Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

Статистический

вывод J 143

где

Z ц

^2 ~ величина стандартизованной нормальной переменной, выше которой

лежит (а/2) 100% выборочного распределения.

LJ Пример S.5. В ходе аудиторской проверки фирмы была проведена случайная

выборка записей по счетам. Из выборки и = 500 записей 10 содержали некоторые

ошибки в самой записи или процедуре. Требуется оценить с вероятностью 95%

доверительный интервал для доли ошибок во всей генеральной

савакутюсти.

записей.

Решение

Поскольку пр = 10 и п(1-р) = 490 больше 5, то может быть использована

нормальная аппроксимация для биномиального распределения. Так как доля

оошбок генеральной совокупности р неизвестна, то стандартная оншбка выборочного

распределения должна быть оценена с псжощью выборочной доли р. Доверительный

интервал с вероятностью 95% для генеральной доли может быть записан как:

где 1,96

—

величина стандартизованной переменной г, которая включает 95%-ное

стандартное нормальное распределение

р = 10/500 = 0,02.

Поэтому

SE^

V0.02 X

0,98/500

0,0063.

Следовательно, доверительный интервал с вероятностью

95%

составит:

0,02 ± 1,96

0,0063

= 0.02 ± 0,012.

На 95% мы уверены, что доля ошибок в записях на бухгалтерских счетах, в

генеральной совокупности р находится в пределах между

0,008

и 0,032.

Отклонение ± 0,012 в величине доли составляет приблизительно 60% выбо-

рочной доли, равной 0,02. Это много и, следовательно, выборочная доля является

ненадежной оценкой генеральной доли.

О Пример 5.6. Проведена случайная выборка личных заемных счетов в банке.

Из а = 1000 отобранных счетов 60 оказались с задолженностью по возврату ссуды

сроком до трех месяцев.

Найдем доверительный интервал с вероятностью 90% для доли счетов в

генеральной совокупности р, которые имеют задолженность до трех месяцев.

Если банк насчитывает 30000 личных заемных счетов, каков доверительный

интервал с вероятностью 90% для числа счетов, имеющих задолженность до трех

месяцев?

Решение

Доверительные границы — это значения фаниц доверительного интервала.

Так как пр = 60ип(1-р) = 940 (больше 5), может быть использована

144 Ч. 2. Анализ данных как составная

часть

принятия решений

нормальная аппроксимация. Поскольку соответствз'юшая генеральная доля р неиз-

вестна, то стандартная ошибка выборочного распределения должна быть оценена на

основе выборочной доли р . Выборочная доля интересующих нас счетов равна:

р = 60/1000 = 0,06;

соответственно,

SE^

= V

- р )/п =

0,06

0,94/1000

0,0075.

Доверительный интервал с вероятностью 90% для генеральной доли находится

следующим образом:

р ± 1,645 SE^,

где ± 1,645 — величина стандартизованной нормальной переменной z, которая

включает 90%-ное распределение. Следовательно,

0,06 ±1,645x0,0075 = 0,06 ± 0,012.

Пределы доверительного интервала (доверительные границы) составили:

0,06 + 0,012 = 0,075;

0,06-0,012 = 0,048.

Если общее числа счетов равняется 30000, то доверительный интервал .с

вероятностью 90% для числа интересующих нас счетов:

30000 (0,06 ±

0,012)

= 1800 ± 360.

Следовательно, на 90% мы уверены, что число счетов, имеющих задолженность

до трех месяцев, лежит в пределах между 1440 и 2160.

5.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СООТВЕТСТВУЮЩЕГО ОБЪЕМА ВЬ1Б0РКИ

При рассмотрении предыдущих вопросов в этой главе мы предполагали, что

размер выборки задан. Формула доверительного интервала может быть использо-

вана для определения подходящей величины выборки. Но сначала мы должны

принять несколько решений, например, какой уровень доверительной вероятности

должен быть использован: 90%, 95 или 99%? Нам также необходимо знать, выбрав

доверительную вероятность и уровень значимости, какую ширину доверительного

интервала мы хотим принять: ± 2 г

—

для средней, ±

для доли или 5 мм для

стандартного отклонения, например.

Если а или р нам уже известны, то тогда можно рассчитать требуемую

величину объема выборки. Однако обычно этого не бывает и мы должны оценить

Гл.

Статистический

вывод 1 145

а или р. Для этого мы либо указываем их величины, используя некоторые

прежние знания, либо проводим пробную выборку и используем ее для оценки а

или р. В следующих разделах будем использовать выборочные данные прошлых

примеров главы, рассматривая их как предварительные выборки.

