Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Подождите немного. Документ загружается.

Введение

В последние годы широко распространилась точка зрения, что разра-

ботка принципиальных вопросов теории автоматического управления

в основном завершена, центр исследований сместился в область прило-

жений, создания эффективных методов анализа и проектирования си-

стем управления, а возникновение новых идей и принципов возможно

лишь при переходе к объектам новой природы.

Нужно заметить, что для такой точки зрения действительно име-

ются основания, и весьма веские. Теория автоматического управле-

ния достигла впечатляющих успехов, сегодня она в состоянии пред-

ложить широкий спектр методов решения разнообразных задач при-

кладной автоматики. Поле практического применения теории упра-

вления огромно, и невозможно представить современную технологию

без средств автоматизации, а значит и без использования рекомен-

даций теории управления. Это один аспект. Другой аспект состоит

в том, что в теории управления все активнее используется самый со-

временный математический аппарат, а выходящие по теории управле-

ния книги и журнальные публикации в основном имеют обобщающий,

подытоживающий характер. Может показаться, что существуют яв-

ные признаки того, что теория управления близка к совершенству и

заканчивает свое развитие.

Действительно ли положение таково и в теории управления есть

готовые решения для каждого конкретного случая? В некоторых слу-

чаях это в самом деле так, но гораздо чаще теория управления дает

не рецепты, а лишь рекомендации, которые еще должны пройти экс-

периментальную проверку на адекватность рассматриваемой ситуа-

ции. Поэтому неслучайно существует общепринятая последователь-

ность этапов разработки систем автоматического управления: разра-

ботка математической модели объекта, исследование и идентифика-

ция модели, формулировка требований к свойствам системы, подбор

закона управления и проведение имитационного эксперимента, техни-

ческая реализация системы и проведение натурного или полунатур-

ного эксперимента, отладка системы. При этом вся цепочка разра-

ботки или некоторые ее звенья могут использоваться многократно.

Если к тому же учесть, что реализация каждого этапа требует опреде-

Введение

ленных творческих усилий, то становится ясно, что процесс создания

и эксплуатации систем весьма сложен и требует привлечения специа-

листов высокой квалификации. Это требование очевидным образом

вступает в противоречие с массовым характером автоматизации.

Следовательно, такие этапы, как разработка, проектирование и

поддержание системы управления являются "узким местом", сдержи-

вающим прогресс в технологии автоматизации. Это своего рода вы-

зов для теории управления, которая должна дать надлежащие методы

и инструменты, позволяющие эффективно разрабатывать и эксплуа-

тировать системы управления малыми силами и без привлечения вы-

сококвалифицированных специалистов.

В определенной степени разрешению этой ситуации могут способ-

ствовать системы автоматизированного проектирования (САПР),' но

не только они. САПР — это инструмент, который только тогда эф-

фективен, когда он хорошо "оснащен" теоретически. В противном

случае САПР может справиться с рутинной фазой разработки, но

не продвинет решение творческих задач автоматизации, для кото-

рых, собственно, и требуется высокая квалификация. Только развитая

теория, дающая не только жесткие рекомендации для определенного

класса ситуаций, но и предлагающая правила разумного действия в

нестандартных положениях и способы получения адекватного реше-

ния для каждого конкретного случая, может стать тем фундаментом,

на котором возможен дальнейший качественный прогресс в автомати-

зации. САПР с элементами "интеллекта" в теоретическом базисе —

вот то, что сегодня необходимо.

Удовлетворяет ли этому требованию (требованию высокого "ин-

теллекта") современная теория управления? Приходится с сожале-

нием констатировать, что нет, не удовлетворяет. Причин здесь много.

Разработчику системы управления все чаще приходится разрешать

объективное противоречие между детальностью описания объекта и

возможностями дальнейшего аналитического исследования системы,

идентификации ее параметров и проблемами синтеза регулятора. По-

жалуй, это самый трудный этап, формализация которого едва ли воз-

можна. И хотя в основе разработки, как правило, лежит некоторый

реальный процесс, в автоматике стремятся к построению не точной,

а лишь имитационной модели процесса, отражающей его "важнейшие

свойства" по отношению к заранее заданным входным и выходным пе-

ременным. Это основное, что отличает модели теории управления от

моделей, эксплуатируемых в таких фундаментальных дисциплинах,

как физика, химия и т.п. При этом понятие "важнейшие свойства"

очень часто имеет интуитивный смысл, плохо поддающийся форма-

лизации. Возможно, поэтому при построении системы управления

Введение

приходится итеративно возвращаться к данному этапу и вносить не-

обходимые исправления.

В силу отмеченного обстоятельства самым естественным пока-

зался путь к "настолько простым моделям, насколько это возможно".

