Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

3. Правила и

схемы принятия

решений

решений. Наибольшая прибыль для наиболее вероятного объема продаж равна

57600 ф. ст. Эта цифра будет получена, если назначить цену в 8,80 ф. ст. Однако

цена 8,60 ф. ст. предпочтительнее для компании, так как наиболее вертятная

прибыль составляет примерно ту же величину, в то время как прибыль двух

остальных исходов вьпие, чем для цены 8,80 ф. ст. Однако если мы примем во

внимание постоянные расходы, то цена 8,00 ф. ст.

—

единственная, при которой

"Singles" не терпит убытков, так как низкая прибыль здесь не меньше, чем

постоянные расходы

—

40000 ф. ст.

Таким образом, для любого из трех решений существуют свои аргументы.

Какое решение будет принято, зависит от целей, которые оно преследует, и от

отношения к риску -того, кто принимает решение. Осторожный менеджер предпо-

чтет цену 8,00 ф. ст. двум другим: возможные прибыли меньше, но и потери

сведены к минимуму. Поэтому в числе прочих должен решаться вопрос об

отношении к риску. Сейчас мы рассмотрим, как правила принятия решений могут

применяться в каждом конкретном случае, а к вопросу о риске вернемся позже.

3.2. ПРАВИЛА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Как уже отмечалось, принимая решения, следует руководствоваться соответствую-

щими правилами. На первом этапе

—

определение цели. Принимающий решение сам

выбирает, каким правилом ему воспользоваться, потому что для каждого случая

применимо какое-то определенное правило. Итак, они делятся на две группы:

—

правила принятия решений без использования численных значений вероят-

ностей исходов;

—

правила принятия решений с использованием численных значений вероят-

ностей исходов.

3.2.1.

Правила принятия решений без использования численных

значений вероятностей исходов

Максииаксное решение

—

максимизация максимума доходов.

Максниннное решение

—

максимизация минимума доходов.

Минимаксное решение — минимизация максимума возможных потерь.

• Пример 3.2. Предположим, что вы владелец кондитерской "Саке Box". В

начале каждого дня вам нужно решить вопрос, сколько пирожных следует иметь

в запасе, чтобы удовлетворить спрос. Каждое пирожное обходится вам в 0,70 ф. ст.,

а вы его продаете по 1,30 ф. ст. Продать невостребованные пирожные на следую-

щий день невозможно, поэтому остаток распродается в конце дня по 0,30 ф. ст. за

штуку. В табл. 3.3 приведены данные по продажам в предыдущие периоды.

Таблица 3.3. Спрос на пирожные

Спрос на

пирожные

в день, шт.

Частота

Огносительная частота (вероятнопъ)

0,1

0,2

0,3

0,1

84 Ч. 1. Принятие решений в условиях

недостатка

информации

Нужно определить, сколько пирожных должно быть закуплено в начале

каждого дня.

Решение.

Итак, в начале дня можно закупить для последующей продажи 1, 2, 3, 4 или

5 пирожных в день. В общем решение и его исходы примерно равны, но имея

возможность принимать решения, нельзя контролировать исходы. Покупатели

определяют их сами, поэтому исходы представляют также "фактор неопределенности".

Чтобы определить вероятность каждого исхода, составим список возможных

решений и соответствующих им исходов. В табл.3.4 рассчитаны доходы, иначе

говоря, отдача в денежном выражении для любой комбинации решений и исходов.

Таблица 3.4. Доход (прибыль) в

день,

-ф.

ст.

Возможные

исходы:

спрос

пирожных

в день

Число

закупленных для

продажи пирожных

(возможные

решения)

0,60

0.60

0,60

0,20

1,20

0.20

0.80

1.80

1,80

1.80

0,60

0,40

1,40

2,40

3.40

1,00

0.00

1.00

2,00

3.00

Используя каждое из правил принятия решений, упомянутых в начале раздела,

нужно ответить на вопрос: "Сколько пирожных должна закупить фирма "Саке Box"

в начале каждого дня?"

