Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

3. Правила и схемы

принятия

решений

один из которых содержит небольшой риск, в то время как другой совершенно без

риска.

Вариант А предусматривает несколько возможных размеров прибыли: 8%,

10%,

12%, но из-за особенностей инвестируемого объекта существует некоторая

корреляция доходов первого и второго годов, что отражено в таблице:

Первый год

10%

12%

Второй год |

0,6

0,2

0,1

fO%

0.3

0.5

0,2

12%

0,1

0,3

0,7

На этом этапе все три варианта прибылей первого года равновероятны.

Вариант В предусматривает стабильную прибыль 9,5% годовых. При расчетах вы

можете не принимать во внимание налогообложение; а прибыль первого года

реинвестируйте на второй год.

Вне зависимости от того, какой из вариантов будет выбран, инвестирование

производится на полные два года:

а) Нарисуйте "дерево", учитывающее все варианты и их исходы.

б) Какой бы вариант инвестиций вы рекомендовали, основываясь на

ожидаемой сумме доходов?

в) Какова вероятность того, что прибыль по варианту В будет больше,

чем по варианту А?

Как изменится ваше "дерево", если станет возможным перейти от варианта А к

варианту В в конце первого года? Какая стратегия инвестиций в данном случае

принесет максимальную ожидаемую прибыль?

Упражнение 3.9

Компания "Brownhill Maпufactш:ing Company" собирается производить новый

товар, для чего нужно будет построить новый завод. После рассмотрения несколь-

ких вариантов были оставлены три основных.

A. Пострюить завод стоимостью 600000 ф. ст. При этом варианте возможны:

большой спрос с вероятностью 0,7 и низкий спрос с вероятностью 0,3. Если спрос

будет большим, то ожидается годовой доход в размере 250000 ф. ст. в течение

следуюпщх пягти лет; если спрос низкий, то ежегодные убытки из-за больших

капиталовложений составят 50000 ф. ст.

Б.

Построить маленький завод стоимостью 350000 ф. ст. Здесь также возмож-

ны большой спрюс с вероятностью 0,7 и низкий спрос с вероятностью 0,3. В случае

большого спроса ежегодный доход в течение пяти лет составит 150000 ф. ст., при

низком спросе

—

25000 ф. ст.

Сразу завод не строить, а отложить решение этого вопроса на один год для

сбора дополнительной информации, которая может быть позитивной или негативной

lit Ч. 1.

Пршштие решений

условиях недостатка информации

с вероятностями 0,8 и 0,2 соответственно. Через год, если информация окажется

позитивной, можно построить большой или маленький завод по указанным выше

ценам. Рзгководство компании может решить вообще никакого завода не строить,

если информация будет негативной. Вне зависимости от типа завода вероятности

большого и низкого спроса меняются на 0,9 и 0,1 соответственно, если будет

получена позитивная информация. Доходы на последующие четыре года остаются

такими же, какими они были в вариантах А и Б.

Все расходы выражены в текущей

стоимости

и не должны дисконтироваться.

а) Нарисуйте "дерево", охватывающее все возможности, открывающиеся

перед компанией.

б) Определите наиболее эффективную последовательность действий руко-

водства фирмы, основываясь на ожидаемых доходах каждого варианта.

в) Предположим, строительная компания предлагает фирме скидку, если

она сразу же приступит

строительству большого завода. Какова должна

быть величина этой скидки (в процентах), чтобы фирма отказалась от

ранее выбранного варианта?

АНАЛИЗ ДАННЫХ

КАК СОСТАВНАЯ ЧАСТЬ

ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Вторая часть книги посвящена применению статистики в

принятии решений. Главы 4, 5 и 6 охватывают npoufidypy

статистического вывода и испытания гипотез. В главе 7

рассматриваются методы статистического контроля

качества.

В главах 8 u9 показывается, как линейная регрессия и анализ

временных рядов могут быть использованы для получения

прогнозных значений.

116

а 4. ВЫБОРКА

ВЫБОРОЧНЫЕ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

4.1.

