Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

6. Статистический вывод 2: испытание гипотез 173

Решемие

Нулевая гипотеза предполагает, что две выборочные средние согласуются с

выборочными совокупностями, взятыми из нормальных генеральных совокупнос-

тей с одинаковой генеральной С1>едней.

Но:

Ц, =

^^2,

то есть ц, -

Ц2

Н,:

(1,

Ц2> ™

''^'*

М2

'^ •

Из Н| следует выбор испытания с двумя границами.

Поскольку генеральные дисперсии (.(Ц и (Т2 ) известны, мы испытываем

разницу между выборочными средними, используя нормальное распределение.

Проведем испытание на

1%-ном

уровне значимости. Из таблиц стандартного

нормального распределения в Приложении 2 находим граничную величину для

z: ± 2,576.

Отмюнани* Но

^ и

Прингт* Но

Опиюн«ние Но

*'. •

Сточюртноа ошибка

(отклонани*) от ц

Z,- -ifin

lP,l»7)

z,- 2^74

Рис. 6.11. Кртяческие значения г дяя

1%-ваго

уровня авачимости

Проверочная статистика

где

SF-

- =

равна:

z =

J±^

,л/

-*2

0,02^

0.04''

174 Ч. 2. Анааиз данных

кейс

составная

часть

принятия решений

Отсюда

(1,018-0,989)-О

0,0132

" ^•^^' •

Поскольку

2,197 < Zooi = 2,576,

результат не существенен на

1%-ном

уровне, т.е. нет основания отклонять Н^. Мы

предполагаем, что две производственные линии наполняют мешочки сахаром с

одинаковым средним весом.

О Пример 6.11. Несколько сезонов садовник выращивал два сходных сорта

крыжовника. Сбор урожая фактически был одинаков для обоих сортов с диспер-

сией 1,26 кг^ (aj() для сорта А и дисперсией 1,20 кг^ (о?) для разновидности В.

Затем он решил использовать новый участок для выращивания крыжовника, но он

не знает, будут ли почвенные условия воздействовать одинаково на оба сорта. Для

эксперимента садовник посадил 30 кустов (пл и пв) каждого сорта на новом

участке. Сорт А дал урожай в среднем 3,0 кг (хл) с куста, в то время, как урожай

сорта В составил в среднем 3,5 кг (хв) с куста. Есть ли какое-нибудь основание

предполагать, что на новом участке сорт Б имеет больший, в среднем, урожай, чем

сорт А?

Решение.

Нулевая гипотеза предполагает, что две выборочные совокупности взяты из

нормальных распределений с'одинаковой генеральной средней:

HQ:

ЙА

**В'

™

«=^

ЦА

>*в

= О

•

Н]-.

11А

Цв>

'^ ^*^^

*^Р^

В имеет в среднем больший урожай.

Это означает, что мы должны провести испытание с одной границей.

Поскольку генеральные отклонения известны, мы испытываем разницу между

выборочными средними, используя нормальное испытание. Будем испытывать на

5%-ном

уровне значимости. Из таблицы нормального распределения в Приложе-

нии 2 находим граничную величину для

ZQ^QS

равную

1,645.

Проверочная статистика

находится по формуле:

где

V^3.V1^T1#

0.286

кг.

-л 5 ПА ПВ

Отсюда

^^А-*»" '

ПА

"п„ ~ ' 30 " 30

Гл.

6. Статистический вывод 2: испытание гипотез

175

^ 0,286 •

Стандартная ошибке

{отклонвни*} от

Рис. 6.12. Критическое вначение величины z на 5%-ном уровне значимости

Поскольку:

1.746 < Zoos =1.645,

результат существенен на 5%-ном уровне. Имеется достаточно сильное основание

для утверждения, что выборочные характеристики не согласуются с Нд. Мы

отклоняем Нд и принимаем Н,. Вероятность получения разницы в значени$[х

выборочных средних в 0,05 кг или более из-за случайностей выборки, меньше, чем 5%.

Мы делаем вывод, что сорт В дает на новом участке больший урожай, чем сорт А.