Это привело к образованию набора стандартных моделей, которые в

основном и эксплуатируются в теории управления. В настоящее время

этот арсенал достаточно беден, и его основу составляют линейные или

близкие к ним модели.

Таким образом, часто в ущерб реальности, но в угоду теории,

сформировался банк упрощенных моделей, с которым и по сей день,

в основном, имеют дело в управлении, и что по сути дела является

одним из препятствий, о которое "спотыкается" теория управления

на практике.

Итак, приоритет в направлении развития теории был отдан ана-

литике, и это, в свою очередь, привело к гипертрофированному раз-

витию аналитических методов, часто похожих по своим конечным ре-

зультатам, но различающихся способами их достижения и условиями

применения: передаточных функций, дифференциальных уравнений,

отображений вход-выход, частотных и временных характеристик и

т.д.

Но даже при мощном аналитическом аппарате сфера примени-

мости простых моделей не может быть распространена за границы,

определенные уровнем их адекватности реальному процессу.

Особенно это касается систем автоматического управления, так

как разработке вопросов синтеза регуляторов уделялось явно недоста-

точное внимание. Фактически эта область теории управления оста-

ется почти нетронутой. Существует довольно ограниченный набор

способов синтеза для небольшого числа стандартных ситуаций.

Без преувеличения можно сказать, что сегодня процессы возник-

новения регуляторных механизмов совершенно не ясны. Во всех слу-

чаях появление нового метода синтеза скорее обязано изобретению,

чем теории. Поэтому весьма привлекательной представляется задача

поиска общих принципов синтеза, позволяющих в конкретных обстоя-

тельствах как бы автоматически получать требуемый закон управле-

ния. Разработка таких общих принципов и предопределит, по нашему

мнению, развитие теории управления в ближайшем будущем.

Можно попытаться предугадать некоторые черты такого разви-

тия.

Прежде всего ясно, что нелинейность должна стать неотъемле-

мым элементом теории. Во-первых, это требование практики: огра-

ничения, нелинейность элементов и т.п. Но дело не только в этом.

Примеры других наук (да и теории управления тоже) наглядно де-

монстрируют тот факт, что учет нелинейных явлений многократно

обогащает теорию содержательно: нелинейный "мир" несоизмеримо

Введение

богаче линейного, и именно на этом пути возникают новые явления,

принципы и законы.

В качестве иллюстрации можно привести пример, когда теория

автоматического управления существенно обогатилась благодаря ре-

шению задач об абсолютной устойчивости, исследованию автоколе-

бательных процессов, адаптивного управления. Примеры из других

наук, например физики или химии, еще более выразительны. Но эта

констатация

почти

очевидна, гораздо труднее указать

какой-либо

кон-

структивный путь, ведущий в нелинейный "мир". Существует ли он?

По

нашему мнению, да, существует.

этот путь лежит

направле-

нии систематического использования важнейшего принципа киберне-

тики — принципа обратной связи. Надо только научиться правильно

его применять в нестандартных ситуациях. Сегодня ясно, что этот

принцип является основой саморегуляции и развития всего живого.

В теории автоматического управления в полную силу пока "рабо-

тают"

только

отрицательная

обратная связь и,

соответственно, устой-

чивые процессы. Широкому использованию положительной обрат-

ной связи и неустойчивых процессов препятствует "гнет" линейности.

И только при переходе к принципиально нелинейным системам воз-

можно активное вовлечение в оборот новых эффектов, связанных с

использованием положительной или знакопеременной обратной связи.

Данная монография служит иллюстрацией этой научной парадигмы.

Часть I

Принципы построения систем

автоматического управления

В первой масти монографии дается краткое описание основных прин-

ципов построения систем автоматического управления. Основное вни-

мание уделяется методам компенсации влияния внешнего возмуще-

ния на регулируемую координату. Для простоты рассматриваются

только скалярные стационарные объекты управления, что позволяет

при необходимости представлять операторы их вход-выходного соот-

ветствия передаточными функциями.

Принята форма изложения с параллельным использованием наибо-

лее употребительных в теории автоматического управления способов

описания динамических систем: структурного и пространства состо-

яний. Это обеспечивает возможность всестороннего анализа рассма-

триваемых проблем, а также разнообразных интерпретаций получае-

мых решений. Кроме того, на различных примерах можно сравнить

достоинства и ограничения обоих способов.

Изложение ведется в такой последовательности, которая дает воз-

можность проследить направление эволюции основных идей, принци-

пов и проблем теории управления, а также методов их решения. Это

позволяет сформулировать некоторые актуальные проблемы теории

управления, для разрешения которых требуются новые идеи.

