Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

6. Статистический вывод 2: испытание гипотез

163

стандартной ошибкой (а/^Ш) ч. Поскольку о неизвестна, то для испытания

гипотезы используем стандартное t-распределение с числом степеней свободы, рав-

ным (10—1) 9. Примем решение при 5%-ном уровне значимости. Используя

таблицы t-распределения (Приложение 2), находим, что

<<>

os/2,9 равняется ± 2,26.

Граничные величины стандартного распределения показаны на рис. 6.7.

Отклонвни* Но

А к

Принятие Но Отклонение Но

*! •

I - -3,0 t - -2,26 t- 2,26

t-роспредвлвние

с числом степеней

свободы, ровным 9

Рис. 6.7. Грашшше авачешш t при 3%-ном уровне знжчниостн

Теперь проверочной статистикой является t:

x-u х-

o/Vn

SE= о/

В разделе 4.4.3 было показано, что:

Поэтому:

Следовательно,

' л1 п

о= V S

п- 1

^^«'vs'-^^^'^rn-

. 1410 - 1500 _.

t • х:—тгг::—гг = -3,0 .

90 /(10 - 1)

164

Ч.

2. Анализ

данных

как

составная часть принятия решений

Проверочная статистика —3,0, меньше граничной величины —2,26. Это озна-

чает, что:

Р (стандартизованная переменная < —3,0) < 025.

Результат значим на

5%-ном

уровне. Поскольку результат является значимым,

мы заключаем, что имеется резонное основание считать, что выборка не согласует-

ся с нулевой гипотезой. Мы отклоняем эту гипотезу. Вероятность появления

выборочной средней равной 1410 ч или менее, из-за случайностей отбора при

выборке величиной 10 единиц,

вэягтой

из нормальной генеральной совокупности со

средней 1500 ч, меньше чем 5%. Мы верим, что выборка не была взята из такой

генеральной совокупности. Средний срок использования лампочек изменился.

О Пример 6.6. Компания упаковывает сахарный песок в пакетики, на которых

указан вес 250 г. Компания утверждает, что среднее содержимое пакетиков не

меньше 250 г (ц). Служащий Министерства торговых стандартов посетил фабрику

компании с целью проверки этого утверждения. Он отобрал в случайном порядке

8 пакетов п и взвесил содержимое. Результаты оказались следующими:

Таблица 6.1. Вес случайяо выбранных 8 вакетоа

Номер пакета

Вес, г

12 3 4 5 6

247 252 248 253 246 245

248

250

Какое заключение может хделать представитель Министерства торговых стан-

дартов на основе атой выборки? (Предполагается, что вес пакетиков с сахаром

нормально распределен).

HQ:

Выборочная средняя согласуется с выборкой, взятой из нормальной

генеральной совокупности со средней ц •• 250 г.

Н):

Выборка взята из распределения со средней меньшей, чем 250 г, то есть

ц<250г.

Из Но следует, что выборочное распределение выборочных средних является

нормальным распределением со средней 250 г и стандартной ошибкой (a/VS) г.

Из Н] следует, что мы будем использовать испытание с одной границей. Рассчи-

таем выборочную среднюю х и стандартное отклонение s:

j.If.iM?.248,6r.

n б

а ш

У ^^ - ®^ -

2,643

г.

Поскольку а неизвестна, для испытания гипотезы используем стандартное

t-распределение с числом степеней свободы (8 1)=7. Примем решение относительно

нулевой гипотезы на

1%-ком

уровне значимости. Используя таблицы t-распределе-

ния из Приложения 2, находим, что to

oi,7."

—3,00. Граничные значения показа-

ны на рис. 6.8.

Гл.

Статистический вывод

испытание гипотез 165

Огклонфнм*

Но

Приншм*

Но

Ьрослрфмтни*

с числом CTflWWM

скободм, роммм 7

- -3.0 t - -МО

Рис. 6.8. Кр«яческое пичеяме

на

1%-яои

уровне аиачююстя

Проверочная статистика

рассчитывается также, как

раньше:

Следовательно:

SE;

s/Vn '

. 248.6-250

...