5.4.1.

Объем выборки, необходимый для оценки генеральной средней

LJ Пример 5.7. В примере 5.1 по выборке а

50 упаковок чая был определен

средний вес х = 128,5 со стандартным отклонением в генеральной совокупности

о = 10 г. Доверительный интервал при 95%-ной вероятности: 128,5 + 2,77 г.

Найдем объем выборки п с вероятностью

95%

при доверительном интервале,

равном ± 2,0 г для генеральной средней.

Решение

Размах доверительного интервала:

Для решения задачи, в которой доверительная вероятность равна

95%,

требуется,

чтобы:

Следовательно,

Отсюда

1,96х-Ш^2г.

г- ^ 1,96

10 --

\п г

——2

= 9.8

тогда п 2 %.

Объем выборки п должен быть увеличен с 50 до 96 упаковок чая для того, чтобы

сузить довер{ттеш>ный интервал при постоянной вероятности

95%

or ± 2,77 г до ± 2,0 г.

О Пример S.8. В примере S.3 мы имели п = 25 пакетов яблок со средним

значением веса пакета в выборке х = 1020 г и стандартным отклонением s = 12 г.

Доверительный интервал с вероятностью 95% равнялся ± 5,06. Каким должен

быть объем выборки, если мы хотим определить доверительный интервал среднего

веса пакета с вероятностью 99% и отклонением, равным ± 5,0 г,

Решение

Размах доверительного интервала:

x±t„/2,(„-„;^To

должен быть меньше, чем ± 5 г.

Мы используем стандартное отклонение предварительной (или пробной) выбор-

ки,

равное 12 г для оценки s, т.е. стандартное отклонение планируемой выборки.

146 Ч. 2. Анапиз данных как составная

часть принятия

решений

К сожалению, величина t, которую мы хотим использовать, t o,oos,

-1)>

зависит от объема выборки, и мы не можем знать п, пока не рассчитаем его

величину. Мы игнорируем эту проблему на данный момент, просто отметив, что

наша оценка п вероятно является большой, и мы используем 10,00s, (n -1) ~ 2,797.

Сделав подстановку, имеем:

2.797x12

Отсюда

V(H^-T г (12,797

12)/5 = 6,71.

Следовательно,

п-t i 45,1,

тогда: п ^ 46,1.

Оцененный объем выборки будет по крайней мере равняться

с вероятностью

99%

для величины доверительного ингервала ± 5 г.. Если мы хотим быть

более

точными,

то

можем теперь пересчитать п с учетом числа степеней свободы, или, поскольку мы

теперь знаем, что размер выборки, вероятно, больше 30, можем использовать

величину

вместо величины t. Заменив t величиной

доз = 2,576, получим:

2,576

12 ^ ^

Чп - 1)

Отсюда

п-1 2 38,2.

Следовательно, п

39,2.

Итак, требуемый объем выборки после корректировки равен 40 единицам и 47

единицам

—

без корректировки.

5.4.2. Объем выборки, необходимый

для

оценки генеральной доли

О пример S.9. Используя данные примера Ъ.Ъ, в котором аудитор провел

выборку 500 записей для оценки доли ошибок, определим,какую выборку прове-

дет аудитор, если он хочет быть в пределах

0,005

генеральной доли с доверитель-

ной вероятностью 95%. Доля ошибок в первоначальной выборке была равна 0,02

с доверительным интервалом +0,012 с вероятностью 95%.

Решение

Размах доверительного интервала для доли:

Его величина может быть найдена по следующей формуле:

Гл.

Статистический вывод

1 и?

Аудитору требуется, чтобы размах доверительного интервала с вероятностью

95%

для доли максимально достигал ± 0,005. Поэтому необходимо, чтобы:

,,9e%rOIZI)^o,

005

Используя данные предыдушей выборки, мы можем установить, что р = 0,02

и решить неравенство для п:

Отсюда

Следовательно,

.ДЖ^^Ж, 0.005.

1,96^x0.02x0,98^ г

1,96^

0,02

0,98 ,

5 Ь

0,005^

тогда п 2 3012.

Если аудитор хочет объяснить пределы генеральной доли

0,005

с доверитель-

ной вероятностью 95%, объем его выборки должен быть не меньше 3012.

Если

мы

не учитываем данные первоначальной выборки, то должны предполо-

жить разумную величину выборочной доли р. Если оценить ее равной 0,03, то

тогда требуемый размер выборки изменится: п = 4500. Поскольку наблюдаемая

доля ошибок очень мала, то маленькое абсолютное изменение от 0,02 до 0,03

приводит к большой разнице в требуемом объеме выборки.

