Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Подождите немного. Документ загружается.

1.1.

Постановка

задачи управления и

предварительные

сведения

вектора может быть использован любой другой вектор z, связанный

с ним невырожденным преобразованием М (deg М ф 0), т.е.

Z = Мх.

После такой замены получаем уравнения объекта в прежней форме,

но с другими параметрами (Ам =

МАМ~^,

Ьм = Mb, см =

сМ~^):

Z = Ам^ + Ьми,

У= CMZ.

При этом, разумеется, вход-выходное соответствие (в частности, пе-

редаточная функция) не изменяется. Действительно,

см {sE - АтГ^Ьм = cM-^SE - МАМ-^^МЬ =

= cM-'^M(sE - А)-^М-'^МЬ = c{sE - А)-Ч.

Таким обрг13ом, если передаточнгш функция W{s) не зависит от вы-

бора фазового вектора, то ее "тонкая" структура, конечно, зависит

от него (рис. 1.3). В частности поэтому при исследовании составных

Рис. 1.3

систем удобнее использовать обобщенные передаточные функции, так

как при этом особенно просто находится передаточная функция со-

ставной системы.

Непосредственные вычисления дают возможность убедиться в сле-

дующих правилах соединения передаточных функций:

• при последовательном соединении систем (рис. 1.4) передаточные

У = У2

W,(s)

«2 = 2/1

W,(s)

Ui=U

Рис. 1.4

функции перемножаются и выход системы определяется по фор-

муле

y = W{s)u = W2(s)Wi{s)u;

Глава 1. Принципы

построения

линейных

систем

• при параллельном соединении систем (рис. 1.5) передаточные функ-

W,(s)

-9

W,(s)

Рис. 1.5

ции складываются и выход системы определяется по формуле

y=W(s)u= [Wi{s) -^ W2{s)]u-

при соединении передаточных функций обратной связью (рис. 1.6)

Wi(s)

-!iL®_JL

W,(s)

Рис. 1.6

выход системы преобразуется в соответствии с выражением

у = W{8) и =

l + Wi{s)W2(s)

На рисунках белый сектор сумматора

(gi

означает прибавление, а чер-

ный — вычитание соответствующего входящего сигнала.

Теперь перейдем к описанию постановки рассматриваемой задачи

регулирования. Следуя современной терминологии, будем называть

эту задачу задачей стабилизации. Суть возникающей в этой связи

проблемы управления состоит в выборе такого управления и, при ко-

тором выход объекта у совпадает с заранее предъявленной функцией

времени

y'(t),

выражающей требования к характеру изменения вы-

хода объекта. Функция у'

(<)

называется задающим воздействием или

просто заданием. Непростая сама по себе задача стабилизации услож-

няется воздействием на объект управления внешних возмущений двух

типов: координатного /(<) и операторного a{t). Под влиянием внеш-

них возмущений, информация о которых, кстати, часто недостаточна

I.I. Постановка задачи управления и предварительные сведения

(например, известен только факт их принадлежности некоторым мно-

жествам функций Т

1/1

А, т.е. f £ Т, а € Л), взаимосвязь между

входом и выходом объекта становится неоднозначной и неопределен-

ной, что, разумеется, сильно затрудняет решение задачи стабилиза-

ции (рис. 1.7). Следует, однако, отметить принципиальное различие в

|£

e:F

Пае

Рис.

1.7

характере влияния на объект возмущений координатного и оператор-

ного типов. Для этого более детально рассмотрим структуру объекта

управления и способы воздействия на него возмущений, используя для

-9-

аеЛ

•

Рис.

1.8

этого схему, приведенную на рис. 1.8. Уравнения, описывающие эту

схему, имеют вид

y = P2[a](f+v), v = Pi[a]u

или, более подробно,

У =

Р7[а]

Pi[a]u + P2[a]f = Р[а]и + Pj W/,

где явно отражена зависимость операторов Pi и Рг от операторного

возмущения а.

Теперь наглядно видно качественное различие влияния возмуще-

ний / и а на выход объекта, что подчеркивается обозначениями на

структурных схемах. Координатное возмущение / вносит аддитив-

ный и независимый от входа и вклад в реакцию объекта, равный

[о]/-

Операторное же возмущение а изменяет только вид или па-

раметры операторов Pi

[а],

Р2[а] и не имеет независимого от и и /

влияния на выход объекта. Таким образом, возмущение моделирует

Глсша

1. Принципы построения линейных

систем

линейное воздействие внешней среды на регулируемую координату,

а возмущение а — "нелинейное" ее воздействие.