Первая часть монографии состоит из двух глав. В первой главе

рассматриваются принципы построения линейных систем автомати-

ческого управления, а во второй — некоторые принципы построе-

ния нелинейных регуляторов. Общие теоретические конструкции со-

провождаются примерами, которые позволяют на простых ситуациях

прояснить слабые и сильные стороны каждого подхода.

Некоторые важные результаты и выводы, известные из теории

автоматического управления и необходимые для лучшего восприя-

тия излагаемого материала оформлены в виде Примеров, являющихся

Принципы

построения систем автоматического

управления

самостоятельной структурной единицей текста с названием и номе-

ром, что облегчает их поиск при ссылках. Ниже приведен список

таких тем (в скобках указаны номера страниц):

• Программное управление неустойчивым объектом (30).

• Прямая компенсация возмущения (33).

• Косвенная компенсация возмущения (37).

• Стабилизация с использованием принципа двухканальности (45).

• Стабилизация методом /^-изображения (53).

• Устойчивость систем с обратной связью (60).

• Неустойчивость систем с обратной связью по отношению к сингу-

лярным возмущениям (63).

• Простейшая релейная система (69).

• Релейная стабилизация системы второго порядка (73).

• Релейная стабилизация неустойчивого объекта с относительным

порядком, равным двум (74).

• Иерархия обратных связей (88).

• Метод включения (98).

• Синтез адаптивной системы управления (105).

• Точное слежение за задающим воздействием (113).

• Режим переключений в системах переменной структуры (117).

• Системы переменной структуры с движением по вырожденным

траекториям (119).

• Скользящий режим на прямой (120).

• СПС при сингулярном возмущении (129).

• СПС при функциональном возмущении (130).

Главы сопровождаются кратким обзором соответствующей науч-

ной литературы в виде библиографического комментария.

Глава 1

Принципы построения линейных систем

автоматического управления

Ниже вводятся базовые понятия теории автоматического управления

и описываются основные механизмы компенсации внешнего возмуще-

ния для линейного объекта управления.

1.1. Постановка задачи управления

и предварительные сведения

В теории автоматического управления имеют дело с математическими

моделями реальных процессов, которые, конечно, всегда неполны и

лишь приближенно отражают те черты поведения реального процесса,

которые важны в контексте конкретного исследования. Выбранную

математическую модель называют объектом управления или просто

объектом и для удобства прибегают к графическому его изображению

в виде блока с входом и и выходом у (рис. 1.1). При таком структур-

Рис. 1.1

ном представлении объект характеризуется оператором вход-выход-

ного соответствия Р, т.е. оператором, устанавливающим связь между

множествами входных и выходных сигналов

у = Ри.

Обычно вход объекта и называют управлением, а его выход у — ре-

гулируемой координатой.

В линейной теории управления оператор Р предполагается линей-

ным. Это означает, что для любых чисел ai, a<2 и произвольных вхо-

дов «1, «2 выполняется соотношение

P(aiUi + а

) = ociPui + а

Ри

Это допущение, конечно, сильно упрощает дело и обеспечивает воз-

можность аналитического решения задач теории управления, чего, во-

обще говоря, трудно ожидать в нелинейном случае.

18 Глава

Принципы построения линейных систем

Еще одно важное допущение, которое мы также примем, состоит

в инвариантности оператора объекта Р при временном сдвиге. Такие

объекты называют стационарными, т.е. не зависящими от времени,

и они являются наиболее простыми объектами, изучаемыми в теории

автоматического управления. Для стационарных объектов помимо

оператора Р, устанавливающего связь между функциями времени,

можно ввести эквивалентный ему оператор W{a), устанавливающий

связь между преобразованиями Лапласа входа и выхода объекта при

специальных, именно при нулевых, начальных условиях, т.е.

Y{8) = W{8)U{8),

где y(s) =

£[i/],

[/(s) = £[u], и для скалярных объектов, т.е. объек-

тов,

имеющих один вход и один выход, по определению передаточная

функция дается выражением

Wis) = ^

нач.услзО

В этих формулах s — комплексное число, участвующее в односторон-

нем преобразовании Лапласа, функции времени \{t) т.е.

e-4t.

Из теории этого интегрального преобразования известно, что ука-

занные операции имеют смысл лишь для функций времени ^{t), являю-

щихся оригиналами. В линейных стационарных системах это предпо-

ложение обычно выполнено. Поскольку дальше часто используются

передаточные функции, имеет смысл отметить, что передаточные

функции конечномерных линейных стационарных скалярных объек-

тов

—

всегда дробно-рациональные функции комплексной переменной

S, т.е. функции, задаваемые отношением двух полиномов /?(в) и а(в)

степени m = deg Д(в) и п = deg а(в), соответственно, т.е.

W(s) = ^ = Wig"' + bmg'""^+ ••• +^1

^^' а{а)

8'*

a„8'^-'^

+ ... + ai '

где а,', bj — фиксированные вещественные параметры объекта.

При выполнении принципа причинности (следствие не наступает

ранее причины, его вызывающей) степень m полинома числителя /?(в)

не превосходит степени п полинома знаменателя о(в) передаточной

функции W(s) = I3(s)/a(s). Такие передаточные функции называют

физически реализуемыми (осуществимыми).

Нули полинома

y9(s)

называют нулями передаточной функции W(8)

или нулями объекта, нули же полинома а(в) — полюсами W{8) или

полюсами объекта. Передаточная функция 1У(в) = /?(8)/а(в) — невы-

рожденная (несингулярная), если она не имеет совпадающих нулей и

1.1.

Постановка задачи управления и

предварительные

сведения 19

полюсов, что и предполагается выполненным впредь. В этом случае

для физически реализуемой передаточной функции число п = deg a(s)

называют порядком объекта.

Используя невырожденную передаточную функцию объекта, не-

сложно получить дифференциальное уравнение относительно вход-

выходных функций времени, описывающее тот же самый объект. Дей-

ствительно, по определению имеем равенство

Y(S)=:W(S)U{8) = ^U{S),

которое после почленного умножения на a{s) преобразуется к виду

(s"

-I-

a„s"-i + ... + ai) У(5) = {bm+is"' + ... + 61) Uis).

После применения к этому соотношению обратного преобразования

Лапласа получаем искомое дифференциальное уравнение объекта:

уМ + а„2/("-^) + ... -Ь ац/ = бш+хи^"*^ + ... + Ьщ,

где ^е*) = dl'^/dt'' — к-я производная по времени функции (^{i). От-

метим, что порядок старшей производной функции выхода, участву-

ющей в данном дифференциальном уравнении, совпадает с порядком

объекта.

От одного дифференциального уравнения порядка п можно пе-

рейти к эквивалентной совокупности п дифференциальных уравне-

ний первого порядка, описывающей эволюцию исследуемого объекта

в пространстве состояний.

Действительно, введем в рассмотрение п функций ij, хг, ... ,х„,

связанных между собой, входом u{t) и выходом y{t) соотношениями

ii=«i-l-i, г = 1,2, ... ,п-1,

1=1

m+1

1=1

Нетрудно проверить, что передаточная функция такого объекта

от

к J/ совпадает с исходной W{s) = /?(s)/a(s), и, значит, приведен-

ные соотношения также описывают исследуемый объект управления.

При этом (a!i,

;Г2,

• •

•. Хп) образует набор некоторых фиктивных пере-

менных, характеризующих, в отличие, скажем, от у и и, внутреннее

состояние объекта. Последнему может быть придан полезный геоме-

трический смысл, если воспользоваться декартовой системой коорди-

нат {xi,X2,..

.,Хп).

Тогда каждому внутреннему состоянию объекта

в соответствующем п-мерном пространстве отвечает точка х с коор-

динатами

(«1,

«2,

•

•., Хп), которая также называется фазовой точкой.

Глава 1. Принципы построения линейных систем

При изменении времени она вычерчивает в п-мерном пространстве

некоторую кривую !„((, х), являющуюся геометрическим образом ре-

шения системы дифференциальных уравнений первого порядка при

Xu(t,l)

Рис.

1.2

некоторой входной функции и(<) (рис. 1.2). Ортогональная проекция

решения *;«(<) на нормаль с^ = (6i, 621

• • • >

^m+i, О, ... , 0)^ гипер-

плоскости у = сх и определяет соответствующий входу u(t) выход

объекта

j/(t).

Использование векторно-матричных обозначений

X =

С = (61,62, ... ,6m+l,0, ... ,0)

позволяет представить модель объекта в стандартном для современ-

ной теории управления виде

= Ах + Ьи,

«1

Х2

х„

, А =

~<ч

-02

0 ..

-аз ..

• 0 1

. 0

• -On .

у-

сх,

где дифференциальное уравнение называют уравнением состояния, а

статическое соотношение — уравнением выхода. Ргизумеется, все три

способа математического описания невырожденного объекта эквива-

лентны и нетрудно указать соответствующие взаимно однозначные

преобразования. Подробности этих преобразований опускаем, приве-

дем лишь равенство

c(sE-A)-4 =

a{s)'

в справедливости которого читателю предлагается убедиться само-

стоятельно.

Наконец, заметим, что упомянутую выше фиктивность вектора

состояния x{t) нужно понимать в том смысле, что в качестве такого