Правило максимакса

—

максимизашм максимума

доходов.

Каждому возможному

решению в приведенной таблице соответствуют следующие максимальные доходы.

По этому правилу вы закупите в начале дня пять пирюжных. Это подход

карточного игрока

—

игнорируя возможные потери, рассчитывать на максимально

возможный доход.

Таблица 3.5. Максимальные доходы

Количество

закупаемых

в день

пирюжных

Максимальный доход

(прибыль)

день,

ф. ст.

0,60

1,20

1.80

2,40

3,00 <- максимум

Правило иаксииина

—

максимизация минимального дохода. Каждому возмож-

ному решению в табл. 3.4 соответствуют минимальные доходы (табл. 3.6.).

По этому правилу вы закупите в начале дня одно пирожное, чтобы максимизи-

ровать минимальный доход. Это очень осторожный подход к принятию решений.

Гл.

3. Правила и схемы

принятия

решений

Таблица 3.6. Минюмлыше доходы

Количество

закупаемых

в день

пирожных

Минимальный

доход (прибыль)

день,

ф. ст.

0,60 ^ максимум

0,20

- 0,20

- 0,60

- 1,00

Правило мшошакса

—

минимизация максимально возможных потерь. В данном

случае больше внимания уделяется возможным потерям, чем доходам. Таблица

возможных потерь даегг представление о прибылях каждого исхода, потерянных в

результате принятия неправильного решения. Например, если спрос составляет два

пирожных и было закуплено два, то доход составит 1,20 ф. ст., если же вы приобрели

три, то доход

—

0,80 ф. ст. и вы недополучили 0,40 ф. ст. Эти 0,40 ф. ст.

—

то, что

называется возможными потерями или упущенным доходом. Таблицу возможных

потерь можно получить из таблищл доходов, находя наибольший доход для каждого

исхода и сопоставляя его с другими доходами этого же исхода (см. табл. 3.7).

Как уже отмечалось, правило, которюе используется для работы с таблицей

упущенных доходов,— это правило минимакса. Оно также называется минимакс-

ное правило возможных потерь. Состоит оно в том, чтобы для каждого решения

выбрать максимально возможные потери. Затем выбирается то решение, которое

ведет к минимальному значению максимальных потерь (табл. 3.8).

Таблица 3.7. Возможные потери

день, ф. ст.

Возможные

исходы:

спрос

пирожных

в день

Число закупленных

для

продажи пирожных

(возможные

решения)

0,0

0,60

1,20

1,80

2,40

0,40

0,0

0.60

1,20

1,80

0,80

0,40

0,0

0,60

1,20

0,80

0,40

0,0

0,60

1,60

1.20

0.80

0,40

0,0

Таблица

Количество

закупаемых

в день

пирожных

3.8.

Максимальные возиожвые потери

Максимальные возможные потери

день,

ф. ст. (из

таблицы

выше)

2,40

1,80

1,20 <— минимум

1,20 4- ишшиуи

1,60

Ч. 1. Принятие решений в условиях

недостатка информации

Минимальная величина максимальных потерь возникает в результате закупки

трех или четырех пирожных в день. Следовательно, по правилу ми1гамакса вы

выберете одно из этих решений.

Все рассмотренные критерии принятия рюшений приводят к различным ре-

зультатам. Поэтому сначала выбирается тот критерий, который считается "луч-

шим", и тогда вы получаете "наилучшее" для вас решение.

3.2.2. Критерий Гурвича — компромиссный способ

принятия решений

Этот способ принятия решений представляет собой компромисс между осторож-

ным правилом максимина и оптимистичным правилом максимакса. В нем некото-

рым образом объедишпотся правила, не рассматривающие индивидуальные веро-

ятности отдельных исходов, и те, в которых учитываются вероятности исходов.