РЕЗЮМЕ

Информация, полученная по простой случайной выборке, произведенной из нор-

мальной генеральной совокупности, используется для вывода о среднем значении

или доли исходной генеральной совокупности. Доверительный интервал с вероят-

ностью 95% позволяет нам быть на 95% уверенными, что параметр генеральной

совокупности лежит в пределах доверительного интервала, соответственно. В 5%

случаев мы можем ошибаться, и параметр лежит вне интервала. (1 - а) 100%

доверительные интервалы рассчитываются по следующей формуле (используем

стандартное

z и

t-выборочные распределения, приведенные

табтпщах Приложения 2):

Доверительный интервал для генеральной средней ц при известной <г:

х±г„

^^1^-

148 Ч. 2. Анапиз данных как составная часть принятия решений

Доверительный интервал для генеральной средней ц при неизвестной (Г:

^±t„/2,(„.,) :^=^ или X±t„/2,(„_,) ;|=.

В соответствии с центральной предельной тео()емой эта формула также применима

в случае ненормальной генеральной совокупности при объеме выборки п ^ 30.

Доверительный интервал для генеральной доли р, когда и пр ^ 5 и п (1-р) ^ 5:

Р ±z<,/2

V ft (t - И.

На основе этих формул может быть рассчитан объем выборки п, требуемый

для построения доверительного интервала определенной ширины; также может

быть найден уровень значимости. Решение этих задач предполагает, что о

известна или мы можем оценить её с помощью s или р из первоначальной выборки.

УПРАЖНЕНИЯ

Упражнение 5.1

'Машина распределяет жидкий шоколад в формы для получения шоколадных

плиток. В течение длительного периода времени вес шоколада в формах соответ-

ствовал нормальному распределению со стандартным отклонением 2,5 г. В порядке

качественного контроля была проведена случайная выборка 15 плиток из готовой

продукции и произведено их взвешивание. Средний вес плитки в выборке оказался

равным 99,5 г. Найдите доверительный интервал с вероятностью

95%

для истинного

среднего значения веса шоколадной массы, распределенной в формы.

Упражнение 5.2

Определенный компонент в цепи транзистора имеет срок службы, который придер-

живается приблизительно нормального распределения. Случайная выборка 50

компонентов из недельного выпуска показала, что средний срок службы равен 840 ч

со стандартным отклонением 22 ч. Найдите доверительный интервал с вероятностью

99%

для среднего срока службы генеральной совокупности элементов.

Упражнение 5.3

Управляющий по качественному контролю в фирме, выпускающей электрические

лампочки, хочет узнать средн1^( срок службы (время горения) отдельного вида

лампочек. С этой целью случайная выборка 75 лампочек была испытана на

продолжительность горения. Средняя выборочная равняется 2920 ч со стандартным

отклонением 400 ч.

Определите:

Репрезентативна ли выборка (дает ли среднее значение выборки хорошую

оценку среднего значения генеральной совокупности)?

Гл.

Статистический

вывод I 149

Что нужно сделать управляющему для оценки среднего срока службы лампочки

генеральной совокзтшости в пределах ± 50 ч при доверительной вероятности 95%?

Упражнение 5.4

Случайная выборка 800 домохозяек в центре города, проведенная утром, показала, что

480 из них хотели бы, чтобы торговый центр города был свободен от транспорта.

Определите доверительные пределы с вероятностью 90% для доли всех домо-

хозяек в городе, кто хотел бы, чтобы торговый центр был свободен от транспорта.

Упражнение 5.S

Мисс Сэлли Бриге работает менеджером по продаже кондитерских изделий. При

изучении случайной выборки 200 выпусков в Уэльсе она обнаружила, что для 50

из них желательно изменение ассортимента продукции.

Требуется:

i. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли потребителей в Уэльсе,

которые будут брать новый вид продукции.

Мисс Бриге наметила провести такое же обследование в Шотландии и решила

достичь оценки доли потребителей новой продукции в пределах ± 4%. Насколько

большой должна быть выборка в Шотлацдии? Предполагается, что она опреде-

ляет доверительный интервал с вероятностью 95%.

Упражнение S.6

Компания "Jones" торгует в розницу модной одеждой для мужчин и женщин через

сеть 20-ти фешенебельных магазинов в Англии и Уэлсе.

"Jones"

собирается выпустить свои собственные кредитные карточки. Как

часть осуществляемых предварительных работ компания провела опрос своих

покупателей в магазине на Оксфорд-стрит в Лондоне в порядке случайной выборки.