ВВЕДЕНИЕ

Обратимся теперь к важному статистическому методу

—

выборке.

Термин совокупность обозначает общую группу людей или предметов, с

которь»ш связано статистическое исследование. Термин выборка обозначает неко-

торую группу, отобранную из совокупности. Мы будем использовать термин

параметр, чтобы обозначить характеристику совокупности, и термин статистика,

чтобы обозначить соответствующую характеристику выборки. Например, если мы

будем рассматривать в качестве совокупности членов Ассоциации сертифициро-

ванных бухгалтеров Великобритании (АССА), то средняя заработанная плата

действительного члена АССА будет являться параметром совокупности. Но если

мы произведем выборку 100 членов, то их средняя заработанная плата будет

являться выборочной статистикой. Целью статистического исследования может

быть измерение параметра совокупности, например такого, как средний рост

профессионального бухгалтера Великобритании или же размеры доходов рабочих

ручного труда в сталелитейной промышленности Франции. Или же целью может

быть проверка доверия к утверждениям относительно совокупности, например,

доверия к утверждению, что насилие на телевизионном экране приводит к возрас-

танию насилия в обществе или к другим таким же суждениям.

Использование данных, полученных по выборкам, неизбежно приводит нас в

область статистического вывода ввиду того, что возникает необходимость полу-

чить заключение относительно совокупности по данным выборки. Что говорит нам

выборочная статистика относительно параметра совокупности или что позволяет

нам заключить случайности выборки относительно истинной характеристики сово-

купности? Как средний рост, определенный по выборке профессиональных бухгалте-

ров,

соотносится со средним ростом всех прюфессиональных бухгалтеров? Если в

выборке взрослых преобладают бегающие трусцой, можем ли мы считать бег трусцой

распространенным явлением во всей совокупности? По выборке, отобранной соответ-

ствующим образом, можно оценить параметры совокупности, можно использовать

выборочные данные для испытания предположений относительно характеристик

совокупности.

Статистический вывод является большой и важной областью статистики, в

которой рассматривается вся информация, собираемая по выборке, для того,

чтобы сделать заключение относительно некоторых характеристик совокупности.

Гл.

Выборка

выборочные распределения

117

Например, аудитор может проверить выборочные данные о сделках компании и,

если отобранные документы удовлетворяют всем требованиям, он делает вывод,

что документы о всех сделках компании правильно оформлены. Аудитор использует

выборку для своего заключения потому, что она дешевле, ее можно быстрее

провести и, следовательно, она более пршстична, нежели проверка всех документов о

сделках компании.

Первая часть этой главы посвящена различным способам отбора. Этот вопрос

очень важен, так как если отбор произведен неправильно, мы не можем использовать

статистический вывод для получения надежного заключения о совокупности.

4.2.

ПРИЧИНЫ ПРИМЕНЕНИЯ ВЫБОРОЧНОГО НАБЛЮДЕНИЯ

При изучении мнения студентов относительно организации обслуживания в кол-

ледже в качестве объекта исследования выступают все студенты, обучающиеся в

данном колледже. Если это обследование проводится для изучения обслуживания

во всех колледжах, то в качестве объекта изучения выступают все студенты всех

колледжей. Так как маловероятно, чтобы в обоих случаях те, кто проводит

обследование, собирали бы данные по совокупности в целом, то должна быть

отобрана небольшая группа студентов, которая будет представлять всю совокуп-

ность. Тогда можно будет сделать соответствующие выводы о совокупности по тем

данным, которые будут получены на основе выборки. Очень важно в самом начале

исследования определить совокупность, ее границы для гарантии того, что какие-

либо сделанные выводы будут иметь значение.

Совокупности, такие, как в упомянутых выше примерах, ограничены по

объему и потому называются конечными совокупностями. Совокупности, не огра-

ниченные по объему, называются бесконечными совокупностями. На практике,

если совокупность является большой, т.е. такой, что устранение какого-либо

одного из ее членов не существенно изменяет вероятность отбора следующего

члена, то такая совокупность рассматривается статистически как бесконечная.