При использовании критерия Гурвича (Hurwicz criterion) таблица доходов

составляется как обычно. Для каждого решения рассматриваются лучший и

худший результаты, т.е. то, о чем раньше говорилось в правилах максимина и

максимакса. Принимающей решение придает вес обоим результатам, и, умножив

результаты на соответствующие веса и суммируя, получает общий результат.

Выбирается решение с наибольшим результатом. Такое решение задачи предпола-

гает, что имеется достаточно информации для оп[)еделения весов.

Пример с закупкой пирюжных (пример 3.2) не очень приемлем для иллюстра-

ции критерия Гурвича, так как высокие доходы встречаются более, чем в одном

исходе. Например, если мы р>ешили закупать три пирюжных в день, наивысший

доход в 1,80 ф. ст. существует для спроса 3, 4 и 5 пирожных.

Упростим таблицу доходов (табл. 3.4), чтобы проиллюстрирювать вышеска-

занное, и рассмотрим низкие доходы для каждого решения и исходы с высокими

доходами. Напоминаем, что принимающий решение не располагает данными о

спросе из табл. 3.3, поэтому ему нужно самому вычислить веса для исходов с

низкими и высокими доходами. В данном случае самый низкий доход из возмож-

ных — при одном пирожном в день, самый высокий

—

при пяти.

Допустим, принимающий решение определил вес для спроса одного пирожно-

го в день, равным 0,4, а для спроса пяти пирожных — 0,6. Используя эти веса,

составим таблицу.

Таблица 3.9. Критерий Гурвмча

Количество

пирожных,

закупаемых о день

Доход

ф.

низкий

0,6

0,2

- 0.2

- 0,6

- 1,0

в день,

ст.

высокий

0.6

1,2

1,8

2,4

3,0

Вес

х0,4

0.24

0.08

- 0,08

- 0.24

- 0,40

хО.6

+ 0,36

+ 0,72

+ 1.08

+ 1.44

+ 1.80

Всего в день.

ф. ст.

= 0,6

= 0.8

= 1.0

= 1,2

= 1.4 4- максимум

Гл.

3. Правила и схемы принятия решений

Если принимающий решение использует указанные веса, то его решение по

правилу Гурвича, будет состоять в том, чтобы закупать пять пирожных в день.

3.2.3. Правила принятия решений с использованием численных

значений вероятностей исходов

В предыдущем разделе мы не использовали данные о вероятностях исходов,

теперь попробуем при принятии решений использовать эти данные.

Правило максимальной вероятности - максимизация наиболее вероятных

доходов. Рассмотрим относительные частоты (вероятности) дневного спроса на

пирожные.

Таблица 3.10. Относительные частоты (вероятвостн) дневного спроса на пирожные

Количество

пирожных,

закупаемых в день

Частота

Относительная частота (вероятность)

/ 2

5 10 15 15 5

0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Наибольшая вероятность 0,3 соответствует спросу в три и четыре пирожных в

день.

Теперь рассмотрим доходы каждого из исходов и выберем наибольший.

Таблица 3.11. ^faкcимaльный доход для каждого нз решений

Количество

пирожных,

закупаемых в день

Максимальный

доход

день,

ф. ст.

1,80, когда исход равен 3 или больше

2,40, когда исход равен 4 или больше «- максимум

По

этому

правилу фирма "Саке Box" должна закупать четыре пирожных в день.

Оптимизация математического ожидания. Наиболее распространенный способ

использования вероятностей при принятии решений — это вычисление математи-

ческиого ожидания. Оно рассчитывается для каждого решения либо для доходов,

либо для возможных потерь. Выбирается решение либо ъ наибольшим ожидаемым

доходом, либо с наименьшими возможными потерями,

а) Максимизируем ожидаемый доход для решений:

Е(доход от какого-либо решения) = 2^ (вероятность х доход) ((^ммируем для всех исхо-

дов рассматриваемого решения).