Из выборки 80 покупателей 32 покупателя изъявили желание приобрести такую

кредитную карточку. Эти 32 чел. были затем снова опрошены, чтобы определить,

сколько бы они приобрели, используя кредитную карточку. По 32 ответам средняя

сумма составила 450 ф. ст. со стандартным отклонением 150 ф. ст.

Требуется:

Найти 95%-ный доверительный интервал для доли всех покупателей, кто бы

хотел приобрести кредитную карточку.

Найти 95%-ный доверительный интервал для средней суммы возможных приобре-

тений по кредитной карточке.

После такого локального опроса компания намеревалась провести его вторично

по всей Англии и Уэльсу.

Какого размера должна быть выборка, если компания хочет оценить с ошибкой

не более 5% долю покупателей, которые приобрели бы кредитную карточку, и

оценить среднюю сумму кредита в пределах +20 ф. ст. (в обоих случаях

принимается 95%-ный доверительный интервал).

Укажите причины того, что результаты всеобщего опроса будут отличаться от

результатов опроса в магазине на Оксфорд-стрит.

ISO Ч. 2. Анализ данных как составная

часть

принятия решений

Упражнение S.7

Производитель электрических и других комплектующих изделий компании

"Tauras Ltd" в течение определенного периода исследовал стоимость сборки

одного из ведущих видов продукщ1и. По данным прошлого опыта, было установ-

лено,

что среднее время сборки этого изделия составляет 90 мин. Однако главный

инженер утверждал, что процедура сборки может быть улучшена. Он изобрел

новый метод сборки, назначил случайно отобранных рабочих для проведения

испытания. Продолжительность сборки 10 изделий новым методом составила

(мин):

79 74 112 95 83 96 77 84 70 90

Рассчитайте несмещенную оценку средней и стандартного отклонения для

времени сборки продукции при использовании нового метода.

Ободренный результатами главный инженер зафиксировал время сборки следу-

ющих 30 изделий. Несмещенная оценка средней и стандартного отклонения для

этих 30 наблюдений составила 84,0 и 14,65 соответственно. Объединяя первую

и вторую выборки, по 40 изделиям найдите несмещенную оценку генеральной

средней и стандартного отклонения и определите доверительный интервал с

вероятностью 95% для среднего времени сборки.

Рассчитайте наименьший общий размер выборки, необходимый для получения

среднего значения генеральной совокупности в пределах трех минут с довери-

тельной вероятностью 95%.

Прямая оплата труда, включаемая в затраты, составляет 8,70 ф. ст. в час. Если

стоимость сборки оценивается в 20000 ф. ст., то определите на основе данных

выборки сумму экономии компании за счет использования нового метода сбор-

ки при условии, что компания будет продавать 50000 изделий этого вида.

Упражнение 5.8

Компания "Martin Electronic Controls Ltd" является мелким производителем

электронных компонентов и специализируется на промышленном контрольном

оборудовании. Используя внешний аудит, главный бухгалтер компании решил

предпринять выборочную проверку и выбрал 18 из 1200 компонентов продавав-

шихся в прошлом месяце для того, чтобы иметь представление об общем объеме

реализаций. Стоимость отобранных компонентов следующая (ф. ст.):

160

100

116

150

200

140

(Заметим, что 2^

= 1800 и ]^ х^ = 207200).

На основе выборки п найдите <щенку общей величины стсжмости всех ко14понентов.

Найдите пределы доверительного интервала с вероятностью 95% для общей

стоимости всех компонентов.

Сколько компонентов должен исследовать внешний аудитор, если он захочет, чтобы

его оценка общей стоимости 1200 компонентов была в пределах ± 5000 ф. ст.

151

В а

6. СТАТИСТИЧЕСКИЙ

ВЫВОД

ИСПЫТАНИЕ ГИПОТЕЗ

6.1.

ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с правилами фасовочная машина должна быть установлена так,

чтобы при расфасовке каждый пакет в среднем имел определенный вес. Произво-

дитель понимает, что с момента установки машины, средняя наполняемость пакета

вряд ли останется постоянной — вполне вероятны изменения в весе расфасовок.

СЗтклонения от нормы будут возрастать по мере износа машины. Для сохранения

контроля над процессом расфасовки может быть взята выборочная совокупность

фасовки и определена средняя наполняемость. Как мы уже видели в гл. 5, одним

из направлений анализа является использование выборочной средней для построения

доверительного интервала для генеральной средней наполняемости.