'-2.643>V(8-l)°-^''°

Проверочная статистика, —1,40, больше граничной (критической) величины

-3,00.

Это означает,

что

Р (стандартизованная переменная

1,40)

0,01.

Результат не <7Щвственен

на

1%-ном

уровне. Посколы^ результат не существенен,

мы принимаем нулевую гипопезу на атом уровне

Вероятность появления величины

выборочной средней 248,6

г или

меньше из-за колебаний случайной выборки

объемом

единиц, взятой

из

нормальной генеральной совокупности

со

средней

250

г,

больше чем

\%. И,

таким образом, мы утверждаем, что выборка была взята

из такой генеральной совокупности. Утверждение компании, что сахар расфасован

в пакетики

по

2S0

г,

верно.

6.5. ИСПЫТАНИЕ ГИПОТЕЗЫ НА ОСНОВЕ ВЫБОРОЧНОЙ ДОЛИ

Рассмотренная процедура испытания гипотез может быть также использована для

проверки гипотезы

выборочной доле. Доля имеет биномиальное распределение,

но при большом объеме выбс^яси может быть использовано нормальное распределение

в качестве аппроксимации биномиального.

166

Ч.

Анализ данных

как

составная часть пршиипия решений

О Пример 6.7. Поставщик электронных компонентов производит продукцию,

которая иногда сразу отказывает. Он попытался контролировать производственный

процесс так, чтобы доля неисправной продукции была меньше, чем 4%. Из

поставляемой партии 500 компонентов 28 оказались неисправными. Имеется ли

какое-нибудь основание предполагать, что производственный процесс вышел из

под контроля и производится много неисправных изделий?

Решение.

Но'.

Доля неисправных компонентов в произведенных изделиях равна 4%, то

есть р=0,04.

Н^: Доля произведенных неисправных компонентов возросла, то есть р > 0,04.

Из Н] следует, что мы будем проводить испытание с одной границей. Объем

выборки из 500 компонентов большой, поэтому

мы

аппроксимируем биномиальное

распределение посредством нормального распределения. Выборочное распределение

выборочных долей будет приблизительно нормальным со средней долей р = 0,04.

Стандартная ошибка выборочного распределения равняется:

SE.

>/ЖЕЖ

. .(Ш^ ^

0,00876.

Р П ЭТО

Доля дефектов в выборке равняется: р = 28/500 ~ 0,056.

Будем испытывать

на

1%-ном

уровне значимости. Критическое значение

стандартизованной нормальной переменной z = 2,33.

Приниш*

Но

Опиюнани* Но

Ноблюйстмох иличино г - 2,24 г - 3,0?

> 2

Стачюртноа ошибке

(отклонение) от ft

Рис. 6.9. Критическое аначенне z на

1%-иои

уровне зиачимости

Гл.

б. Статистический вывод 2: испытание гипотез 167

Проверочная статистика:

Р-Р

Следовательно:

*" SE; •

, _ 0,056 - 0.04 . --

^~ 0,00876 ='•'"•

Проверочная статистика меньше критической величины на

1%-ном

уровне.

Результат не существенен на уровне 1%: Р (z > 1,83) > 0,01. Выборочная доля

дефектных компонентов 0,056 может быть получена в результате случайностей

выборки.

Следовательно, мы принимаем нулевую гипотезу на

1%-ном

уровне значимости.

Нет оснований предполагать, что производственный процесс вышел из под контроля

и дает дефектов больше 4%.

Мы рассмотрели последовательность статистического вывода по одной выборке —

сравнение выборочной статистики с предполагаемьш параметром генеральной

совокупности. Теперь мы должны рассмотреть ситуации, в которых имеются две

выборочные совокупности, которые необходимо сравнить. В следующих разделах

рассмотрим применение испытания гипотез при сравнении двух выборочных

статистик.