В примере с "Саке Box" ожидаемый доход в случае, если решено закупать

пять пирожных в начале каждого дня, равен:

Е(доход, если закупается пять пирожных) = (0,1 х —1,0) + (0,2 х 0,0) +

+ (0,3

1,0) -ь (0,3

2,0) -t- (0.1

3,0) = 1,1 ф. ст. (в день).

При большем временном промежутке это означает, что при закупке пяти

пирожных в день средняя прибыль составит 1,1 ф. ст. в день.

Ч. 1. Принятие решений в условиях

недостатка информации

Ниже приведена таблица доходов фирмы "Саке Box", дополненная вероятнос-

тями. Следом за ней

—

таблица ожидаемых доходов для каждого решения.

Таблица 3.12. Таблица доходов

Возможные

исходы:

дневнойспрос

на

пирожные

Доход (прибыль) в день, ф. ст..

Количество

пирожных,

закупаемых а день

(возможные

решения)

0,60

0,20

1,20

- 0,20

0,80

1.80

1,80

0,60

0,40

1,40

2,40

1,00

0.0

1,00

2,00

3,00

Вероят-

ность

0,1

0.2

0,3

0,1

Таблица 3.13. Расчет возможных доходов (вероятность х доход на табл. 3.10)

Возможные

исходы:

дневной спрос

на

пирожные

Ожидаемый доход в день

всего,

ф. ст.

Итак, максимальное зн<

Количество

пирожных,

закупаемых в день

(возможные региения)

0.06

0,12

0,18

.0,18

0.06

0.60

ачение ожи

0.02

0.24

0,36

0.12

1.10

даемого до

-0.02

0,16

0,54

0.18

1.40

хода 1,40

-0,06

0,08

0.42

0.72

0.24

1,40

-0.10

0.0

0.30

0,60

0.30

1,10

>. ст. в день, следова-

тельно. используя критерий максимизации ожидаемого дохода, фирма "Саке Box"

должна закупать три или четыре пирожных в день. В примерах этого типа, где

решение повторяется множество раз, использование критерия математического

ожидания наиболее приемлемо.

б) Минимизация ожидаемых возможных потерь.

даннсж случае производится та же

последовательность действий, только с использованием таблицы возможных потерь

и вероятности каждого из исходов. Выбирается решение, ведущее к наименьшим

ожидаемым возможным потерям, вместо максимума ожидаемых доходов.

Таблица

3.14.Возможные

потери

Возможные

исходы:

дневной

спрос

на

пирожные

Возможные

потери:

количество

пирожных,

закупаемых в день

(возможные

решения)

0,0

0,60

1,20

1,80

2,40

0.40

0,0

0.60

1.20

1,80

0,80

0,40

0.0

0.60

1,20

0.80

0.40

0,0

0,60

1.60

1,20

0,80

0.40

0,0

Вероят-

ность

0,1

0,2

0.3

0,1

Гл.

3. Правила и схемы принятия решений

Как мы видим, минимальные ожидаемые возможные потерт равны 0,46 ф. ст.

день,

т.е. наилучшее решение — закушпь три или четыре пирожных в день. То же решение

следует принять при использовании критерия максимизации ожидаемых доходов.

Таблица 3.15. Расчетоясцлаеиых •оаиожныхпотцм»

(вероялюстъ

возможные потери)

Возможные

исходы:

дневной

спрос на

пирожные

Ожидаемые возможные потери в

день

—

всего, ф. ст.

Количество

пирожных,

закупаемых

(возможные

решения)

0,0

0,12

0,36

0,54

0.24

1,26

0,04

0,0

0,18

0,36

0.18

0,76

0,08

0.08

0,0

0,18

0.12

0,46

0,12

0,16

0,12

0,0

0.06

0,46

в день

0,16

0,24

0.12

0.0

0,76

3.2.4. Зависимость решения от изменений значений вероятностей

Значения вероятностей, которые мы используем, основаны либо на уже имеющей-

ся информации, либо на расчетах. Однако эти значения непостоянны, и поэтому

полезно знать, насколько велика зависимость выбора решения от изменения

величины вероятности, т.е. какова чувствительность решений.