Например, машина производит гвозди, определенная часть которых является

дефектными. Если выпуск гвоздей в день составляет 100000 шт. и мы произведем

малую выборку из этого объема, то вероятность попадания в нее дефектного

гвоздя практически не изменяется по мере отбора последующих членов выборки.

Конечная совокупность, включающая 100000 единиц, может рассматриваться как

бесконечная совокупность. На первый взгляд кажется, что

Лучше

для статистического

исследования охватить всю совокупность, если это возможно. Однако практически

часто оказывается, что лучше использовать выборку.

Преимущества использования выборки, нежели совокупности, состоят в

следующем.

Практичность. Совокупность может быть очень большой, практически

бесконечной. Следовательно, может быть физически невозможно охватить на-

блюдением всю совокупность.

Выигрыш во времени. Если необходимо получить данные быстро, то может

быть недостаточно времени, чтобы охватить всю совокупность. Например, если мы

занимаемся проверкой качества товаров массового производства, то нельзя медлить с

проверкой.

118 Ч. 2. Анализ данных как составная

часть

принятия решений

Затраты. Затраты на сбор данных по всей совокупности могут быть

невыносимо высоки. В вьпиеприведениом случае проверка каждого изделия массо-

вого производства (например, каждого гвоздя) будет неоправданно дорогостоящей.

Опшбки. Если данные собираются по большой совокупности, то условием

проведения наблюдения становится включение в работу большого числа людей, и

риск совершения ошибок многократно возрастет.

5. Испыташга, связанные с уничтожением. Наблюдение может включать

уничтожение испытуемого образца. В таком случае очевидно, что нежелательно

иметь дело со всей совокупностью. Например, производитель решил сделать

проверку длительности работы определенного типа батареек. Он проводит испы-

тание нескольких батареек, для того чтобы сделать вывод относительно всех

батареек.

Преимущества использования совокупности по сравнению с выборкой состоят

в следующем:

Nfa3ue совокупности. Если совокупность мала, так что любая взятая из

нее выборка будет больше относительно объема совокупности, то в этом случае

издержки и точность данных при охвате совокупности будут предпочтительнее, чем

при выборке, для которой они не будут существенно отличаться.

Точность. Если существенно то, что информация, полученная в результате

наблюдений, была бы абсолютно точной, то статистический вывод из выборочных

данных может быть ненадежным. Например, для магазина необходимо точно

знать, сколько денег было пол)гчено помимо кассы в течение года. Для владельца

не имеет смысла регистрировать выручку за дни, выбранные в этом году. Проблема

ошибок остается в этом случар, но эти ошибки скорее будут арифметическими, а

не ошибками статистических оценок.

4.3. СЛУЧАЙНЫЙ ОТБОР

Чрезвычайно важно, чтобы единицы выборки отбирались так, чтобы выборка

была бы репрезентативной и давала правильное представление о совокупности,

насколько это позволяют имеющиеся деньги и время. Оишбочно сформированная

выборка даст искаженное представление о совокупности.

Имеются несколько методов проведения отбора. Эти методы могут быть под-

разделены на две категории — случайная выборка и неслучайная выборка.

Статистический вывод может быть применен только в том случае, если выборка

спланирована как случайная. Случайный отбор означает, что каждый член сово-

купности имеет равный шанс попасть в выборку. Если совокупность содержит

группы единиц с отличающимися характеристиками, которые имеют значение для

исследователя, то тогда случайный отбор должен обеспечить представительность в

выборке единиц каждой из этих групп. Чем больше группа, тем более вероятно,

что ее члены будут отобраны и, следовательно, будут представлены в выборке.

Таким образом размер группы связан с вероятностью того, что ее члены попадут в

выборку, поэтому случайный отбор приводит к выборке, которая представляет

генеральную совокупность.

Первый шаг в производстве случайной выборки из конечной совокупности

состоит в том, чтобы установить основания проведения выборки. Это

—

список

Гл.