В линейной теории автоматического управления влияние операторн

ного возмущения на процесс управления не изучается, поэтому ниже

полагается а =

и на структурных схемах это возмущение не обозна-

чается.

Заметим, что задающее воздействие у' также может быть выходом

некоторой динамической системы, называемой задатчиком и обозна-

чаемой ниже на структурных схемах знаком 5 (рис. 1.9). Конечно,

Рис. 1.9

задатчик, так же как и объект управления, может иметь вход и под-

вергаться влиянию помех, но ради простоты мы такие возможности не

рассматриваем. В этих обозначениях и терминах задаче стабилизации

может быть поставлена в соответствие структурная схема, приведен-

ная на рис. 1.10. На рисунке е = у'

—

у — ошибка регулирования, а

11*

Рис. 1.10

Д — регулятор, формирующий из доступной информации (у', е, / и

т.п.) такой сигнал управления «, при котором ошибка регулирования

е равна нулю или лежит в допустимых пределах.

Охарактеризуем в общих чертах принципигшьные возможности,

которыми располагает теория управления для достижения поставлен-

ной выше цели.

Во-первых, специалист по автоматизации, как правило, лишен воз-

можности такого прямого влияния на внутреннее устройство техноло-

гического процесса, которое могло бы привести к требуемому равен-

ству у = у' без какого-либо управления. Гораздо чаще ему приходится

иметь дело с объектом, который сконструирован без учета этого об-

стоятельства. Поэтому по существу единственная возможность актив-

ного влияния на выход процесса, а значит, и на возможность решения

задачи управления связана с манипулированием входным сигналом и.

1.1.

Постановка

задачи управления и предварительные сведения

И здесь, по сути дела, сразу обнаруживаются только две "чистые"

стратегии поведения: первая связана с надлежащим формированием

входного сигнала из имеющихся сигналов таким образом, чтобы его

последующее преобразование оператором объекта привело бы к тре-

буемому результату у = у"; вторая — с изменением оператора вход-

выходного соответствия с помощью обратной связи.

В первом случае, соответствующем использованию прямой связи,

к входному сигнгшу и прибавляется вспомогательный сигнал и', за-

висящий, например, от задания у' и преобразованный подходящим

оператором R (рис.

1.11а).

В результате таких преобразований вы-

ход объекта принимает вид

y,.=

PRy'+Pu+P2f,

и при определенных условиях (например, R = Р~^, Рг/ = О, и = 0)

может оказаться, что требуемое равенство у = у' достигается.

Во втором случае входной сигнал объекта изменяется с помощью

обратной связи по схеме, представленной на рис.

1.115,

на котором

изображен оператор обратной связи R. Отвечающее этой структуре

уравнение выхода имеет вид

у = Р{и- Ry) + P2f,

и после элементарного преобразования находим, что выход объекта,

охваченного обратной связью, связан со входом и и помехой / соот-

ношением

Р Р ^

" 1 + PR

1-ЬРД"''

из которого видно, что обратная связь меняет операторы передачи от

входов и и f к выходу у без какого-либо вмешательства в техноло-

гию процесса — только путем умелого использования информации о

выходе. В этом принципе заложены огромные потенцигильные возмож-

u^=Ry'

Н^

Рис.

1.11

ности, использование которых для нужд автоматизации и составляет

главное содержание теории управления.

Нетрудно понять также, что сочетание прямых и обратных свя-

зей может привести к еще более глубокому влиянию на объект и, как

следствие, к большому расширению возможностей автоматической си-

стемы управления.

26 Глава 1. Принципы

построения

линейных

систем

Опишем теперь приведенные выше принципы на языке дифферен-

циальных уравнений, используя для этого следующий пример. Пусть

объект описывается дифференциальным уравнением второго порядка

+ озу + аху = « + / (1.1)

с постоянными параметрами oi, ог и возмущением /. Отметим, что

этому примеру при "операторном" описании объекта соответствуют

операторы Р и Рг с передаточными функциями

W(s) = W2(s) = ^

s2 +

028

+ ai '

Пусть R — оператор прямой связи по заданию у' с передаточной

функцией

WR(s) =

b2S

+ bi,

где 61,62 — постоянные параметры. Тогда в соответствии с рис. 1.11а

имеем

и' = у' + biy,

и выход объекта является теперь решением дифференциального урав-

нения

у + а2У + а1у = б2у'-f-6iy'+/-I-U, (1.2)

которое отличается от исходного уравнения (1.1) дополнительным

слагаемым в правой части. Так как общее решение линейного уравне-

ния складывается из произвольного решения однородного уравнения

+ а2У + а1У = 0

и частного решения неоднородного уравнения (1.2), то прямая связь

влияет только на это частное или, как говорят, вынужденное решение

и не оказывает никакого воздействия на его свободное движение.

Напротив, если мы используем обратную связь по схеме, предста-

вленной на рис.

1.115,

например с тем же самым оператором R, то в ре-

зультате получим дифференциальное уравнение замкнутой системы

управления сначала в таком виде:

у +

а2У

+ аху = -бгУ - 6iy

-I-

а после элементарного преобразования — в окончательном виде:

y+(a2 + 62)y+(ai+fri)y=w + /. (1.3)

Из (1.3) следует, что обратная связь не изменяет правой части

уравнения, но может быть использована для изменения параметров

дифференциального уравнения. Это означает, что обратная связь

влияет не только на собственные движения объекта, но и на выну-

жденные его движения. Разумеется, использование прямой и обрат-

ной связи может только "углубить" влияние на поведение объекта.

1.1.

Постановка задачи управления и предварительные сведения

Приведенный пример уместно использовать для иллюстрации двух

важных для теории автоматического управления понятий. Это поня-

тия статики и динамики системы управления.

Рассмотрим уравнение (1.1) и положим сначала, что вход и = О, а

возмущение / = /о = const. Тогда получим

y + a2Jf + aiy = /о-

Общее рещение этого уравнения, как известно, содержит два сла-

гаемых:

где J/CB(^) — произвольное решение однородного уравнения и

j//(t)

—

частное решение неоднородного уравнения. В данном случае, что не-

трудно проверить прямой подстановкой,

W = — = У' = const.

Это решение также называют установившимся решением или ста-

тикой системы, а разницу y{t)

—

/o/ai — переходным решением, пе-

реходным процессом или динамикой системы. Если объект асимпто-

тически устойчив, а это имеет место при положительных параметрах

01 и 02, то компонента Усв(0 экспоненциально затухг^т до нуля, и

объект колебательно (график / на рис. 1.12) или монотонно (график

2 на рис. 1.12) стремится к статическому положению у*, так как в

положении покоя у = j/ = 0. Если используется прямая связь, то

.y(t)

, 1 Колебательный

переходный процесс

.^.^^периодический

переходный процесс

Рис. 1.12

следует рассматривать уравнение (1.2). Пусть для простоты, как и

ранее, / = /о, ы =

и, кроме того, у' — const. Тогда имеем дело с

уравнением

+ агу

-I-

aiy = Ьгу' + /о,

и из приведенных выше рассуждений следует, что если объект асим-

птотически устойчив, то все решения этого уравнения экспоненци-

ально стремятся к статическому режиму

= —У +—/о-

01 ai

28 Глава 1. Принципы

построения

линейных

систем

Следовательно, прямая связь не влияет на динамику, а только на

статику системы управления. Так как в желаемом режиме у = у', то

разница

. , ai

—

bi , 1 ,

т}

-У = у' /о

«1 ai

определяет ошибку стабилизации и называется статической ошибкой

системы управления. Поскольку параметр 6i характеризует прямую

связь, то последняя может применяться для уменьшения статической

ошибки, например, при 6i = oi ошибка

1 ,

-—fo.

Рассмотрим теперь обратную связь и уравнение (1.3) при тех же

предположениях (и = О, / = /о), т.е. исследуем уравнение

у +

{а2

Ь2)у

+ (ai + bi)y = /Q.

В этом случае надлежащим выбором параметров обратной связи bi, 63

замкнутую систему управления можно всегда сделать Еи;имптотически

устойчивой, следовательно, обратная связь меняет динамику системы.

Но не только. Поскольку в установившемся режиме

ai+bi'

то и статика зависит от обратной связи. В частности, увеличивая

параметр 6i, можно уменьшать статическую ошибку. Подчеркнем,

что такг1я возможность в системах с прямой связью отсутствует.

