Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Подождите немного. Документ загружается.

2.2.

Стабилизация объекта с неопределенным оператором

(что,

конечно, решает рассматриваемую задачу) и направляется вы-

бор управления и на входе объекта Pi:

+ Xiz = fi + u.

(2.24)

Для синтеза подходящего управления и удобно записать уравнения

движения объекта Pi (2.24) относительно ошибки е =

—

2. Диффе-

ренцируя последнее уравнение по t и производя замены по формулам

Z = V •

i = Д 4-

- Ai v + Ai е.

находим искомое уравнение движения в виде

ё + Xie = (р— и,

(2.25)

где (f

—

v + Xiv + fi. Объект (2.25) также удовлетворяет МС-условию,

и поэтому уместно применение глубокой обратной связи по ошибке в

стандартном виде и = kic. В результате имеем замкнутую систему

управления с уравнением движения вида

e + {ki -I-Ai)e = ip.

При fci

—»^

оо объект (2.25) стабилизируется в нуле, что и требо-

валось доказать. Поскольку ясно, что обратная связь v =

—к-^у

при

А;2 ^ 00 стабилизирует объект Рг в нуле при любых Аг и /г, то можно

теперь изобразить структурную схему синтезированной системы кас-

кадного регулирования (рис. 2.38). Каскадность этой системы упра-

V е

—9—

s + Xi

Рис.

2.38

вления следует из того, что обратная связь и = kie способна подавить

возмущение

f = k2y + Xik2y + fi

только в том случае, если выполняется условие

lim —

fci-*oo *1

кз-¥оо

Глава 2.

Некоторые

принципы

построения

нелинейных регуляторов

Последнее условие и устанавливает иерархию коэффициентов уси-

ления местных контуров обратных связей, а вместе с этим вводит в

систему каскадность. Если структурную схему полученной системы

стабилизации представить в виде схемы, изображенной на рис. 2.39,

то появляется возможность полезных содержательных интерпрета-

ций. При таком представлении видны два контура обратных свя-

s + Xj

• ®-

-к2 -|

Рис.

2.39

зей,

причем внутренний контур является более "быстрым" (в пределе

бесконечно более "быстрым", чем внешний контур) и, значит, можно

считать переменные внешнего контура как бы "замороженными" по

отношению к переменным внутреннего контура. Поэтому если вну-

тренний контур устойчив, то можно считать, что 6 =

11 —

г = Ои, сле-

довательно, внутренний контур как бы "передает" или индуцирует на

входе объекта Рг управление v. В связи с этим принцип каскадного

регулирования иногда называют принципом индуцированных обрат-

ных связей.

2.2.3.

Структура объектов каскадного регулирования

Рассмотренную выше (рис. 2.39) структуру системы каскадного ре-

гулирования нетрудно обобщить на случай произвольного числа m

каскадов (рис. 2.40). При этом стабилизация выхода объекта у в нуле

Рт

Рт-1

Н^

/tn-1

Pl HgK-

hPi Н?»--^ *^2^ 8к-^^

Zm-1

ftrnfm

Рис.

2.40

2.2.

Стабилиэа1щя объекта

с неопределенным

оператором

возможна при установлении для локгтьных глубоких обратных связей

определенной иерархии коэффициентов усиления

lim —— =0, г = 1, ...

—

ki -+00 К,-

Подобным образом можно стабилизировать дгилеко не все объекты,

а только те, которые допускают структурную композицию, приведен-

ную на рис. 2.40. Суть этой композиции в том, что поведение каждого

контура не должно зависеть от переменных внутренних (по отноше-

нию к нему) контуров, т.е. должны выполняться соотношения

Zi = Pi (/,• + Zi+i), i = 1, ...

m - 1,

Zm = y-

Ha языке дифференциальных уравнений последнее означает, что

правая часть уравнения движения объекта в форме Коши должна

иметь "треугольную структуру", т.е. старшая по номеру перемен-

нгш может входить только строго в предшествующее уравнение и не

должна входить в прочие уравнения с меньшими номерами. Пример

таких уравнений движения в фазовом пространстве {zi,Z2, ... ,Zm)

приведен ниже:

Zl = <Pl{zi,t) + Z2,

Z2 = 'P2{zi,Z2,t) + Z3,

Zm = Vm(-Zl, ... ,Zm,t) + U.

Только в этом случае каждую старшую переменную можно интерпре-

тировать как управление для предшествующих переменных и уста-

навливать иерархию обратных связей. Подобные объекты принято

называть объектами с треугольной структурой.

Изложенное выше показывает, что принцип каскадного регулиро-

вания является довольно эффективным средством стабилизации не-

определенного объекта, поскольку:

• синтез обратной связи является итеративным и на каждой итера-

ции приходится иметь дело с объектом низкого порядка;

• нет необходимости иметь полную информацию о фазовом векторе

объекта;

• допускаются и нестационарная неопределенность и произвольные

внешние воздействия;

• учитывается разнотемповость физических процессов, протекаю-

щих в реальной системе.

При этом система каскадного регулирования не свободна и от недо-

статков: использование больших коэффициентов усиления понижает

прочность системы и повышает роль амплитудных ограничений, кро-

ме того, требуется "треугольная" структура системы, что ограничи-

вает класс стабилизируемых неопределенных объектов.

94 Глава 2.

Некоторые

принципы

построения

нелинейных регуляторов

2.2.4. Стабилизация интервальных объектов

Рассмотрим теперь проблему стабилизации в нуле линейного объекта

y(")+a„y("-i) + oij/ = u + /, (2.26)

называемого далее объектом Р, постоянные параметры ai, ...

а„ ко-

торого неизвестны, а даны только границы содержащих их отрезков,

т.е.

известны числа af,...,a^ такие, что а,- G [а,~, af]. Эти, из-

вестные с точностью до интервала, числа называют интервальными

и обозначают символом

[а,],

г=1,

...,п.

В соответствии с этим объект Р называется интервальным объек-

том [Р] и записывается в виде

J/("^+Ia„]i/("-i)-H[ai]3/ =

u-f-/.

(2.27)

гением

(2.28)

Кроме того, интервальный объект может быть задан уравнением

состояний

= [А]х +

[Ь]и

+ [d\f,

У = [с]х,

где [А], [Ь], [d\ и [с] — интервальные матрица и векторы соответ-

ственно. Заметим, что переход от описания (2.27) к (2.28) всегда воз-

можен, тогда как обратный переход может и не существовать. При

стабилизации интервального объекта (2.27) фактически приходится

иметь дело с семейством объектов, и этому может быть дана соот-

ветствующая геометрическая интерпретация.

Пусть а = (ai,...,a„) — вектор параметров или точка в век-

торном пространстве параметров А, определяющая конкретный объ-

ект (рис. 2.41). Тогда [а] =

{[ау],

... ,[а„]) — интервальный вектор

[а]

olZ

Рис. 2.41

параметров или множество — полиэдр в пространстве Л, определяю-

щий семейство объектов. Поэтому фактически обратная связь должна

быть стабилизирующей для любой точки полиэдра. При этом не воз-

никает никаких проблем, когда полиэдр "мал", так как есть теоремы,

свидетельствующие о непрерывной зависимости решений от параме-

тров.

Но как быть, когда полиэдр нельзя считать "малым"?

2.2.

Стабилизация объекта

с неопределенным

оператором

Возможно применение нескольких подходов. Например, можно вы-

брать медиану каждого i-ro отрезка

аГ = (а+ + аГ)/2

и ввести полуширину того же отрезка

Aai = {af -аГ)/2, i=l,...,n.

Это позволяет выделить стандартный объект Р"* с фиксированными

(в нашем случае — с медианными) параметрами

у(п) + а;Г2/^""^^ + ...+аТу = ь, (2.29)

а разницу между (2.29) и (2.27) определить как неизвестное возмуще-

ние

fiy У'"-'^) = (an - а-)у("-1) + ...+{аг- а^)у,

для которого, однако, известна мажоранта

<рм{у, ...,

1/("-^))

= Аа„|у("-1)| + ...+ АаМ,

те.

1^1 <

<рм-

При таких переобозначениях проблему стабилизации

интервального объекта Р из (2.27) можно свести к стандартной про-

блеме стабилизации медианного объекта Р"* из (2.29) при наличии

помехи

ifi

в правой части, т.е.

у(п) ^ amj^(n-l) + ^ „mj^ ^

_ ^ (2.30)

Если теперь имеется информация о фазовом векторе (у, у^^\ ...,

у("-1))^

то рассматриваемую проблему стгьбилизации решает глубокая

линейная обратная связь

и = -к {сгу +

С2У^^)

+ ...+ с„_1у("-2) +

j/("-i)),

(2.31)

если только полином

отвечающий обратной связи (2.31) при к -^ оо, гурвицев. В самом

деле,

с обратной связью (2.31) интервальный объект [Р] описывается

уравнением

у(") + [а;Г + it]y^""^^ + ... + К + ikci]y = /.

После почленного деления на к имеем

i,w +

т-'

у("-^Ч ...+

= -j^{f -<р)

и после устремления коэффициента обратной связи к в бесконечность

получаем уравнение предельного движения

которое, по предположению,'асимптотически устойчиво.

96 Глава 2.

Некоторые

принципы

построения

нелинейных регуляторов

Конечно, возможности такого подхода ограничены стандартными

(для систем с бесконечно большим коэффициентом усиления) требова-

ниями к прочности и т.п., которые отчасти можно ослабить примене-

нием идеи каскадного регулирования. Но в целом проблема стабили-

зации общего интервального объекта с ограниченным коэффициентом

усиления в обратной связи остается по-прежнему актуальной.

2.2.5. Интервальная устойчивость

Альтернативой глубокой обратной связи является, правда только до

определенной степени, метод, базирующийся на теории интервальной

устойчивости.

Предлагаемая теория основана на разнообразных критериях лока-

лизации нулей, в ЧЕ1СТН0СТИ, на критериях устойчивости политопов —

полиномов с интервальными коэффициентами. Например, соглгьсно

критерию Харитонова, для устойчивости политопа

[^] = s» + [a„]5("-i)-b...-H[ai]

необходимо и достаточно устойчивости следующих четырех полино-

мов:

уИ = af + a^s + a^s^ + a^s^ + ...

<p++

= aj" -I- ajs

-I-

a^s^ -f ajs^ -I- ...

(pt+ = «i" + ojs

-I-

a^s^ + a^s^ + ...

<p'^t

= af + at^ + «J*^ +

+ ...

Условия Харитонова, вообще говоря, избыточны, т.е. в некоторых

случаях можно обойтись проверкой устойчивости и еще меньшего чи-

сла полиномов. Например, для политопа второго порядка

[<р]

= s^ +

[a2]s

+ [ai]

достаточно проверить устойчивость только одного полинома

ip =

s"^

+ajs

-f-af,

что,

впрочем, прямо следует из рис. 2.42. Поскольку необходимые

^^^l

(с

V/.

• • •

)

V///

1<р]

V///

'«

Рис.

2.42

и достаточные условия устойчивости политопа

[(р]

состоят в поло-

жительности его коэффициентов, то достаточно проверить только

2.2.

Стабилизещия объекта с неопределенный оператором

точку (=). Если, однако, проводить локализацию нулей политопа бо-

лее точно, то потребуются дополнительные условия. Например, пра-

вая ветвь параболы

4ai = al (2.32)

определяет на плоскости (ai, аз) границу апериодической устойчиво-

сти,

и ясно, что для чисто апериодических процессов прямоугольник

[а]

= ([ai],[ai]) должен целиком лежать ниже параболы (2.32), а для

колебательных — выше ее (рис. 2.43). Поэтому потребуется наложить

////////////////// •«

Рис.

2.43

условия на точки (=), (:f) в первом случае и на точки (=), (±) — во

втором случае.

Если, кроме того, потребовать степени устойчивости, равной чи-

слу

»7

у политопа

[<р]

s'^

+ [oj]* -|- [ai], то условия проверки этого

свойства еще более усложняются, что видно на рис. 2.44, где пунк-

тиром обозначена граница области G со степенью устойчивости не

меньше

т}.

Политопы, отвечающие прямоугольнику [а]', всегда имеют

комплексно сопряженную пару нулей с вещественной частью не более.

k«i

7'/

///•

4ai= Oj

0\/7//2rj

////////////////a.

Рис.

2.44

Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов

чем

—т),

тогда как политоп, отвечающий прямоугольнику [а]", всегда

имеет только вещественные нули, не превосходящие число

—т).

Заметим, что теория интервальной устойчивости сегодня предста-

вляет собой хорошо развитый раздел теории устойчивости движения.

Здесь мы ограничимся вышеприведенными замечаниями и перейдем

к проблемам использования критериев интервальной устойчивости в

задачах стабилизации, в частности рассмотрим метод включения.

Пример 12. Метод включения. Рассмотрим интервальный объект

У + Ыу + [а1]у =

[Ь]и,

(2.33)

где

[Ь]

— интервальный коэффициент усиления, Ь €

[6~,Ь''"],

причем Ь~ > 0.

Очевидно, что кгисую бы обратную связь с конечными коэффициентами

усиления мы ни взяли, замкнутги! система будет неопределенной, а Гфи ли-

нейной обратной связи — интервальной системой. Поэтому естественно

попытаться задать свойства замкнутой системы с помощью желаемого ин-

тервального полинома

Мж = s^ +

[а2]жЗ

+ [ai]m-

Тогда цель регулирования будет достигнута при линейной обратной связи

u =

-kiy-k2y,

(2.34)

если ее параметры ki, ki будут удовлетворять следующим включениям:

[ai -f- bki] С [ai]x,

[02

Ькг]

[а2]ж-

Трудности, с которыми сталкивается рассматриваемый метод, видны

из рис. 2.45, Действительно, для достижения асимптотической устойчиво-

ь-к

-^"^

[о]

'"(1

—

•^

Г/,

^^V-'-A

Гь+ik

(

^гк

±)

[o-l-bJk]

Рис.

2.45

сти начг1льный прямоугольник [а] нужно с помощью вектора к = {}i2^k\)

"перенести" в открытый положительный ортгшт плоскости (a2,ai). При

этом происходит ргкгширение границ пересекаемого прямоугольника [a]ib,

так как коэффициент Ь неизвестен и меняется от Ь~ до Ь"*".

2.2.

Стабилизация объекта с неопределенным оператором

Для достижения требуемого качества регулирования, кроме всего про-

чего,

нужно noneicTb "размытым" прямоугольником [а]* вовнутрь прямо-

угольника [а]ж, что довольно трудно. Для этого нужно проверить принад-

лежность прямоугольнику

[а]ж

двух диагональных вершин прямоугольника

Конечно, если ослабить требования

качеству переходных процессов

и добиваться лишь,

примеру, стабилизируемости, т.е. гигимптотической

устойчивости замкнутой системы,

то

процедура синтеза обратной связи

заметно упрощается. Так, при стабилизгщии интервального объекта (2.33)

с помощью линейной обратной связи (2.34) достаточно выбором параметров

^1,

^2 удовлетворить интервальные неравенства

[а2+Ьк2]>0, [ai-l-bfci] >0,

которые эквивалентны следующим числовым неравенствам:

02 +Ь~к2>0,

а^

+Ь~к2>0.

Спргведливость последнего утверждения иллюстрируется рис. 2.46.

[a+Vk]

V///////////

«2

Рис.

2.46

Структурнгш схема системы стабилизации

нуле интервального объ-

екта с помощью линейной обратной связи приведена на рис. 2.47 и, разуме-

ется, не зависит от способа расчета ее параметров к\

fcj,

т.е. используется

ли метод включения или метод интервальной устойчивости.

s4[aj]s+[a

«2

)-|

Рис.

2.47

100 Глава 2.

Некоторые

принципы

построения

нелинейных регуляторов

В заключение заметим, что рассмотренные методы стабилизации

не могут быть применены, если в правой чгигги имеется неисчезающее,

пусть даже известное, возмущение /(<), т.е. в случае, когда стабили-

зируется объект вида

[а2]у

+ [ai]y =

[Ь]и

+ /.

Отсутствие информации о коэффициенте

не позволяет применить

даже метод прямой компенсации возмущения, а так как в обратной

связи

= -kiy-k2y

используются ограниченные коэффициенты, а помеха /(<) не стре-

мится к нулю при t —> 00, то замкнутая система, в лучшем случае,

будет диссипативной. Следовательно,

• методы стабилизации, основанные на интервальной устойчивости,

имеют свою область применения, но не исчерпывают проблему в

целом.

В частности, они не годятся для тех случаев, когда параметры объ-

екта меняются.

2.2.6. Общие полоясения теории адаптивной стабилизации

Рассмотрим проблему стабилизации неопределенного объекта с опе-

ратором Р + АР и положим для простоты, что

у' = о, / = о,

т.е.

будем решать задачу стабилизации свободных колебаний объекта.

Сделаем также стандартное предположение о том, что неопреде-

ленность АР удовлетворяет условию согласованности

JIJIH

МС-усло-

вию.

Тогда проблема сводится к выбору регулятора R, стабилизи-

рующего выход объекта Р 4- АР в нуле (рис. 2.48). Ранее мы уже

АР

-9

Рис.

2.48

доказали принципиальную возможность решения такой задачи ста-

билизации методом большого коэффициента, но это приводит, как

неоднократно подчеркивалось, к непрочным системам управления.