Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Подождите немного. Документ загружается.

1.3.

Принцип

регулирования по

возмущению

ходимое услс!Ьие работоспособности системы регулирования по нагрузке.

Действительно, программное управление и' = Р у' имеет вид

и' = у' +ajv' +aiy,

и после подстановки его в уравнение объекта (1.6) получг1ем уравнение

а2У

+ aiy = y' + ojy' +aiy.

Запишем это уравнение относительно ошибки регулирования е = у'

—

у.

Получаем

ё + азё + aie =

О,

и видим, если e(t) -¥

при t -^ оо, то задача стабилизации решена. Но

последнее условие и означает асимптотическую устойчивость свободных

движений объекта.

Рассмотрим теперь случай, когда объект управления находится на гра-

нице устойчивости ai = О, aj > О, и программное управление реализуется

не точно, а с погрешностью е = const, т.е. и = и' + е = е, поскольку

и' = Р~^у' = 0. В этом случае выход объекта удовлетворяет дифференци-

альному уравнению у -f- iiy = е, частное решение которого, обусловленное

наличием правой части е, неограниченно по времени нарастает по модулю,

"уводя" выход объекта от желаемого нуля. Заметим, что этот вывод имеет

место и

том случае, когда программное управление реализуется точно, но

на входе нейтрального объекта действует постоянная помеха.

Таким образом,

• принцип регулирования по нагрузке имеет ограниченное примене-

ние при синтезе систем управления и может быть применен, во-

обще говоря, лишь в сочетании с другими принципами регулиро-

вания.

В частности, в комбинации с принципом регулирования по возму-

щению, к рассмотрению которого мы теперь и перейдем.

1.3. Принцип регулирования по возмущению

Пусть координатное возмущение /, тождественно не равное нулю,

приложено к некоторой внутренней точке объекта так, как это по-

Рис. 1.15

казано на рис. 1.15. Пусть, кроме того, z = Piu, v = г + f п

у = PiV = P2(z + f) = P2P1U + Pi f = Р и +

Р2

f, (1.7)

Глава 1. Принципы построения линейных

систем

где учтено, что Рг Pi = Р- Здесь мы имеем новую ситуацию, по-

скольку выход объекта зависит теперь не только от входа «, но и от

возмущения /. Действительно, даже если мы точно следуем прин-

ципу регулирования по нагрузке и применяем соответствующее ему

программное управление

то в результате получим систему управления, выход которой опреде-

ляется соотношением

y=^PP-'y' + P2f = y' + P2f

и, как видно, явно зависит от возмущения /, если Рг/ ^ 0. В том

случае, когда возмущение / можно измерить, для устранения указан-

ной зависимости целесообразно применить принцип регулирования по

возмущению.

В соответствии с этим принципом управление должно содержать

компоненту, пропорциональную возмущению. Применительно к дан-

ному случаю это означает, что управление следует взять в виде суммы

двух компонент: программной и компенсирующей, т.е.

и = и' +'Df,

где V — искомый оператор. После подстановки этого выражения в

(1.7) получим соотношение

y = P{u'+Vf) + P2f = y' + (Pt> + Рз) /,

из анализа которого видно, что задача стабилизации решается точно и

выход объекта не зависит от возмущения /, если выполнено равенство

PV + P2 = 0,

называемое условием компенсации.

Описанная выше процедура синтеза приводит к структурной схеме

системы управления, приведенной на рис. 1.16. Достоинства такого

способа регулирования снижают следующие обстоятельства.

у'

•ч

р-1

Г^

р^

Рис.

•-<

.16

1.3. Регулировяние по возмущению 33

Во-первых, как и ранее, неустойчивые объекты не могут быть за-

стабилизированы таким образом.

Во-вторых, в нетривиальных случаях (т.е. когда Рх ф const) опе-

ратор Р, удовлетворяющий условию компенсации, физически неосу-

ществим. Действительно, из условия компенсации имеем равенство

V = -Р-1 Рз = -(Pi Рг)-^ = -Р:^,

а так как оператор Pi моделирует реальный процесс, то обратный

ему оператор Pj"^ физически неосуществим.

В-третьих, условие компенсации дается равенством, и при малей-

шей погрешности Е в правой части соответствующего операторного

равенства

PV-^Pi-E

зависимость выхода объекта от возмущения не устраняется, так как

в этом случае имеем

y=j/'-KPP+P2)/ = I/'+J5;/,

и если Ej ^ О, то второе слагаемое в этом равенстве может привести

к неприемлемому отклонению выхода у от задания г/'. Существен-

ным ограничением этого принципа является также предположение о

возможности прямого измерения возмущения /, что на практике вы-

полняется редко.