Можно также использовать испытание гипотез для оценки того, удовлетворяет

. ли производителя работа машины. В этом случае производитель придерживается

мнения или гипотезы о среднем достаточном количестве. Тогда он использует

среднюю выборки как основание для подтверждения или не подтверждения его

мнения. На основании выборки производитель решает, насколько это мнение или

гипотеза верна.

Если кость была брошена 102 раза, то в среднем 17 результатов будут

"шестерками" (102:6=17). Предположим, что мы бросили кость 102 раза и выпало

20 "шестерок". Можем ли мы автоматически предположить, что на таком вьшадении

"шестерок" сказалось влияние какого-то фактора?

Поскольку при бросании кости результат является случайным, 17 "шестерок"

не будут получены в каждом испытании из 1.02 раз. Поэтому вопрос состоит в том,

сколько "шестерок" мы можем получить, чтобы с достаточной уверенностью

сказать, что этот результат не случаен. Ясно, что если все 102 выбрасывания дали

"шестерки", мы могли бы быть уверены, что этот результат не случаен. Где можно

провести черту между результатом, свойственным случайной природе эксперимента с

правильной костью, и результатом не случайным, свойственным неправильной

кости? Соответствующее испытание гипотез или, как часто называют, испытание

значимости, даст нам возможность прийти к решению такого рода проблем. Такие

испытания проводятся на основе определенных правил и базируются на суждении

лица, принимающего решения. Мы никогда не бываем абсолютно уверены в

подтверждении правильности выдвинутой гипотезы, мы просто делаем оценку,

насколько вероятно то, что гипотеза верна.

152 Ч. 2. Анализ данных как составная

часть

принятия решений

6.2. ПРОЦЕДУРА ИСПЫТАНИЯ ГИПОТЕЗ

Для оценки доказательств выборки мы должны формулировать наши гипотезы

так, чтобы можно было использовать известное вероятностное распределение.

Такая исходная гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Н^. Нулевая

гипотеза всегда формулируется для утверждения того, что выборочная статистика

согласуется с принятым параметром генеральной совокупности. Сформулировав

нулевую гипотезу, мы исследуем выборку для того, чтобы увидеть, согласуется ли

она с этой гипотезой. Заметим, что для обеспечения как можно большей объектив-

ности важно, чтобы гипотеза формулировалась до того, как собираются данные.

Весь спектр возможных результатов, обычно подразделяется на три категории:

1) доказательство согласуется с нулевой гипотезой;

2) доказательство не согласуется с нулевой гипотезой;

3) доказательство является неубедительным, поэтому требуется больше данных

для принятия решения.

Если результат соответствует категории 1, то решением будет принятие нулевой

гипотезы как наиболее верной. Предполагается, что различие между величиной

выборочной статистики и параметром генеральной совокупности объясняется слу-

чайной вариацией, свойственной выборочному исследованию.

Если результат соответствует категории 2, то решением будет отклонение

нулевой гипотезы, как, вероятно, неверной. Предполагается, что различие между

выборочной статистикой и параметром генеральной совокупности ке объясняется

случайной выборочной вариацией. В этом случае принято применять альтернативную

гипотезу. Испытание гипотез не включает доказательство согласования выборки с

альтеративной гипотезой. При применении альтернативной гипотезы, мы можем

предположить, поскольку нулевая гипотеза оказалась неприемлемой, что взамен

нулевой гипотезы следует использовать альтернативную гипотезу. Мы не привод^им

какое-либо статистическое доказательство правильности нашего предположения.

Альтернативная гипотеза обычно обозначается Hj, как и

HQ,

она должна быть

сформулирована в самом начале исследования.

Например, машина изготавливает металлические диски. Она установлена так,

что средний диаметр дисков равен 2,0 см. Выборка из партии дисков показала

средний диаметр, равный 2,3 см.

Вопрос состоит в том, правильно ли все еще настроена машина?

Нулевая гипотеза предполагает, что машина настроена все еще правильно и

выборочная средняя согласуется с выборкой, взятой из нормальной генеральной

совокупности со средним значением, равным 2,0 см. Если при испытании

гипотезы мы обнаруживаем, что данные выборки не согласуются с нулевой

гипотезой, то тогда мы должны решить, какое примем альтернативное заклю-

чение. Альтернативной гипотезой может быть просто предположение, что среднее

значение генеральной совокупности не равняется 2,0 см, а также альтернативной

гипотезой может быть предположение, что генеральная средняя больше, чем

2,0 см. Лльтеранативная гипотеза определяет точные условия испытания

нулевой гипотезы. Отмеченные две формулировки Hj можно записать следую-

щим образом: