Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Подождите немного. Документ загружается.

1.5. Принцип двухканальыости

Такому разбиению соответствует структура объекта, показанная

на рис. 1.23. Из рисунка видно, что выход объекта у не зависит от

возмущения /, когда сигнал v = z + q не зависит от /. Дгшее, так как

сигналы 2 и г определяются равенствами

z = P^{f + r), г^Р.и',

то,

очевидно, z = P^f +

P2P1U*,

и сигнал v не будет зависеть от

возмущения /, если сигнал q надлежащим образом зависит от этого

возмущения. Это соображение и является неформальным выражением

принципа двухканальности.

Р,"

П^

Е,'

Рг

Рис. 1.23

Перейдем теперь к формальному его обоснованию. В том случае,

когда выход г подсистемы Pi известен, т.е. г = Piu', искомую за-

висимость q{f), компенсирующую влияние / на v, можно построить

следующим образом. Сначала измеряется сигнал z, затем он преобра-

зуется оператором Ri, а полученный сигнал вычитается из программ-

ного управления к*. В результате получаем структурную схему си-

стемы управления, в которой z = РУ

-\-

Р^г, г = —Pi Riz + Piu'

(рис.

1.24).

Подставив первое выражение во второе, получаем равен-

Р"

Г Ri

р'

-9h

Рис. 1.24

ство Г = —Pi Pi (Р2/ -I- P^r) + Piu*. Решаем это равенство относи-

тельно г и находим, что сигнал

PiRiP!, Л ,

-I-

Pi Pi РГ

+ Л Pi Р^

(1.18)

зависит от внешнего возмущения /, чего не было ранее. Поэтому,

следуя рекомендациям из предшествующих разделов и выбирая под-

ходящим образом оператор Рг в системе на рис. 1.25, можно рг1ссчи-

Глава 1. Принципы построения линейных

систем

тывать на получение искомой, т.е. компенсирующей влияние / на v,

зависимости q(f). В этом случае образуется второй дополнительный

канал распространения возмущения / (на рисунке обозначен штри-

ховой линией), с чем связано название рассматриваемого принципа

инвариантности.

Рис.

1.25

Проанализируем полученную систему управления. Поскольку в

структурной схеме на рис. 1.25 сигнал z дается выражением

то можно, подставив в это соотношение г из (1.18), полупить связь

между сигналами z,f и и' в виде

^ ~ l + PiRiP^^'^ l + PiRiPi'' '

Теперь, зная зависимость сигнала v = z-\-q от f, нетрудно подобрать

требуемую для обеспечения инвариантности по отношению к / за-

висимость ?(/). Для этого оператор Лг в схеме на рис. 1.25 нужно

выбрать в виде

Й2 = ^. (1.19)

В самом деле, при таком выборе оператора R2, с учетом соотно-

шения (1.18), нетрудно определить, что

9 = Я2Г= --

Р'

J7f +

и .

l + PiRiPi' ' Riil + PiRiPi)

Следовательно, сигнал t; выражается равенством

V = z + q= -—и

и не зависит от неконтролируемого возмущения /, что и требовалось.

1.5. Принцип двухкянальности

Структурная схема синтезированной инвариантной системы ста-

билизации приведена на рис. 1.26.

Рис.

1.26

Таким образом, независимость выхода объекта у от возмущения

/ обеспечена, но, вообще говоря, ценой потери требуемого в задаче

стабилизации равенства у = у', поскольку теперь

Pi' , Pi'P-^

s ^2 5

у = -рТУ

a выполнение равенства

Яг = P'l (1.20)

нигде выше не предполагалось. Следовательно, для точного решения

задачи стабилизации указанным выше способом требуется либо со-

блюдение условия (1.20), либо введение связи по заданию у', v' = Qy',

корректирующей программное управление и' (Q — оператор коррек-

тирующей связи, которая на рис. 1.26 заштрихована).

В последнем случае имеем вполне очевидные соотношения

y=^^i^' +

v')=(^^

+ R2PiP^'Q)y=^(i + PQ)y\

при получении которых учтены условия компенсации (119) и введен-

ные ранее обозначения

Р = РГ- Р2, Р2 = Р2- Р2-

При наличии корректирующей связи в выборе операторов Ri и Дг

появляется необходимая для смягчения (но отнюдь не для устранения)

44 Глава 1. Принципы

построения

линейных

систем

требований к физической реализуемости степень свободы, стесненная

лишь условием компенсации

Pi Ri R2 = 1

и условием несмещенности решения задачи стабилизации

R2{\^PQ) =

P2-

Поэтому среди принципов прямой компенсации внешнего возмущения

принцип двухканальности имеет, пожалуй, наибольшую сферу приме-

нимости. Однако и он не свободен от серьезных недостатков.

• Во-первых, при его использовании, как, впрочем, и в случаях при-

менения других принципов компенсации, мы вынуждены ограни-

чиваться устойчивыми объектами.

• Во-вторых, в структурной схеме соответствующей системы ста-

билизации (рис. 1.25) возникает контур местной обратной связи

с оператором Р\ Р2 в прямом канале и оператором Ri в канале

обратной связи. Устойчивость этого контура отнюдь не наступает

неотвратимо, и так как выбор оператора Ri стеснен условием ком-

пенсации, то скорее всего придется принимать специальные меры

для стабилизации движений в этом внутреннем контуре.

• В-третьих и в-четвертых, из условия компенсации Ri R2P1 = 1

видно, что в нетривиальном случае (когда Pi — физически реали-

зуемое динамическое звено и, следовательно, степень полинома чи-

слителя соответствующей передаточной функции меньше степени

полинома ее знаменателя) точное выполнение условия компенсации

в классе физически регшизуемых операторов Ri, R^ невозможно.

Поэтому речь может идти только о приближенной компенсации

возмущения. К этому же выводу мы приходим и с учетом того

обстоятельства, что условие полной компенсации выражается точ-

ным равенством, а для этого необходима информация об истин-

ных значениях параметров объекта, чего на практике, конечно же,

нет. Иными словами, применение этого принципа регулирования

не приводит, вообще говоря, к грубым системам управления.

• И, наконец, в-пятых, условия применимости принципа двухканаль-

ности довольно специфичны и предполагают не только наличие ин-

формации о внутренних координатах объекта, но и возможность

активного, а по сути дела регулирующего, воздействия на внутрен-

ние координаты. Само собой разумеется, что подобные возмож-

ности, а точнее, их сочетание, встречаются на практике далеко не

всегда.

Именно поэтому теория управления обратилась к более активному

использованию обратной связи. Подробнее об этом поговорим в сле-

дующем разделе, а теперь рассмотрим простой пример, иллюстриру-

ющий особенности применения принципа двухканальности.

1.5. Принцип двухканальности

Пример 4. Стабилизация с использованием принципа двухка-

нальности. Рассмотрим объект упргшления третьего порядка, декомпо-

зированный в соответствии с общей теорией метода двухкан<1Льности на

три подсистемы (рис.

1.27).

Передаточные функции операторов Pi, Pj и

s + Xj

s + Xi

Рис.

1.27

Рг" имеют вид Wi(s) = 1/з, Wi{s) = l/(s + Ai),

W^'^s)

= 1/{з + Аг), где

Ai и Аг — известные константы, и пусть координаты гиг измеряются.

Требуется без измерения возмуще1ШЯ / обеспечить решение задачи стг1би-

лизации, т.е. добиться точного выполнения ргшенства у = у'. Здесь у' —

заданнг^я функция времени.

Заметим, что данный объект упргюления можно описать следующими

дифференцигьльными уравнениями:

-Агу+г, Z = -Xiz + г + f, г = и.

В соответствии с изложенной выше теорией метода двухкгшгшьности

дополняем рис. 1.27 местной обратной связью с оператором Ri и местной

прямой связью с оператором Дг (рис.

1.28),

где Wi(s) и W^ls) — отвечающие

s + Xj

. "fi

* Q

Ъ '

• Wi(s)

s + Xi

•

W3CS)

^^—^

Рис.

1.28

и Ri искомые передаточные функщш. Исключаем из уравнешш

у=——r-t;, v = z-^q, q = Wi{s), г = —-г-(/+г), аг = и'-Wx{s)z,

5 +

А2

а + Ai

описывающих эту схему, переменные q и z и находпм сначала равенство

5 + Ai , Wi

s(s + Xi) + Wi(s) s(5-|-Ai) +1^1(5)

46 Глава 1. Принципы построения линейных систем

а затем связь между переменной v = z + q, возмущением / и входом и' в

виде

l + W2is)is + Xi) , s-W,{s)W2{s)

При выполнении условия полной компенсации (1'19) передаточные функции

Wi[s),

W2{a) удовлетворяют соотношению

Wi{s)W2{a) = S. (1.21)

Ясно,

что для физически реализуемых передаточных функций это соотно-

шение не может выполняться. Например, если W^^s) = 1, то W\{s) = s, и

она физически нереализуема.