Перейдем к описанию методов синтеза стг1билизирующих регуля-

торов.

1.2. Принцип регулирования по нагрузке

Простейшая задача стабилизации возникает при отсутствии коорди-

натного возмущения, т.е. когда / = 0. В этом случае уравнение

объекта имеет вид

у = Ри, (1.4)

и решение рассматривг1емой задачи дает так называемое программное

управление

и' =

р-'у',

(1.5)

где Р~^ — оператор, обратный оператору Р, т.е. оператор, удовле-

творяющий равенству РР~^ — 1. Действительно, после подстановки

(1.5) в уравнение объекта (1.4) последовательно находим

у = Ри'

=РР-^у'

=у\

и задача решена.

1.2. Принцип регулирования по нагрузке 29

Этот принцип регулирования приводит к структурной схеме си-

стемы автоматического управления (рис.

1.13),

на котором явно по-

казана связь между заданием у' и управлением и. Поскольку задание

у'

.jpi

•V

Рис.

1.13

у'

характеризует "нагрузку", с которой функционирует объект, то

использованный принцип регулирования удобно назвать принципом

регулирования по нагрузке. Подобный способ регулирования имеет

хронические слг1бости, среди которых отметим следующие.

Во-первых, по физическому смыслу задачи оператор Р "модели-

рует" реальный процесс, и поэтому он удовлетворяет условию фи-

зической осуществимости. Пусть, например, передаточная функция

оператора Р имеет вид

W(s) = 1/s.

Тогда передаточная функция обратного ему оператора Р~^ дается

выражением

W-^is)=s

и, следовательно, имеет степень полинома числителя больше степени

полинома знаменателя, а значит, не удовлетворяет принципу причин-

ности, т.е. оператор Р~^ физически неосуществим. Поэтому речь

может идти только о приближенной реализации программного упра-

вления и' = Р'^у", а значит, только о приближенном решении рЕи;сма-

тривг1емой задачи стабилизации системой регулирования по нагрузке.

Во-вторых, только таким способом, т.е. без привлечения иных

идей, нельзя решить задачу стабилизации, когда объект неустойчив

(Пример 1).

И, наконец, в-третьих, стоит отметить, что в системе програм-

много регулирования реализуемое управление не зависит от факти-

ческого поведения объекта, и потому оперативные коррективы невоз-

можны при непредвиденных отклонениях в поведении объекта или за-

датчика. В результате даже мгшое возмущение может "увести" выход

объекта от предписанного.

Глава I. Принципы

построения

линейных

систем

Пример 1. Программное управление неустойчивым объектом.

Пусть объект управления имеет передаточную функцию

W{s) =

а^

+aj« + ai

где Qi, 02 — постоянные параметры, и требуется стабилизировать выход

объекта в нуле, т.е. считаем, что у' = 0. В соответствии с рекомендациями

раздела 1.1, для получения дифференциального уравнения, описывающего

ргъссматриваемый объект, сначала находим связь между преобразованиями

Лаплгъса входа и выхода

(s*+a2a + ai)y(5) = t/{*).

а затем выписываем искомое уравнение:

(1.6)

Следуя изложенной выше процедуре построения систем регулирования

по нгорузке, получгъем структурную схему системы управления, приведен-

u=u*

I/*sO '

»»+«а«+в1

I'+Kji+a,

Рис.

1.14

ную на рис. 1.14. Сразу замечаем, что передаточную функцию регулятора

W~'(e) =«'+02^ + 01

можно реализовать только приближенно, и, следовательно, система управле-

ния нуждается в модификации. Но даже если допустить, что передаточная

функция ^'''^(в) реализовгша точно, все-таки возникает серьезная труд-

ность, когда параметр ai < 0. В самом деле, так как и' = Р~^у' = О,

то на выходе объекта наблюдаются только собственные колебания, вызван-

ные ненулевыми начальными условиями и описываемые дифференциальным

уравнением

+ азу

aiy = 0.

Ясно, что

при

< О

его характеристическое уравнение

-I-02*-1-01 =0

имеет положительный корень, а значит, выход объекта у экспоненциально

возрги;тг1ет.

Иными словами, если объект управления неустойчив, то рассматривае-

мая задача стабилизации принципом регулирования по нагрузке не реша-

ется. Нетрудно понять, что и при у' ^

устойчивость объекта есть необ-