Выборка

выборочные распределения

119

всех членов совокупности. В кем может не указываты:я полное название

("имя")

перечисляемых единиц, они должны быть помечены так, чтобы можно было их

идентифицировать. Каждому члену совокупности может быть присвоен номер,

после чего может быть использован какой-либо метод случайного отбора номертв,

затем отобранные номера идентифицируются. Представительность выборки зави-

сит от качества основания для формирования выборки. Важно, чтобы основания

проведения выборки обладали следуюпщми свойствами:

Полнота — в основание для проведения выборки должны быть включены

все единицы совокупности. Неполнота может привести к дефектам выборки,

особенно, если единицы, которые не попали в выборку, принадлежали к какой-

либо особой группе единиц совокупности.

Точность — информация о каждой единице должна быть точной и не

дублировать единицы.

Составление списка единиц совокупности не следует путать с переписью всех

единиц. Цельь основания для проведения выборки состоит только в том, чтобы

обеспечить возможность идентификации единиц. Требуемые данные затем будут

получены только от отобранных единиц. Случайная выборка может быть произве-

дена вручную, например, вытаскиванием шаров из сумки или по таблице случай-

ных чисел. Другим методом может быть использование компьютера, который

генерирует случайные числа. Последние затем используются для формирования

выборки, которая называется простой случайной {выборкой.

4.4. ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Одна из целей выборки состоит в

том,

чтобы получить оценки различных параметров,

такие, как средняя, стандартное отклонение или доля определенных единиц. Для

оценки неизвестных значений этих параметров используются выборочные статис-

тики. Нам нужно знать, как статистики могут быть использованы наилучшим

образом для оценивания и какова надежность оценок, полученных таким образом.

Предположим, что выборка, ползгченная как простая случайная выборка^

произведена много раз. Хотя каждый раз производится случайный отбор, конкрет-

ные результаты различаются. Большое значение имеют вероятностные распределе-

ния выборочных статистики, которые мы используем. Эт распределения могут

быть сконструированы в принципе так, как было описано выше.

Мы произвели выборку объема п единиц из совокупности объема N. Для этой

выборки мы определим значение статистики, соответствующее тому параметру, в

оценке которого мы заинтересованы.

Произведем вторую выборку того же размера и определим ту же статистику,

что и прежде. Скорее всего численные значения статистики в двух выборках будут

различными. Если мы затем произведем третью и четвертую выборки того же

размера, то получим еще одни значения статистики. Однако если мы будем

продолжать производить дальнейшие выборки, то некоторые значения статистики

будут повторяться. Продолжая производить все возможные выборки размером п

единиц из нашей совокупности, в результате мы сможем построить частотное

распределение для полученных значений статистики. Соответствующее относи-

тельное частотное распределение является вероятностным распределением статис-

120

¥. 2. Анализ данных как составная

часть

принятия решений

тики. Это частотное распределение выборочной статистики называется выбороч-

ным распределением.

Например, если мы произведем все возможные выборки размером п = 5 единиц

из совокупности 50 единиц, то будем иметь 2118760 различных выборок. (Это

вычисляется как число комбинаций, потому что нас не интересует порядок, в

котором производится отбор).

501

45!

^С.=

= 2118760.

Для каждой выборки в 5 единиц мы вычисляем выборючную среднюю и

выборочное стандартное отклонение. Частотное распределение всех 2118760 выбо-

рочных средних представляет выборочное распределение средних выборок по 5

единиц из этой совокупности. Точно также полз^ение всех выборочных стандарт-

ных отклонений дает выборочное распределение выборочных стандартных откло-

нений для выборок размером 5 единиц из совокупности. Если 50 единиц могут

быть разделены, например, на хорошие и плохие, тогда можно вычислить долю

хороших единиц в каждой выборке из 5 единиц и получить графики выборочного

распределения выборочных долей хороших единиц. Каждое из этих распределе-

ний будет отличным. Формы будут зависеть от совокупности, размера выборки и

от статистики, которую мы измеряем. Пример, приведенный ниже, иллюстрирует

сказанное для совсем малой совокупности.

О Пример 4.1. Имеется конечная совокупность, состоящая из 6 чисел: 4, 8, 12,

16,

20, 24. ..