6.8. ИСПЫТАНИЕ ГИПОТЕЗЫ ПО ВЫБОРОЧНЫМ СРЕДНИМ —

ГЕНЕРАЛЬНЫЕ ДИСПЕРСИИ НЕИЗВЕСТНЫ

В этом случае стандартная ошибка зависит от того, можем ли мы предположить,

что две генеральных дисперсии равны между собой?

Стандартная ошибка разницы между двумя выборочными средними находится

по формуле:

SE;,-..

176

Ч.

Анализ данных

как

составная часть принятия решений

Если о^ и

неизвестны, то они могут быть оценены посредством выборочных

дисперсий. Возможны два случая:

Если генеральные дисперсии равны между собой, то а] = di =

Тогда

SE=

V^3-aVT-r

t 2 0.•^ П2 nj U2

Лучшая оценка дисперсии достигается сложением двух выборочных дисперсий

(s^

и Sj) по сравнению с использованием одной или другой по отдельности.

Лучшая оценка генерального стандартного отклонения вычисляется по формуле:

(п,

+ п, - 2) •

Поэтому лучшей оценкой требуемой стандартной ошибки является:

SE=

•*2"

(п,+ П2-2) [п, ^njj '

где

2 2:(''-^

S •

с другой стороны, можно написать:

SEx.

_л/(''1-^)^^("2-1)^Г1 fn

•*1° (п,+П2-2) (п, ^njj'

где.

п-

Проверочная статистика для испытания гипотез на двух выборочных средних

не относится к нормальному распределению, но следует ставдартному t-распреде-

леншо с (п1 +112-2) степенями свободы. Это может быть записано следующим

образом:

Oil - Хг) -

0*1

- »^

.^(n,8t4-n2^)ri ^ П '

(и,

П2

[п, njj

Поэтому мы используем тот же метод, что и в разделе 6.4.

Гл.

Статистический

вывод 2-

испытание

гипотез 177

Если генеральные дисперсии не равны друг другу, то каждая генеральная

дисперсия должна быть оценена соответствующей выборочной дисперсией:

п- 1

Следовательно:

где.

Или

П, - 1

П^

- 1

,2^X^LZ^

SE=

где

.2 К»-^'

*'—ГТ~-

Проверочная статистика для испытания гипотезы по двум выборочным сред-

ним находится по формуле:

^1 - ^2) - (Hi - Hz)

•у ^1 ^ 'г

n, - 1 П2 - 1

Эта статистика не подчиняется ни нормальному распределению, ни t-раслреде-

лению. Можно исполььзовать в качестве приближения t-распределения, но зави-

симость от числа степеней свободы более сложная. Если размеры выборки боль-

шие,

п 2 30, распределение этой новой статистики приблизительно нормальное,

как описано в центральной предельной теореме. Мы будем обсуждать задачи этого

вида только для случая больших выборок.

Для выбора подходящей проверочной статистики в случае, когда генеральные

дисперсии не известны, мы должны знать, какое предположение принимается.

Прежде всего нужно решить, можно ли считать неизвестные генеральные диспер-

сии равными или нет. Для принятия решения используется F-критерий.

П Пример 6.12. Для исследования качества определенного вида производимого

полимера были сделаны выборки по 10 единиц из каждой последовательной серии

178

Ч.

2. Анализ

данных

как

составная часть принятия решений

(п|

и П}) и определен процент химического вещества х в каждой выборке. Для

первой серии средний процект составил 68,2^ (xi) со стандартным отклонением

St = 0,70%. Для второй серии среднее содержание химического вещества х

составило 67,0% (хз) со стандартным отклонением sj = 0,74%.

Имеется ли основание предполагать, что две серии содержат разный процент

химического вещества х?

Решение

Нулевая гипотеза предполагает, что выборочные средние согласуются с двумя

выборками, взятыми из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой

генеральной средней.

Но:

ц, -

И2 >

Н,:ц, *\i2 .

Альтернативная гипотеза состоит в том, что две серии взяты не из одной и той

же генеральной совокупности. Следовательно, должна быть проведена двусторон-

няя проверка.