6.6. ИСПЫТАНИЕ ГИПОТЕЗ О ДВУХ ГЕНЕРАЛЬНЫХ

ДИСПЕРСИЯХ

Существует много ситуаций, в которых вариация данных важна не менее, чем

средняя величина. Когда мы оцениваем портфель инвестиций, то исходим из

ожидаемой прибыли, но, в то же время нельзя сбрасывать со счетов риск инвести-

рования. Такой риск может быть оценен на основе дисперсии возможной прибыли

инвестиций (см. раздел 3.3). Предположим, что у нас имеются две независимые

выборки и мы хотим знать, взяты ли они из нормальных генеральных совокупностей

с одинаковой дисперсией. Например, предположим, что компания производит

определенный элемент на двух автономных производственных линиях — Л и В.

Характеристики обеих линий одинаковые. Как определить, одинакова ли вариация

продукции на этих линиях? Ответ на этот вопрос можно получить сравнив дисперсии

случайных выборок, взятых из продукции первой и второй линий, используя

соответствующую процедуру испытания гипотез. Так же можно сравнить риск

двух различных инвестиционных портфелей. Сравнение дисперсий фактической

прибыли, полученной в прошлые годы, даст возможность принять решение.

6.6.1.

Отношение дисперсий или F-критерий

В разделе 4.4. было показано, что отношение двух дисперсий подчиняется распре-

делению F-статистики:

168 Ч. 2. Анализ данных как составная

часть

принятия решений

F^-'

Поскольку лучшая оценка дисперсии генеральной совокупности вычисляется

по формуле:

п - 1

то

П, sj

(П2

- 1)

F-

(П,

- 1) П2 ^

Нулевая гипотеза предполагает, что две выборки независимы и взяты из

нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, of = оз- В

этом случае F равно 1. Из теории испытания гипотез мы знаем, что если даже

нулевая гипотеза верна, то маловероятно, что щ имеет точно такое же значение,

что и 02 из-за колебаний отбора. Следовательно, маловероятно, что F-статистика

будет равна 1. Решением, которое мы собираемся принять, используя испытание

гипотез, является то, будет ли истинная величина F достаточно близка к 1 для

того,

чтобы подтвердить вероятность, vro выборочные совокупности были взяты

из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией. В этом

случае различие в значениях щ и о^ может быть отнесено к случайностям.

Как отмечалось в разделе 4.4.4, F-распределение зависит от числа степеней

свободы в обеих сравниваемых выборках. Когда мы производим оценку единст-

венного генерального параметра по выборке, то теряем одну степень свободы.

Таким образом, для каждой выборки остаются (п 1) степени свободы.

Для того, чтобы привести стандартную таблицу для F-распределения к более

удобному виду, даны только значения F ^ 1, то есть это

—

таблицы с одной

границей. Чтобы использовать эти таблицы при расчете F, делим большую

дисперсию на меньшую. Проверочной статистикой является:

(большая оцененная дисперсия) / (меньшая оцененная дисперсия).

О Пример 6.8. Биржевой маклер исследует две инвестиции

—

Л и В

—

от

имени клиента. Инвестиция А предполагается на срок 10 лет с ожидаемой

ежегодной прибылью в течение этого периода

17,8%.

Инвестиция В рассчитана на

срок 8 лет также с ожидаемой готовой прибылью

17,8%.

Дисперсии ежегодных

прибылей от двух инвестиций составляют

3,21%''

и 7,14%^. Есть ли какое-либо

основание считать, что риски инвестиций А и В неравны? Предполагается, что

распределения ежегодных прибылей на инвестиции подчиняются нормальному

распределению.

Гл.

6. Статистический вывод 2: испытание гипотез 169

Решение.

Дисперсии ежегодных прибылей могут быть использованы для определения

риска. Мы хотим знать, взяты ли эти две выборочные совокупности ежегодных

прибылей от двух инвестиций, из нормальных генеральных совокупностей с

равными дисперсиями. Поэтому:

Н©:

Од - <^.

Н,: Од * Од.

Будем испытывать нулевую гипотезу, используя F-критерий с двумя границами,

на 5%-ном уровне значимости. Это эквивалентно 2,5%-ному уровню значимости с

одной границей, поэтому мы используем а = 0,025 для определения критического

значения в таблице F. Лучшие вценки двух генеральных дисперсий могут быть

получены на основе выборочных дисперсий следующим образом:

о? = г

»А

"ТГ

3,21^

» 11,449 с 9 степенями свободы;

" Пд - 1 ** 9

Поскольку

3 = 7 *в " Т

7,14 « 58,2624 с 7 степенями свободы.

F = (большая оцененная дисперсия)/(меньшая (щененная дисперсия) = ^j .

Следует помнить, что при использовании стандартных таблиц значения F 2 1.

F-таблицы построены так, что степени свободы большей дисперсии (v)=7

степеней свободы) приводятся вверху таблицы, а степени свободы меньшей диспер-

сии (v2=9 степеней свободы) — по столбцу вниз. Используя 2,5%-ное табличное

значение F из Приложения 2, что эквивалентно 5%-ному уровню значимости с

двумя границами, с 7 и 9 степенями свободы, критическая величина равна:

Fo,os/2,7,9~*>197.

По данным выборки, проверочная статистика равна:

58,2624

^- 11.449 ^'*^-

Поскольку:

5,09 >

05/2,7,9.

170 Ч. 2.

Анализ данных

как

составная часть принятия решений

F(2,29) F - 4,197

Рис. 6.10. Критическая

величии*

Р-критерня

ва

5%-иои

уровне звачимости с двумя границами

результат существен на

5%-ном

уровне значимости. У нас есть основания

предполагать, что риски (определенные дисперсиями ежегодных прибылей) двух

инвестиций не равны.

Пример 6.9. Компания "POP" производит химический продукт X, используя

серийное производство. Имеются два разных способа производства, и дирекция

компании решила использовать тот способ, который дает более твердый продукт.

Твердость химического продукта X может быть оценена через его плотность. Чем

дольше процесс затвердевания, тем меньше будет вариация плотности.

Управляюишй производством компании провел П] •• 10 испытаний изделий,

изготовленных первым способом и получил стандартное отклонение для плотности

химического продукта, равное 4,1 единиц (s|). Затем он провел

П2

" 12 испьгганий

изделий, изготовленных вторым способом, и получил стандартное отклонение для

плотности химического продукта, равное 2,0 единицы ($2). Дает ли второй способ

действительно более твердое вещество, нежели первый способ? Предполагается,

что плотность химического вещества нормально распределена.

Решение

Нулевая гипотеза: выборки взяты из нормальных генеральных совокупностей

с равными дисперсиями. Твердость продукщга при обоих методах производства

одинакова:

Нд:

в)

••

oj ,

Н,:о?

>в2

Hj предполагает, что при втором способе

—

продукция более твердая при

наименьшей дисперсии. Н^ показывает, что мы должны применить испытание с

Гл.

6. Статистический вывод 2: испытание гипотез 171

одной границей. Будем испытывать нулевую пшоггезу на

1%-ком

уровне значимости.

Проверочной статистикой является:

Лучшие оценки генеральных дисперсий — это выборочные дисперсии:

ai • г

"7Г

* 4,1* » 18,68 с 9 степенями свободы;

' п, -

' 9

А А

Пч 7 12 9

•"2

" 7 ^ " ТГ " ^'^2 « 4,36 с 7 степенями свободы.