Построим выборочное распределение на основе выборок по два числа, вычис-

ляя по каждой из них выборочную среднюю в качестве статистики, получим:

С2 =

различных выборок.

Решение

Возможные

выборки размера

п = 2

8, 12

8, 16

8,20

Таблица 4.1. Выбс

Выборочная средняя х

Сл,

+х^/2

•рочные средние, п*

Возможные

выборки

размера

п = 2

8, 24

12,

12,20

12.24

16,20

16.24

20,24

•2

Выборочная

средняя х

= (х, +х^/2

Гл.

Выборка

выборочные распределения

121

Получаем выборочное распределение средних этих выборок:

Таблица 4.2. Выборочное распределевне

Выборочная

средняя,

размер выборки п = 2

Итого

Частота,

Хотя выборочное распределение могло бы быть построено для любой статистики,

ниже будет показано, что два из них наиболее полезны

—

выборочно^ распреде-

ление выборочных средних и выборочное распределение выборочных дисперсий.

Статистическая процедура, которая рассматривается в следующих главах,

направлена на установление связей между выборочным распределен»**** и гене-

ральной совокупностью. В этой книге мы не пытаемся дать полное теоретическое

обоснование этих соотношений, однако, выборка позволяет сделать те заключения,

которые нам необходимо использовать. Как только соотношение межцу выборочным

распределением и генеральной совокупностью установлено в целом, мы можем

взять одну единственную выборку и использовать выведенное соотношение для

того,

чтобы сделать заключение о неизвестной генеральной совокупности, из

которой эта выборка была взята. Во всех случаях мы предполагаем, что генеральная

совокупность является нормальной или приблизительно нормальной и что требуемые

выборочные статистики известны. Таким образом мы можем, например, определить,

что генеральная с(>едняя ц вероятно равна какому-то значению или то, что она лежит

в определенных пределах, которые мы ожидаем с учетом ее дисперсии а •

4.4.1.

Выборочное распределение выборочных средних

Предположим, что мы хотим узнать среднее значение некоторой характеристики

генеральной совокупности, например, средний рост десятилетних детеЙ| среднюю

заработную плату конторских работников в текстильной промьш1ле**и''*^'''и или

средний диаметр производимых стальных шайб. Эти генеральные средние могут

быть оценены по выборке. Если исходная, или генеральная совокупность нормаль-

но распределена, то выборочное распределение выборочных средних также будет

иметь нормальное распределение. Даже для ненормального распределения гене-

ральной совокупности, если выборка большая по размеру (п ^ 30), выборочное

распределение выборочных средних будет иметь приблизительно нору*альное рас-

пределение. Этот очень важный вывод основан на центральной предельной теореме.

122

Ч. 2. Анализ данных как составная

часть

принятия решений

Это позволяет нам использовать здесь все идеи о нормальном распределении,

стандартизованных таблицах и г величинах, сформулированных в 2.7.

По выборочному распределению мы можем вычислить среднее значение всех

выборочных средних. Оно представляет собой математическое ожидание выборочной

средней:

Если генеральная совокупность является нормальной, то математическое ожи-

дание выборочной средней есть ни что иное как генеральная средняя ц, т.е.

Е(х)

ц.

Это равенство справедливо только в том случае, если формирование выборки

производилось случайно. В этом случае средняя, полученная по выборочному

распределению, называется несмещенной оценкой генеральной средней (средней

по совокупности). Пример 4.2 показывает, что это может быть верно и для

ненормальной совокупности.

О Пример 4.2. Обратимся к примеру

4.1.

Выборочное распределение выборочных

средних при П'°2 следующее:

Таблица 4.3. Вычмслеине Е (х)

Выборочная средняя,.

Итого

Частота,

210

Математическое ожцфцше, получошое по выборочному распределашю, составляет:

.f=14.0.

Данные совокупности: 4, 8, 12, 16, 20 и средняя по совокупности равна:

ц = (4 + 8 + 12 + 16

20 + 24)/6

84/6 = 14.0.