Анализ чувствительности является важной темой, к которой мы будем обра-

щаться на протяжении всей книги. Суть анализа заключается в числовой оценке

изменения вероятности, определяющей выбор решения. Для иллюстрации возьмем

пример с максимизацией ожидаемых дохбдов. Ниже рассмотрена ситуация с

одним основным и одним альтернативным вариантом решения, хотя, как правило,

на практике альтернативных вариантов больше.

Таблица 3.16. Зжжнсвмость выбора решения от изменений значений вероятностей

Базовые вероятности

Ожидаемый доход в день, ф. ст.

Альтернативные вероятности

Ожидаемый доход* в день, ф. ст.

Количество

пирожных,

закупаемых в день

(возможные

решения)

0,1

0,6

0,2

0.6

0,2

1,1

0,2

1,0

0.3

1,4

0.2

1.2

0,3

1.4

0,2

1.2

0,1

1.1

0,2

1,0

* Вычисляется, как в 3.2.2.

Решение, дающее максимальный доход. — закупать три или четыре пирож-

ных, не претерпело изменений, однако средняя прибыль в альтернативном вари-

анте снизилась с 1,40 до 1,20 ф. ст. в день. В данном случае выбор решения

нечувствителен к незначительным изменениям вероятности, т.е. не происходит

замены выбранного варианта решения на новый.

90 Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации

3.2.5. Стоимость достоверной информации

Неопределенность при принятии решений может быть уменьшена путем сбора

дополнительной информации, однако за нее нужно платить. Максимальная сумма

денег, которзгю стоит заплатить, и является стоимостью достоверной информации.

Если заранее известно, какой из исходов осуществится, то можно принять решение,

ведущее к максимальному доходу, тем не менее это не означает, что мы можем

контролировать исходы.

Например, фирма "Саке Box" принимает заказы на следующий день. Конт[ю-

лировать их количество нельзя, однако можно, корректируя количество закупаемых

пирожных, максимизировать доход. На число закупаемых пирожных теперь

влияет число поступающих заказов.

Ожидаемый доход равен:

Е =

2l<

(доход на поступивший объем заказов х вероятность данного объема заказов)

Е = (0,60

0,1) + (1,20

0,2) + (1,80 х 0,3) + (2,40 х 0,3) + (3.00 х 0,1) = 1,86 ф. ст.

Стоимость достоверной информации есть разница полученной цифры и макси-

мального ожидаемого дохода без достоверной информации. Для "(Заке Box"

стоимость достоверной информации (ф. ст.): 1,86 — 1,40 = 0,46 (в день). Эта

цифра рг1вна минимальным ожидаемым возможным потерям.

Если известна стоимость достоверной информации, то известен максимум,

который можно заплатить за дополнительную 1шформацию о вероятностях исходов.

Таким образом, фирма "(Заке- Box" может заплатить 0,46 ф. ст. в день, чтобы

получать информацию о спросе, т.е. это плата за своего рода "маркетинговые данные".

3.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

И СТАНДАРТНОГО ОТКЛОНЕНИЯ

ДЛЯ

ОЦЕНКИ РИСКА

В результате использования правила максимизации ожидаемых доходов (или

минимизации ожидаемых возможных потерь) мы получаем оценку для каждого

исхода в виде таблицы доходов, чтобы выбрать "наилучшее" решение. В ней

приводится разброс доходов для каждого исхода, анализ которого дает возможность

оценить риск каждого решения. Альтернативный подход к оценке риска заключается

в вычислении стандартного отклонения доходов, как это делается для любого

другого вида распределений. Именно таким образом в нижеприведенном примере

сравниваются два варианта инвестиций. Несмотря на то, что в этом случае и в

примере с закупкой пирожных арифметически два варианта решаются совершенно

одинаково, между ними существует значительная разница. Решение, принятое для

закупки пирожных, остается неизменным изо дня в день, и идея ожидаемых

(средних) доходов проста для понимания, тогда как решение об инвестициях

принимается лишь однажды, что затрудняет понимание значения ожидаемых

доходов на практике.

О Пример 3.3. Ниже приведены возможные чистые доходы и их вероятности

для двух вариантов вложений.

Гл.

3. Правила и схемы принятия решений 91

Таблица 3.17. Верожгаостя возиожиой чистой прибыли

Чистая прибыль, тыс. ф. сг.

Вероятност:

Инвестиция 1

Инвестиция 2

Сравнение вариантов решений

-3-2-1 0 1 2

0 0 0,1 0,2 0.3 0,2

0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

0.2

0,2

Ожидаемая прибыль:

Е (инвестиция 1) = Z,, (доход х вероятность).

Отсюда

Е (ивесгиция 1) = (- 3 х О) + (- 2 х 0) + (- 1 х 0,1) + (О х 0,2) + (1 х 0,3) +

+ (2

0,3) + (3

0,2) + (4

0).

Следовательно,

Е (инвестиция 1) = 1200 ф. ст.

Аналогично для инвестиции 2:.

Е (инвестиция 2) = (- 3 х 0,1)

(- 2 х 0,1) + (- 1 х 0,1) + (О х 0.1) +

+ (1

0,1) + (2

0,1) + (3

0,2) + (4

0,2).

Следовательно,

Е (инвестиция 2) = 1100 ф. ст.

Если принимать во внимание только ожидаемую прибыль, то инвестиция 1

безусловно лучше. Если бы решение об инвестициях принималось много раз при

одних и тех же условиях, то тогда прибыль в среднем составляла бы 1200 ф. ст.

Однако правило принятия решений не учитывает риск, связанный с инвестициями,

т.е. "разброс" возможных исходов. Этот риск может быть определен с помощью

дисперсии и стандартного отклонения пр1^3ыли.

№ гл. 2

мы

знаем, что дисперсия в^хмтноспких) распределения представляет собой:

Дисперсия = /it Р^

—

(Е (зс)) ;

Е(Х)-ХРХ,

где X — прибыль на инвестиции;

р — вероятность получения данной прибыли.

Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации

Таблица 3.18. Расчет средней прибыли и дисперсии для нивсстнций

Прибыль,

тыс,

ф. cm.

-3

-2

-1

0 .

Всего

Инвестиция 1

0,1

0,2

0.3

0,2

1.0

РХ

-0,1

0,3

0,4

0,6

1,2

рх ^

0.1

0.3

0.8

1.8

3.0

Инвестиция

0.1

0,1

0.1

0.2

1.0

Р'

- 0.3

- 0.2

- 0,1

0.1

0.2

0.6

0,8

1.1

рх^

0,9

0,4

0,1

0,4

1,8

3,2

6,9

Инвестиция 1:

Дисперсия = 3,0 - 1,2^ = 1,56^ (тыс. ф. ст.) .

Следовательно,

Стандартное отклонение прибыли = Vl.56 = 1250 ф. ст.

Инвестиция 2:

Дисперсия = 6.9

—

1,1

= 5.69

(тыс. ф. ст.) .

Следовательно,

Стандартное отклонение прибыли = VS.69 = 2385 ф. ст.

Риск по варианту для инвестиции 1 меньше, так как дисперсия прибыли

намного меньше, чем для инвестиции 2.

Таблица 3.19. Математическое ожидание и стандаршое отклонение

для двух вариантов инвестиций, ф. ст.

Инвестиция

Ожидаемая

прибыль

1200

1100

Стандартное отклонение

1250

2385

Анализируя данные таблицы, можно прийти к выводу, что как большая

ожидаемая прибыль, так и меньший "разб]хх;" говорят в пользу инвестиции 1.