Используя табличное значение F-критерия из F-таблшда с одной границей при

уровне значимости 1% с 9 степенями свободы V| по столбцу (см. Приложение 2) и

11 степенями свободы V2 по строке, находим критическое значение:

^0,01.9.11-4,632

По данным выборки находим F-статистику:

F = 18,68/4,36 = 4,28 .

Поскольку:

4,28< Fo.01.9.11 = -^'бЗг ,

то результат не существенен на

1%-ном

уровне, т.е. на этом уровне значимости у

нас нет причины предполагать, что второй способ даст более твердое вещество, чем

первый.

6.7. СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН ДВУХ ВЫБОРОК

ПРИ ИЗВЕСТНЫХ ГЕНЕРАЛЬНЫХ ДИСПЕРСИЯХ

В разделах

6.3—6.5

мы имели дело с одной выборкой и оценивали, взята ли она

из нормальной генеральной совокупности. Теперь мы будем рассматривать ситуа-

ции,

в которых имеются две выборочные совокупности. Нужно определить, взяты

ли они из нормальных генеральных совокупностей с равными средними. Напри-

мер,

если аудитора удовлетворяет качество бухгалтерского учета в компании, он

может взять выборку счетов для оценки величины ошибки в генеральной совокуп-

ности. Если система учета продолжает действовать исправно, то вторая выборка

должна дать оценку величины ошибки генеральной совокупности, которая незна-

чительно отличается от первой.

Подобным образом случайная выборка даст возможность оценить среднюю

наполняемость соусом бутылок в генеральной совокупности. Если процесс разлива

и дальше функционирует исправно, то последующие выборки не должны дать

172 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия

решений

оценки средней наполняемости, которые бы значительно отличались от предыдущих.

Это очень важный аспект для контроля качества.

В обоих примерах, резонно заключить, что дисперсия генеральной совокупности

остается той же. Однако, если мы рассматриваем две различные производственные

линии наполнения соусом бутылок, то можем взять выборку из каждой линии для

того,

чтобы увидеть имеется ли значительная разница между средней наполняе-

мостью генеральных совокупностей одной и другой линий. В этом случае нет

основания предполагать, что две генеральных дисперсии равны между собой.

При неизвестных дисперсиях генеральных совокупностей процедура испытания

гипотез зависит от того, предполагается ли равенство дисперсий или нет. Однако

форма нулевой гипотезы остается той же во всех случаях. Для испытания гипотезы

по двум выборочным средним нулевая гипотеза предполагает, что две выборочные

совокупности взяты из генеральных совокупностей с равными средними.

Нд:

^i^

- ^2> 'Т-С- генеральные средние равны между собой.

Создается новая переменная, которая является разницей между выборочными

средними (х) - Х2) и сравнивается с предполагаемой разницей между генеральными

средними, то есть \i\- \i2'' ^-

^^сля

разница между выборочными средними незначи-

тельно отличается от нуля, то мы можем предположить, что нулевая гипотеза

приемлема. Если разница значительно отличается от нуля, то можем предполо-

жить, что нулевая гипотеза не приемлема.

Если О] и 0^ известны, то проверочная статистика следует нормальному

распределению и находится следующим образом:

5^1

^2)

(Ml

И2)

где:

*1 Т П) Dj

о Пример 6.10. Компания по производству сахарного песка имеет две произ-

водственные линии для наполнения мешочков сахарным песком по 1 кг (щ и Ц})-

Используя данные, собранные в течение долгого периода времени, управляющий

оценивает генеральное стандартное отклонение веса мешочков, поставляемых с

линии

в 0,02 кг (о|) и с линии 2 в 0,04 кг (ог). Из линии

была взята случайная

выборка объемом п,

•=

10 мешочков и найден средний вес содержимого в мешочках

Х| = 1,018 кг. Подобная выборка объемом п, = 12 мешочков была взята из линии

2 и найден средний вес Х2 ••

0,989

кг. Имеется ли какое-нибудь основание

предположить, что две производственные линии развешивают сахарный песок по

мешочкам, средний вес которых отличается?