Поскольку генеральные дисперсии неизвестны, мы должны использовать

F-критерий для предположения, что две генеральных дисперсии равны друг

другу. Для испытания с помощью F-критерия формулируем гипотезы:

HQ:

0\^fi2>

Hj:

cTj # ©2 t

Будем испытывать нулевую гипотезу на

5%-ном

уровне значимости, используя

испытание с двумя границами. Это означает, что мы используем строки

0,025

F-таблицы в Приложении 2 с 9 и 9 степенями свободы.

f"o,OS/2,9,9 * ^'О^б ,

"1 2 10

<»i-—-s?-у''0.70^-0,544,

_^s?

-^x 0,74^-0,608.

П2

Поскольку 02 является большей, то F-статистика равна:

F = 0,608/0,544 = 1,12,

Поскольку

1.<2<Ро,05/2.9.9 = 4.026,

Гл.

6. Статистический вывод 2: испытание гипотез 179

различия между дисперсиями не существенны на 5%-ном уровне. Наблюдаемые

значения согласуются с нулевой гипотезой. Мы можем предположить, что две

генеральных дисперсии равны друг другу, и использовать t-критерий для п{>овер-

ки гипотезы по выборочным средним.

Теперь мы прюдолжим испытание гипотез на двух выбо]х>чных средних на

5%-ном уровне значимости, используя t-критерий с двумя границами с числом

степеней свободы: 10 + 10 - 2 = 18.

Из таблицы в Приложении 2 находим, что to_o5/2,i8 ~ 2,10.

Поскольку мы предположили, что

<?F-

А/ (Pi sf -m^ ф /

1 1 V

д/ (10

0.70'

+ 10 X

0,74^ П П _

=>Ьх,-х,= ^ (п,+ П2-2) [п, njj"

10 +

10-2 1^10

""loj"

•=

V0.1153 = 0,3395 .

Проверочной статистикой является:

X) - хд 68,2 - 67.0

*%-!_ •= 0.3395 '^•^•

Поскольку

3.53 >

to,OS/2,l8

~ 2>10,

результат существенен на 5%-ном уровне. Очевидно, что наблюдения не согласуются

с нулевой гипотезой. Мы отклоняем Нд и принимаем Н, как верную: две серии

имеют разное содержание химического вещебтва X.

Пример 6.13. Компания "JBO", производящая батарейки, утверждает, что в

среднем период использования их батареек более длителен, чем батареек их

конкурента — компании "Sparky". Ассоциация потребителей взяла случайную

выборку nt == 35 батареек, производства компании "JBO" и испытала их на

разрушение. Средний срок службы оказался равным 198 ч (xt) со стандартным

отклонением 8,7 часа (si). Такая же проверка была сделана по продукции компании

"Sparky" (П2 = 30 батареек). Средний срок службы оказался равен 193,8 часа (хг)

со стандартным отклонением 5,8 часа (sz). Подтверждают ли эти результаты

заявление "JBO"?

Нулевая гипотеза состоит в том, что две выборки взяты из нормальной

совокупности с общей средней.

HQ:

Ц1 = 1*2 .

Н,: ц, > И2 •

180

Ч.

Анализ данных

как

составная часть принятия решений

Альтернативная гипотеза состоит в том,

что

батарейки "JBO" служат дольше,

поэтому будем проводить одностороннюю проверку. Поскольку генеральные дис-

персии неизвестны, нам придется использовать F-критерий, чтобы определить

можно ли допустить что две генеральные дисперсии равны, прежде чем проводить

проверку гипотезы по средним.

Нд:

ог^

«2

Произведем проверку нулевой гипотезы на

5%-ном

уровне значимости, исполь-

зуя двустороннюю проверку:

-^s?-^

8,7^-77.92,

* п,

' 34

П2-И 29'

5.8^

34,80.

Поскольку

является большей, то F-статистика равна:

77,92/43,80 = 2,24

Из F-таблиц (Приложение 2) для уровня значимости

0,025

одной границей

при 34 степенях свободы по столбцу

29 степенях свободы по строке таблицы

Fo.025.34.29 лежит между Fo,o25.30,29°"2,092

Fo,o25.50,29

^.987.

