1.

Релейная обратная связь

2.1.1.

Основные понятия

Релейная система — это система, в структурной схеме которой име-

ется хотя бы один релейный элемент (РЭ). В теории автоматического

управления релейной считают, как правило, обратную связь, изобра-

женную на рис. 2.1, на котором sgn (•) — нелинейная операция, устана-

Т^

sgn

Рис. 2.1

вливающая связь между управлением и и выходом а регулятора R по

формуле и — sgn

(X.

Если релейных элементов несколько, то систему

называют каскадной релейной системой.

Характернсш особенность РЭ — разрывность, что вносит суще-

ственную специфику в методы анализа и синтеза релейных систем, а

2.1.

Релейная обратная связь

также накладывает отпечаток на их качественное поведение и функ-

циональные возможности. Типичные модели релейного элемента изо-

бражены на рис. 2.2.

-1

•

-Д,

-1

-д

Д о-

-1

Идеальный РЭ

РЭ с гистере-

зисом 2Д

РЭ с мертвой

зоной 2Д

Рис.

2.2

Необходимость рассмотрения релейной системы естественно воз-

никает, когда в системе управления используется реальный привод

(силовой механизм типа "полный вперед — полный назад") либо ре-

лейная система выступает в качестве удобной абстракции, например,

в виде предельной системы (рис. 2.3) для системы с глубокой обратной

связью при наличии амплитудного ограничения в кангше управления.

к<7

sat(.)

-1/к: /

/:i/k

[

-1

к — оо

Рис.

2.3

Пример 8. Простейшая релейная система. Рассмотрим простей-

шую следящую систему первого порядка, представленную на рис. 2.4.

у'

•

Рис

s + a

2.4

• 4S>'

70 Глава

Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов

Движение тахой системы можно описать уравнениями

+ ау = и + f —

объект,

= ке —

регулятор,

= у'

—

у —

оишбка слежения.

(2.1)

Для анализа свойств системы (2.1) удобно переписать уравнение

ее

дви-

жения относительно "ошибки". Прямыми вычислениями находим

= y'-y =

y'-ti-f-ay\.

=-{k + a)e + y' + ay'-f. (2.2)

Пусть e(t, jfc)

—

какое-либо решение уравнения (2.2). Ясно,

что

Бт e{t,k)

при любом параметре

а,

"практически" произвольном задании

y'{t) и

воз-

мущении

f{t).

Пусть теперь

кгмале обратной связи исследуемой системы

2/*

•

s + a

—•

sat —1

Рис.

2.5

имеется ограничение типа sat (•) — насыщения (рис. 2.5). Тогда при

А;

—^

оо

возникает качественно новая ситуащш

"ургшнение

ошибках" имеет вид

—а е —

sat (ке)

+ F,

где для удобства использовано обозначение

F =

ay'-f.

В пределе

при к

-> оо имеем дело

релейной системой

ё =-ae-sgne-t-F.

(2.3)

Система

(2.3)

разительно отличается

от

системы (2.2). Ясно,

что

для неустойчивого объекта (т.е. когда

а < 0)

задача слежения реша-

ется системой

(2.3)

только

при

выполнении неравенства

\ae

+ F\< 1,

иначе говоря, только

при

определенных начальных условиях

только

для ограниченного возмущения

Следовательно,

• релейной обратной связью стабилизируются более узкие,

по

срав-

нению

линейной обратной связью, классы объектов

только при

действии ограниченных

по

амплитуде возмущений.