Разумеется, выбор передаточных функций W\ (в) и

W^i^s)

еще более стес-

нен, когда требуется обеспечить точное ргшенство у = у'

•

Действительно,

при выполнении условия компенсации (1.21) справедливы равенства

у= , , . tJ =

\ + W2{s){s^-\i)

e-l-Aj e(s-f-Ai)-)-Tyi(s) 5-I-A2

WiW3 =

Wt{s){s + \iy

Бели теперь использовать стгшдартный подход к формированию програм-

много управления, когда и* = Р у', а Р — оператор объекта с передаточ-

ной функцией

W{s) = ^

3(e + Ai)(e-l-A2)'

то выход системы преобразуется в соответствии с выражением

«(« + Ai) ,

VKj(e)

и для обеспечения требуемого условия у = у' необходимо выполнение ра-

венства

Из уравнения (1.21) находим передаточную функцию оператора Рг:

W2(S) =

«-(-Ai

Если оператор Лг вольтерровский (т.е. удовлетворяет принципу причинно-

сти),

то Ri, — невольтерровский оператор, так как он содержит двукратное

дифференцирование. Следовательно, подобнг1я система управления физиче-

ски неосуществима.

Это означайт, что

• в рамках принципа двухканальности добиться точной компенса-

ции возмущения и одновременно обеспечить точное решение за-

дачи стабилизации с использованием только вольтерровских опе-

раторов невозможно.

Поэтому встает вопрос о приближенной реализации условия ком-

пенсации или об использовании корректирующей связи по нагрузке у*

для достижения точного равенства у = у'. Поскольку вторая возмож-

ность подробно обсуждалась при изложении теории данного метода

1.5. Принцип двухканальности

компенсации, то исследуем подробно лишь обстоятельства, возникаю-

пще при приближенной реализации условия компенсации вольтерров-

скими операторами.

Остановим свой выбор в (1.21) сначала на операторах с передаточ-

ными функциями вида

Wl{8) = S, W2{S) = 1,

а затем невольтерровскую операцию точного дифференцирования за-

меним вольтерровской операцией приближенного (реального) диффе-

ренцирования и вместо

1^1

(s)

применим

m{s) =

TS+l'

где г — малая постояннгш времени. При этом предположении условие

компенсации, разумеется, не выполнено, так как теперь

Wi{s)W2{s) =

и, следовательно, для переменной г; имеем выражение

l + W2{s){s + Xi) .

V = ,.^ и +

s{s + Xi) + Wi{s) (rfi-f-l)(s-f-Ai) '

а, значит, выход объекта у = v/{s

•+•

Аг) зависит от возмущения /. Но

эта зависимость уменьшается вместе с постоянной времени г, которая

может быть взята достаточно малой. Для удовлетворения условия не-

смещенности решения задачи стабилизации следует воспользоваться

описанной выше корректирующей связью. Окончательно структур-

ную схему системы стабилизации получаем в виде рис. 1.29. На этом

Рис. 1.29

48 Глава 1. Пршщипы

построения

линейных

систем

рисунке передаточная функция Q{s) выбирг1ется из условия

l + (g + Ai) Q(s) ^^

e(s + Ai) + s/(rs + l) s + Az

обеспечивающего такое программное управление и', при котором пе-

редаточная функция от у' к у равна единице, т.е.

Эта схема может определить работоспособную систему стабилизации,

только если Aj, Аг < О, т.е. когда собственные движения оператора

р,=

экспоненциально устойчивы.

Анализируя формулу (1-22), нетрудно установить, что синтезиро-

ванная система управления точно решает задачу стабилизации, если

неизвестное возмущение / постоянно. Действительно, в этом случае

второе слагаемое в сумме (1-22) обнуляется. Это как будто бы частное

наблюдение составляет главное содержание принципа встроенной мо-

дели или принципа /<Г-изображения, к изложению которого мы перехо-

дим в следующем разделе. Но прежде исследуем вопрос об устойчиво-

сти внутреннего контура с передаточной функцией lyi(s) = s/{rs+l)

в обратной связи (рис.

1.29).

Действуя стандартным образом, нахо-

дим полином, ответственный за устойчивость этого контура, в следу-

ющем виде:

ф)= [TS^ + {XT+1)S+{X+1)]S.

Наличие нулевого корня означает, что контур находится на гра-

нице устойчивости и, следовательно, скрытые параметры могут при-

вести к неустойчивости собственных движений внутреннего контура,

что,

в свою очередь, приведет к нарушению работоспособности всей

системы. Последнее свидетельствует о неробастности синтезирован-

ной системы управления.