Пример 2. Прямая компенсация возмущения. Проиллюстрируем

возможности и ограничения принципа компенсации по возмущению на объ-

екте из Примера 1. Положим, что в композиции операторов на рис. 1.15

P = PiPu

а передаточные фушащи, соответствующие операторам Р\ и Рг, даются

выражениями

« -t- Ai

•»

-t-

Аг

где,

естественно,

Ai+A2=a2, AiA2=ai.

В пространстве состояний этому операторному описанию объекта упрг1вле-

ния соответствует система дифференциальных уравнений

+ АгУ = г +/, iH-Ai« = u

или, что в данном случае удобнее, одно дифференциальное ургшнение вто-

рого порядка

y-t-a2y-(-aiy = u-|-/-|-Ai/. (1.8)

Тогда, следуя изложенному выше принципу регулирования по возмуще-

нию,

из условия компенссщии

Т>

= —РГ' находим передаточную функцию

W-o{a)

оператора V в виде

VVp(5) = -(e-(-A,),

что (в сочетании с регулированием по нагрузке для получения программной

Глава I. Пршщипы построения линейных систем

части и' фушщии упргшления) приводит к структуре системы управления,

изображенной на рис. 1.17. Из этой структурной схемы и дифференциаль-

s''+a,s+a,

-9-

s + Xj

Wp(s)

s + Xi

-*-J

Рис. 1.17

ного ургшнения (1.8) можно получить соответствующее решение в терминах

пространства состояний.

После подстановки в правую часть уравнения (1.8) компенсирующего

управления и = ~(/ + Ai/) движение системы описывается однородным

дифференциальным ургшнением

+ а^у + aiy = 0.

Из этого ургшнения, кгж и ргшее, следует, что асимптотическая устой-

чивость объекта — необходимое условие разрешимости задачи в рамках

принципа регулировгшия по нагрузке. Но и это ограничение метода далеко

не единственное, так как в регуляторе синтезированной системы управле-

ния используются физически неосуществимые операторы с передаточными

функциями

+a23+ai и s-f-Ai. Более того, даже если на это закрыть глаза,

то все равно построенная система может оказаться неработоспособной, так

как она очень чувствительна к малейшему нарушению условия компенсации:

u = -(/-f-Ax/).

Допустим, что в реализации передаточной функции оператора V

допущена погрешность и вместо W^is) использована передаточная

функция

W:,{s)

= -{s + Xi + AX),

где ДА — некоторая константа. Тогда ошибка в реализации условия

компенсации описывается выражением

Е=-

ДА

«2 + a2S + ai

и может быть сколь угодно малой при малой погрешности ДА. По-

скольку ошибка регулирования в данном случг1е определяется выра-

жением

е = у' -у= -у-т т—/>

1.4- Компенсация при косвенном измерении возмущения

ТО вновь, как и в Примере 1, убеждаемся, что при ai = О, ог >

даже

сколь угодно малое постоянное возмущение / может привести к сколь

угодно большому отклонению выхода у от задания у'.

Таким образом,

• возможна лишь приближенная реализация принципа прямой ком-

пенсации. При этом, пожалуй, наиболее существенным его ограни-

чением является необходимость прямого измерения возмущения.

Попытка смягчения этого ограничения предпринята в принципе

компенсации с косвенным измерением возмущения. Перейдем к рас-

смотрению этого принципа регулирования.

1.4. Принцип компенсации

при косвенном измерении возмуидения

Одна из классических идей косвенного измерения возмущения может

быть проиллюстрирована с помощью рис. 1.18.

^ Р,

•^

Рис. 1.18

Пусть измеряются выход объекта у и его внутренняя координата

Z. Тогда в результате преобразования выхода объекта оператором

Pj"^

получаем сигнал

= Р^^у, который является оценкой сигнала v.

Поскольку V = f + Z,

а.

сигнал z известен, то можно получить оценку

возмущения / по формуле и =

т) —

Речь идет об оценках сигналов г и / в связи с тем, что рассматри-

ваемое звено с оператором Р^^ может иметь собственную динамику,

с точностью до которой и следует понимать равенства

г}

fa v, w fa f.

Далее следует применить принцип прямой компенсации и сформиро-

вать управление в виде суммы двух компонент: программной и* и

компенсирующей Pw, т.е.

и = и' +

Т>и,

где оператор V должен удовлетворять приведенному в предыдущем

разделе условию компенсации: V = Pf^.

Глава i. Принципы построения линейных систем

В результате управление, решающее рассматриваемую задачу ста-

билизации, должно формироваться в виде

u =

p-'y'-V(Pi'y-z).

Этому соответствует структурная схема системы управления, пред-

ставленная на рис. 1.19. Описанному способу компенсации сопут-

Т^

Р2

Р "^

Р'

i^L

—(^

7 \

Р;

Рг"

Рис. 1.19

ствует принципиальная трудность — в структуре системы управле-

ния появляется контур внутренней положительной обратной связи (на

рис.

1.19 он згшггрихован), который по сути является критическим,

так как его устойчивость или неустойчивость определяется скрытыми

параметрами.

В самом деле, оператор Рц.г этого контура от входа w' к выходу z

дается выражением

Pi Pi

l-VPi l-p-^Pi

и, следовательно, возникают проблемы, связанные с делением на ноль.

Эти проблемы разрешаются, если принять во внимание скрытые па-

раметры.

Действительно, если Pi — модель реального процесса, то факти-

чески в этом контуре действует оператор Pi = PiQ, где Q — опера-

тор,

которым пренебрегли при составлении модели. Но при возник-

ших обстоятельствах этот оператор начинает играть существенную

роль,

и динамические свойства рассматриваемого контура, по суще-

ству, определяются этим оператором, так как оператор контура от и'

к Z имеет вид Pu.z = Pi/(^

—

Q)- Иными словами,

• свойства контура предопределяются неконтролируемыми факто-

рами, что неприемлемо. Как правило, это приводит к неустойчи-

вости собственных движений внутреннего контура. Это означает,

что сигнал Z неограниченно нарастает, нарушая правильное функ-

ционирование всей системы управления.

1.4. Компенсация при косвенном измерении возмущения

В следующем примере подробно разбираются некоторые особенно-

сти описанного явления. Здесь же подчеркнем, что указанная труд-

ность не единственнг1Я. Все проблемы, связанные с использованием

принципа прямой компенсации и отмечавшиеся в предыдущих разде-

лах, разумеется, наследуются и рассмотренными в этом разделе си-

стемами компенсации с косвенным измерением возмущения.

Пример 3. Косвенная компенсация возмущения. Для рассмотрен-

ного в Примере 1 объекта проиллюстрируем описанный выше способ ком-

пенсгщии возмущения. В соответствии с изложенной теорией для указгш-

ного объекта имеем систему управления, структурнсш схема которой пред-

ставлена на рис. 1.20. Выделим из этой структурной схемы фрагмент с

местной положительной обратной связью (рис. 1.21) и более подробно ис-

следуем его свойства. Из рис. 1.21 непосредственно устангшливаем, что

Рис.

1.20

s+Xi

s + Xi

-9-

Рис.

1.21

передаточная функция Wu,z{3) от входа и' к выходу z задается равенством

1 1 Лоо

W^,4s)

1-1а-|-А

3 + Xi'

и, следовательно, укаэаннгъя положительнгш обратная связь приводит к эф-

фекту использования в прямом канале бесконечного коэффициента усиления

fcoo. Допустим, что в этом контуре вместо оператор» Pi с передаточной

Глава 1. Принципы

построения

линейных

систем

фующией Wi(s) = 1/(а + Ai) стоит оператор Pi = PiQ с передаточной

функцией

где т = const >

— малый паргинетр. При этом второй множитель моде-

лирует "быструю" динамику оператора Q, не учтенную в исходной модели

* + Xi

TS+1

«-

s + Xi

Рис. 1.22

объекта. Тогда имеем структурную схему (рис. 1.22) и описывающие ее

соотношения в виде

(s +

\I){TS

+ l)z = и, и = и' + (3 + Xi)z.

В результате искомая передаточная фушщия Wu,i{s) от и' к г опреде-

ляется однозначно и дается выражением

И^и,х(в) =

т«(з +Ai)'

Отсюда следует, что объект находится на границе устойчивости и произ-

вольно малое возмущение его параметров может привести к неустойчиво-

сти.

Координата z начнет неогргшиченно нарастать по г1бсолютной вели-

чине, приводя к неограниченному же росту ощибки регулирования.

Теперь проведем исследование Примера 3 при помощи дифферен-

циальных уравнений, а не с использованием структурного или опера-

торного описания, как это было сделано выше. Из структурной схемы

системы управления (рис, 1.20) имеем дифференциальные уравнения,

описывающие объект управления

+ Ajz = и,

(1.9)

(1.10)

и уравнения компенсирующей внешнее возмущение связи

и = и'-{ш + \1и), (1.11)

u = ri-z, (1.12)

+ Х2у. (1.13)

Из (1.9) и (1.13) имеем, что

= f + г,и и = -/, поэтому управление

в итоге имеет вид

u = u'-(/-HAi/). (1.14)

1.4. Компенсация при косвенном измерении возмущения 39

Если К (1.9) применить дифференциальный оператор d/dt + Ai, то с

учетом уравнения (1.10) получг1ем уравнение объекта в виде

y+a2y + aiy = u + f + Ai/,

где,

как и ранее, параметры

02 = Ai + Аг, ai = Ai Аз.

После подстановки в это уравнение управления из (114) получаем,

что движение системы управления описывается уравнением

у +

а2У

+ aiy = и' -{f + Ai/) + (/ + Ai/) = и'

и не зависит от возмущения. Поскольку (рис. 1.20)

«' = у' + 022/' + oi/ и е = J/' - г/,

то уравнение движения в ошибках имеет вид

6 + 026 + 016 = 0, (115)

и если оно устойчиво, то задача стабилизации решена без прямого

измерения возмущения /.

Отметим, что если уравнение (112) подставить в уравнение (111),

а результат

= ы' + (i + Ai^:) -

(»?

+ AiTj)

подставить в уравнение

(1.10),

то получим

Ajz

и'

+ Xiz) - (^ + AIT;)

или, после упрощений,

^ + Ai»; = u'. (1.16)

Значит, собственные движения координаты z при таком управлении

не определяются однозначно, т.е. имеет место сокргицение полюса и

нуля.

Положим теперь, что вместо оператора Pi в системе действует опе-

ратор Pi = Pi Q и оператору Q отвечает, как и ранее, передаточная

функция

W'^(s) = l/(rs+l).

Тогда, как это можно понять из рис. 1.20,1.21, вместо дифференциаль-

ных уравнений (1.9), (110) надлежит рассматривать уравнения вида

+ А2!/ = / + г, rz + (r+l)i + Aiz = u. (1.17)

Вновь повторяя преобразования, убеждаемся в справедливости урав-

нения (1.15), но вместо соотношения (116) теперь получаем уравнение

TZ + (г + l)i + Aiz = (i + Aiz) + ы' - (^ + Ai??),

40 Глава 1. Принципы построения линейных

систем

которое после приведения подобных принимает вид

гг + гг = и'

—

(г) + Ai»;).

Отсюда следует, что устойчивость свободных движений переменной

Z определяется корнями характеристического полинома

(p[s) = T^s^ + Ts,

который имеет нулевой корень и, следовательно, отражает погранич-

ную ситуацию:

• малого изменения параметров объекта достаточно для возникно-

вения неустойчивого корня, а вместе с ним и неограниченного на-

растания координаты Z.

Этот вывод полностью совпадает с результатом, полученным на

основе операторного анализа системы управления. Более тонкий под-

ход к косвенному измерению возмущения с последующей компенса-

цией его влияния на регулируемую координату используется в прин-

ципе двухканальности Петрова.

1.5. Принцип двухканальности

Принцип двухканальности является эвристическим приемом струк-

турного синтеза инвариантных систем автоматического управления

или таких систем, в которых регулируемая координата не зависит от

неконтролируемого, т.е. не измеряемого непосредственно, внешнего

возмущения. Как всякий эвристический прием, принцип двухканаль-

ности не приводит к однозначному решению и не сводится к какой-

либо единственной последовательности действий. Однако централь-

ная идея этого приема весьма прозрачна и может быть сформулиро-

вана следующим образом: для достижения независимости регулируе-

мой координаты системы управления от внешнего возмущения необ-

ходимо организовать, как минимум, еще один дополнительный канал

влияния этого возмущения на регулируемую координату и "настро-

ить"

его таким образом, чтобы в заданной точке системы управления

произошла взаимная компенсация компонент сигналов, обусловленных

действием возмущения.

К рассматриваемой задаче стабилизации этот принцип построения

системы управления с полной компенсацией возмущения можно приме-

нить,

например, при следующих обстоятельствах. Пусть компонента

Рг оператора объекта Р представлена в виде композиции двух опера-

торов Р^ и Pj'i т.е.

Р2 = Р^'Р^,

причем выходной сигнал z подсистемы с оператором Pj может быть

измерен и, кроме того, при необходимости к этому сигналу может

быть прибавлен какой-либо внешний сигнал д.