Наша F-статистика больше этих двух значений, поэтому результат существе-

нен на

5%-ном

уровне

и не

согласуется

нулевой гипотезой. Мы

не

можем

предположить, что генеральные дисперсии равны друг другу, следовательно и мы

должны предположить:

о\*<!2

•

Испытание гипотезы с помощью t-статистики не подходит. Поскольку размеры

выборки большие (п^ и Пг) ^ 30, мы можем использовать нормальное распределе-

ние как аппроксимацию к правильной статистике для двух выборочных средних.

Будем испытывать на

5%-ком

уровне, используя нормальную проверку

одной

границей. Из таблицы (Приложение 2) находим, что zo,o5 =

>645.

Поскольку мы

предположили

о,

oj,

то

SE,.,W-^.-^-V5^=1.84.

*г

(п,

1) (П2

34 29

ГА.

6. Статистический вывод 2: испытание гипотез 181

Проверочная статистика равна:

Сс,

- xj) -

S%.-3c,

198 - 193,8

1,84

2,28

Поскольку

2,28> Zoos =1,645.

Результат существенен на

5%-ном

уровне. Очевидно, что факты не согласуются с

нулевой гипотезой. Мы отклоняем Но на этом уровне. Следовательно, предполагаем,

что альтернативная гипотеза Н^ верна. Средний срок службы батареек "JBO"

больше, чем батареек "Sparky". Таким образом, наше заключение подтвердило

правдивость рекламы компании "JBO".

О Пример 6.14. Компания "Electra pic" производит электрические компоненты.

Выполнение работ по их сборке с максимальной производительностью требует

обучения новых работников в течение месяца. Поскольку обучающая программа

стоит немалых средств, руководство компании стремится сократить время, отве-

денное на обучение. Руководитель программы изобрел новый метод обучения.

Руководство фирмы заинтересовано в проведении специального исследования для

того,

чтобы определить, сокращает ли новый метод период обучения.

Две грухты по 10 новых работников П} и П2 обучались три недели. Одна

группа использовала новый метод, другая — стандартную процедуру. До оконча-

нии трехнедельного периода, каждый новый рабопгник проводил сборку элемента

и записывалось время сборки.

Таблица 6.2. Время, ватрачеииое на сборку единицы продукцнм, мни.

Традиционное обучение

группа 1

Обучение

новым методам

группа 2

Доказывают ли эти данные эффективность нового метода обучения?

Решегше

Нулевая гипотеза состоит в предположении, что две выборки были взяты из

нормальных генеральных совокупностей с одинаковой средней:

182 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Н,:

Ц, >

Й2

•

Предположим, что традиционное обучение требует больше времени, поэтому

испытание будет с одной границей.

Для сравнения выборочных средних, мы сначала должны испытать дисперсии

с помощью F-критерия:

Hfl.'

О) = Oj ,

Мы будем испытывать нулевую гипотезу на

S%-HOM

уровне, используя испытание

с двумя границами.

Вычислим по данным табл. 6.2. средние значения и дисперсии:

X, = 34,7 мин. S, = 4,691 мин.,

Х2

= 31,7 мин.

= 4,026 мин.

Поэтому

а\ - —^

- ^

4.691^ - 24,45 ;

п,-1

. _^

- -^

4,026^ = 18,01 .

П2

Из строки 0,025 таблицы распределения с одной границей в Приложении 2

находим:

^0.05/2,9,9 ~ 4,026;

1,36 < Fo,0S/2,9,9-

Результат не существенен на уровне 5%. Данные согласуются с нулевой

гипотезой. Поэтому мы предполагаем, что две генеральные дисперсии равны друг

другу. Теперь мы продолжим испытание гипотезы на двух выборочных средних.

Мы выбираем для испытания

1%-ный

уровень значимости, используя t-критерий

с одной границей с 10 + 10 - 2 = 18 степенями свободы.

Из таблицы в Приложении 2 находим, что:

Ц,01,18~ 2,552,

Поскольку мы предположили, что