Завершим раздел разъяснением особенностей применения прин-

ципа двухканальности в пространстве состояний. Исходные уравне-

ния рассматриваемого объекта приводились выше. При принятых ра-

нее допущениях (измеряются сигналы 2, г и можно влиять на вход

оператора Р2 с передаточной функцией

W^'ls)

= l/(s-|-Аз)) эти урав-

нения можно переписать в виде

У = -Х2У + г + д, z = -Xiz + r + f, г = и. (1.23)

Очевидно, что координата у не будет зависеть от возмущения /,

если сумма v = z + q не зависит от этого возмущения. Но это озна-

чает, что и скорость изменения координаты v, которая описывается

уравнением

V =

+ q = -Xiz + r + f + g.

1.6.

Метод

К-изображеиий

или метод

встроенной

модели 49

не зависит от /. Положим q = г. Тогда, в силу (1.23), из предыдущего

уравнения получим выражение

v = -Xiz + r + f + u, (1.24)

в котором управление и следует подобрать так, чтобы его правая

часть зависела только от сигнала v и программы и'. При этом упра-

вление может зависеть только от сигнгиюв г, г и и'.

Выразим функцию / из правой части второго уравнения (1-23) и

подставим результат в (124). В итоге получим v = z + и. Теперь

ясно,

что если

u = -i + w'+b, (1.25)

где к — постоянный коэффициент, то сигнал v удовлетворяет урав-

нению

V = kv + и'

и не зависит от возмущения /, а значит и выход объекта не зависит от

этого возмущения, что нам и требовалось. Отметим, что этот резуль-

тат совпадает с описанным выше результатом, полученным структур-

ным методом при к = 0.

1.6. Метод iif-изображений

или метод встроенной модели

В классической и современной теории управления весьма популярен

метод компенсации возмущения /(<), основанный на точном знании

модели, порождающей это возмущение. В линейной теории модель

возмущения задается или векторным дифференциальным уравнением

i = Hx, f = hx, (1.26)

где Н, h — постоянные матрица и вектор надлежащих размеров, или

скалярным дифференциальным оператором K{s), аннулирующим воз-

мущение /(<), т.е.

K(s)f = 0. (1.27)

Здесь K{s) = s"+a„s"~^+ ... +ai, и при всех (i = 1, ...

п) параметры

о,- постоянны. В первом случае возмущение однозначно определяется

начгшьным фазовым вектором 1°, так как

f = h{sE-H)-^x°,

а во втором случае — значениями /(0),

/'^^(0),

...,

/^""^^(0).

Задание

возмущения в виде волновой модели (1.26) или в виде аннулирующего

оператора (1.27) — это вопрос удобства. Ранее же использовалась

только форма (1.27), и именно для нее академиком B.C. Кулебаки-

ным был развит соответствующий раздел теории инвариантности. Об

этом нам напоминает буква К, традиционно используемая в обозна-

чении аннулирующего полинома.

Глава 1. Принципы

построения

линейных

систем

Итак, рассмотрим объект (рис.

1.30),

подверженный воздействию

возмущения f(t) и управлению и. Предполагаются известными анну-

р;'

р;

Рис. 1.30

лирующий оператор K{s) и внутренняя переменная z(t). Требуется

выбором управления u{t) обеспечить выполнение точного равенства

y(t) = y'{t) при любых f{t), удовлетворяющих (1.27).

Из рис. 1.30 и уравнений объекта управления

y = Pi'z, z = Pi{f + r), r = Pi«

легко понять, что у не зависит от помехи /, если координата г от f

не зависит. Но в исходной структуре последнее имеет место только

тогда, когда Pj/ = 0> т.е. когда Р^ — аннулирующий оператор для

/, Поскольку надежд на выполнение этого тождества нет, то попы-

таемся изменить оператор между /иге помощью местной обратной

р"

р'

^-L^

Рг

Рис. 1.31

связи с оператором R (рис.

1.31).

В модифицированной таким образом

системе для нахождения зависимости z от f воспользуемся соотноше-

ниями

г = Р^(/-Нг), r = Pi{u-Rz).

После подстановки второго равенства в первое и приведения по-

добных, находим искомую зависимость в виде

г =

Р'

р'гЛ

\-\-PtiPiR H-P^Pifl

(1.28)

Координата z не будет зависеть от помехи /, если найдется опера-

тор R такой, что при некотором операторе L имеет место равенство

Р'

-I-

Р;^

Pi Л

= LK.

(1.29)